La cohomologie et toutes ces sortes de choses

Note à l'adresse de Monsieur Antoine Bourget :
je me suis permis de prendre en illustration de mon propos une image de l'une de vos vidéos, veuillez y voir un hommage en remerciement pour la clarté de vos présentations qui m'ont permis d'entrevoir à quel point j'étais ignorant.

- On en sommes-nous ?

Je viens de toucher du doigt la limite de mon entendement, en tentant de comprendre l'introduction de Grothendieck à "Récoltes et Semailles" (voir ici dans #3). C'est d'autant plus vexant qu'il parle d'une idée "bébête" qui lui serait venue à propos du lien entre "schémas" et "topos" :

«À présent, elles se trouvent englobées dans une «géométrie» commune et reliées par elle. On pourrait l’appeler la géométrie schématique, première ébauche de cette «géométrie arithmétique» en quoi elle allait s’épanouir dans les années suivantes. L’idée même de schéma est d’une simplicité enfantine — si simple, si humble, que personne avant moi n’avait songé à se pencher si bas. Si «bébête» même, pour tout dire, que pendant des années encore et en dépit de l’évidence, pour beaucoup de mes savants collègues, ça faisait vraiment «pas sérieux» !» p.64

Et j'ai pu constater, en grattant légèrement la surface du net, que le concept de "schéma" si bébête à ses yeux, me passe complètement au-dessus de la tête.

- Et c'est grave docteur ?

- Un peu, oui. Je viens à peine de caser l'approche d'Évariste Galois dans mon schéma de l'Imaginaire, (voir "Réflexions #9"), en caractérisant les automatismes de répétition attachés aux niveaux [⚤] et [#] du mode ♢; que tout part en vrille.

- Explique.

- Il suffit de remonter le fil du récit d'Alexandre Grothendieck (A.G.) à partir de mon point de rupture pour le comprendre:

«Peu de temps avant, notre conception de ces invariants de cohomologie s’était d’ailleurs vue enrichir et renouveler profondément par les travaux de Jean Leray (poursuivis en captivité en Allemagne, pendant la guerre, dans la première moitié des années 1940). L’idée novatrice essentielle était celle de faisceau (abélien) sur un espace, auquel Leray associe une suite de «groupes de cohomologie» correspondants (dits «à coefficients dans ce faisceau»). C’était comme si le bon vieux «mètre cohomologique» standard dont on disposait jusqu’à présent pour «arpenter» un espace, s’était soudain vu multiplier en une multitude inimaginablement grande de nouveaux «mètres» de toutes les tailles, formes et substances imaginables, chacun intimement adapté à l’espace en question, et dont chacun nous livre à son sujet des informations d’une précision parfaite, et qu’il est seul à pouvoir nous donner.» p. 70

Il part des faisceaux de Jean Leray, pour remonter à ce "bon vieux mètre cohomologique" connu de tous...

- Et là tu te sens tout con...

- Ben oui, comme la Lune. J'avais bien glané quelques vagues idées concernant l'homologie (voir "cohérence épistémologique- suite 1"), mais force est de constater que j'étais très loin du compte !

Si loin peut-être, que toute ma démarche pourrait s'avérer aussi fumeuse que le noeud borroméen utilisé par Lacan pour prendre le Réel/ Imaginaire/ Symbolique au lasso, ou que la structure absolue d'Abellio, se révélant simple transformation naturelle (voir "l'abandon d'Abellio").

- Une crise Seldon ?

- Si seulement ! Asimov nous donne l'espérance d'une issue, mais dans la real live, je reste sans maître dans le bleu complet : 𓁝[∅]☯.

- Essaie au moins de préciser l'enjeu.

- À la réflexion, il s'agit d'identifier l'automatisme de répétition propre aux niveaux [⚤] et [#] du mode ♢ ou ♡, je ne sais, du discours de A.G.

- Un peu abscons, merci de préciser pourquoi tu en arrives là.

- L'idée générale de mon schéma de l'Imaginaire est que l'on répète toujours les mêmes mouvements Imaginaires, s'appliquant de palier en palier à des objets de plus en plus complexes.

C'est un principe qui se dégage, non seulement des travaux de Freud (sa lettre 52), mais plus fondamentalement, de l'observation de l'organisation du cerveau humain (voir "Les neurones de la lecture"). À partir de ces observation, la question est de comprendre comment toutes nos productions intellectuelles (Imaginaires) peuvent se regrouper selon un schéma assez simple, permettant de recouvrir tout l'Imaginaire, comme en topologie il est possible de ramener tout l'espace Euclidien à un carré élémentaire de 1x1.

