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Sur les traces de Lévi-Strauss, Lacan et Foucault, filant comme le sable au vent marin...

L'Homme quantique

Saunders Mac Lane - Mathematics form and function - Origins of formal structures #2

(Suite de "Introduction # 1")

Chapitre 1 -
Origins of formal structures

Table des matières :

  1. The Natural Numbers
  2. Infinite Sets
  3. Permutations
  4. Time and Order
  5. Space and Motion
  6. Symmetry
  7. Transformation Groups
  8.  Groups
  9. Boolean Algebra
  10. Calculus, Continuity, and Topology
  11. Human Activity and Ideas
  12. Mathematical Activities
  13. Axiomatic Structure

- Mac Lane ratisse large en une petite quarantaine de pages !

- Effectivement, et il y aurait beaucoup à en dire, mais je te propose de le suivre à la trace sans plus tarder. Déjà, son introduction des nombres me semble intéressante.

«Mathematics, at the beginning, is sometimes described as the science of Number and Space- better, of Number, Time, Space, and Motion. The need for such a science arises with the most primitive human activities.» p. 7

Je ne voudrais pas paraître trop obsessionnel, mais enfin, il me semble bien voir, derrière toutes ces préoccupations, présentées ici par Mac Lane comme les plus primitives qui soient, notre Imaginaire se stabiliser autour de nos niveaux [⚤], [#] et [♲], comme une corde vibrante autour de ses noeuds de vibration.

- C'est-à-dire ?

- Eh bien, me semble-t-il :

  • En [⚤] (ou [時間]), nous discuterons des nombres, avec le concept diachronique associé du temps, pour passer de [∃]⇅[⚤];
  • En [#] (ou [空間]) nous discuterons de l'espace;
  • En [♲] (ou [間]), le mouvement marie les deux concepts de temps et d'espace.
    (J'ai indiqué entre parenthèses les kanjis japonais afférents, pour donner une idée de l'universalité de cette structuration, avec une approche cependant différente : le temps et l'espace découlant ici du concept Ma 間 originel.)

- Ça risque d'être long si tu t'étales ainsi à chaque ligne de l'auteur !

- Désolé, mais comme dans une toile, c'est souvent le premier coup de pinceau qui détermine l'ensemble ! D'ailleurs, la culture anglo-saxonne de notre auteur ne tarde pas à montrer le bout de son nez car, après un raccourci pour introduire l'approche axiomatique prévilégiée en mathématique, depuis Euclide jusqu'à Hilbert, en passant par Peano & Dedekind, Mac Lane nous livre ceci :

«This development of the formal from the factual is a long historical process in which the leading concepts might very well have come in a different order. Our concern is not the historical order, but the very possibility of a development of form from fact.» p. 6

On peut déjà mettre un bémol sur cette approche purement immanente, en nous reportant simplement à ce que peut nous en dire un neuropsychologue (je me reporterais par la suite au livre de Stéphane Dehaene "La bosse des maths") : avant d'être "humain", l'animal que nous sommes partage avec d'autres espèces des prédispositions qui s'apparentent au calcul.

«Tobias Dantzig, dans son livre à la gloire du nombre, Langage de la science, souligne la primauté de cette intuition numérique élémentaire :

L’homme, même dans les tout premiers stages de son développement, possède une faculté que j’appellerai, faute de mieux, le sens des nombres. Cette faculté lui permet de reconnaître le changement d’une petite collection lorsque, à son insu, on lui ajoute ou lui retranche un objet. 

Dantzig écrivait ces lignes en 1954, alors que la psychologie était dominée par la théorie de Jean Piaget, qui déniait aux très jeunes enfants toute compétence numérique. Il fallut attendre les années 1980 pour que soit contesté le constructivisme piagétien et confirmée l’intuition de Dantzig. Dès leur première année de vie, tous les hommes possèdent déjà l’intuition du nombre. Nous nous attarderons sur ces expériences remarquablement ingénieuses qui démontrent que le bébé humain, loin d’être démuni, connaît dès la naissance un embryon d’arithmétique comparable au sens des nombres présent chez l’animal. Additions et soustractions élémentaires s’avèrent possibles dès l’âge de six mois. Dans un certain sens, donc, nous avons tous la « bosse des maths ». » Extrait de "La bosse des maths" Stanislas Dehaene 

- Dont acte : ne pas oublier la double approche S↓ / S↑, mais si tu avançais un peu ?

- La suite est intéressante :

«To illustrate this, we start again from number, time, space, and motion and build up directly some of the general concepts of modern Mathematics.
Thus counting leads to cardinal and ordinal numbers and to infinite sets and transformations.
The analysis of time leads to the notion of an ordered set and a complete ordered set;
these concepts fit also with geometrical measurement.
The study of motion (in space) and of the composition of two motions suggests the notion of a transformation group.
Comparison of this notion of composition with the arithmetic operations of addition and multiplication leads by further abstraction to the concept of a group.
On the other hand, motion involves continuity,
and the formal analysis of continuity gives rise to a simple axiomatic description of space as a metric space or,
more intrinsically, as a topological space.
Thus this chapter introduces the idea of the formal in terms of certain basic structures: Set, transformation, group, order, and topology. With Bourbaki, we hold that Mathematics deals with such "mother structures". Against the historical order, we hold that they arise directly from the basic stuff of Mathematics. »
p. 7

  1. Mac Lane passe directement du comptage à la notion d'infini, au sens où pour tout n ∈ N, il y a toujours un successeur n+1 ∈ N. Ce qui n'est pas la même chose que le point à l'infini qui clôt R, ou l'infini temporel dont nous avons parlé dernièrement (voir "À l'ombre de Grothendieck et de Lacan #1"). Je crois qu'il serait plus clair de traduire l'infini dont parle ici Mac Lane par le terme "indéfini";
  2. Le concept de temps passe après celui de nombre, alors que j'ai eu tendance jusqu'à présent à le comprendre avant (principe diachronique [∃]⇅[⚤]𓁜, réifié en [⚤]𓁜). Ce qui renvoie à l'approche de Mac Lane qui va suivre : il part d'un concept "cardinal" du nombre, comme une étiquette sur une collection, et non d'un concept "ordinal", avec celui de successeur, c'est à regarder de près;
  3. "these concepts fit also with geometrical measurement", ce qui nous introduit directement à la "mesure" en [♲] par un "nombre" en [⚤], je ne pouvais trouver plus beau raccourci !
  4. "The study of motion (in space) and of the composition of two motions suggests the notion of a transformation group." Il faudra en rediscuter le moment venu, mais je crois qu'il y a ici un "moment" qui n'est pas pris en compte, à savoir la différence local-𓁝/𓁜-global, qui est introduite implicitement par Évariste Galois (dont Mac Lane parlera plus loin). D'ailleurs l'idée de "motion in space" implique une telle différenciation...
  5. "On the other hand, motion involves continuity". On ne peut pas mieux exprimer le "saut" Imaginaire qu'effectue le Sujet pour passer du niveau discret [⚤] au niveau continu [#] à partir de la compréhension de leur lien (le mouvement) en [♲] !
  6. "and the formal analysis of continuity gives rise to a simple axiomatic description of space as a metric space more intrinsically, as a topological space." Il s'agit donc pour Mac Lane d'une approche rétrospective, en mode ♡ ("simple axiometric description"), d'un espace métrique déjà imaginable au niveau [♲] en mode ♧, quand la topologie implique le mode ♢ (avec un changement d'objet final) :
    • une droite "collection de points" discrets (comme R) en mode ♧ (objet final de la catégorie Set : "•") et
    • un lien topologique entre deux points en mode ♢ (objet final de la catégorie Graph : "•").
      Son développement, autour du principe de continuité, qui doit faire le lien entre les deux, va être à suivre attentivement (i.e.: Mac Lane doit nécessairement prendre en compte à un moment donné la double approche continu-𓁝/𓁜-discontinu) !
  7. "Set, transformation, group, order, and topology" : Si j'ai bien suivi son discours (point précédent), son approche permet de ramener la géométrie à la topologie... À voir.

1/ The Natural Numbers : (Je traduirai "natural number" par "nombre entier"). 

Mac Lane va introduire les concepts de "set / number/ label/ list".

Pour l'instant, par set/ ensemble, il ne s'agit que de "collection d'éléments", sans la structure mathématique attachée au concept "d'ensemble" :

« At this point the word "set" simply means a collection of things : A grouping or assemblage S of objects (say, of physical objects or of symbols) such as the collection of two turtle doves, three french hens, four colley birds, or five gold rings-or the two collections

S = {A,B, C}, T = { U, V, W}

of three letters each, written with the conventional bracket notation for a set or collection. At this stage, the word "collection" is appropriate, because all that matters about a set (or collection) is that it is determined by specifying its elements; one does not yet need more sophisticated notions, such as sets whose elements are themselves sets, or sets of sets of sets, or sets of subsets. » p. 7

La seule chose à savoir de cette collection, c'est qu'elle est déterminée par l'observation de ses éléments, ce qui s'exprime simplement par la posture ex post du Sujet qui en parle [⚤]𓁜.

« In these terms, one can give semi-final descriptions of the (at first) highly informal operations of listing, labeling, counting, and comparing.

  • To "list" a collection such as {A, B, C} means to attach in regular order a numeral to each object in the collection ; one usually begins with the numeral I and proceeds in order, say, as {A1, B2, C3} . Note that the numerals will be adequate for this process in all cases only if there is always a next numeral; this is one origin of the idea that every natural number n has an immediate successor s(n) = n + 1 .
  • To "label" means to attach the same numerals to the objects of the collection, but irrespective of their order, as in {A2, B3, C1} .
  • To "count" a collection means to determine how many numerals (or which numerals) are needed to label all the objects in the collection. In this connection, note that the count, done properly, always comes out to the same answer. In particular, the numerals needed do not depend on the order in which the objects of the collections are counted : Whether it is {A1, B2, C3}, {B1, A2, C3} or {C1, B2, A3} , it always ends at the same 3.
  • Comparing two collections, such as {A, B, C} and {U, V, W} means matching each object of the first collection with some object of the second, until both are exhausted, as in {AIW, BIV, CIU} . Of course, it might happen that one collection is exhausted before the other; the first is then "smaller" in the comparison.» p. 8

Je sais bien que Mac Lane n'est reste pas à une approche "historique" de l'agencement des concepts, mais enfin, il me semble que sa présentation pose quelques problèmes.

- Il est pourtant très simple à suivre, non ?

- J'ai quelques petites réserves. Lorsque tu identifies des éléments (ici A, B et C) par exemple, tu as déjà un premier type d'opérations, à savoir poser les stikers "A", "B" et "C" sur des "objets"; opération qui suppose un certain mouvement du Sujet, pour passer de l'objet à sa représentation. Le mouvement le plus élémentaire étant [∃]⇅[⚤]𓁜.

- C'est ce que Mac Lane introduit ensuite : "to label".

- Pas tout à fait, justement. Il indique que cette labellisation est indépendante de l'ordre dans lequel l'étiquetage est effectué. Et il dit, ensuite que {A1, B2, C3} et {B1, A2, C3} sont "équivalents".

