Un pays dont on ne connait que le nom #1 Schéma - Pierre Cartier

- Cet article a pour objectif de situer le concept de "schéma" dans le triptyque :

• Schéma
• Topos
• Motif

que Pierre Cartier développe dans son article "Un pays dont on ne connait que le nom", en guise de présentation des travaux de Grothendieck à un public de non spécialistes, qui se retrouve dans un autre de Deligne "Quelques idées maîtresses dans l'oeuvre de Grothendieck". 

Je me risque à l'exercice, après avoir repéré dans mon schéma de l'Imaginaire le mouvement dual homologie/ cohomologie, ainsi que les concepts de faisceaux et préfaisceaux (voir "Faisceaux et cohomologie de Čech". ) Ce qui m'avait conduit à ce schéma :

𓁝[⚤]𓁜		𓁝	[#]	𓁜
ρUV  ⇆		U ⊂ V⊂			𓂀♢
φ ⇆	Homologie ←↓ Cohomologie ↑→	F (U)	↓	F
				X U

Tu remarqueras que nous ne sommes ici que dans un seul mode Imaginaire ♢, celui centré sur les relations qui s'établissent entre "éléments" (en [⚤]) ou "parties (en [#]) d'un "objet" sur lequel se porte l'attention du Sujet.

- Autrement dit, il reste à envisager les relations de ce mode avec les deux autres :

• Objectif ♧, avec le contact du Réel ☯, en deçà de l'Imaginaire du Sujet ☯[∃]𓁜 ,
• Syntaxique ♡, déterminé au plus haut par le Symbolique  ☯ du Sujet au-delà de son Imaginaire 𓁝[∅]☯.

Avec cette idée que le mode intermédiaire ♢ vient tardivement comme intercesseur entre les deux autres, plus primitifs. Schématiquement, tu identifies ce mode à l'introduction par Évariste Galois, de la théorie des groupes, plus centrée sur l'étude des mouvements (et donc du rapport du Sujet à l'objet) que des objets eux-mêmes.

- Oui, d'où ce schéma général représentant en couleur les effets de cette irruption dans un Imaginaire antérieur. (pour son aspect topologique, voir "Les 4 modes")

​Comme tu peux le voir en rapprochant nos deux schémas, les questions d'homologie / cohomologie s'articulent au centre du dispositif.

- Quid des niveaux adjacents [∃]^♢ et [♲]^♢ ?

- Jusqu'à présent nous avons différencié les deux modes ♧ & ♢ en les caractérisant par analogie avec ce qu'en théorie des catégories l'on nomme "objet initial" : 

• [∃]^♧ : caractérisé par le singleton (*) de la catégorie Ens (ou théorie ensembliste);
• [∃]^♢ : caractérisé par le monoïde •⟲ de la catégorie Graph.

En ce qui concerne le niveau [♲]^♢, il est un peu tôt pour nous y intéresser en détail, mais, à priori, c'est celui où le mouvement [⚤]⇆[#], se traduirait par la "conservation" de l'objet, autrement dit celui de sa mesure. 

Quand à l'objet initial, pour le prendre le plus général possible, je le caractérise par l'objet vide ∅ de la théorie des catégories.

On peut encore préciser les postures du Sujet par analogique avec le langage catégorique :

• En posture [α]𓁜 :
  • En mode ♧ est tournée vers l'objet final;
  • En mode ♢ est associée à une limite projective;
• En posture 𓁝[α] :
  • En mode ♧  est tournée vers l'objet initial;
  • En mode ♢ est associée à une limite inductive.

Maintenant que le décor est planté, l'exercice consiste à voir si  le triptyque Schéma→Topos→Motif  y trouve sa place naturellement, ou s'il me faut revoir ma copie.

Revenons au texte de Pierre Cartier :

"La méthode :
[...]
Toute sa [i.e. Grothendieck] stratégie scientifique est organisée autour de la progression de concepts de plus en plus généraux. L’image qui me vient à l’esprit est celle de ce temple bouddhiste que je visitai vers 1980 au Vietnam. Selon la tradition, l’autel était composé d’une série de gradins, surmonté d’une énorme figure couchée du Bouddha. Quand on suit le développement de l’œuvre de Grothendieck, on a, de même, l’impression d’évoluer graduellement vers la perfection. Les motifs représentaient pour lui l’étape ultime – et celle qu’il n’a pas atteinte. Il a, en revanche, franchi les deux étapes intermédiaires (schémas et topos)." 

Les Schémas :

Historiquement, il faut remonter à la notion de variété au sens où une fonction linéaire f(x) définit une courbe à 1D dans un espace à 2D (f(x);x). En suivant le fil, on en arrive à considérer qu'il s'agit d'une relation entre le niveau topologique [#] et le niveau algébrique [⚤].

Pour raccrocher ceci à ce que nous avons vu en homologie/ cohomologie, une variété S se présente comme la clôture en dimension Dⁿ, d'un espace topologique X de dimension Dⁿ⁺¹. Le passage [⚤]→[#]  s'exprimant comme un co-bord, c'est-à-dire une expression algébrique, dans un anneau, A en [⚤]. L'espace topologique Dⁿ⁺¹, est un espace fibré plongeant sur une base B. Cette base B se représentant sur un Corps k (par exemple ℂ).