- Un peu comme Mendeleïev a pu rassembler tout les éléments atomiques en un tableau ?

- Oui, l'idée de base est la même; et tu vois bien qu'au fond du fond, il s'agit en quelque sorte de réduire la variété des choses et des concepts, à un mouvement répétitif ; dont la nature évolue de niveau en niveau, et de mode en mode.

- Tu m'avais l'air content d'être arrivé à ce schéma  ψ résumant la démarche de Galois :

"Nous en étions à l'idée qu'une démarche duale, faite d'inclusions successives ⋂ en [⚤]^♢ appairées à une succession d'extensions ⋃ en [#]^♢, dégénérait en mode ♧ en simple succession (⋂⇆⋃)↓(↑) comprise en ♡ comme brisure de symétrie." Voir (ψ)

qui t'amenèrent à caractériser ainsi les différents types de répétitions :

En mode ♧:

• ⇅ : la répétition porte sur la succession des évènements, avec l'idée d'un éternel recommencement lorsque  le Sujet n'arrive pas à faire le saut 𓁝[#]𓁜⏩𓁝[#]𓁜;
• ⊥ : la répétition s'exprime par l'orthogonalité, c'est par exemple le passage de ℝ à ℝ², puis ℝ³ etc. ;

En mode ♢ :

• ⋂ : la répétition au niveau [⚤] utilise le connecteur "ET" ;
• ⋃ :  la répétition au niveau [#] utilise le connecteur "OU" .

Oui, avec en tête l'idée que le passage du singleton (*) de la catégorie Ens au monoïde •⟲ de la catégorie Graph comme objet final, offrait une excellente métaphore du passage du mode objectif ♧ au mode relationnel ♢ au niveau le plus rustique [∃], au contact du Réel : [∃]^♧↑[∃]^♢.

- Tu es focalisé sur la théorie des catégories depuis déjà un bon bout de temps...

- Et c'est là qu'il faut changer de peau pour avancer.

- Encore ?

- J'ai peur d'être condamné à revoir ma copie une énième fois, effectivement. J'étais très content d'avoir enfin compris que dans un morphisme, la flèche_⚤^♢, qui se représente par un segment orienté n'est pas de même espèce que les éléments qu'elle met en relation. C'est ce qui, adolescent, m'avait bloqué en topologie^♢ : je n'arrivais pas à comprendre que ce trait_♧^♢ de liaison, n'avait rien à voir avec sa représentation géométrique_#^♧ par un segment_#^♧ sur le tableau noir, compris à ce niveau géométrique [#]^♧ comme une suite de points ∈ ℝ. Avec le recul ça a l'air idiot, mais oui, je confesse avoir été bloqué là-dessus.

- Tu nous le fais genre coming out ?

- Comment pourrais-je avancer sans prendre conscience de mes limites? Or donc, cette prise de conscience m'a permis d'avancer un peu dans la théorie des catégories, en lisant Lawvere... Et le bouleversement intellectuel fut tel qu'il m'a fallu pas mal de temps pour retrouver mon équilibre, en comprenant qu'il fallait absolument nous défaire du néoplatonicisme ambiant.

- C'est une prise de conscience qui apparemment n'est pas partagé par beaucoup...

- Il y a tellement à faire que je n'ai pas le temps de m'y attarder.

- Tout ce déballage pour en arriver où?

- À l'idée de "simplexe" en topologie (représenté par ∆), qui généralise la coupure qu'introduit la théorie des catégories entre la flèche du morphisme et les éléments des domaine/ codomaine qu'elle relie. Antoine Bourget en parle très simplement dans cette vidéo à 8'32" :

Ce concept est une transposition en topologie de l'idée très ancienne de "triangulation" en géométrie euclidienne.

- Bon, soit, mais encore ?

- Le gap entre la flèche du morphisme et le singleton de Ens est ici résumé par le passage de ∆⁰ à ∆¹ , et dans la répétition, tu passes ensuite à ∆² pour la surface du triangle, puis ∆³ pour le volume du trièdre, etc.

Vois-tu à présent l'ouverture bien au-delà de ce que le simple morphisme nous laissait entrevoir ?