- Il s'agit donc d'une présentation {A, B, C} parmi d'autres possibles {B, C, A} ou {C, A, B} etc ?

- Autrement dit, il part d'un mode de penser ♢ (où toutes les potentialités sont présentes), pour en extraire une représentation (objective) en mode ♧, dans un mouvement [⚤]↓[⚤], après un principe d'équivalence entre les éléments A, B et C, quelque part en [♲].

- Ce qui, toute réflexion faite est plus correct que ton approche, car, en [∃], au contact du Réel, tu ne peux avoir qu'un seul objet, final, et non pas "des" objets A, B ou C différenciés. La répétition [∃]⇅[⚤], à partir de laquelle se définit le temps, porte sur la répétition du "même". Ce mouvement  [⚤]↓[⚤], quant à lui, est "atemporel".

- Je veux bien comprendre les verbes "labelliser" ou identifier, ou étiqueter, comme des mouvements  de type [⚤]↓[⚤] atemporels, cependant, le terme de "lister" me semble bel et bien attaché à un mouvement Imaginaire lié au temps. j'en veux pour preuve le commentaire de Mac Lane qui suit immédiatement :

Note that the numerals will be adequate for this process in all cases only if there is always a next numeral; this is one origin of the idea that every natural number n has an immediate successor s(n) = n + 1 .

Ce qui est bien en accord avec tout ce que nous avons dit du temps en termes d'automatisme de répétition jusqu'à présent. C'est pourquoi, il m'aurait paru logique que Mac Lane commence par parler des concepts de successeur et de temps....

- Soit, mais ensuite, l'introduction de l'opération de comptage de Mac Lane, à partir de mouvements de type [⚤]↓[⚤], me semble beaucoup plus prometteuse que ce que tu nous as présenté jusqu'à maintenant !

- C'est ce que je commence à croire...

« In this context, one says that the collection {A,B,C} has the cardinal number 3, in symbols
# {A, B, C} = 3
 » p. 8

Cette approche me semble correspondre à ce que nous en savons. À l'origine, chez les Babyloniens, il était d'usage de compter le cheptel avec des billes d'argiles, que l'on scellait dans des bourses également en terre pour attester une transaction entre maquignons. Afin de ne pas casser les sachets d'argile à chaque comptage de billes, on prit l'habitude de tracer sur les sacs le nombre de billes qu'ils contenaient (le cardinal). Ensuite, il devient évident qu'il n'y avait pas besoin de manipuler ces sacs, mais seulement les nombres eux-mêmes, transcrits sur des tablettes d'argile, à plat...

De plus, l'idée d'un mouvement [⚤]↓[⚤], nous renvoie d'une façon très générale à une présentation d'Étienne Ghys en topologie algébrique :

Le groupe fondamental par les revêtements 1 - Étienne Ghys

ici, les objets dont nous traitons sont en [⚤], du domaine du discret et non du continu en [#] comme en topologie, mais les mouvements en question sont du même ordre.

Suivons Mac Lane pour vérifier si nous sommes sur la bonne voie.

"... # {A, B, C} = 3 (4)
As noted, this means that there is a one-to-one correspondence f
f : 1
A, 2B, 3C (5)
which matches the standard collection {1, 2, 3} to the collection {A, B, C}. The collection {U, V, W} has the same cardinal number, by the correspondence
g : 1↦U, 2↦V, 3W. (6)
The formal definition of this matching process states that a bijection b (a one-to-one correspondence) from a collection S to a collection T is a rule b which assigns to each element s in S an element b(s) in T, in such a way that every element t of T occurs for exactly one s. This means that the inverse of b (b read backwards) is a bijection from T to S; thus the inverse of the bijection f of (5) above is
f-1 : A
↦1, B2, C3 . (7)
"Composed" with the bijection g of (6) this gives a bijection, f-1 followed by g, directly from {A,B, C} to {U, V, W} as
g.f-1 : A
U, B↦V, C↦W (8)
Thus the elementary observation that the two collections {A, B, C} and {U, V, W} have the same cardinal number, #{A,B,C} = #{ U, V, W} , suggests the more general process of "composing" bijections, one followed by another. Indeed, these ideas about bijections can be used to provide a formal definition of the (cardinal) natural numbers (§II.8).
» p. 9

Je trouve personnellement très satisfaisant de retrouver ici, ce qui m'a pris tant de temps à comprendre de la différence entre "Identité et idempotence": (Note 4)

Le mouvement combiné g.f-1 (mouvement f-1: [⚤]↓[⚤] suivi de g : [⚤]↑[⚤]) conduit à l'idempotence des deux collections {A, B, C} et {U, V, W}.

Ensuite, Mac Lane introduit les opérations d'addition, multiplication et exponentiation dans les termes propres à la théorie des catégories, en particulier, le produit est un "produit cartésien" et l'exponentielle yx vu comme le nombre de morphismes possible entre un domaine de x éléments vers un codomaine de y éléments.

Le point important pour Mac Lane est le passage à la "formalisation", qui, oublieuse de l'origine des concepts, stipule des "règles à suivre" pour conduire nos calculs quotidiennement :

«This example gives a clear indication of what we intend to mean by formal: A list of rules or of axioms or of methods of proof which can be applied without attention to the "meaning" but which give results which do have the correct interpretation.» p. 9

Je pense que l'auteur y reviendra ultérieurement.

2/ Infinite sets :

Cette notion d'infini ou plutôt, ici, d'indéfini, a été l'objet de mon tout premier commentaire (1), je n'y reviens pas. L'auteur passe ensuite allègrement sur l'importance du zéro et la notion d'ensemble vide :

«The collection of all the natural numbers, N = {0, 1, 2, 3, ... }, starts with 0 and has to each number a successor; hence it is infinite. Historically, one started with 1 and not 0, but we need 0 as the cardinal number of the empty set. The infinite set N of all natural numbers includes many finite subsets {0, 1, 2}, {1, 3, 5, 7}, {2, 4, 1, 6}, as well as infinite sets, such as the set P of all positive natural numbers P = {1, 2, 3, 4, ...} .» p.10

Pour arriver à ce qui lui semble essentiel : les nombres cardinaux infinis. 

«Two sets X and Y have the same cardinal number when there is a bijection f: X Y. This definition includes the finite cardinals 0, 1 , ... already discussed in § I , and the cardinal number called אo (aleph-naught) of N, E, P, and all other denumerable sets. In this way, the elementary activity of counting leads to infinite cardinal numbers -of which אis only the first. We will later see that the set of all points on a line is infinite but not denumerable.
One can also formally describe when a set is infinite: When its cardinal number is not finite, or, equivalently, when it has a proper subset S for which there is a bijection S
X.
Finitists hold that infinite sets (and geometrical infinities) are just convenient fictions, while only the finite is "real". This we must later consider. For that matter, is a finite set real ? On the fourth day of Christmas, did my true love send me four colley birds or a set of four colley birds ?
Where is the set ? 
» p. 11

3/ Permutations :

Nous avons déjà pas mal discuter des permutations sur ce blog (en suivants les cours de Gilles Bailly Maitre), et nous en avons retenu pour l'essentiel :

  1. L'ensemble des permutations se présente de façon atemporelle en mode ♢ (et en particulier fini);
  2. Un tirage particulier peut être vu comme l'objectivisation ♢↓♧ d'une potentialité;
  3. Les calculs liés à ce domaine nécessitent une double approche locale (transpositions) 𓁝/𓁜 globale (cycles, permutations).

Mac Lane s'intéresse surtout au fait qu'un ensemble de permutations a une structure de groupe (associativité, inverse, élément neutre) et conduit à une algèbre.

4/ Time and order :

La présentation de Mac Lane implique que pour lui, naturellement, le temps est ue notion continue. En effet, il démarre par :

«The passage of time suggests the ideas "before" and "after" ; when the instant t of time comes before the instant t' we write t<t'. Moreover, if in turn t' is before t", then it is apparent that t is also before t". This can be stated formally in the transitive law
t<t' and t'<t" imply t<t" ( I )
for the "binary relation" <. Moreover, for any two distinct instants of time, one must come before. In different language, for all t and t' exactly one of  
t<t' or t=t' or t'<t (2)
must hold. This statement is the law of trichotomy.
» p. 13

et poursuit par :

«But the "before" and "after" of time is not the only example of these two laws. There is a "discrete" example. For natural numbers, m<n means that n comes after m in the list of numbers succeeding m; here both laws ( I ) and (2) hold:
0<1<2<3< . .  (3) 
» p. 13

- Mon ami, je pense que c'est à toi de t'adapter à sa présentation !

- Comment cela ?

- Historiquement, je te l'accorde, lorsque Galilée, s'ennuyant dans la cathédrale de Milan, évalue le temps de battement d'un lustre agité par le vent à son propre pouls, il s'agissait bien alors d'un comptage élémentaire de pulsations. Ensuite, Galilée fit des mesures sur les pendules. Par ailleurs, la physique moderne, pour le décompte du temps, nous ramène bien à des fréquences de comptage, en bref, nous restons dans le discret, mais la démarche de Mac Lane n'est pas historique, et, tu l'as déjà souligné, il attaque en mode syntaxique ♡, pour en arriver, dans une démarche S↓ aux formes les plus élémentaires.

En conséquence, il ne me paraît pas illogique qu'il parte d'un temps continu en [#] pour régresser au concept de successeur discontinu en [⚤]... Par ailleurs, n'as-tu pas toi-même insisté sur une approche Japonaise partant du Ma 間 pour définir le temps 時間, allant en ce sens ?

- Cet aspect S↓ de la présentation de Mac Lane, est assez paradoxal, quand il insiste lui-même sur le caractère S↑ de sa démarche, comme nous l'avions relevé en début d'article (voir ici) !

- À nous de comprendre la dualité de l'approche S↓/ S↑, mais l'important est ici de voir si son approche est efficace.

- Tu dois avoir raison, car nous venions de voir que sa présentation des cardinaux, à partir du mode ♢, est congruente avec ce que nous savons déjà de la topologie, et donc plus riche qu'en partant de l'automatisme de répétition primitif [∃]⇅[⚤]𓁜. Je me rends compte au fil de cette lecture qu'il va me falloir tout reprendre à partir du mode ♡ !

