Sur les traces de Lévi-Strauss, Lacan et Foucault, filant comme le sable au vent marin...
23 Août 2023
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- J'ai trouvé par hasard cette "photo" de deux photons intriqués, je ne sais trop sa valeur scientifique, mais il m'amusait d'y retrouver notre bon vieux symbole Yin—Yang, que je me suis permis de colorier en vert et rouge pour distinguer les deux postures du Sujet (☯𓁝/𓁜☯).
- Ça n'a pas grand chose à voir avec ton titre...
- Va savoir... Toujours est-il qu'après une bonne semaine à faire visiter Paris (au 15 août, on y circule comme dans un rêve), Strasbourg et Belfort à M., me voici de retour dans mes pénates, écrasé par une canicule m'éloignant des joies du jardinage...
Or donc, assis bien au chaud dans mon fauteuil, je me dis qu'il serait temps de passer de la cohomologie (voir ici) à ces fameux "faisceaux" auxquels Jean Leray avait pensé dans des circonstances bien moins estivales. Je surfe donc d'un doigt délicat sur le net, et trouve des vidéos tellement savantes, telles que cette conférence donnée par Jean-Pierre Serre, si ardue que je suis parti d'un éclat de rire tant je me sentait ridicule de vouloir encore à mon âge, y comprendre un jour quelque chose. Serre apparaît si à l'aise et maître de son discours, le fossé qui m'en sépare est si grand qu'il me désespère !
- Tu reviens trop souvent sur ton ignorance, en la sondant encore et encore au fil de ce blog... Je me demande si elle n'exerce pas sur toi une sorte de fascination, comme un vide en toi. Mais reprends-toi : tu n'as jamais voulu être mathématicien n'est-ce pas ?
- Certes non, mais je m'étais donné pour tâche de tester ma représentation de l'imaginaire sur leur façon de cultiver leurs terres, ce qui suppose à tout le moins une façon commune d'utiliser son cerveau, mais là, j'ai un doute... Après avoir ramé comme un malade pour me faire une idée de la cohomologie, je m'apercevois que j'ai à peine franchi la première marche...
- OK, mais pourquoi cet article de Pierre Cartier (à charger ici) a-t-il retenu ton attention, j'imagine que là encore, tu t'y es perdu ?
- J'ai été attiré par cette expression "folle journée", et puis l'espoir d'un lien à suivre pour aller de Grothendieck à Conne. Ce matin encore, je retrouve un article de Cartier au nom évocateur "Le pays dont on ne connait que le nom", peut-être plus accessible.
- Tu devrais y trouver un réconfort ! Car il définit ainsi la méthode Grothendieck :
"La méthode favorite de Grothendieck s’apparente à celle de Josué à la conquête de Jericho. Il faut emporter la place mais en construisant un système de sapes autour du problème ; et à un moment donné, sans qu’on ait vraiment à livrer bataille, tout tombe. Grothendieck, lui, est persuadé que si l’on arrive à une vision unificatrice suffisante des mathématiques, à pénétrer assez en profondeur l’essence mathématique et la stratégie des concepts, alors les problèmes particuliers ne représentent plus qu’un test que l’on n’a plus besoin de résoudre en soi." (ici)
- Tu as raison, soyons positifs, et pardon pour ce coup de blues. Ce qui m'a frappé dans "La folle journée", c'est la discussion concernant la dualité point/ espace.
"2. Sur la nature de l’espace et de ses points
Le problème central est celui des points de l’espace. Le débat remonte à Leibniz et Newton. Pour Leibniz, le constituant de toutes choses - matérielles et spirituelles - est fourni par les monades : celles-ci sont sans fenêtre - nous dirions sans structure interne - et seules comptent les relations qu’elles entretiennent entre elles. On croit reconnaître la première «définition» donnée par Bourbaki au début de son exposé de la théorie des ensembles :
1. Un ensemble est formé d’éléments susceptibles de posséder certaines propriétés et d’avoir entre eux, ou avec des éléments d’autres ensembles, certaines relations.