- N'est-ce pas ce que tu avais déjà vu en [#]^♧ ? N'as-tu pas indiqué qu'à ce niveau la répétition portait sur l'orthogonalité ⊥, dans le passage de ℝ à ℝ² puis ℝ³ etc. ?

- Je vois que tu n'as pas compris l'essence du problème. Tu te focalises encore une fois sur la représentation géométrique de niveau [#] en mode ♧, lorsque je te parle, moi, de l'irréductibilité de la notion de ligne à celle de point, ou de celle de surface à celle de ligne. Nous sommes ici en mode relationnel ♢, et il n'y a aucun passage possible d'un concept à l'autre : tu ne vas pas réduire un volume à une surface, puis à une ligne et finalement à un ensemble de points. Et non seulement nous sommes en mode relationnel ♢, mais de plus, dans le domaine du discret, au niveau algébrique [⚤].

- Je crois que j'y suis : dans la série (∆⁰, ∆¹, ∆², ∆³), tu te demandes comment caractériser le principe de répétition à l'oeuvre ?

- Cette fois tu y es. Si je suis l'idée que le mode objectif ♧ est caractérisé par le singleton (*) en [∃]^♧, et le monoïde •⟲ en [∃]^♢, je démarre une série de modes caractérisés chacun par un simplexe au niveau [∃], de cette façon :

• ∆⁰ en mode ♧ ;
• ∆¹ en mode ♢ ;
• ∆² en mode ♡;
• ∆³ en mode ♤;
• etc.

Et je me retrouve avec une série dénombrable de modes Imaginaires...

- Tu en reviens à ton blocage, il y a 5 ans déjà, sur le nombre de niveaux Imaginaires, qui t'a obligé à penser que les principes de répétitions devaient évoluer d'un niveau à l'autre (voir "etc").

- Oui, je suis confronté au même problème, concernant cette fois-ci les modes de penser. Cependant, à partir d'autres considérations, j'en suis venu aujourd'hui à limiter le nombre de modes Imaginaires à 4 (voir "Représentation des 4 modes Imaginaires").

Maintenant, tu vois le problème, n'est-ce pas ?

- Je crois que tu joues à te faire peur : s'il en était ainsi, le passage du mode relationnel ♢ à syntaxique ♡, ne serait pas celui d'un langage à un méta-langage, puisque tu serais dans la répétition du même : à savoir le saut d'une dimension Dⁿ à la suivante Dⁿ⁺¹. Or, par définition, la syntaxe d'un langage, ou compétence selon Chomsky, ne se résume pas à l'accumulation de performances.

- D'accord, mais alors, de quelle façon, en mode syntaxique ♡, puis-je décrire l'essence de cette répétition?

- Reviens à tes fondamentaux :

• En mode ♧ : le gap entre [∃]^♧ et [⚤]^♧ est diachronique, et en [⚤] le choc du Réel, ressenti comme "existant" en [∃], est identifié, coché (*) comme chaque jour qui passe sur un mur de prison. La répétition porte alors sur le singleton, mais le passage d'une marque à la suivante reste indicible. (les ensembles ne sont composés que d'éléments tous identiques).
• En mode ♢, ce passage est réifié, sous la forme de la flèche d'un morphisme. Tu a dès lors 2 types d'objets à disposition au niveau [⚤]^♢: les éléments (*) et les flèches de liaison entre eux.

À mon sens, c'est ce passage lui-même [⚤]^♧↑[⚤]^♢, qui doit être identifié en mode syntaxique ♡ comme principe de répétition à l'œuvre dans la série (∆⁰, ∆¹, ∆², ∆³).

- Oui, mais alors, quid de l'idée que (*) devient élément {1} d'un ensemble en [⚤]^♧?

- Je crois qu'il faut prendre du recul par rapport aux mathématiques qui, bien qu'irremplaçables dans notre exploration, ne sont qu'une des facettes de notre Imaginaire. Et d'ailleurs, tu n'as qu'à suivre ta propre expérience. C'est aujourd'hui seulement que tu penses à caractériser ainsi ce principe de répétition à partir du concept de "simplexe" ∆⁰↑∆¹, et cela ne t'avais guère dérangé jusqu'à présent, n'est-ce pas ?

Autrement dit, tu te poses une question de mode syntaxique, sans repasser par le contact au Réel ☯[∃]𓁜^♧, mais en faisant du vélo dans ta tête. La question se pose, hic et nunc, en posture 𓁝[⚤]^♢, et c'est à partir de là qu'il faut ravauder l'ouvrage, en prenant de la hauteur [⚤]𓁜^♡. 