- Dans cet ordre d'idées, tu remarqueras le passage sur la trichotomie  t<t' or t=t' or t'<t qui annonce une logique non limitée par le principe du tiers exclu, c.-à-d. "intuitionnisme", propre au mode ♢... Il insiste d'ailleurs lourdement sur le rapprochement linéarité (continu) et trichotomie :

«A linearly ordered set is then a set X with a binary relation < for which the laws ( 1 ) and (2) hold; in other words it is a set equipped with a transitive and trichotomous relation < . One can then invent (or discover?) many other examples of linearly ordered sets: Finite ones such as 1 < 2 < 3 < 4 or long infinite ones such as
0 < 1 < 2 < 3 < . . . < ω < ω+1 < ω+2 < . . . , (6)
where ω is the first thing beyond all the finite natural numbers. (This linearly ordered set is actually the start of the infinite ordinal numbers.)
This definition is an easy first (of many) cases of a list of axioms describing a common situation with many different examples. As in other cases, the choice of axioms can vary. Thus, rather than using "before" and "after", the passage of time can be described by the notion "not later than", usually written t ≤ t. This alternative can be formalized for any linearly ordered set X. Define x ≤ y to mean x < y or x = y. This binary relation on X is then

  • Transitive: x ≤ y and y ≤ z imply x ≤ z
  • Reflexive : x ≤ x for all x
  • Antisymetric : x ≤ y and y ≤ x imply x = y

Finally, corresponding to trichotomy, it has the property :

For all x and y in X, either x ≤ y or y ≤ x. » p. 14

(d) Je fais cette longue citation, pour bien montrer toute la discussion qui s'annonce au passage d'un principe trichotomique (en mode ♢) au principe classique dichotomique propre à la logique du 1er ordre (en mode ♧).

Mac Lane s'intéresse plus particulièrement au problème pouvant découler du passage d'un groupe d'axiomes à un autre.


Le 19/ 10/ 2022 :

- Je ne sais pourquoi, ce matin, je voulais revoir l'interview de Jean Bénabou, mort en début d'année, par Stéphane Dugowson :

Jean Bénabou - Stéphane Dugowson le 07/09/2012

- Sans doute parce que tu as lu son nom dans la préface de Mac Lane à son livre :

«Jean Bénabou has carefully read the entire manuscript and has offered incisive comments.»

- Oui, également d'en avoir pas mal entendu parlé par Anatole Khelif lors de son séminaire.

- Mais quel rapport avec ta lecture ?

- Je n'en sais trop rien, mais à l'écouter, je me rassure de l'entendre dire qu'il s'est intéressé à la théorie des catégories grâce à l'approche de Charles Ehresmann, qui lui avait montré :

  • la possibilité d'aborder la topologie sans l'idée de point (19'20"), et
  • d'autre part en développant des procédures locales (21'55")

Ce qui me renvoie directement à ce que nous avons vu de la structuration progressive de l'entendement (voir "Ikebana") : (f)

[∃] [⚤] [#] [♲] 𓂀
[∃] [⚤] [#] [♲]   𓂀
[∃] [⚤] [#] [♲]   𓂀

- Et pour ce qui nous intéresse ici ?

- L'idée que la vision topologique (mode ♢) contamine, a posteriori, les concepts plus primitifs acquis dans un processus immanent S↑ (i.e. : la zone bleue va contaminer la zone jaune, la zone verte contamine les deux précédentes). J'en reste à l'exemple du "temps", que je me suis longtemps battu à présenter comme intrinsèquement "discret" (un battement diachronique [∃]⇅[⚤]𓁜 ou automatisme de répétition). Dans une démarche S↓, cet aspect discret se décante à partir d'une nature continue, et en dernier ressort du mouvement.

C'est la même chose pour la posture locale discrète 𓁝[⚤] (apparaissant dans la théorie des groupes), quand, dans l'histoire du Sujet, cette posture se cristallise primitivement en 𓁝[#] (lors du stade du miroir). (Note  2)

La difficulté tient à la dualité de la démarche S↓/ S↑, il me faudra y être plus attentif...

- Et si tu revenais au texte ?

- Précisément : Mac Lane s'interroge ici sur l'équivalence entre groupes d'axiomes définissant un même domaine, et je retrouve dans cette question, l'idée d'idempotence, que l'on avait déjà vue en topologie (continu) avec Étienne Glys, et que Mac Lane vient de reprendre ici, au niveau discret, pour parler des nombres.

Partir d'un mode syntaxique ♡ permet d'unifier la démarche par le haut, et il faut donc s'attendre à retrouver jusque dans la conception des nombres entiers, une approche d'un très haut degré d'abstraction, que l'on retrouvera pour discuter de l'équivalence entre groupes d'axiomes. (Note 1)

- Je pensais que l'aspect fractal de l'Imaginaire tenait à la répétition d'un motif élémentaire ?

- C'est toute la beauté de la chose : cet aspect fractal résulte aussi bien du recyclage de quelques zones neuronales dans le cerveau, comme nous l'avons vu au sujet de la lecture (voir ici) que de la compréhension globale que nous en avons. De fait, l'aspect fractal est un jugement du Sujet tenant à sa compréhension globale d'une répétition locale. 

- Le texte !

- Tu as raison, tout ceci reste un peu fumeux tant que l'on n'a pas pris un exemple. En l'occurrence, Mac Lane nous explique que l'on peut parler de la notion d'ordre soit en partant de < soit en partant de ≤, avec cette règle que "x < y" est équivalent à "x ≤ y & x ≠ y". L'équivalence se constate ainsi :

«One also asks when two "models" of the axioms are "essentially" the same - in the sense that the linearly ordered set of natural numbers has the same "order type" as the ordered set of even positive natural numbers : 2 < 4 < 6 < 8 < 1 0 < . . .

So for linearly ordered sets X and Y an order isomorphism f : XY is defined to be a bijection of the set  X on the set Y such that order is preserved : For all x1 and x2  in X, 

x1 < x2 implies f(x1) < f(x2) . 

When there is such an isomorphism f,  X  and  Y are said to have the same order type. (This is  like  the definition of "same cardinal number" except that now one also keeps in mind the order of the elements being compared.) One can then readily prove (say) that any linearly ordered set of 4 elements is order isomorphic to  the standard such set :  I < 2 < 3 < 4.» p. 15

Comme tu le vois c'est fait en douceur, mais le gap est énorme ! Et il faut bien comprendre que l'évidence à la lecture de ce texte tient à la posture même de Mac Lane...

- Tu as encore en tête la vidéo de Bénabou ?

- Oui, effectivement. Parlant de Grothendieck, il rapporte que pour ce dernier, "les bonnes mathématiques doivent se présenter comme une suite de trivialités pourvu que l'on ait le bon contexte" (à 53').

Eh bien, à mon sens, c'est ce que nous montre Mac Lane, car à partir de son exemple, il répond à une question plus générale :

«A  general  question  is  then  at  hand :  Can  one  describe  a  particular model of the axioms by giving enough additional axioms to determine the model uniquely (i.e. uniquely up to an order isomorphism?) In the present case,  can  one  give  properties  of  an  ordered  set  X  which  imply  the existence of an order isomorphism XN (or XQ, the ordered set of rationals, or XR, the ordered set of reals?)
The answers are "yes".
» p. 15

Ensuite, à partir de N, Q et R, Mac Lane introduit les concepts de "limites", de "complétude" (R est complet) et d'être "dense" (Q est dense dans R). Je pense que nous y reviendrons ultérieurement dans le texte.

5/ Space and motion :

«Space can be regarded as something extended or as a receptable for objects or as a background for ideal "figures". These aspects are all closely tied to the notion of motion through space, while motion provides the notion of measuring distance in space. Space and motion crop up together everywhere, from physics to physical exercise.» p. 16

La distinction espace/ mouvement rappelle Poincaré qui, dans "la science et l'hypothèse" passe soigneusement en revue notre façon proprement humaine de percevoir cet espace :

"Changements d'état et changements de position :
Mais, dira-t-on, si l’idée de l’espace géométrique ne s’impose pas à notre esprit, si d’autre part aucune de nos sensations ne peut nous la fournir, comment a-t-elle pu prendre naissance ? C’est ce que nous avons maintenant à examiner et cela nous demandera quelque temps, mais je puis résumer en quelques mots la tentative d’explication que je vais développer. Aucune de nos sensations, isolée, n’aurait pu nous conduire à l’idée de l’espace, nous y sommes amenés seulement en étudiant les lois suivant lesquelles ces sensations se succèdent.
" La science et l'hypothèse chap IV

- On peut dire que Mac lane ne s'étend pas sur le sujet...

- Certes, cependant, ce qu'il dit va bien avec notre représentation de l'espace en [#]𓁜 et du mouvement (liant espace et temps) en [♲]𓁜, nous pouvons déjà partir de là.

«Idealization of the notion of space suggests that chunks of space are made up of figures which are filled  up with "points". A point is in space, but without extent. In the extreme analysis, the space consists just of points -but to make this work the points must have added structure, say that described by giving the distance p(p,q) from the point p to the point q.» p. 16

Bon, là, il faut convenir que l'approche de Mac Lane est très classique, et même en décalage par rapport à Bénabou, qui est venu à la théorie des catégories, précisément parce qu'il était possible d'y parler d'espace, sans la notion de point ! On pourrait par exemple se demander quelle est la nature de cette distance dont il parle puisqu'elle n'est pas définie en termes de lien entre deux points?

- Son approche correspond aux 3 niveaux [⚤], [#] et [♲] du mode ♧, qu'est-ce qui te choque ici ?

- Justement, il me semblait que Mac Lane, en mode ♡, allait tout de go attaquer la géométrie à partir du mode ♢ (topologique) pour arriver, dans un processus S↓ aux conséquences (objectives) en mode ♧ de cette géométrie qui va prendre tout le champ [⚤][#][♲]; mais non, pour le coup, il adopte une approche S↑ pour passer du discret (le point) au continu (la droite R) et à la mesure (à partir de R)... Tout ceci le conduit à la notion suivante.

6/ Symmetry :

- Pas de nouveauté particulière à relever. Le plus important me semble être l'importance accordée à la notion de symétrie dans la construction mathématique, marquée par son introduction à cette place, mais cela ne surprendra personne... En particulier, pour construire la géométrie à partir de la notion de point, comme le fait Bachman, il faut bien avoir malgré tout l'idée de "symétrie". (Note 3)

7/ Transformation groups :

- Bon, à partir des groupes de symétries vues en 6/, Mac Lane élargit la notion de groupe.

- Rien à ajouter ?

- Suite à notre discussion de ce matin, j'en profiterais bien pour enfoncer le clou : il est assez commode d'envisager : (c)

  • En mode ♢: le groupe dans son ensemble comme une collection de possibilités offertes ♢𓁜, et
  • En mode ♧: l'objectivation ♧𓁜 de l'une des potentialités 𓁝♢offertes par le groupe (i.e.: dans un mouvement : 𓁝↓𓁜.)

Ça devient plus intéressant lorsque Mac Lane revient à son problème de fond, c.-à-d. savoir si deux groupes de transformations sont "essentiellement" les mêmes (par delà les champs de leurs applications, qu'il s'agisse de permutations, symétries, ou mouvements).

«... But we are also led to explicate when two transformation groups are "essentially" the same. 

figure of §6

To do this, one may examine a case such as the representation in §6 of each symmetry of the square X by a permutation of the vertices of that square. This takes place by labeling the vertices by numbers, say by a function f: {1, 2, 3, 4} X which puts each number on the corresponding vertex. The labeled vertices are all different; that is, fk=fm implies k=m; one says that the function f is injective (an injection, or one-one into). With these labels, each motion T: X  X of the square sends each vertex to a vertex, so determines a permutation #T: Y  Y of te set Y of vertices. Thus #T does to k what T does to fk; in others words :

f(#T)k = T(fk) (2)
for k=1, 2, 3, or 4.