- Les deux structures A et k sont bien toutes deux définies en [⚤] ?

- Oui, mais ne s'inscrivant pas dans la même démarche. Le corps k est lié à une représentation géométrique, l'anneau A est lié à la structure du faisceau F, c'est l'expression algébrique d'une restriction des possibles, permettant de concevoir notre "objet" X (pense au triangle impossible de Penrose).

Ensuite, en prenant un point de vue constructiviste, c.-à-d. en pensant l'espace X de dimension Dⁿ⁺¹ comme le produit d'un espace B et d'une structure d'anneau A, tu arrives à la notion de module d'anneau.

- J'ai du mal à visualiser...

- Imagine que ta base B soit un cercle et ta structure d'anneau A soit tout simplement une droite ℤ. Tu peux engendrer soit un cylindre (en translatant la droite autour du cercle), soit un ruban de Moebius (en y ajoutant une rotation d'un tour).

La question très générale qui se pose est de caractériser l'objet X créé de cette façon étape par étape, depuis des points de dimension D⁰.

[...]

Le 04/ 12/ 2023 :

- À partir de là, il faut bien reconnaître que j'ai décroché : trop d'ignorance de ma part, trop de vocabulaire à appréhender, et puis le sentiment que j'étais dans la mauvaise posture pour que "ça rentre dans les bonnes cases".

- Qu'as-tu en tête ?

- Souviens-toi combien je me suis débattu pour arriver à positionner correctement cette image d'une projection d'un espace X sur une base B, et articuler le Faisceau F  perpendiculairement aux passages Homologie _←^↓/ Cohomologie _↑^→ (voir le schéma ci-dessus).

Après m'être cassé les dents sur l'article de Cartier, je suis tombé sur celui de Deligne, tout aussi abscons à mes yeux, mais le passage suivant m'a arrêté : 

"L’audace de la définition de Grothendieck est d’accepter que tout anneau commutatif (à unité) A définisse un schéma affine Spec(A), i.e. de ne pas chercher à se limiter à une catégorie de "bons"  anneaux (intègres, réduits, noethériens,...). Ceci a un prix. Les points de Spec(A) (idéaux premiers de A) n’ont pas un sens géométrique maniable, et le faisceau structural O n’est pas un faisceau de fonctions. Quand on a à construire un schéma, on ne commence pas en général par construire l’ensemble de ses points. Plus important peut-être : le parti pris de bâtir une théorie relative, dont témoigne l’omniprésent

des exposés de Grothendieck. Le cas classique d’une variété définie sur un corps k devient le cas particulier S = Spec(k). Dans une théorie relative, avec un S-schéma X (= schéma X sur S), i.e. avec un morphisme de schémas f : X → S, on considère systématiquement le schéma X′ déduit de X par un changement de base u: S′ → S, i.e. le produit fibré X′ := S′ ×S X et sa projection f′ sur S′ :

Dans la catégorie des schémas, les produits fibrés existent toujours : si permettre que tout anneau commutatif définisse un schéma affine donne droit de cité à des schémas bizarres, le permettre fournit une catégorie de schémas ayant de bonnes propriétés." Deligne

C'est cette "omniprésence" du schéma de Grothendieck
f : X↓S qui m'a donné à réfléchir :

où est la nouveauté, dans cette figure qui ressemble tant à ce que nous avons vu à propos des recouvrements il y a belle lurette ?

Et ce matin, au réveil, as usual, je me suis dit qu'il fallait partir de l'idée que Grothendieck change de perspective :

il ne cherche pas à régresser en changeant de mode ♢↓♧ (comme dans un revêtement),
mais en changeant de niveau [⚤]←[#]. 

- Autrement dit, tu retrouves le schéma que tu avais délaissé (voir ici dans "Foncteurs cartésiens") ?

- Oui, et non : nous aurions deux postures différentes du Sujet, qu'il nous faut maintenant bien caractériser, pour ensuite tester nos hypothèses sur ce que les auteurs nous présentent.

Je vais articuler la distinction entre les deux postures autour de la nature du "point".

1/ Dans la perspective ♢↓♧ :

L'idée c'est de rapporter une description de mode ♢ à un "corps de base" k (généralement ℂ), en ne retenant de cette structure de ℂ donnée en [⚤]^♢, qu'elle est associée, primitivement, à la représentation du plan Euclidien en [#]^♧. Voyons cela à partir de la représentation du revêtement R : X↓B. Dans le détail on peut passer de : (Note du 12/12)

• La base B en [#]^♢ à :
• La représentation de B en mode ♧ par : en  [#]^♢↓[#]^♧;
• L'espace ramené à des points en [⚤]^♧←[#]^♧;
• Que l'on munie d'une structure [⚤]^♧↑[⚤]^♢;

- À quoi correspond ce "choix (1)" ?