Le 27/ 07/ 2023 :

- Je partais sur une mauvaise piste : l'important c'est que cette prise de conscience en mode syntaxique ♡, m'amène à réifier le 1^er saut [⚤]^♧↑[⚤]^♢ comme flèche d'un morphisme en mode ♢. (Note 1)

À la réflexion, et par analogie avec ce que nous avions déjà vu au sujet des sauts de niveaux : 𓁝[#]𓁜^♧⏩𓁝[#]𓁜^♧, je crois qu'il faut distinguer le premier saut des suivants. Pour mémoire :

• Le 1^er saut est le passage de ℕ à ℝ, autrement dit la découverte du continu, et la conservation de la notion d'ordre, etc. Pour aller dans le détail d'une démarche strictement immanente, nous avons: [⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓁝⊥𓁜⏩[⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓁝⊥𓁜⏩[⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓁝⊥𓁜, et dans ce  1^e saut, le principe de répétition passe de ⇅ à⊥.
• Lors des sauts suivants 𓁝[#]𓁜⏩𓁝[#]𓁜, il n'est plus nécessaires de redescendre en [⚤]𓁝⇅𓁜, et repartir de ℕ pour passer de ℝ à ℝ².

Par analogie, et pour couper court à l'idée d'un retour en mode ♧ à chaque itération de ∆ⁿ↑∆ⁿ⁺¹, il faut comprendre le 1^er saut de mode ♧↑♢ comme définitif. Le passage du singleton comme objet initial de la catégorie Ens (*) au monoïde •⟲ de la catégorie Graph initie un mode de penser que l'on ne quitte plus dans la répétition du même.

Pour être plus explicite encore: c'est d'un point de vue syntaxique ♡, supérieur, que rétroactivement, on identifiera le singleton {1} à ∆⁰ et la flèche d'un morphisme → à ∆¹.

- En résumé, la série des n-simplexes se comprend en [⚤]^♢ ?

- Oui, désolé, mais tout ceci est très neuf pour moi, et je dois stabiliser mes propres représentations des objets que je découvre, ça ne va pas sans hésitations et retours en arrières...

(γ)- Et qu'est-ce que ce pinaillage pourrait nous apporter ?

- Ça nous amène à comprendre que nos n-simplexes ∆ⁿ en [⚤], amènent de l'ordre en topologie au niveau [#]^♢, ordre qui avait disparu en géométrie ²[#]^♧ (i.e.: dès ℝ²).

Ensuite, les "nombres" que l'on manipule en mode [⚤]^♢ changent de nature, puisque nous ne nous intéressons plus à eux en tant qu'éléments_⚤^♧, mais dans leurs relations au "groupe" dont ils font partie. C'est l'apport de Galois; ce qui donne son plein sens au fait d'expliciter pour chaque élément distingué d'un simplexe ∆, la structure algébrique dans laquelle il est situé.

Par exemple, en "nommant" par (1, 2, 3) les sommets du triangle représentant le simplexe ∆², il faut y voir des étiquettes...

- Comme les nombres cardinaux de Cantor ℵ¹, ℵ², ℵ³, etc ?

- Pas tout à fait : Cantor est en mode ♧, sans référence à une quelconque structure autre que celle d'ordre. Ici nous parlons de groupe ou d'anneau (infini ℤ ou fini ℤ/nℤ).

- Bon, soit, mais si tu avançais ?

- Attardons-nous un peu sur cet aphorisme : "un bord n'a pas de bord" (ou ∂² = 0). Je trouve cette idée extrêmement profonde.

- Qu'est-ce qui la rend si intéressante ?

- Imagine-toi 𓁝/𓁜 comme un point 0D dans un Univers 1D : tu peux juste avancer ou te retourner. Tu n'as comme repère que la limite "•" de ton Univers "⟲". Tu te balades localement, le nez au vent, 𓁝[#] dans un Univers qui t'échappe "globalement" [#]𓁜. La seule chose que tu puisses identifier, c'est sa limite ou le "bord" (Note 2.) En désignant par l'indice n dans ⁿ[#] sa dimension, on peut écrire que tu prends conscience :

• Localement de ta place dans l'Univers 𓁝ⁿ[#];
• Globalement de la limite de ton Univers ^n-1[#]𓁜;

D'un point de vue ^n-1[#]𓁜, le "bord du bord" (^n-2[#])𓂀_Hari^♢ t'échappe puisque par définition, ta vision est limitée à  ^n-1[#]𓁜. (Note 3)

- Tu peux régresser : 𓁝^n-1[#]𓁜⏩𓁝^n-1[#]𓁜⏩𓁝^n-2[#]𓁜 etc...