Dans ce point de vue ontologique, les éléments - ou points - préexistent et le problème est de les organiser - de les structurer. Du point de vue physique, on postule avec Newton l’existence d’un espace absolu, dans lequel se développent les phénomènes : les lieux sont prédéterminés, destinés à être habités par les accidents de la matière. Dans la philosophie de Mach au contraire, 1 espace est déterminé par la matière ; la forme mathématique la plus achevée est bien sûr fournie par les équations de la gravitation d’Einstein :
Rμν -1/2 gμνR=8πkTμν. (E)" (ici)
Ensuite, Cartier développe un peu cette équation, ce qui me demandera sans doute de reprendre ce que j'avais pu en dire il y a déjà quelque temps; mais ce n'est pas le principal, car il poursuit par :
"Pour Mach et Einstein, le point n’apparaît alors que comme un label permettant d’identifier un événement. La monade n’a pas de structure, le point non plus. Il en est de même de l’atome dans les premières conceptions; il est insécable, donc ne peut révéler de mécanisme interne, n’a pas de parties, mais cela ne l’empêche pas d’avoir des caractéristiques externes : une taille certainement, une forme peut-être. Pourtant, l’histoire de la physique nous a habitués à un jeu de poupées russes - la molécule du chimiste étant composée d’atomes, qui eux- mêmes possèdent un nuage électronique et un noyau, ce dernier composé de protons et de neutrons qui s’avèrent à leur tour être des assemblages de quarks, provisoirement insécables.
Sur le plan mathématique, la présentation moderne du continu suppose deux niveaux seulement :
Je le cite longuement pour montrer à quel point ces questions sont au coeur même du questionnement mathématique, ce que l'on retrouve d'ailleurs dans son autre texte, présentant l'enchaînement
SCHÉMA → TOPOS → MOTIF
comme au coeur même du travail de Grothendieck.
Je glisse (pour l'instant) sur tout ce qui est mathématique, pour ne retenir que cette trace de squelette :
Schéma :
"changement complet de paradigme ! Le point de vue central des mathématiques «modernes» est fondé sur la primauté des ensembles. Une fois acceptée l’existence des ensembles (simples «classes» ou «collections») et des constructions que l’on peut effectuer à partir d’eux (dont la plus importante est de pouvoir considérer les sous-ensembles d’un ensemble donné comme éléments d’un nouvel ensemble), tout objet mathématique est alors, en soi, un ensemble, et coïncide avec l’ensemble de ses points. Les transformations sont, en principe, ponctuelles. L’objet central des diverses formes de la géométrie (différentielle, métrique, affine, algébrique) est la variété au sens d’un ensemble de points. Et pour Grothendieck, le schéma est le mécanisme interne, la matrice qui engendre les points de l’espace." (ici)
Autrement dit, nous sommes ici dans un mode objectif ♧, à percevoir :
Topos :
"Au contraire des schémas, les topos réalisent une géométrie sans points. Rien n’empêche, en effet, de proposer un cadre axiomatique de la géométrie dans lequel on mettrait sur le même pied points, droites, ou bien encore plans... On connaît ainsi des axiomatiques de la géométrie projective (Georges David Birkhoff) où la notion primitive est celle de «plat» (généralisation des droites, plans...) et où la relation fondamentale est celle d’incidence : le point est sur la droite, la droite est dans le plan... En mathématiques, on envisage une classe d’ensembles (partiellement) ordonnés, appelés lattices, et à chacun de ces lattices correspond une géométrie." (ici)
Et là, comme par miracle, je retrouve les questions qui m'avaient tant perturbé durant mon apprentissage des maths (voir ici dans "cohomologie etc").
- Sauf que pour toi, le passage du point "•" à la droite — est plutôt celui des éléments des domaine & codomaine d'un morphisme à la flèche → dudit morphisme.