This equation can be written in terms of composites of functions as :

f.#T = T.f (3)

or displayed in a diagram of the corresponding functions as : 

(4)

- Voici donc enfin le premier carré commutatif que tu espérais ? Il a toujours pour moi un petit côté magique : c'est comme si, pour ouvrir une porte tu avais le choix entre tourner la clef dans la serrure (T), ou bien d'agir sur son ombre (#T), avec le fantasme que la relation (f) entre la porte et son ombre soit mécanique; ici, j'ai l'impression d'un bluff, "comme si" changer les noms des angles revenait à faire tourner physiquement la figure...


Le 20/ 10/ 2022 :

- Mon ami, je crois bien que tu rai(é)sonnes comme une casserole !

- Pardon ?

- Oui, j'ai bien précisé la posture de Mac Lane, en mode ♡, mais toi, d'où l'écoutes-tu ? Ton fantasme d'une serrure et de son ombre montre bien que tu en restes à chercher une correspondance entre un univers de potentialités (mode ♢) et le monde objectif (mode ♧). C'est exactement la posture du dormeur qui cherche à raconter son rêve au réveil.

Or Mac Lane ne te parle pas du tout de cela ! Il cherche une équivalence entre deux univers de potentialités. Il s'agit bien de syntaxe (i.e.: caractériser une compétence déterminant une possibilité de performances dans un langage Chomskien). Et pour tester cette équivalence (la compétence), il nous dit qu'à chaque position de la figure correspond une permutation opérée sur les noms des sommets (ici 1, 2, 3, 4) (les performances). Mais dans l'affaire, il n'est pas requis d'opérer effectivement, c'est-à-dire selon une procédure objective, à des manipulations d'objets. D'ailleurs toi-même t'en es abstenu pour lire ce texte. La seule projection en mode ♧ est ce schéma du §6.

Donc, tu dois te tenir en mode ♡ pour espérer comprendre de quoi Mac Lane nous parle, là où se décrit la compétence. Chacune des potentialité (c.-à-d.: pour chaque T, #T et f) qu'il nous donne à voir est alors en mode ♢.

D'une certaine façon: (Note 4)

  • En mode ♧ : les formes;
  • En mode ♢ : les fonctions;
  • En mode ♡ : les équivalences entre fonctions.

- Tu parlais hier (c) d'objectivation d'une potentialité en mode ♧ ?

- Oui, nous avons vu que l'on pourrait schématiser cette objectivation ainsi : (e)

choix de Tk 𓁝[α]𓁜  ensemble des T 𓂀
     
  [α]𓁜 actualisation de Tk 𓂀

L'objectivation, ou transformation de quelque chose, se traduit par le retournement du Sujet, en position finale ex post, tourné vers l'objet final (•).

- Mais où se situe le schéma de Mac Lane dans l'histoire ?

- Nous nous heurtons à la difficulté de prendre en compte 2 orthogonalités, il nous faudrait une représentation en 3D, de ce type 

choix k 𓁝[α]𓁜
𓂀
   
  [α]𓁜 actualisation k 𓂀

- Tu parlais des "fonctions" en mode ♢, mais les ensembles X et Y se réfèrent bien à des "objets" ?

- Effectivement. Je pense que Mac Lane devra y venir plus tard, mais en fait, l'objet élémentaire du mode ♢ c'est l'objet final de la catégorie des Graphes à savoir le monoïde •, qui ne considère l'objet "•" que par ses relations "". En ce sens l'écriture est cohérente. En mode ♡, il s'agira ensuite de s'exprimer sur ces morphismes, autrement dit le langage naturel en mode ♡ est celui des foncteurs.

Pour en revenir à ton erreur d'interprétation, lorsque tu évoquais cette idée d'agir sur l'ombre de la clef pour ouvrir la serrure, il est facile de la caractériser ainsi : il y a entre la porte et son ombre un principe de causalité  (l'ombre est causée par la porte), qui tient à la notion d'ordre et de temps, tels qu'ils s'imposent au Sujet au plus élémentaire de son contact au Réel, à savoir en [⚤]𓁜. C'est bien entendu lié à la logique du 1er ordre, toujours en [⚤]𓁜 comme à la posture même du Sujet [⚤]𓁜. Maintenant, nous avons vu que Mac Lane amorce la présentation de logiques intuitionistes, en parlant de trichotomie au sujet des cardinaux (d).

(g) Or, ce principe de causalité n'est plus opérant en mode ♢, à cause, précisément de la prise en compte d'autres logiques intuitionistes. Nous avions déjà eu l'intuition il y a quelque temps que la différence avant/après allait évoluer en une différence d'ordre spacial de type gauche/droite (voir "Cohérence épistémologique- Suite 1"); et nous en avons ici la confirmation par Mac Lane...

- De quoi parles-tu ?

- De la suite du texte : 

«This exhibits f as comparing the action of #T on the vertices Y with the action of T on X. This diagram is called commutative because (3) holds : Both paths from upper left to lower right have the same result. This example (and many others like it) suggests a general formalization of the idea of comparing a transformation group H on a set Y with G on X: A map of (H, Y) to (G, X) is a function f: Y → X and a function # : G → H such that (4) commutes for every transformation T in G. In case this f is an injection (as in the case above), the equation (3) shows that giving f (giving the labels of the vertices) completely determines #. If moreover f is a bijection, it has an inverse f-I so that # can be described directly by :
#T= f-1•​​​​​​T​•f      (5) 
to find the permutation, label each vertex by f, look to see where the vertex goes, and read off its label (by f-I). 
This result does formalize the evident fact that the permutations of a typical set {1, 2, 3, 4} of 4 things represent also the permutations of any set of four things. Generally, if sets Y and X have the same cardinal number, by a bijection f: Y 
→ X, then the correspondence # of (5) is a bijection from the permutation group of X to that of Y. Note incidentally that # goes in the direction opposite to f
However, this notion of a map is a bit complicated. Moreover, it doesn't directly handle all the desired comparisons. Thus in (6. 1) the dumbell Y and the perimeter X of the rectangle clearly have the "same" symmetries, but there is no evident way to get a map f: Y
X to make such a comparison. Indeed, there is no such f -because the dumbell Y has a center point left fixed by all  the  motions  and  there is no such point on the perimeter  of the  rectangle. The two transformation groups in this case can at least be compared through some intermediary-mapping each (say) into a common (containing) such rectangle.» p. 22

Pour continuer dans notre lecture, il faut absolument arriver à ne pas lire cette formule (5) : #T= f-1•​​​​​​T​•f comme s'il s'agissait d'une séquence temporelle ! 

"To  summarize:  symmetry  forces  us  to  consider  transformation  groups, and even forces thoughts as to more abstractions from this notion.» p. 22

C'est le moins que l'on puisse dire ! 


Le 21/ 10/ 2022 :

8/ Groups :

Après avoir énoncé les 3 règles (transitivité, élément neutre et inverse) qui définissent la structure de groupe, Mac Lane enchaîne immédiatement sur le théorème de Cayley de cette façon : (Note 5)

«In every transformation group, composition has these properties, so every transformation group is a group. Moreover (and vice versa) Cayley's theorem asserts that every group G arises in this way from  a transformation group; just take the set X of points to be transformed to be the set G itself, while  each f in G is the transformation sending x in G  to  the product fx in G. But transformations are not the only sources of groups. With multiplication taken to be the product, the positive rational numbers or the positive real numbers or the non-zero complex numbers constitute groups. If addition is taken to be a "product", the real numbers (the instants of time) form a group, as do the ordinary clock hours  (12 = 0).» p. 23

Je l'interprète ainsi (sous réserve d'en discuter avec J.P. L. où toute autre oreille bienveillante) : nous parlons ici de la représentation d'un groupe, et donc, du passage dont nous parlions hier (e) :

choix de Tk 𓁝[α]𓁜  ensemble des T 𓂀
     
  [α]𓁜 actualisation de Tk 𓂀

Ce qui permet, en particulier pour les groupes finis, de comprendre qu'alors [α] est [⚤], et comprendre que tout groupe abélien (i.e.: commutatif) est représentable par

G = Zm1xZm2x...xZmk. (6)

- Tu nous récites ta leçon ?

- Non pas : Mac Lane n'a pas besoin de répétiteur ! J'essaie simplement de me faire à l'idée que la représentation d'un "groupe" se fait à partir de l'ensemble Z (les entiers relatifs); qui peut se construire à partir d'une symétrie élémentaire de N autour de zéro.

Or, nous avons vu que N+ peut se construire de façon immanente S↑ à partir de l'automatisme de répétition élémentaire [∃]⇅[⚤]𓁜.

Je parlais il y a 3 jours (f) de la contamination de l'imaginaire par les pensées d'ordre supérieur. Nous en voyons ici un exemple : Le concept Z est l'ultime avatar, le plus élémentaire, d'une recherche de symétrie qui est proprement le principe structurant de notre façon de penser, dont nous prenons conscience en mode ♡.

En ce sens, je vois Z comme l'ultime produit d'une démarche S↓, qui est balisée ici par Mac Lane dans sa façon de structurer son chapitre 1. En effet, il passe du concept de symétrie en 4/ à celui de groupe de symétrie en 7/ et à la question de la représentativité d'un "groupe", comme concept général, en 8/ à partir de Z (je schématise, bien entendu).

- Tu penses à Emmy Noether ?

- Ça me confirme en effet l'importance de son triptyque dans la formation de notre Imaginaire : les "objets" de notre attention ne sont que les produits de certaines symétries. Nous l'avions déjà repéré dans l'organisation du cerveau permettant la lecture (voir "Dehaene #3"). (Note 2)

D'ailleurs, à partir du concept de groupe abélien, Mac Lane ouvre en grand tout le champ mathématique, comme une Geisha son éventail !

«We will be concerned with the origins of this theorem in number theory (the multiplicative group of residues prime to m, modulo m), in topology (the homology group of a finite complex described in terms of Betti numbers and torsion coefficients). We are also concerned with the question of the proper generality of such a theorem (is it really a theorem about finitely generated modules over a principal ideal ring (Algebra, p.384)?). We are concerned with the additional concepts which such a theorem brings to attention-for example, the notion of direct product of groups and its eventual conceptual generalization to products of other types of objects (rings, spaces) and finally, to products of objects in a category (Categories Work, p. 68 or Chapter XI below).» p. 24

Vois-tu comment l'éventail s'articule autour de cette charnière qu'est la théorie des catégories ?

En ce qui concerne les groupes non-abéliens, nous arrivons à des considérations plus primitives encore, concernant le concept de symétrie.