- Figure-toi que c'est exactement la démarche adoptée en homologie, avec à chaque étape, une expression algébrique du processus. Dans sa présentation, l'auteur utilise ces fameux n-simplexes à cet effet.

- Et la cohomologie ?

- C'est la progression inverse.

Le 29/ 07/ 2023 :

- À la relecture, je n'arrive plus à comprendre ton sentiment d'inquiétude, car enfin, je ne trouve rien de neuf par rapport à ce que tu avais déjà établi, en particulier après la présentation de l'homologie par Wildberger (voir "Les groupes d'homologie du Sujet #3"). C'est bien à partir de son cours, que tu en étais arriver à schématiser la démarche de Galois... J'ai l'impression que tu tournes en boucle.

- C'est l'idée que l'on peut travailler avec des simplexes ∆ⁿ comme avec des morphismes → qui m'a perturbé. J'ai pris conscience que les "sauts", de niveaux, comme de modes, sont uniques. Et ça, c'est une idée qui colle parfaitement avec l'expérience commune, relevée par Lacan, d'ailleurs : une fois un concept acquis, il t'est impossible de revenir en arrière, sauf dégénérescence mentale. (Note 4)

-- Nous devons donc faire très attention à notre représentation des "sauts" : le premier est toujours "diachronique"  c'est le passage :

• de "l'indicible" vu ex ante, un blocage dans une répétition par exemple [⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓁝⊥𓁜;
• à sa "réification" en [⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓁝⊥𓁜.

Ensuite, la répétition du saut 𓁝[#]𓁜⊥𓁝[#]𓁜, s'opère avec le principe de répétition qui est devenu "représentable" lors du 1^er saut, soit ici l'orthogonalité ⊥.

En ce qui concerne les sauts du mode ♧ au mode ♢, c'est la même chose. Une fois que l'objet est vu comme le fruit d'une relation, tu vas y revenir, comme en théorie des catégories on revient d'une catégorie donnée C à la catégorie Ens par un foncteur d'oubli F : C↓Ens, ce foncteur étant un concept de mode ♢, au même titre que l'orthogonalité est un concept de niveau [#]𓁜.

- Finalement, tout ceci est très simple, il suffit d'y être attentif, comme à une règle d'orthographe; mais pourquoi ce sentiment d'avoir découvert quelque chose de neuf à partir de cette introduction du simplexe ∆?

- Tu l'as dit : il s'agit d'une règle d'orthographe, ou de syntaxe, de mode ♡ et donc, dès que tu en as pris conscience, la topologie de ton Imaginaire passe d'un ruban de Moebius à un tore (voir (α) dans "Représentation des 4 modes Imaginaires").

- Et ça change quoi ?

- Nous avions une torsion dans une pensée "pré-Galoisienne" (cf (α) de "Narratologie") sur deux modes ♧/♡ (i.e. intervention des niveaux [⚤] et [♲] en mode ♡), qui disparaît après introduction d'un mode ♢, et je pense que c'est cette réorganisation Imaginaire qui me perturbe.

Ceci dit, ce "formatage" Galoisien, puis Abélien de l'Imaginaire en ♢ ne va pas sans quelque appauvrissement...

- À quoi penses-tu ?

- À la taxinomie de Borges par laquelle Foucault débute "Les mots et les Choses". Au fur et à mesure que nous structurons notre Imaginaire, certes, nous accédons à des objets naguère inconcevables, mais au détriment d'une certaine poésie. Qui pourrait de nos jours rapprocher "les animaux dessinés avec un pinceau très fin en poils de chameaux", et ceux "qui viennent de casser la cruche" ?

Nous le voyons en topologie algébrique dans le passage :

• de l'homotopie avec les "lacets" utilisés par Poincaré pour définir le groupe fondamental Ω_n d'une surface topologique,
• à l'homologie où l'enchaînement des "cycles" (avec une structure de groupe) est rendu Abélien (c'est à dire commutatif).