- Oui, il faudrait en discuter plus en détail. À mon sens :
- Ne fais-tu pas un contresens ? En parlant d'une géométrie "sans points", Cartan entend par là que l'on peut parler à la place de points d'autres "objets" tels que droites et plans ?
- Si l'idée fondamentale est bien celle "d'incidence", il s'agit bel et bien de définir les objets retenus par les rapports qu'ils entretiennent entre eux, et donc nous sommes en mode "relationnel" ♢, avec la possibilité, y compris au niveau élémentaire [⚤]♢ de distinguer local—𓁝[⚤]𓁜—global , en particulier avec la notion de groupe.
De toute façon, c'est une tautologie : si tu ne définis pas une objet "en soi", il faut bien le définir par les effets qu'il produit, soit directement "pour toi", soit indirectement comme cause d'une perturbation de ton environnement (prends l'exemple d'un trou noir).
- Comment comprendre "on envisage une classe d’ensembles (partiellement) ordonnés, appelés lattices, et à chacun de ces lattices correspond une géométrie."?
- Par un passage ♢↓♧, mais nous y reviendrons plus finement, en revenant à cette partie cruciale de la présentation concernant les "surfaces de Riemann étalées". Terminons pour l'instant notre tour d'horizon.
Motif :
"Il nous reste à apporter quelque éclairage sur les motifs. L’image que Grothendieck en donne lui-même est celle d’une côte rocheuse, de nuit, éclairée par un phare tournant qui dévoilerait alternativement une portion de la côte, puis une autre. De même, les diverses théories cohomologiques connues – dont les multiples qu’il a lui-même inventées – sont, ici, ce que l’on voit avant de devoir, ensuite, remonter à la source et créer le phare qui unifiera la représentation que l’on peut avoir du paysage. D’une certaine manière, la stratégie scientifique est, dans ce cas, l’inverse de celle qui était à l’œuvre dans l’univers des schémas." (ici)
Je pense que je vais en rester là pour l'instant : ma culture mathématique ne me permet même pas de savoir de quoi il retourne.
- Peut-être est-ce le domaine des "ponts" d'Olivia Caramelo ?
- Oui, pure spéculation : nous avions un rapport entre mode syntaxique—♡↓♢—relationnel, qui s'inverserait ensuite : pont—♡↑univers—♧ ? Un peu comme dans le rapport homologie—↓/↑—cohomologie ? Peut-être... Mais ces spéculations ne nous sont d'aucun secours pour l'instant.
Par contre, il me semble plus utile de revenir sur le développement suivant de Cartan, à propos des topos :
SCHÉMA → SITE ÉTALE → FAISCEAUX ÉTALES.
Le 28/ 08/ 2023 :
- Il me fallait du temps pour digérer ce que j'ai compris de la cohomologie et des surfaces de Riemann, d'où quelques réflexions liminaires consignées dans l'article "Répétition et création". J'espère ne pas être dans l'erreur, nous le verrons bien par la suite... Revenons donc à "ce pays dont on ne connait que le nom", en rembobinant le texte jusqu'à la présentation du programme de Grothendieck :
"Géométrie algébrique et géométrie arithmétique
Une fois cette période de «rodage» passée (1955-58) [i.e. l'algèbre homologique], Grothendieck énonce, en 1958, son programme de recherche : créer la géométrie arithmétique via une (nouvelle) refondation de la géométrie algébrique, à partir de la recherche de la généralité maximale, et en s’appropriant les nouveaux outils créés pour les besoins de la topologie déjà éprouvés par Cartan, Serre et Eilenberg. Il ose la synthèse à laquelle aucun des acteurs de l’époque (Jean-Pierre Serre, Claude Chevalley, Masayoshi Nagata, Serge Lang ou moi-même) ne s’est encore risqué, s’y jetant à corps perdu avec son énergie et son enthousiasme caractéristiques." (ici)
Si j'ai bien interprété la cohomologie ainsi que la structure d'un atlas maximum des cartes représentant une surface de Riemann, comme un saut de mode ♢↑♡ :
| H*/ Atlas maximum | [⚤]𓁜 | 𓂀♡ |
| ↑ | ||
| Hn/ Atlas | 𓁝[⚤] | 𓂀♢ |
à partir de considérations topologiques de mode ♢, alors, l'idée d'utiliser les produits de ces démarches de mode syntaxique ♡ à une "géométrie arithmétique", me semble être un retour direct de ♡↓♧.