- C'est celui du Sujet en mode ♡ d'attribuer à un espace de points ou ℝ², de mode ♧ une structure de corps en mode ♢. Choix qui se comprend mieux en repensant au bouclage de nos 3 modes Imaginaires :

2/ Dans la perspective [⚤]^♢←[#]^♢ :

• L'objet en [#]^♢ dont on va repérer la structure en [⚤]^♢ ne peut être que le Faisceau F précédent (en mode ♢ l'attention du Sujet porte sur les mouvements);
• Cette "structure" [⚤]^♢, en l'occurrence celle d'un anneau A, est faite de points (les idéaux) et de morphismes entre points.
• L'anneau est unitaire, comme le corps ℂ de représentation géométrique vue en 1/.

C'est à ce niveau que s'articule le changement de perspective concernant la nature du "point" !

En suivant l'évolution de ce "point", on passe de [#]^♢↓[#]^♧ (i.e. de l'espace topologique à sa représentation géométrique) à [⚤]^♢←[#]^♢ (du faisceau ↓ à sa structure algébrique ←).

Cette perspective nous permet alors de caractériser complètement les différents niveaux du mode ♢ par une métaphore catégorique :

• [∃] nous avons toujours notre monoïde •⟲ comme objet élémentaire de la Catégorie Graph;
• [⚤] nous avons une structure à base de morphismes et foncteurs soit :
  • les  S-schémas de X_⚤ : f : X_⚤↓S mais également; (corrigé le 11/12 voir ici)
  • l'objet discriminant en termes de logique;
  • le topos au sens de Lawvere;
• [#] lieu des espaces topologiques X_# fibrés X <=> Spec(A) et des faisceaux F :  X_#↓S;
• [♲] lieu du topos présenté comme l'association d'une catégorie et d'une topologie de Grothendieck (voir Laurent Lafforgue ici).
• La différence de postures 𓁝𓁜 s'exprime par une propriété universelle :
  • En 𓁝 en termes de limite inductive (exemple : X_#)
  • En 𓁜 en termes de limite projective (exemple : X_⚤)

On peut même aller un cran plus loin, en tentant de comprendre le niveau [∃] de mode ♡ de cette façon : si le passage [∃]^♧↑[∃]^♢ est caractérisé par le changement d'objet final (*)↑•⟲, on peut imaginer que l'automatisme de répétition porte sur l'élément nouveau, à savoir la flèche du morphisme ⟲, et donc que nous aurions un cône "•<", ouvrant ainsi sur des 2-catégories en mode ♡... (return)

- Là, tu pars dans les nuages, mon ami.

Le 05/ 12/ 2023 :

- Tentons d'abord de relire mot à mot ce texte de Deligne dans la perspective indiquée.

"L’audace de la définition de Grothendieck est d’accepter que tout anneau commutatif (à unité) A définisse un schéma affine Spec(A), i.e. de ne pas chercher à se limiter à une catégorie de "bons"  anneaux (intègres, réduits, noethériens,...). Ceci a un prix. Les points de Spec(A) (idéaux premiers de A) n’ont pas un sens géométrique maniable,"

Il faut bien situer cette épisode dans la saga topologique.

1. Dans un premier temps, il y a la cohomologie et les relations algébriques décrivant des "co-bords" qui sont vus comme des restrictions permettant de délimiter un objet de Dⁿ dans un espace topologique Dⁿ⁺¹.
   • Nous partons de la définition de groupes d'homologie d'objets topologique en [#]
   • Pour définir des groupe de cohomologie purement algébriques en [⚤]
2. Ensuite, on se dit, "Hé pourquoi pas définir en [#] des objets à partir de structures algébriques plus sophistiquées ?" Passons des groupes aux anneaux et construisons des objets en [#] (avec par exemple les opérateurs cup ⌣ et cap ⏜).
3. Il est alors évident que les espaces construits algébriquement auront une structure plus riche que toute représentation géométrique que l'on puisse s'en faire en passant directement de  [#]^♢↓[#]^♧.

- Cependant, sI je te suis bien, il n'y a plus de distinction de nature entre la base B d'un recouvrement X et la base S des formes linéaires structurant les faisceaux qui définissent ce même X ?

- Oui, c'est ce qui m'a fait choisir cette image des Dupondt perdant leurs repères lors du retournement de la fusée, pour illustrer mon propre flottement ! À l'atterrissage, je comprends la situation de cette façon :

	𓁝[⚤]𓁜			𓁝[#]𓁜		𓂀♢
		S	f    ←	↓F	X
	(*)	k	←

(voir "Géométrie arithmétique - analytique - Michel Raynaud")

À partir de là peut s'articuler toute une réflexion quant à la représentation géométrique de nos constructions en X...

- Tu peux préciser ?

- Reviens au bouclage entre modes. Si toute la construction Imaginaire se fait à partir de considérations de symétries en mode ♡, et que les représentations de mode ♧ sont limitées à des symétries "simples", comme par exemple dans la géométrie de Bachman (voir "Aspects de la géométrie"), alors il faut s'attendre à ce que des objets, définis en mode ♢ à partir de symétries autres, ne soient pas représentables, je pense en particulier au "spin" d'une électron, ou encore aux "saveurs" des quarks.

- Merci pour l'ouverture sur la physique, mais si tu revenais au sujet ?

- Une représentation géométrique passe par un corps k (typiquement ℂ) qui se réduit à des points en [⚤]^♢ parce que c'est un "bon anneau". Un anneau moins bon élève présentant la structure d'un faisceau en [#]^♢, n'a pas cet impératif , CQFD.