«For non-abelian groups G there is no structure theorem as simple as (6). For example, the symmetric group on 3 letters {1, 2, 3} has order 6 but it is not cyclic nor is it a product of cyclic groups (though it does have subgroups of orders 2 and 3). For such non-abelian groups there are instead much deeper structural results (Chapter V). One may then ask why the very simple group axioms lead to such deep structure.
Return to the idea of comparing two groups. For the case of a bijection f: Y
→X which gives a map of one transformation group (H, Y) to (G,X) we used  # : GH  with
#T=f-1
T
for all T in G, as in (7.5). Then for any composite S
T in G one gets
#(S
T)=f-1(ST)f=(f-1Sf)(f-1Tf)=(#S)•(#T)
Thus arises the definition: for any two groups G and H a homomorphism # or b: G
H is a function assigning to each s in G an element bs in H in such a way that 
b(st) = (bs)(bt).   (7) 
(It follows that be=e and b(t-I)=(bt )-I.) If b is a bijection, it is called an isomorphism; hence the simple formulation of the answer to a question from §7: two figures have the same symmetry if their symmetry groups are isomorphic.
» p. 24

Là, il faut prendre le temps de s'exercer à manipuler tous ces résultats pour bien les assimiler (autrement dit "faire des mathématiques" comme on "fait de la gym"); mais ce n'est pas l'objet de cet article.

Je me bornerais juste à remarquer qu'en parlant de symétrie, nous nous exprimons par une différence "gauche-f-1 / droite-f", ce qui me conforte dans l'idée que toute la discussion est de mode ♢, comme nous l'avons déjà vu hier (g).

Autre point qui me rassure un peu sur ma propre aventure en mathématiques: Mac Lane marque bien l'apport d'Évariste Galois comme un tournant dans le développement des mathématiques.

« Our presentation implicitly argues that the notion of a group comes early (and  prominently) in the order of mathematical ideas. Historically, this was not the case. Geometry was treated by axioms and not via groups (as it might have been-see Chapter  III). Classification of crystals by their symmetry groups apparently was not developed till the 19th century. The first groups explicitly recognized as  such were permutation groups, and the first explicit use of group notions came with Galois (1832), who  used homomorphisms (i.e., normal subgroups) to prove theorems about the solution of algebraic  equations (Galois theory: §V.7). For the rest of the 19th century groups (usually described with confused definitions) were chiefly permutation groups. When Cayley defined an abstract group in 1852, nobody paid any heed. When he  repeated his definition in 1871 he found three  different groups  of order 6 (not two), because he failed to recognize an isomorphism Z6Z2XZ3. In 1905 Burnside published  a definitive  monograph  "Theory  of  Finite  Groups".  It  dealt  in  fact  with abstract groups,  but called them "groups of substitutions". That doubtless expresses the intuitive base for group theory.  It would  seem that only the 20th century saw the full utility of the notion that a variety of examples could be understood well by an axiomatic description of the concept.» p.25

En peinant dans mon coin à comprendre l'essence des travaux d'Évariste Galois, j'en avais déduit l'existence d'un niveau Imaginaire [#] caractérisé par une modification de l'automatisme de répétition, évoluant d'une succession temporelle (i.e.: ⇅) à une succession d'orthogonalités (i.e.: ⊥) que l'on repère dans ses extensions ou (sous-groupes normaux). Suite aux réflexions d'avant hier (f), il faudrait comprendre que cette extension au niveau [#] s'accompagne d'une ouverture en mode ♢ comme vu hier (e)!

Un autre sujet de méditation : l'évolution du sens de {*} en mode ♧ lorsqu'il devient domaine/ codomaine du monoïde •⟲ en mode ♢ (objet final de la catégorie Graphe).

«The axioms for a group provide a  pattern  for  other axioms of algebraic structure.  Instead of stating an axiom "there exists in G an element e such that  always  te=t", our  axiom  (ii)  has  specified  that the element  e  is "given".  Indeed  it can  be  "given"  as  a  function  e:  {*} → G  mapping  the one point set  {*}  into the element e of the set G.  Such a  function is a nullary operation (on the set G). Thus the group axioms provide three operations
c:  GXG → G,    e: {*} → G,    - 1:  G → G     (8) 
a binary operation (multiplication), a nullary  operation (unit), and a  unary operation (inverse). These operations are required to satisfy certain identities (1), (2), and (3) which can be regarded as identities between "composites" of the initial operations (8).»
p. 26

Je suis tenté de comprendre cette "opération nulle" e ainsi :

 élément neutre "e" défini relativement aux autres éléments ek=ke=k
ou relativement à  •: domaine = codomaine de 
𓁝[∃]𓁜  • 𓂀
fonction e ↑    
  [∃]𓁜 (*) 𓂀

Représentation qui a l'avantage de faire passer l'objet initial (*) vu "objectivement" en posture ex post 𓁜 en mode ♧ à une représentation "locale" (posture ex ante 𓁝), par rapport au contexte en mode ♢.

Mac Lane termine en insistant sur l'importance du concept de groupe :

«These and many other cases illustrate the general notion of an algebraic structure : A set X with nullary, unary, binary, ternary... operations satisfying as axioms a variety of identities between composite operations. "Universal algebra" is concerned with the general properties of such structure. There is also a "many-sorted" universal algebra for those structures involving more than one set. A  first example (two sorts) is a transformation group: A set X together with a group G of transformations on X. An even more decisive example is that of a ring R and a left module (§VII.11) over that ring. More recently, many-sorted universal algebra has proved useful in the computer science of data types.» p. 26


petite pause pour cause de balade 😀

La pose se prolongeant un peu, j'en ai profité pour lire " La bosse des maths" de Stéphane Dehaene. De fait les deux lectures s'enrichissent l'une l'autre, comme nous le verrons par la suite.


Le 10/ 11/ 2022 :

9/ Boolean algebra :

- L'idée qui fait son chemin en moi, après cette lecture de  " La bosse des maths" , c'est que :

  1. Notre "prise de conscience" d'un "objet" mathématique vient du rapprochement que nous ferions au niveau [♲]𓁜 entre une appréhension, disons "instinctive" de l'objet en question, en termes d'espace en [#]𓁜 et son expression linguistique (les mots pour le dire) en [⚤]𓁜.
  2. De plus la partie instinctive du processus se ferait à partir de "relations" entre objets ou parties d'objets, c'est-à-dire en mode ♢, quand son expression (vue comme une "performance" au sens de Chomsky) se ferait plutôt en termes d'éléments discrets en mode ♧.

- Autrement dit tu vois un schéma de ce type (h): 

        [♲]𓁜 𓂀
           
  [⚤]    𓁝[#]𓁜   𓂀
       
  [⚤]𓁜 [#]   𓂀

Mais quel rapport avec l'article sur l'algèbre booléenne ?

- Parce que la présentation classique de celle-ci, à partir des éléments d'un ensemble, me gène car je me mélange toujours les pinceaux avec les questions d'infini. (Note 6)

- Précise ?

- Il faudrait que j'en discute avec des matheux, mais enfin, prends la notion de "complémentaire" : x∈ ⌐S ⇔ non (x∈S). N'oublie pas que S est un sous-ensemble de X, avec donc x∈X. Maintenant prends N (ensemble des entiers naturels) comme sous-groupe S du groupe X=N. Quel est ⌐S ? Tu peux difficilement dire que c'est l'ensemble vide {∅}, puisque pour un S donné, tu peux toujours construire le suivant x+1 de x dans X quelqu'il soit. On pourrait convenir que ∞-∞=∅, mais ça ne saute pas aux yeux ! Il y a dans la construction même de N, une notion de "procédure", à partir du "successeur", qui me gène aux entournures...

- Je pense que nous y reviendrons en détail au chapitre XI.

- Oui, sans doute, mais tu comprends ma gène dans cette approche par les éléments, qui devrait être purement présenté ex post par le Sujet (i.e.: [⚤]𓁜) alors qu'en fait il y a dans l'écriture même de la définition du sous-ensemble S des éléments x de X partageant une certaine propriété H (une "compétence" au sens de Chomsky)): S = {x⎢x∈X et x possède H}.

  • un rapport local-𓁝/ 𓁜-global ; (i.e. : 𓁝x ∈ X𓁜)
  • une définition des éléments par un lien H qui les rassemble ;

Autrement dit nous aurions :

  𓁝x [⚤] X𓁜 H 𓂀
       
    [⚤]𓁜 x𓁜 S 𓂀

- Ce qui te conforte dans l'idée que la notion d'algèbre (au sens le plus général du terme) est de mode ♢ ?

- J'en suis d'autant plus convaincu que Saunders Mac Lane suit toujours son idée de "représentation", que nous avons caractérisée comme étant un passage ♢♧ :

«This subset [S] is sometimes called the extension of the property H, to emphasize the notion that differently formulated properties may have the same extension -and that Mathematics has to do with extensions rather than with meanings. This in turn involves the "extensionality" axiom for sets -that a set is completely determined just by specifying its elements.» p. 28

- Et que devient ton passage du continu [#] au discret [⚤] ?

- La façon qu'il a d'y venir est fort intéressante :

  1. Il commence par présenter l'ensemble des parties d'un ensemble d'éléments, sous forme de diagramme, ce qui lui permet d'introduire les notions d'objet initial (vide ∅) et final (l'ensemble X), en prenant X={1, 2, 3} comme exemple;
  2. Il s'affranchit de la notion d'élément pour définir les sous-ensembles :

«Diagrammatic presentation of an inclusion relation is suggestive. Thus the various inclusions of the subsets of a three-element set can be pictured by the rising lines in Figure 2, where the bottom symbol ∅ denotes the empty subset. The Boolean operations on subsets may be visualized in this figure. For example, the union  {1, 2} of the subsets {1} and {2} is the smallest subset which lies "above" both the subsets {1} and {2}; in this way it is the least upper bound, as defined in §4, of {1} and {2}. Generally, the union S⋃T of two subsets S and T of a set X has the properties
S ⊂ S ⋃ T,     T ⊂ S ⋃ T   (10),
S ⊂ R and T ⊂ R ⇒ S ⋃ T ⊂ R   (11) 
which state that it is the least upper bound of S and T in the partial order given by inclusion. In an  exactly dual way, the  intersection S⋂T is the greatest lower bound of the subsets S and T. In other words, both these Boolean operations can be described directly in terms of inclusion.

without any use of membership. In Chapter XI we will see further examples of sets treated without the use of elements. 
There are corresponding definitions for other inclusion relations. In general (and in view of diagrams like that above) a poset is said to be a lattice when it has a top element 1, a bottom element ∅ and when each pair of elements have a least upper bound (called their join) and a greatest lower bound (called their meet). The lattice of subobjects of an algebraic object is a way of describing some of the structure of that object.
» p. 29

- Autrement dit, ce diagramme, qui représente les relations entre éléments est typiquement de mode ♢ ? (Note 6)

- N'est-ce pas évident ? De plus, cette Figure 2 est une représentation spatiale en [#]𓁜 de liens entre sous-ensembles dont la signification est à rechercher en [#]𓁜 (sans la notion d'élément, on en reste à celle de parties# S et T d'un tout X avec la notion de continuité).

- Bref, ça te conforte dans ton idée du schéma (h) ?

- D'autant plus qu'avec ces notions de "join" et "meet" tu retrouves la structure intime des réseaux neuronaux tels que Stalinas Dehaene les décrit dans ses deux bouquins !