- Autrement dit, dans une représentation de l'Imaginaire sur 3 modes ♧ ♢ ♡ (voir "Les 4 modes Imaginaires") Grothendieck cherche à définir la flèche rouge ⬂ de notre schéma ?
| Moebius 3 bandes | Coupe au niveau [⚤] |
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- C'est tout du moins l'idée que j'en ai hic et nunc.
- Bon, soit, mais si tu en arrivais à cette trilogie SCHÉMA → SITE ÉTALE → FAISCEAUX ÉTALES ?
- Relisons d'abord le paragraphe sur les schémas. Il y a, derrière ce que j'en avais déjà perçu, une seconde couche :
"André Weil, dans ses Foundations of Algebraic Geometry, avait appliqué à la géométrie algébrique abstraite (c’est-à-dire sur un corps quelconque, non nécessairement celui des nombres réels ou complexes) la méthode de recollement par cartes locales que son maître Élie Cartan avait utilisée en géométrie différentielle (après Carl Friedrich Gauss et Jean Darboux). Mais la méthode de Weil n’était guère intrinsèque, et Chevalley s’était demandé ce qui était invariant, dans une variété au sens que lui donnait Weil. La réponse, inspirée des travaux de Zariski, fut simple et élégante : le schéma de la variété algébrique est la collection des anneaux locaux des sous-variétés se trouvant à l’intérieur du corps des fonctions rationnelles. Pas de topologie explicite, à l’opposé de Serre qui, à peu près au même moment, introduit ses variétés algébriques au moyen de la topologie de Zariski et des faisceaux." (ici)
Après toutes les réflexions que nous venons de faire, avec le rapprochement entre cohomologie et surfaces de Riemann, dans ce passage ♢↑♡, je te propose cette interprétation du texte :
Je ne sais pour toi, mais j'ai enfin le sentiment de voir à peu près de quoi l'on parle !
- Oui, je vois bien la similitude avec la cohomologie... Reste à voir la suite.
- Je crois qu'à partir de cet "objet" de mode ♡, les développements ultérieurs sont strictement d'ordre syntaxique.
"Évariste Galois a sans doute été le premier à percevoir la polarité existant entre équations et solutions. On doit distinguer le domaine dans lequel on sélectionne les coefficients des équations algébriques (celui des constantes) du domaine dans lequel on cherche les solutions aux équations. Grothendieck en fera alors la synthèse en s’appuyant essentiellement sur la présentation conceptuelle de Zariski-Chevalley-Nagata. Les schémas sont donc une manière de coder les systèmes d’équations ainsi que les transformations qu’on peut leur faire subir.
La manière dont Grothendieck présente la problématique de Galois est la suivante :
Dans la théorie des schémas,
par conséquent, la donnée du corps de définition inclus dans le domaine universel correspond à la donnée d’un morphisme de schéma πT de T dans S. Une solution du «système d’équations» X, avec le «domaine de constantes» S, à valeurs dans le «domaine universel» T, correspond à un morphisme φ de T dans X tel que πT soit le composé de φ et de πX.
Admirable simplicité ! Point de vue d’une grande fécondité ! Mais, changement complet de paradigme !"
- J'avoue qu'à partir de là, je suis sec !
- Rien, pas une bribe ?
- J'ai le sentiment que l'on tourne autour de ce schéma, comme l'on tourne autour d'une surface de Riemann, en cherchant à la "représenter".