"Ceci a un prix. Les points de Spec(A) (idéaux premiers de A) n’ont pas un sens géométrique maniable, et le faisceau structural O n’est pas un faisceau de fonctions. Quand on a à construire un schéma, on ne commence pas en général par construire l’ensemble de ses points."

On avait établi d'instinct que la structure ne porte pas sur des fonctions (telles des cobords en cohomologie) mais sur des faisceaux. Notre schéma de l'Imaginaire rend ceci "visible".

 Plus important peut-être : le parti pris de bâtir une théorie relative, dont témoigne l’omniprésent

des exposés de Grothendieck.

C'était notre point de départ, je n'insiste pas.

  Le cas classique d’une variété définie sur un corps k devient le cas particulier S = Spec(k).

Ce serait ici le "point de bascule" dans mon schéma de l'Imaginaire, mais très sincèrement, je n'ai pas les moyens techniques de vérifier si ma représentation colle avec ce qui est dit.

- Il faudrait en discuter avec un mathématicien...

- On en revient toujours au même problème : je suis demandeur sans monnaie d'échange... Je dois donc continuer en balisant ici un obstacle, sur lequel il faudra revenir en fin de parcours, pour boucher les trous.

Le 06/ 12/ 2023 :

- Il faut bien avouer ma très grande frustration d'être incapable de comprendre sans ambigüité ces textes de Cartier et Deligne, il faudrait prendre le temps d'apprendre... En retournant sur le net, je trouve "Une introduction à la théorie des schémas" d'Antoine Ducros reprenant son cours de Master 2 donné à Paris 6 en 2013-2014. Je le cite :

"Son but est de présenter une introduction aussi auto-suffisante que possible à la théorie des schémas, qui constitue le socle du gigantesque travail de refondation de la géométrie algébrique accompli par Grothendieck et son école autour de 1960. Aussi allons-nous commencer par une description brève et volontairement assez vague de cette dernière discipline dans sa variante classique, c’est-à-dire pré-schématique."  p. 5

L'introduction "brève et volontairement assez vague", conduit à la table des matières suivante : 

Techniquement, c'est au-dessus de mes forces, et je suis prêt à jeter l'éponge : j'ai passé l'âge.

- Concentre-toi sur ton objectif qui est de vérifier si ton schéma de l'Imaginaire permet de situer de façon cohérente les concepts de schéma/ topos/ motif, par rapport aux autres concepts que nous manipulons; il n'a jamais été question de devenir matheux !

Vérifie simplement que tu ne dit pas de bêtises en employant un vocabulaire qui ne t'est pas familier.

- D'accord, on va picorer pour, au minimum, retrouver les termes qui ne me sont pas familiers, dans nos articles de départ.

Module :

"Soit A un anneau. Un A-module est un groupe abélien M muni d’une loi externe A×M→M satisfaisant les mêmes axiomes que ceux qui servent à définir les espaces vectoriels. Les sous-modules, les applications A-linéaires, les familles libres et génératrices, les bases, les supplémentaires... se définissent mutatis mutandis comme les objets analogues en algèbre linéaire." p. 25

Ici, la structure de base est calquée sur celle d'un espace vectoriel E sur un corps K présentant 

• une structure de groupe commutatif (E,+)
• une loi de composition externe à gauche , K x E→E  (multiplication par un scalaire).

L'image que j'ai donnée en introduction (ici):

Imagine que ta base B soit un cercle et ta structure d'anneau A soit tout simplement une droite ℤ. Tu peux engendrer soit un cylindre (en translatant la droite autour du cercle), soit un ruban de Moebius (en y ajoutant une rotation d'un tour).

est donc acceptable.

- Sauf que la structure de base est plus générale que celle de A. On ne lui demande ni une structure de corps K, ni d'anneau A, mais seulement de groupe abélien M. La construction de la géométrie à partir des axiomes de Bachmann offre cette simplicité (voir "Aspects de la géométrie").

- Dont acte.  

Dimension d'un espace vectoriel via les relations de dépendances abstraites : 

"Le but de cette section est de donner une présentation de la théorie de la dimension en algèbre linéaire différant probablement de celles que vous avez déjà rencontrées; elle repose sur une axiomatisation de la relation de dépendance linéaire, et a l’avantage de s’appliquer tout aussi bien à d’autres types de relations de dépendance, comme la dépendance algébrique que nous rencontrerons en théorie des corps. Cette approche axiomatique est la base de ce qu’on appelle aujourd’hui la théorie des matroïdes (que nous n’aborderons pas vraiment en tant que telle ici)." p. 28

Ce qui attire mon attention ici, c'est la définition d'une relation de dépendance, sur laquelle est fondée le rapport entre

• la dimension d'un espace, en [#],
• des relations algébriques en [⚤],

Et c'est intéressant car nous avons ici en bonus, une définition très profonde (ie.: en partant des Ensembles, nous sommes en mode ♧) du rapport entre élément—[⚤]^♧𓁜/𓁝[#]^♧—partie.