 


Le 30/ 11/ 2022 :

10/ Calculus, Continuity and Topology :

- Saunders Mac Lane revient au point de départ, à savoir, le mouvement, je te le transcris ici parce que c'est intéressant à analyser :

"Many  notions  besides  those  of  transformation  groups  arise  from  the mathematical  analysis  of  motion.  The  complex  motions  of  the  planets and  the  varying  velocities  of falling  bodies  suggest  the  idea  of "rate  of change" :  Velocity as rate of change of distance or acceleration as rate of change of velocity." p. 29

- C'est assez banal, non ?

- Remarque de quelle façon il parle de l'accélération : "Velocity as rate of change of distance or acceleration as rate of change of velocity". Il fait explicitement le parallèle distance/ vitesse et vitesse/ accélération, autrement dit, il y a ici une répétition, qui n'est pas d'ordre temporel, mais géométrique...

- Je ne comprend pas ?

- Ça concerne la façon d'appréhender le temps. Souviens-toi de nos difficultés à entrer dans le raisonnement de Lagrange (Note 7):

  • La vitesse est très primitivement définissable en [∃][⚤]𓁝⇅𓁜 avec:
    • un temps comme principe diachronique (entre [∃] et [⚤]) repéré par ⇅
  • La variation de quantité de mouvement (mv) au niveau [#] avec à ce niveau,
    • un temps considéré comme une dimension synchronique, continue et orthogonale aux dimensions d'espace (orthogonalité se marquant par 𓁝⊥𓁜 )

Eh bien dans sa formulation, l'auteur évite très soigneusement de considérer l'accélération comme la dérivée seconde de l'espace par rapport au temps (i.e.: dx/dt2) qui pose un problème redoutable quand à la définition du temps lui-même (une première fois en [⚤] et la seconde en [#]), pour insister sur la répétition d'un mouvement :

  • Le premier saut ([⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓁜⏩[⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓁜⏩[⚤]𓁝𓁜[#]𓁜)𓂀 avec la notion de successeur qui passe de N+ à R et la vitesse comprise comme orthogonale à R en [#]𓁜 (et plus fondamentalement le concept de quantité de mouvement mv en [#]𓁜); avec l'idée de différentielle totale du temps ou "d.../dt"
  • Le second est une itération, non plus de type temporel, mais spatial (portant sur des orthogonalités) dans une répétition du retournement autour de [#] :  (𓁝[#]𓁜)1(𓁝[#]𓁜)2)𓂀 avec la notion de dérivée partielle "∂.../∂t", que l'on retrouve dans  ∂mv/ ∂t.

- Tu compliques à plaisir ce qui paraissait si simple.

- Non, au contraire, je te montre que la façon qu'a l'auteur de comprendre le mouvement, se retrouve primitivement dans toute la physique, et est donc, comme il l'exprime ici, accroché au plus profond de notre façon de comprendre le mouvement, avec une différence fondamentale entre "d.../dt" et "∂.../∂t".

- D'accord, mais en fait, Saunders Mac Lane veut surtout faire le lien entre "différentiable" et "continu" :

«These ideas were codified in the notion of the derivative, subsequently formalized (Chapter VI) in the rigorous foundation of the calculus, as based on the axioms for the real numbers. This uses the definition of the derivative by means of limits and thus the consideration of a class of "good" functions - those which are differentiable. As a first example of this circle of ideas, we examine here another good class - the functions which are continuous.» p. 29

- Où tu vois comme moi que notre niveau [#] est bien un noeud où l'on retrouve inextricablement mêlé :

  • Les nombres réels (R) ; (note 8)
  • La notion de "continu" ;
  • La dualité des postures 𓁝-différentiel/ intégral-𓁜 ;
  • La notion de limite avec un saut diachronique 𓁝/𓁜 (par exemple entre intérieur/ extérieur ou inclus/ exclu).

Au coeur de tout, Saunders Mac Lane définit très précisément la notion de continuité d'une fonction, d'une façon qui conduit à quelques commentaires : 

«All this (and we have telescoped a long and painful historical development) comes down to make the familiar (but meticulous) ε - δ definition of continuity: A function f : RR is continuous at a point aR if 
       
  For all real ε > 0 there is a real δ > 0 such that, for all x in R , (I)
          If  Ix-aI  <  δ , then If(x )-f( a)I  < ε.                                     (2)
If this statement holds for all points aR, the function f is called continuous; the class of all such continuous functions is called C. 
Note that the statement involves 

  • both propositional connectives ("if...then") and
  • the so called "bounded" quantifiers (For all real numbers, there exists a real number).

Thus it is that careful formulations lead to the use of concepts of formal logic. 
Topological and metric spaces arise from analysis of this definition of continuity. The inequalities used in the definition arise from ideas of approximation (approximations of the value b = f(a) to within the accuracy  ε) and so implicitly involve the open interval Iε(b) = {y I  Iy-bI<ε} of center b and "radius" ε. In the familiar representation of the function f by its graph (the set of points (x, f(x) in the plane), this open interval appears as an open horizontal strip of with 2ε around y=f(a) (Fig 1).

The definition is concerned with those points xR for which f(x) lands in this interval Iε(b)- this set of points is usually called the inverse image of I under the function f, in symbols : 
f-1I  =  {x I x 
∈ R  and f(x) ∈  I}. 
Indeed, if x
∈ f-1I (that is, if f(x0) ∈ I), then one can prove from the definition of continuity that there is an open interval (on the x axis) of center x0 wholly contained in f-1I. This amounts to the

Theorem : The function f: R R  is continuous for all aR  if and only if the inverse image f-1I of every open interval of R is a union of open intervals." p. 31

 

Il y a, bien entendu, avant d'en arriver à définir la continuité d'une fonction, toute une discussion concernant la continuité de R, qui nous ramène aux travaux de Cantor (voir par exemple cet article). Discussion qui nous amène par une voie ou une autre à la posture Imaginaire [#]𓁜. (Note 8)

Ce qui m'intéresse ici, c'est la possibilité de définir la continuité d'une fonction, autrement dit, d'accéder au niveau [#]𓁜.

- Il est vrai que tu as toujours été plutôt évasif à ce Sujet. Tu arrives à bien cerner les niveaux [⚤], [#], [♲] en mode ♧, mais restes souvent très flou à ce sujet en mode ♢, en particulier quant au niveau [#].

- Je crois que Saunders Mac Lane va nous aider à mieux cerner de niveau [#]𓁜. Il commence par faire une remarque, que je qualifierais de syntaxique 𓂀 lorsqu'il écrit :

"Note that the statement involves 
• both propositional connectives ("if...then") and
• the so called "bounded" quantifiers (For all real numbers, there exists a real number)."

La compréhension de l'enchaînement ("si... alors") me semble très primitif, temporel (et causal) [⚤]𓁜, de niveau [⚤] alors que le quantificateur "pour tout" ou ∀ dit "universel", me semble une considération syntaxique de mode ♡, qui va s'exprimer en mode ♢ et ♧.

- C'est pas très clair...

- Je te parle d'une piste à suivre, pas d'une réflexion déjà aboutie. J'ai utilisé le quantificateur "il existe" ∃ pour symboliser l'irruption du Réel dans l'Imaginaire, comme borne inférieur de l'Imaginaire [∃]𓁜, avec le Sujet dans une posture nécessairement ex post 𓁜. Maintenant, l'exigence universelle "pour tout" ou ∀ peut se traduire en termes topologiques d'appartenance à un "objet" (i.e.: définissable ex post 𓁜), autrement dit nous partons en mode ♢ d'une posture ex ante 𓁝.

- Autrement dit, la locution "pour tout..." implique 𓁝[α]𓁜 ?

- Exactement, et tu devines la suite : "pour tout... il existe" implique un changement de mode ♢↓♧ et plus précisément : 

𓁝[α]𓁜 𓂀
 
𓁝[α]𓁜 𓂀

- Si je te suis bien, car je commence à te connaitre, il s'agirait de construire un "carré commutatif" entre les 2 niveaux [⚤] & [#] des 2 modes ♢ & ♧ ?

- En fait, l'enchaînement des 2 mouvements "si...alors" et "pour tout... il existe" nous détermine déjà une voie entre [#]𓁜 et [⚤]𓁜

      𓁝[#]𓁜 "pour tout 𓂀
      ...  
  "si...alors" [⚤]𓁝⇅𓁜 [#]𓁜 il existe" 𓂀

Maintenant, avec cette idée derrière la tête que je te propose de lire la suite. Qu'est-ce qui te frappe au premier abord ?

- C'est que sa définition est particulièrement tordue !

- Précise en quoi elle te paraît tordue ?

- Il part de la fin, à savoir une donnée ε sur l'image des x par la fonction f, ou f(x), pour trouver un δ sur l'espace de départ de la fonction!

- Autrement dit, il n'est pas dans une pensée purement immanente S↑, mais c'est toi qui reste accroché à un mode de penser limité à la causalité élémentaire [⚤]𓁜, mon pauvre vieux !

Ne vois-tu pas que l'auteur commence par un choix ? Dire "Pour tout ε > 0" c'est partir de 𓁝[#]𓁜. Quant à l'universalité de ce choix, il tient à un réquisit de mode ♡. (Note 9)

- Cependant, en définissant la fonction f : x∈R→f(x)∈R, il y a bien un passage d'un mode objectif (x∈R en [#]𓁜) à la représentation de cette relation f en mode ♢, de cette façon : ♧↑♢, non ?

- Oui, et plus précisément en [#]𓁜, puisqu'il s'agit de définir des fonctions continues. Être en mode ♢ nous évite de définir le passage de x à f(x) comme une procédure pas à pas (qui resterait dénombrable et indéfinie par définition), puisque les espaces de départ et d'arrivée (ici R) ne sont pas dénombrables.

Autrement dit, tu retrouves une problématique ♧↑ff-1↓♧ (l'écriture fonctionnelle va de droite à gauche : f-1•f) dont nous avons déjà discuté, et me semble être au coeur de la topologie.

- Toujours est-il que tu as maintenant une définition de la classe des fonctions continues en [#]𓁜, à partir de la continuité définie pour R en [#]𓁜.

- Oui, et réciproquement, tu peux définir R en mode ♢ à partir de considérations topologiques, et t'affranchir de la nécessité de définir une "distance" en termes purement géométriques, comme pour la métrique ordinaire (théorème de Pythagore).


Le 01/ 12/ 2022 :

- J'avoue que la fin du paragraphe précédent est trop riche pour être commenté dans cet article. Mais comme il s'agit de l'introduction de Saunders Mac Lane, je pense qu'il nous donnera l'occasion d'y revenir en détails.

11/ Human activities and ideas :

- L'auteur nous offre le tableau suivant :

Il est, tu l'auras compris, dans une approche purement immanente S↑ de la construction de nos concepts, en partant de l'activité humaine, qui par la répétition, amène les idées, qui à leur tour, seront décantées pour amener à des formulations mathématiques.

Je ne vais pas ici argumenter contre cette approche, pour me concentrer sur la dernière colonne : celle des objets de l'attention du mathématicien.

- Tu ne vas pas tout passer en revue ?