- Sauf qu'ici le choix d'un "corps de définition" S est global et non local (comme les ouverts sur la surface).
- On en revient à nos réflexions concernant des cartes étalées sur une surface qu'elles sont sensées "représenter", et leur collection sous forme d'un atlas dont on cherche la structure. Par similitude, je comprends la "recherche de S" comme l'extraction d'un atlas particulier de l'atlas maximum.
- D'où sans doute l'utilisation du symbole π pour "projection" dans π : X→S ?
- Gardons cette hypothèse pour l'instant. Si je comprends bien, tout schéma est doté, par principe, d'une structure d'anneau commutatif, ce qui nous ramène au H* de la cohomologie, aboutissement en ♡ d'une collection de Hn en ♢.
- Soit, mais il y a un distinguo entre schéma et spectre que je ne saisis pas très bien ?
- Sans plus d'information, j'ai l'idée a priori que le terme "spectre" doit être compris comme en musique, la restitution d'un concert en MP4 se fait sur une série discrète, ou "spectre" de fréquences.
- Autrement dit le "spectre" d'un schéma dépend du S choisi pour représenter X ?
- C'est la lecture la plus simple qui me vienne à l'esprit.
- Quid de l'homomorphisme de l'anneau A vers B ?
- Ça ressemble à la dualité que nous avons vue entre homologie et co-homologie, maintenant je ne sais pas trop comment situer entre eux les 4 pôles A, B, spectre de A et spectre de B... Je te propose d'attendre d'en savoir plus avant d'en écrire le schéma.
- Qu'est-ce qui te gène ?
- Jusqu'à présent je suis resté (toujours a priori) au niveau [⚤], et je me demande quand il nous faudra élargir au niveau [#].
En attendant, cette phrase "le spectre d'un corps a un seul point sous-jacent" me plonge dans un abîme de réflexions.
- Laisse-toi guider par ton écriture...
- Cela m'amènerait à écrire qu'en mode ♡, l'objet final serait un corps, en [∃]♡. Si je remonte la mécanique à partir de ce point de vue, le spectre est en [⚤]♡, et l'automatisme de répétition porterait sur le choix de tel ou tel spectre, se projetant en [∃]♡. Le pas suivant consisterait alors à inscrire les "schémas" en [#]♡...
- Tu les avais vus en [⚤]♡, juste quelques lignes plus haut...
- Oui, ça ne colle pas.
Le 29/ 08/ 2023 :
- Je ne peux pas avancer plus loin pour deux raisons, l'une, évidente, c'est mon manque de culture mathématique, mais l'autre est plus insidieuse : je n'ai pas encore les outils nécessaires à l'exploration du mode ♡.
- Autrement dit, non seulement tu ne sais pas, mais de plus tu ne peux pas apprendre ?
- Exactement.
- Que te manque-t-il ?
- Il me faut trouver sur quoi porte la répétition aux niveaux [⚤]♡ & [#]♡.
- Tu as portant situé assez vite des objets tels que H* et l'atlas général en mode ♡, non ?
- Certes, mais je n'en ai pas encore parfaitement pris conscience, il faut me représenter plus clairement ce que cela signifie.
Passer d'un mode à l'autre, c'est comme visuellement, passer d'une dimension à la suivante.
- Développe ta métaphore.
- Imagine-toi être un simple point P sur un plan (x,y), en train de décrire un oeuf, ou une sphère S3 par exemple. La séquence est la suivante : le plan (x,y) se déplace sur un axe z, à vitesse constante perpendiculairement à lui-même et "scanne" S3.
C'est assez facile de comprendre cette séquence comme un film en [#]♧. Mais c'est également une façon de représenter la collection des groupes de cohomologie Hn en [⚤]♢, comme des coupes d'un "objet" H* globalement visible en [⚤]♡.