"Définition. Soit E un ensemble. Une relation de dépendance sur E est la donnée d’une relation ≺ entre éléments de E et parties de E sujette aux axiomes suivants :

1. si x∈S alors x≺S;
2. si x≺S et si s≺T pour tout s∈S alors x≺T;
3. si x≺S, il existe un sous-ensemble fini S′ de S tel que x≺S′;
4. si x≺S,si y∈S et si x≺(S\{y}) alors y≺({x}∪S\{y})." p.28

Ensuite, je te passe les détails pour arriver au :

"Théorème : Soit E un ensemble muni d’une relation de dépendance ≺.

• (A) Toutes les bases de E ont même cardinal; notons-le N.
• (B) Toute famille libre de E est de cardinal ≤ N ; si N est fini, une famille libre de E est une base si et seulement si elle est de cardinal N.
• (C) Toute famille génératrice de E est de cardinal ≥ N ; si N est fini, une famille génératrice de E est une base si et seulement si elle est de cardinal N.

Pour en revenir à notre schéma d'ensemble, nous retrouvons donc ici la possibilité de définir une "base" propre à un ensemble des relations algébrique, équivalent à la définition d'une "base" d'un espace géométriquement représentable. (voir module ci-dessus).

Je retrouve bien l'idée d'orthogonalité représentée sur le schéma :

	𓁝[⚤]𓁜		𓁝[#]𓁜	𓂀♢

remplacé par :

- C'est un peu ce que l'on avait dans l'idée en présentant l'inversion des postures 𓁝/𓁜 entre [⚤]^♢&[#]^♢, par une inversion de matrices, non ?

Oui, mais il est bon de le vérifier. Et tu vois ici que ça rejoint des considérations très profondes, ancrées en mode ♧, concernant le passage élément—[⚤]^♧𓁜/ 𓁝[#]^♧—partie.

- Tu en es à la page 28...

- Oui, je sais; je passe sur les rappels de la théorie des catégories —mon objectif étant de tout revoir en langage catégorique, une fois effectué notre petit tour de chauffe dans l'Imaginaire, en terminant par les topos— pour en arriver à l'algèbre commutative et un premier article :

Localisation :

"Soit A un anneau. Lorsqu’on se donne un sous-ensemble P de A, on sait construire un anneau «défini à partir de A, en décrétant que les éléments de P sont nuls, et en n’imposant aucune autre contrainte que celle- ci, et ses conséquences découlant de la théorie générale des anneaux» : c’est le quotient A/(P). Celui-ci est caractérisé par sa propriété universelle, c’est-à-dire encore par le foncteur (ici, covariant) qu’il représente.
C’est en fait une illustration d’un phénomène assez général : à chaque fois lorsqu’on veut intuitivement imposer une contrainte, et seulement cette contrainte, la construction rigoureuse qui répond à ce caprice s’exprime en termes de propriété universelle, ou encore de foncteur à représenter." p. 69

Voilà une remarque d'une portée extrêmement générale à reprendre en mode ♡. Nous sommes ici dans l'expression en mode ♢ d'une propriété universelle (i.e. ♡↓♢), à rapprocher du lemme de Yoneda (voir "Présentation du 12 juin"), qui définit la représentativité en mode ♧d'un foncteur par une propriété universelle (i.e.: ♡↓♧).

- Le rapport avec la localisation ? (il faudrait établir que les éléments P de A en ♢ sont représentables ♢↓♧ en bouclant les 3 modes ♡, ♢ & ♧)

- Si je comprends bien le sens du propos : le désir de "localisation" revient à se retrouver en un "point" de dimension 0D, que l'on pourrait sans doute rapprocher du théorème de Brouwer : sur une carte des environs, il y a un point sur la carte correspondant à l'endroit où je me trouve. La distance (en 1D) entre le point sur la carte et le point où je me tiens est nulle, que je fasse la mesure sur la carte ou sur le terrain.

- Reviens au texte.

- OK : le quotient A/(P) équivaut à une application A→P, ce P étant une partition de A. Tu retrouves une construction homologique où le point d'arrivée, vide, est l'image du noyau (Ker) de cette application. Il me semble que tout tourne autour des mêmes idées. Dans le théorème de Brouwer, la distance nulle de dimension 1D s'applique sur le point de contact de dimension 0D. L'expression a donc un sens topologique en [#] (vu ici), ainsi qu'une expression sous forme de propriété universelle (dans le texte) qui s'exprime également en [⚤]. 

Cette digression me permet de d'affiner notre caractérisation des niveaux du mode ♢ vu ci-dessus (ici):

• [∃] nous avons toujours notre monoïde •⟲ ... ;
• [⚤] nous avons une structure à base de morphismes élémentaires;
• [#] lieu des espaces topologiques;
• [♲] lieu du topos présenté comme l'association d'une catégorie et d'une topologie de Grothendieck (voir Laurent Lafforgue ici).

Ce qui est dit de la localisation ci-dessus, conforte notre a priori consistant à caractériser le niveau [∃] par le monoïde •⟲, en effet, cela revient à définir le point par une application, un mouvement du Sujet, et c'est l'essence même de ce monoïde qui définit : 

• le point • (dégénèrant en singleton (*) en mode ♧)  en association avec
• une action ⟲, purement de mode ♢.

Et donc, repérer un point en [⚤] consiste à l'identifier par des applications, ou morphismes, d'où l'écriture catégorique particulièrement adaptée à ce mode Imaginaire ♢.