- Pas ici, mais notre challenge, c'est de préciser pour chaque item dans quelle posture se tient le Sujet pour y penser, et, plus intéressant, par quels mouvements il peut passer de l'un à l'autre.

- Le travail est considérable !

- Oui, mais en remontant aux idées, puis aux activités qui les soutiennent, c'est déjà plus restreint. Et puis, l'observation des zones actives du cerveau dans telle ou telle tâche intellectuelle devrait également nous aider...

- Je croyais que les processus neuronaux n'étaient pas purement immanents ? (note 9)

- Certes, mais ce tableau nous montre comment Saunders Mac Lane organise son propre Imaginaire. À nous de voir si cela recoupe notre schéma de la structure Imaginaire, ou bien si ce tableau met en évidence une faille dans celui-ci. A priori, je ne décèle rien de cet ordre, mais gardons ce tableau en mémoire, afin d'y revenir à l'occasion.

Saunders Mac Lane termine en disant que certains concepts tels celui d'Ensemble", ont une origine plus complexe, résultant de réflexions mathématiques déjà élaborées. Ce qui nous renvoie au paragraphe précédent où il insistait déjà sur l'idée d'ensembles munis d'une structure... On voit que nous ne sommes pas loin de l'idée de "catégorie".

12/ Mathematical activities :

"The genesis of the more complex mathematical structures tends to take place within Mathematics itself. Here there are a variety of processes which may generate new ideas and new notions. We list a few of these processes in tentative form for further refinement after our more detailed studies." p. 36 

Voilà qui est intéressant, listons déjà lesdits processus mathématiques selon Saunders Mac Lane :

  • a/ Conundrum (énigme/ casse-tête)
  • b/ Completion
  • c/ Invariance
  • d/ Common Structure (analogy)
  • e/ Intrinsec Structure
  • f/ Generalization
  • g/ Abstraction
  • h/ Axiomatization
  • i/ Analyse of proof

Au premier coup d'oeil, tu remarqueras qu'il s'agit toujours d'un effort immanent S↑. Rien d'étonnant, après ce que nous avons déjà vu du principe d'universalité. (note 9)

Ensuite, nous avons déjà parcouru quelques pistes :

  • a/ Conundrum (énigme/ casse-tête) : nous renvoie à la forme canonique et la façon empirique de surmonter des contradictions logiques;
  • c/ Invariance : c'est une réquisition de haut niveau (avec le triptyque de Noether en [♲]𓁜;
  • d/ Common Structure (analogy) : nous renvoie aux discussions sur identité/ idempotence;
  • g/ Abstraction : c'est, en son essence, le passage d'un mode au suivant (♧↑♢↑♡);
  • h/ Axiomatization : c'est, en mode ♡, toute la démarche de Hilbert, reprise par Bourbaki et ici par Saunders, qui d'ailleurs termine son chapitre là-dessus, au paragraphe suivant.
  • i/ Analyse of proof : c'est l'orthographe et la grammaire propres à chaque mode (♧, ♢, ♡).

- Et si tu revenais au texte ?

- Je ne relèverai que quelques traits intéressants :

a/ Conundrum (énigme/ casse-tête)

L'auteur prends l'exemple de la conjecture de Fermat, comme ferment intellectuel, qui conduira au concept d'idéal", il y reviendra au chapitre VI. Il prend également l'exemple des travaux d'Évariste Galois, ce qui me conforte dans l'idée qu'il s'agissait effectivement d'une percée intellectuelle fondamentale (avec le passage au niveau [#], prélude au développements de la topologie et du mode ♢).

«Our presentation has in effect argued that the notion of a group could have arisen otherwise-but in historical perspective the solution of different Mathematical problems is a vital element in the progress of the science (and is often viewed as the characteristic aspect of that science).» p. 37

b/ Completion

Le besoin de "compléter" : à partir du décompte élémentaire, vient l'idée de "successeur", puis de l'indéfini (avec n+1), ensuite, avec la division, l'idée de Q (par exemple 2/3) pour "compléter" N, et R, pour "compléter Q, et C, pour "compléter" R etc... On peut y voir un effort pour "clore" l'Imaginaire, dans un passage (𓁝[α]𓁜⏩𓁝[α]𓁜𓂀

c/ Invariance

Il s'agit de l'invariance de l'objet, malgré les changements de repères utilisés par le Sujet. L'auteur prend ici des exemples simples tournant autour des espaces vectoriels, définis sur une base donnée, mais le sujet est plus vaste et nous l'avons reporté jusqu'en [♲]𓁜, avec le triptyque de Noether.

d/ Common Structure (analogy)

Il s'agit de recherche une communauté de structure derrière une variété de formes. Saunders Mac Lane reprend son exemple précédent concernant la structure d'espace vectoriel, commune à de nombreuses applications (géométrie ou fonctions).

e/ Intrinsec Structure

L'idée est de retrouver, sous une multitude de formes différentes, une structure commune. Par exemple, le fait que des métriques différentes puissent offrir la même structure topologique.

f/ Generalization

Le point intéressant me semble être celui du "passage à la limite" :

  • dans le mouvement 𓁝[α]→[α]𓁜, avec une fermeture Imaginaire par une limite telle que le vide ∅ ou l'infini ∞.
  • dans le mouvement 𓁝α↑𓁜β, il s'agit plutôt de s'enfoncer dans l'Imaginaire : passer de l'objet, aux relations entre objets, puis à la syntaxe de ces relations.

g/ Abstraction

Saunders Mac Lane prends l'exemple du passage des "groupes de symétrie" à la notion de "groupes". Ceci s'articule mon sens  entre les modes ♢ & ♧, avec l'idée de "représentation" (l'inverse de l'abstraction) d'une relation entre objets.

h/ Axiomatization

«This process typically asks : Given a long list of "all" the theorems on a given topic, can one deduce them all from a suitable shorter list-a list which will then constitute the axioms for that topic. The right choice of axioms can lead to great insight and better understanding.» p. 39

Il s'agit typiquement d'un effort pour passer d'un ensemble de "performances" au sens de Chomsky à une "compétence", autrement dit d'un effort syntaxique, et du passage en mode syntaxique ♡.

Le "bon choix" répondant à une exigence de simplicité et d'universalité, de niveau [♲]𓁜.

i/ Analyse of proof

«... At the end of our study of structure, we will return to a more detailed examination of these processes, internal to Mathematics, for the generation of new notions. They play a role counterpuntal to the input of problems from the sciences outside Mathematics. Both are accompanied by the continued search for deeper properties of the notions already at hand.» p. 39

Je propose d'y revenir ultérieurement, en suivant l'auteur.

13/ Axiomatics structures :

L'auteur termine son introduction, en précisant son engagement dans une démarche axiomatique :

« In the next three chapters we will indicate how number, space, and time can be described by axioms; that is, by axioms for the natural numbers, the Euclidean plane, and the real line which describe these structures uniquely. In classical terminology, these axiom systems are categorical, in the sense that any two "models" of the axioms, taken within an inclusive set theory, are isomorphic-as in the case described in §4 for the reals (we will also note another "first order" version of these axioms where there can be non-isomorphic non-standard models). Thus these structures are closely attached to the traditional view that (say) the axioms of Euclidean geometry describe one specific object-physical space.[...]
Nevertheless, this chapter has started from the conventional idea of Mathematics as the science of number, time, space, and motion, to go beyond these topics to related more general formal notions of cardinal number, permutation, order, transformation, group, and topological space. Mathematical experience, as suggested in our subsequent chapters, shows that each of these notions plays a basic role in Mathematics. We have deliberately put them first to let the reader judge their importance. This does not  mean that they need be prior to the classical description of number and space, but simply that they appear in parallel to these classical notions.
The linear order of a book does not allow the actual presentation to be in parallel.» p. 41

 Je le cite assez longuement pour montrer que l'on peut y retrouver l'image qu'Alain Connes offrait d'une "scène" où se représente (le modèle) ce qui se déroule dans les coulisses. (voir "À l'ombre de Grothendieck et de Lacan")

- Ouf ! J'ai cru que tu n'en viendrais jamais à bout. Article commencé le 18/ 10 et publié le 01/12, avec entre temps 4 articles nés des réflexions de cette lecture de Saunders Mac Lane ! (Note 10)

- Oui, j'espère que la lecture des chapitres suivants n'apportera pas autant de réflexions, et remise en perspective, si ce n'est remise en cause, de ma propre démarche !

 Hari

Note 1 :

Je crois que l'on pourrait pousser d'un cran en mode ♤ en comprenant l'équivalence de structures entre champs totalement différents grâce aux "ponts" d'Olivia Caramello, sous forme de topos de mode ♡, dans un mouvement ♤↓♡↑♤...

Note 2

En ce qui concerne notre écriture glyptique, ces réflexions (si je puis dire) m'obligent à revenir sur la posture 𓁝[⚤], qui reste toujours comme un poil à gratter dans ma représentation générale.

J'ai dis jusqu'à présent que ce devait être la conséquence discrète de la prise de conscience de lui-même par le Sujet lors de l'expérience du miroir, en 𓁝[#], dans un processus transcendant S↓ (ou régressif): 
(𓁝[⚤]𓁝⇅𓁜[#] ⏩𓁝[⚤]𓁝⇅𓁜[#]⏩𓁝[⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓂀

Mais nous pourrions discuter du mouvement suivant : 

  𓁝[⚤]𓁜 Concept de symétrie 𓂀
     
-n symétrique de n 𓁝[⚤]𓁜 n ∈ N 𓂀

Il faudrait reprendre l'historique de l'introduction des nombres relatifs pour trancher.

A priori, compte tenu de l'introduction tardive des nombres négatifs dans nos divers cultures, alors que la phase du miroir est déjà là, chez les primates supérieurs, mon récit  (...)𓂀 me semble aussi capillo-tracté que la fable freudienne de la "tribu primitive".

Je me demande même, de façon plus radicale, s'il ne faut pas supprimer cette posture 𓁝[⚤], et ne voir en [⚤]𓁜 que la possibilité de construire un "ensemble".

En ce sens le concept de groupe ne serait que de mode ♢, et donc toute l'algèbre et ce qui s'en suit.

Le mode ♧ serait alors pleinement "objectif", avec en dernière étape avant le contact du Réel, le concept de "temps", comme résultant de la prise de conscience de l'automatisme de répétition [⚤]𓁜...

- Attention, tu es en train de tout détricoter : que fais-tu de l'objet discriminant de la catégorie Ens (i.e. avec la nécessité de la posture 𓁝 à partir de 𓁝[∅])?

- Il faut sans doute prendre en compte le fait que nous parlons d'un Imaginaire actuel, et donc que sa structure elle-même a sa propre histoire... Après tout, nous avons déjà vu que l'objet initial [∅] n'a pas toujours été le vide ∅, en particulier dans les sociétés Occidentales !

À méditer.

Note 3 :

Voir "Aspects de la géométrie"

Note 4 : Relecture du 22/ 11/ 2022

Afin de terminer ce texte, je reprends ma lecture au point 6/ Symmetry et j'ai encore du mal à rendre "évident" pour moi le passage [⚤]↓[⚤]♧ (voir la discussion identité/ idempotence ici) qui revient dans ce schéma : 

choix k 𓁝[α]𓁜
𓂀
   
  [α]𓁜 actualisation k 𓂀

- Et qu'est-ce qui te perturbe donc tant ?