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- Je te suis, d'ailleurs compte tenu du bouclage entre les trois modes, il y a une analogie entre :
- Et l'analogie tient dans le passage d'une collection de vues locales 𓁝, à une appréhension globale 𓁜 en ♡ de ce qui échappe en mode ♧ ou ♢.
- Soit, mais alors, sur quoi peut bien porter l'automatisme de répétition en mode ♡ ?
- Ah ! Nous y sommes. Du peu que j'entrevois il me semble qu'en mode syntaxique, ce qui nous préoccupe, c'est la structure du langage au-delà de ses divers avatars. Je repense au linguiste Luigi Rizzi (voir "L'Imaginaire du Sujet et son langage"), imaginant une "structure générale du langage" dont chaque langue serait une projection partielle. Je suis tenté de faire une analogie entre le choix d'une langue pour s'exprimer, et les choix que fait le Sujet en mode ♡ pour s'exprimer en mode ♢.
- Et dans le domaine des maths, cela te donnerait quels types de choix ?
- Nous en avons déjà rencontré quelques-uns.
Par ailleurs, et c'est explicite en cohomologie, pour s'exprimer en [⚤]♢, le Sujet doit faire le choix d'un corps de base G.
- D'acord, d'accord, le Sujet fait des choix syntaxiques ♡ pour s'exprimer et se représenter la structure des des objets en mode ♢, comme d'ailleurs les objets eux-mêmes en mode ♧, mais encore ?
- Derrière la variété de ces choix, il y a bien l'idée d'une permanence, d'un mode supérieur, autrement dit, nous ne pouvons pas échapper à une montée en mode ♤, pour donner sens à toute cette diversité.
- Oui, tu remontes d'un cran ce que nous venons de voir pour l'émergence des objets en mode ♡.
- Et l'objet en question serait en [⚤]♤ le "schéma absolu" dont parle Cartier.
- Ah je vois : tu décales tout d'un cran, et à l'apparition de H* en [⚤]♡ succèderait celle du schéma en [⚤]♤?
- Oui, le "schéma" serait comme l'ossature commune des langages chez Luigi Rizzi.
- Mais dis-moi, si tu fais entrer en scène le mode ♤, d'après ce que tu nous as dit des 4 modes, il faut changer la représentation topologique que tu nous fais de l'Imaginaire.
- Eh oui, j'en ai peur ! À peine nous sommes nous habitués à cette représentation sur un tore, qu'il faut passer à la bouteille de Klein...
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... Et tout reprendre à zéro...
- Aïe!
Le 02/ 09/ 2023 :
- Ouf, ce matin j'ai trouvé un cours de François de Marçais, du département mathématique d'Orsay : "Faisceaux" qui me semble abordable, avec un peu de concentration ! J'y retrouve cette problématique qui me perturbe tant du passage d'une représentation "à plat" (ou "étalée") à une représentation en "faisceau" comme un vecteur rapporté à sa base. Je vais prendre le temps de digérer tout ceci avant de poursuivre... Voir ici ma lecture commentée de l'article en question.
Le 29/ 11/ 2023 :
- Il m'aura fallu plus de trois mois pour enfin avoir une vision assez clair, quoiqu'encore très superficielle de ce qu'est un faisceau. voir "Faisceaux et cohomologie de Čech", après avoir abandonné en route la présentation de François Marçais pour suivre celle d'Yann Ollivier.
- J'espère que nous pourrons avancer et comprendre enfin cette "idée bébête" à laquelle faisait allusion Grotehndieck dans "Récoltes et semailles" !
Le 30/ 11/ 2023 :
- En survolant ce matin l'article de Pierre Cartier "La folle journée" qui a servi de prétexte à cet article, je m'aperçois qu'il me faut d'abord préciser le triptyque SCHÉMA → TOPOS → MOTIF présenté dans cet autre "Un pays dont on ne connait que le nom".
Je coupe donc cours à mes présentes divagations, pour me focaliser sur ce triptyque dans le billet suivant "Un pays dont on ne connait que le nom - Pierre Cartier".
Hari
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