En mode ♡ le niveau "algébrique" [⚤] semble n'utiliser que des transformations naturelles, d'où ma curiosité de voir si cela allait de paire avec la caractérisation de l'objet final par un cône "•<", comme je m'y avançais avant-hier. Je sais que c'est un peu mettre la charrue avant les boeufs, mais je n'ai pu résister à la tentation de faire une vérification vite fait en passant par ChatApp (désolé pour les puristes). D'où l'échange suivant (j'ai gardé le verbatim en Note 1):

"Q1 : peut-on considérer la catégorie des transformations naturelles comme une 2-catégories ?

R 1: Oui, la catégorie des transformations naturelles peut être considérée comme une 2-catégorie.
[...]
... où les objets sont des foncteurs, les flèches entre ces objets sont des transformations naturelles, et les morphismes entre ces transformations naturelles sont des modifications naturelles (c'est-à-dire des 2-morphismes).

Q2 : Un cône peut-il être vu comme objet final d'une 2-catégories ?

R 2: [...]
Un cône dans une 2-catégorie peut être vu comme un candidat pour un objet final, car il fournit des flèches uniques depuis chaque objet vers lui-même.
Cependant, il est important de noter que la notion d'objet final dans une 2-catégorie peut être plus générale, et il peut y avoir d'autres constructions qui satisfont les propriétés d'objet final.
En résumé, un cône peut être envisagé comme un objet final dans une 2-catégorie si ses propriétés correspondent à celles d'un objet final dans cette 2-catégorie particulière.

Q3 : Peut-définir une transformation naturelle à partir de cônes ?

R3 : [...]
... il existe une correspondance entre les transformations naturelles et certains cônes dans la catégorie des foncteurs, ce qui peut fournir une perspective intéressante sur la nature des transformations naturelles." ChatApp

Ça ne prouve rien du tout, et ce n'était pas mon but, mais retenons "qu'il n'est pas idiot" de caractériser ainsi nos premiers niveaux de mode ♡, pour s'en faire une idée en attendant mieux, bien entendu :

• [∃]^♡ par un "cône" •< comme objet final ;
• [⚤]^♡ le lieu où l'on s'exprime par des transformations naturelles entre foncteurs.

- Tu t'amuses on dirait, et si tu revenais à notre sujet ?

- Avoue que c'est élégant, non ? OK, je file directement au coeur de cet ouvrage sur les schémas en allant à:

Spectre d'un anneau :

Motivations et définitions :

(4.1.1) Soit A un anneau. La géométrie algébrique à la Grothendieck se propose de lui associer un objet de nature géométrique, en partant du postulat suivant, conforme à l’intuition provenant de théories classiques (géométrie différentielle, géométrie analytique complexe, géométrie algébrique au sens des articles FAC et GAGA de Serre...) : en géométrie, un «point» est quelque chose en lequel on peut évaluer des fonctions, le résultat étant à valeurs dans un corps.
(4.1.2) On décide donc d’associer à tout morphisme A→K, où K est un corps, un point de notre objet géométrique à construire – l’idée étant qu’on doit penser au morphisme en question comme à l’évaluation en le point correspondant.
(4.1.2.1) Mais il y a beaucoup trop de tels morphismes A→K, lorsque K varie (au point que ceux-ci ne constituent même pas un ensemble). Il faut donc en identifier certains pour obtenir un objet raisonnable. On décide ainsi que pour tout diagramme commutatif

les morphismes A →K et A→K′ définissent le même point. C’est naturel : il s’agit simplement de dire qu’on ne change pas un point en agrandissant artificiellement le corps sur lequel il est défini. Par exemple, l’évaluation P ⟼ P(0) est un morphisme de ℝ[T ] dans ℝ ; on peut toujours s’amuser à le voir comme un morphisme de ℝ[T] dans ℂ, mais il s’agira encore de l’évaluation en l’origine : qu’on considère celle-ci comme un point réel ou un point complexe importe peu, c’est le «même» point." p. 185

Cette considération concernant le "point", revient à prendre comme axiome de départ qu'un point topologique peut être défini dans une approche cohomologique _↑^→ (se souvenir de la vidéo sur le triangle de Penrose).

Il y a là, des considérations que je n'ai relevées, ni chez Cartier, ni chez Deligne.

- Peux-tu préciser ?

- D'instinct, si je puis dire, en mode ♧, la consistance de l'objet tient à la circulation du Sujet autour de lui. Cela se retrouve encore lorsque l'on représente l'objet par un atlas, ou "collection de points du vue" sur un objet donné. Derrière tout ceci, il y a une approche locale du Sujet 𓁝[#], dans un espace donné. La reconnaissance de l'objet tenant au saut : 𓁝[#]^♧⏩[#]^♧𓁜, dont nous avons parlé jusqu'à plus soif sur ce blog !