- Lorsque j'ai écrit :

  • En mode ♧ : les formes;
  • En mode ♢ : les fonctions;
  • En mode ♡ : les équivalences entre fonctions.

- Tu parlais hier (c) d'objectivation d'une potentialité en mode ♧ ?

- Oui, nous avons vu que l'on pourrait schématiser cette objectivation ainsi : (e)

  choix de Tk 𓁝[α]𓁜  ensemble des T 𓂀
       
    [α]𓁜 actualisation de Tk 𓂀

J'ai instinctivement l'idée que les "formes" dont je parle sont plus "proches" du Réel que l'ensemble {1, 2, 3, 4} des étiquettes que je colle dessus pour les repérer, quand ma représentation de l'Imaginaire nous dit le contraire :

[∃] [⚤] [#] [♲] 𓂀
[∃] [⚤] [#] [♲]   𓂀
[∃] [⚤] [#] [♲]   𓂀

En fait de forme élémentaire au niveau [⚤], je n'ai que des chiffres (les étiquettes). Pour reprendre ma métaphore de la porte et de son ombre, ce sont des "objets", vus comme "quantités conservées" malgré leurs déformations ou effets de perspective, dont passés par le filtre du niveau [♲], et donc plus complexes que les éléments 1, 2, 3, 4.

Je ne raisonne qu'à partir d'étiquettes, de mots, de labels, et ce qui "fait" le Réel, c'est bel et bien le trauma qu'il provoque en moi, lorsqu'il perturbe ma collection d'étiquettes, ou plus encore, lorsque je n'ai plus les mots pour l'identifier (par exemple lorsqu'en Namibie le linguiste Jules Davidoff perturbe des Sujets de la tribu Himba, en leur présentant un tableau de couleur bleue au milieu d'une collection de tableaux de couleur verte, parce qu'ils n'ont pas dans leur langue de mot désignant le bleu).

- Mais où veux-tu en venir ?

- Après ma lecture de Stanislas Dehaene (voir "La bosse des maths"), il apparaît que les quantités et les chiffres sont codés dans le cerveau très précocement, dans le même temps que s'effectue le repérage des visages et des objets, avant la recherche linguistique d'un mot pour les identifier. En particulier, les chiffre 1, 2, 3 sont "compris" par les animaux supérieurs, comme les chimpanzés.

- Et ?

- Et bien ceci vient à l'appui de ma présentation du contact au Réel : [∃][⚤]𓁜, avec l'idée de la construction de N+ dans les strates les plus élémentaires du cerveau (i.e.: en [⚤]), en première ligne pour décrypter le Réel. Et du même coup, cela renforce également l'idée que les ensembles X et Y sont "idempotents" au regard de cet ensemble très rustique (1, 2, 3, 4). Vois-tu l'inversion de la posture par rapport au Platoniciens ?

- Pas trop...

- Mais si :

  1. Le nombre est au plus proche du Réel [∃][⚤]𓁜, codé dans notre cerveau qui s'y est adapté au cours de son évolution, et non pas élaboré à partir d'un principe unitaire, transcendant notre nature humaine, et soumis à la loi divine 𓁝[♲][1]☯ ;
  2. Par contre les "objets" de notre attention, eux, sont culturellement déterminés, qu'il s'agisse d'un "carré", d'une "porte" ou de la "couleur bleue";
  3. Dès que l'on considère les "objets" par leurs relations, nous sommes de facto en mode ♢, et donc ils sont "idempotants" au regard d'une permutation sur l'ensemble (1, 2, 3, 4) en [⚤]𓁜, comme l'indique notre schéma.

Autrement dit, le concept Platonicien d'un monde des "idées" accroché à un principe unitaire nous induit en erreur car nos pensées les plus élémentaires sont déjà là pour nous aider à crypter nos expériences du Réel et leur donner un sens.

- Mais n'est-ce pas le principe de la réminiscence, reporte-toi au dialogue de Ménon et Socrate.

- Non, non et non ! Le point fondamental est que Socrate pense à l'autre comme un élément𓁜, un individu séparé et semblable aux "autres (comme les abeilles dont il parle à Ménon), fait d'une substance que l'on peut façonner par des idées issues d'un monde idéal, coupé du Sujet, dans un récit limité à (...)⇅𓂀. Mais si tu veux passer au mode topologique  (...)𓂀, il faut raisonner en termes de 𓁝partie et de tout𓁜. La capacité à évaluer des quantités est primitive et nous permet de donner sens à nos expériences du Réel, et ne vient pas d'un principe exogène au Sujet.

- Cependant, l'esclave arrive bien à retenir la leçon de Socrate et à calculer correctement la surface d'un carré alors qu'instinctivement il n'y arrivait pas.

- Mais c'est un acquis culturel assis sur une même compréhension, là encore culturelle, de la logique du premier ordre, et non une "redécouverte" d'un principe idéal. À une autre époque, Einstein pourrait lui démontrer qu'une aiguille est plus longue que le tunnel qu'elle traverse à la vitesse de la lumière, ou que le temps s'écoule plus vite à tes pieds que dans ta tête à cause de la gravité... Autrement dit notre Monde aurait une géométrie de Minkovski, non Euclidienne, où le calcul de Socrate n'est pas une vérité absolue mais relative.

Vois-tu la bascule ?

Dès que tu passes en mode ♢, tu es dans une logique intuitionnisme et le concept de causalité propre au mode ♧ et à la logique du 1er ordre, n'a plus de sens, et du même coup la distinction entre immanence S↑ et transcendence S↓ n'a plus lieu d'être : nous sommes de facto dans le 3ème entendement de Spinoza, qui conjoint les deux S↓↑. Il n'y a pas plus de réponse pour trancher entre Aristote et Platon que de réponse à la question de savoir qui est premier de la poule ou de l'oeuf: ce ne sont pas des éléments indépendants, car ils sont parties de la même histoire.

Note 5 : Relecture du 22/ 11/ 2022

Cette notion d'inversion , quand le temps basé sur l'automatisme de répétition ne s'inverse pas en [∃][⚤]𓁜, montre bien que nous sommes ici dans le domaine du "possible" ou du rêve, comme si Alice pouvait traverser le miroir pour se retrouver dans son image "inversée", et donc de ce fait, en mode ♢. Autrement dit :

  • En mode ♧ : concepts d'ensemble, de successeur, de temps etc.
  • En mode ♢ : concept de groupe., de topologie etc.

- Et Z construit à partir de N ?

- Oui, j'ai toujours cette difficulté à trancher sur le concept de posture [∃]𓁝[⚤]​​​​. Je crois qu'il faut abandonner cette idée : Z doit être une construction de mode ♢.

Note 6 : Relecture du 30/ 11/ 2022

- Je ne devais pas avoir les idées claires ce jour-là ! 

- Et aujourd'hui ?

- Sans doute un peu plus : faire de l'algèbre sur des "parties" et non des "éléments" implique d'être en mode topologique ♢! Le passage de partie à élément entraîne toute la complexité de leurs rapports (l'élément est soit inclus, soit exclu ou encore sur le bord de la "partie" définie comme "ouvert" ou "fermé" avec implicitement une logique à 3 états).

- Sans doute, mais ce détour t'auras permis de prendre conscience d'une difficulté à définir l'infini. Mais je te l'accorde il faudrait parler en l'occurrence de "parties d'un ensemble" et non pas "d'éléments d'un ensemble"; mais alors c'est le terme "d'ensemble" qui deviendrait inapproprié, puisque qu'il est conçu originellement comme formé d'éléments.

- D'où l'intérêt de situer précisément le lieu d'où parle le Sujet !

- Effectivement. D'ailleurs, ce matin, en écrivant sur mon ardoise les propriétés de l'union et de l'intersection, j'ai été frappé par la géométrie, purement visuellle de leur écriture :

  union  𓁝/𓁜 intersection   
𓁝☯

SS⋃T

T ⊂ S⋃T

𓁝/𓁜

T⋂S ⊂ S

T⋂ST

☯𓁜
𓁝☯

S  ⊂ R

⇒  S⋃T ⊂ R

T ⊂ R

𓁝/𓁜

                 R ⊂ S

R ⊂ T⋂S    ⇐

                        R ⊂ T

☯𓁜

Vois-tu, comme moi, de quelle façon s'introduit la différence de perception entre l'objet initial R (qui devient  ∅ in fine) vu ex ante 𓁝[∅], et l'objet final R (ici {1, 2, 3}) vu ex post 𓁜, et comment le concept d'union ⋃ reflète celui d'intersection ⋂, quand le concept d'inclusion ⊂ introduit une différence de point de vue gauche/ droite irréductible 𓁝/𓁜 ?

- C'est plus facile à suivre sur le schéma du graphe proposé par Saunders Mac Lane. 

- Oui ! Bien entendu, et tu constates à l'évidence que l'expression naturelle de la pensée est graphique#, dès que l'on aborde la topologie...

Note 7 :

Nous y sommes revenus de nombreuses fois :

Note 8 :

En parcourant l'article en question, je note qu'il y a deux façons d'aborder la définition de R :

  1. Soit à la façon de Hilbert en mode ;
  2. Soit à la façon de Bourbaki en mode .

Les deux sont bien entendu "axiomatiques" au sens de Hilbert.

- Tu peux préciser cette distinction ♢/♧ ?

- La définition de Hilbert utilise les concept d'ordre et de suite, autrement dit nous sommes dans un processus immanent S↑ dans la zone Imaginaire [⚤]𓁝⇅𓁜[#] en mode objectif , et un automatisme de répétition de type temporel ⇅, avec un "passage à la limite" dans le premier saut ([⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓁜⏩[⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓁜𓂀.

- La définition de Bourbaki est topologique (et donc en mode ♢), à partir du concept de "voisinage" d'un "point". Je pense que nous aurons l'occasion d'en reparler avec Saunders Mac Lane.

Note 9 :

Entre le début de cet article et mon écriture à ce moment-ci, j'ai été amené à préciser la notion d'universalité dans l'article "L'ontologie cul par-dessus tête". C'est encore schématique, mais ce que nous voyons ici précise un peu plus le tableau d'ensemble.

  • L'universalité est l'expression actuelle d'une pulsion unaire (𓁝[∅]𓂀, qui se définissait chez Platon par (𓁝[1]𓂀;
  • Cette universalité se décline en mode ♢ par une exigence portant sur les éléments et/ou parties (vues localement 𓁝) d'un "objet" quelconque de l'attention (vu globalement 𓁜). Cette "universalité" est une exigence de symétrie au niveau [♲]𓁜. L'objet en question correspond à la quantité conservée au niveau [♲]𓁜
  • Quant à l'indétermination qui accompagne symétrie et quantité conservée dans le triptyque de Noether en mode ♡, c'est précisément le choix du Sujet qui s'exerce en mode ♢.

Note 10 : Voir : 

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