Ici, nous sommes en [⚤]^♢𓁜 et l'approche est tout autre. Le Sujet choisit de rapporter l'objet A, soit à K, soit à K', partant du principe que l'objet ne dépend pas de la taille de sa grille d'évaluation : un point reste un point ! Et ce choix se traduit par un mouvement ♡↓♢, i.e. :

Et ceci me rappelle fortement certains mécanismes repérés par Dehaene dans le processus de lecture (voir "Le cerveau au pied de la lettre") : le Sujet apprend à reconnaître une lettre quelconque, quelle que soit sa taille, sa fonte, sa typographie etc... Il y a donc derrière ce mécanisme intellectuel, repéré ici à propos des schémas, quelque chose d'extrêmement primitif, au point d'en être inconscient.

- N'y a-t-il pas entre les deux approches quelque chose de repérable sous les termes de "covariance/ contravariance" ?

- Certainement me faudra-t-il vérifier tout ce que nous avons pu en dire en tenant compte de ce qui s'annonce !

Le 10/ 12/ 2023 :

- En tombant par hasard sur une vidéo de Michel Raynaud qui m'a parue d'une grande clarté, j'ai été amené à reprendre le schéma que je proposais ci-dessus. C'est ce schéma modifié que j'utiliserai par la suite. Voir "Géométrie analytique - géométrie arithmétique - Michel Raynaud"...

Le 11/ 12/ 2023 :

- D'où également ta relecture de cet article et les corrections en bleu ?

- Oui, la question étant : faut-il passer cet article aux oubliettes, ou seulement le corriger ?

- Tu as trouvé dans le cours d'Alain Ducros matière à réflexions et en particulier autour de cette notion de localisation, que Michel Raynaud s'apprêtait à présenter dans sa présentation, malheureusement cette vidéo tronquée n'en garde pas trace... Ce serait dommage de les oublier. Et puis ces ratures te rappelleront tes errements si d'aventure il t'arrivais de dire à quelque interlocuteur : "mais enfin, c'est évident!".

- Soit, continuons donc de parcourir à la hussarde ce cours pour matheux.

Le 12/ 12/ 2023 :

- Au fur et à mesure que le schéma de l'Imaginaire se précise, il s'avère plus aisé d'entrer dans ce cours de d'Antoine Ducros. J'ai complété la discussion autour du point par la Note 2, et nous pourrions compléter de même notre réflexion concernant la liaison ♢↓♧, autrement dit :

Problème de la représentation et faisceautisation :.

Rappel : au niveau [⚤] :

• Le mouvement [⚤]^♡↓[⚤]^♢, rappelle le lemme de Yoneda (le but est en Ens);
• Le mouvement [⚤]^♢↓[⚤]^♧, s'exprime par un foncteur d'oubli des flèches des morphismes:
  • Pour l'objet discriminant Ω↓{{*};{}}
  • Pour le groupe trivial : l'élément neutre e, vide de toute action sur lui, est représenté par 𓁝{} ou {*}𓁜;

Ici, en mode ♢, au niveau [#]^♢, la "faisceautisation" d'un préfaisceau renvoie vers Ens en [⚤]^♢←[#]^♢:

- Ça ressemble pas mal au lemme de Yoneda, et nous renvoie aux flèches cartésiennes de Bénabou, non ?

- Oui, et je le note ici juste comme pense-bête, car j'ai l'impression que tout ceci va se mettre d'équerre lorsque nous revisiterons notre espace imaginaire en langage purement catégorique !

- OK, mais j'ai l'impression que tu picores ça et là dans ce cours, va au plus court et dis-nous si nous avons bien cadré ce schéma X↓S en [⚤]^♢ par rapport au faisceau X↓B [#]^♢?

- Tu as raison, ce cours va rester un certain temps mon livre de chevet, on y trouve le catalogue de toutes les notions nécessaires à la compréhension du sujet. Je te propose de nous arrêter à la topologie de Zariski qui revient dans le rappel historique de Cartier.

Topologie de Zariski :

Il s'agit ici de passer des parties E_i de A à des considérations sur les éléments (les points x) d'un ensemble. Toute la problématique est donc dans le passage du continu, ou plutôt de l'indéterminé (i.e.: puisque la nature de X n'est pas déterminée dans la définition d'un faisceau F : X↓B), au discret. Et tu retrouves dans l'écriture de ⋂V(E_i)=V(⋃E_i) la patte de Galois : 

• En [⚤] on s'exprime en termes
  • d'appartenance ∈ des éléments x formant un ensemble V(E)
  • du connecteur ⋂
• En [#] on s'exprime en termes 
  • d'inclusion ⊂ de parties E & E_i dans un tout A et Spec A
  • du connecteur ⋃

Le "passage en force", si je puis m'exprimer ainsi, c'est qu'en passant à un ensemble fini I de parties, on rend "discret" ce qui était indéfini, et tu ramènes une expression en ⋃, dans le discret : V(F)= ⋃V(E_i).

- Mais nous avons bien une topologie en [⚤] ?

- Je pense que c'est cette définition très restreinte d'une topologie qui chiffonnais Grothendieck, d'où le passage en mode ♡ (voir ici dans "géométrie analytique - arithmétique") pour définir l'objet par une propriété universelle... C'est tout du moins l'interprétation que je m'en donne, jusqu'à plus ample informé.

- Je suis quand même un peu gêné que l'on puisse parler de topologie en [⚤]. En effet, si un élément d'un Anneau peut être vu comme "faisant partie" de cet anneau, qu'est-ce qui différencie tes niveaux [⚤] & [#], fondamentalement ?

- Premièrement, l'anneau est une structure apportée à un objet, et donc en soi, il n'est pas composé d'éléments, mais se ramène à des actions. Tu restes encore trop scotché au mode ♧, avec le besoin de réifier l'objet de ton discours.

Deuxièmement, et c'est ce que nous avons vu ici, l'objet X topologique est abordé ex ante en 𓁝[#] et ex post en [⚤]𓁜 or, pour mémoire, nous avons vu qu'en mode ♢ :

• La posture 𓁝[#] est tournée vers une limite injective;
• La posture [⚤]𓁜 est tournée vers une limite projective.

D'où la nécessité de préciser de quelle façon l'on définit ce fameux X (i.e.: X_⚤ ou X_#), qui n'est qu'évoqué comme domaine d'un faisceau en [#]. En bref, et c'est qu'il faudra vérifier : 

En mode ♢, le passage [⚤]𓁝/𓁜[#] se caractérise par la différence entre
limites projective/ injective.

D'ailleurs, je te propose d'en rester à cette conclusion provisoire, le "reste", immense, bien entendu, devant se traiter de façon plus souple à partir du langage catégorique, c'est du moins l'impression que je retire de la suite du texte.

- Amen

Hari

Note 1 :

Je retranscris ici le verbatim de l'échange, qui me servira de base ensuite, lorsque j'en arriverais à étudier sérieusement le mode ♡ :

Q : peut-on considérer la catégorie des transformations naturelles comme une 2-catégories ?

R : Oui, la catégorie des transformations naturelles peut être considérée comme une 2-catégorie. Pour comprendre cela, examinons brièvement les concepts de catégories et de 2-catégories.

Une catégorie est un concept mathématique qui formalise la notion d'objets et de flèches entre ces objets, tout en respectant certaines règles (associativité des compositions, existence d'une identité, etc.). Les transformations naturelles sont des morphismes entre deux foncteurs, c'est-à-dire des flèches qui préservent la structure catégorique des objets et des flèches dans ces foncteurs.

Maintenant, une 2-catégorie généralise la notion de catégorie en permettant non seulement des flèches entre les objets, mais également des morphismes entre les flèches. Dans une 2-catégorie, les flèches entre objets sont appelées 1-morphismes, et les morphismes entre ces 1-morphismes sont appelés 2-morphismes.

Dans le contexte des transformations naturelles, on peut considérer les objets comme des foncteurs entre catégories, les 1-morphismes comme des transformations naturelles entre ces foncteurs, et les 2-morphismes comme des transformations naturelles entre les transformations naturelles.

Ainsi, la catégorie des transformations naturelles peut être vue comme une 2-catégorie, où les objets sont des foncteurs, les flèches entre ces objets sont des transformations naturelles, et les morphismes entre ces transformations naturelles sont des modifications naturelles (c'est-à-dire des 2-morphismes).

Q2 : Un cône peut-il être vu comme objet final d'une 2-catégories ?

R 2: En théorie des catégories, un objet final dans une catégorie est un objet universel,

c'est-à-dire un objet vers lequel il existe un unique morphisme depuis n'importe quel autre objet de la catégorie. Cependant, dans le contexte des 2-catégories, il y a une généralisation de cette notion.

Dans une 2-catégorie, un objet final peut être considéré comme un objet universel de la manière suivante : pour tout objet X de la 2-catégorie, il existe un unique 1-morphisme (flèche) de X vers l'objet final. En outre, pour tout 1-morphisme entre deux objets f : X→Y il existe un unique 2-morphisme (modification) qui rend le diagramme commutatif, c'est-à-dire qui fait interagir le 1-morphisme avec le 1-morphisme vers l'objet final.

Un cône dans une 2-catégorie peut être vu comme un candidat pour un objet final, car il fournit des flèches uniques depuis chaque objet vers lui-même.

Cependant, il est important de noter que la notion d'objet final dans une 2-catégorie peut être plus générale, et il peut y avoir d'autres constructions qui satisfont les propriétés d'objet final.

En résumé, un cône peut être envisagé comme un objet final dans une 2-catégorie si ses propriétés correspondent à celles d'un objet final dans cette 2-catégorie particulière.

Q3 : Peut-définir une transformation naturelle à partir de cônes ?

R3 : En théorie des catégories, une transformation naturelle est généralement définie entre deux foncteurs.

Note 2 :

En reprenant la définition des faisceaux donnée par Antoine Ducros, nous avons également un passage en mode ♢ concernant le point : (page 113)

Sur notre schéma cela se traduit par le circuit en bleu :

Où il est intéressant de constater que le singleton, qui correspond à l'idée de "point" en mode ♧, revient ici sous forme :

• en [∃]^♢ : de flèche de morphisme ⟲ du monoïde •⟲
• en [⚤]^♢ : de "groupe trivial"
• en [#]^♢ : du faisceau F(∅).

À rapprocher ce qui est dit à propos de la caractérisation d'un objet en général, et d'un point en particulier, vu algébriquement cette fois-ci :

Le f(x)=0 renvoyant à une co-chaîne, où l'on retrouve l'idée que le point est le lieu de l'évaluation = 0 d'une fonction f(x).

- Cependant, sI Problème