La différence entre les deux tient à ce qu'un cycle est un lacet qui n'est pas "un bord". Je ne saurais mieux t'en parler que Bourget à 19' de cette vidéo. Autrement dit,

• En [#] : en ajoutant quelque chose à la notion de lacet: cycle ∈ "lacet⋃bord",
• En [⚤] : tu limites l'expression en introduisant une nouvelle symétrie, et un "choix" : "lacet⋂⌐bord" donnant naissance à une "variété" dans cet espace.

- Quelle symétrie ?

- Après avoir introduit le concept de "bord", les lacets peuvent être des cycles ou non. De ce point de vue (mode ♡), passer de l'homotopie à l'homologie peut être vu comme une "brisure de symétrie",

introduisant une restriction des "possibles". Ici, en particulier, la composition des lacets en [#] comme "bouquets" non commutatifs conduit à une représentation en [⚤] faisant appel au produit extérieur ℤ*ℤ, incommensurablement plus vaste qu'un groupe abélien de la forme (ℤ⊕...⊕ℤ)⊕(ℤ/nℤ⊕...⊕ℤ/pℤ) (voir cet aparté à 47' de la vidéo). Cela ce retrouve dans le théorème de Van Kampen, fondamental en topologie (à 42').

- Je comprends bien que tu rumines encore les notions d'homotopie et d'homologie, mais si tu avançais d'un pas jusqu'à la cohomologie ?

- Justement, nous sommes dans le thème de la présentation de Bourget, puisqu'il parle d'emblée de "mathématiques de l'impossible", ou plus précisément de la caractérisation cohomologique de ce qui est impossible, illustré par un triangle impossible de Penrose. 

- Tu penses à une symétrie^♡ homologie/ cohomologie qui serait brisée en topologie^♢ ?

- C'est un fil rouge qui pourrait s'avérer intéressant de suite dans le notre lecture..

(α)- L'auteur parle (à 5') plutôt "d'obstruction", en opposition à l'idée de symétrie...

- Mon ami, ne vois-tu pas que ce sont les deux faces de Janus ? Prends l'exemple de ce triangle de Penrose.  

• Localement 𓁝[#] l'angle de 60° que tu en vois, suggère un triangle isocèle, figure 2D;
• Globalement [#]𓁜 la figure est impossible en 3D.

Si tu prends en considération ce que nous venons de dire, le passage de 2D à 3D marque une extension du domaine de représentation en [#], i.e. 3D = 2D⋃D, qui doit s'accompagner d'une restriction quelconque de type ⋂ au niveau [⚤]. S'il s'agit effectivement d'un règle de syntaxe de mode ♡, alors nous devons en retrouver l'expression mathématique, et c'est ce que nous dit Bourget de la cohomologie.

- Et la symétrie ?

 - En 2D, les deux postures 𓁝[#] et [#]𓁜 sont équivalentes, en 3D seule la posture 𓁝[#] est possible, et ton "obstruction" correspond bien à une brisure de symétrie. Brisure de symétrie^♡ et obstruction^♢ signent l'existence^♧ de l'objet (Note 5.)

Le 30/ 07/ 2023 :

- J'aimerais peigner dans le sens du poil les associations d'idées qui me sont venues au réveil. D'une part, l'auteur présente la cohomologie comme la démarche duale de l'homologie, en empruntant un langage matriciel (à 33' de la vidéo), et ceci me renvoie immédiatement à ce que nous avons vu des matrices en partant de la théorie des catégories, il y a déjà longtemps (voir "Matrice"), j'en étais arrivé à l'idée que le langage matriciel était l'expression mathématique du passage [⚤]𓁝⇅𓁜[#], avec au sens catégorique :

• Le co-produit + vu ex ante [⚤]𓁝⇅𓁜[#],
• Le produit x vu ex post [⚤]𓁝⇅𓁜[#].

Puisqu'à l'époque je n'avais pas encore différencié entre "niveaux" et "modes", Il faudra tout reprendre, bien entendu, et en substance, les notions de produit et co-produit ne peuvent être que de mode ♢, après un 1^er saut ♧↑♢. Suite à ce qui nous avons dit des connecteurs ⋂ et ⋃ en oeuvre dans ce mode, nous pouvons facilement comprendre que le langage matriciel soit naturel pour passer de ⋃ en [#]𓁜 à ⋂ en [⚤]𓁜 comme principes de répétition, avec, au dernier stade d'une régression, une expression purement algébrique en termes de produit et co-produit (Note 6.)

- Mais cette approche recoupe-t-elle ce que Bourget nous dit du dualisme entre homologie et cohomologie ?

- C'est effectivement la question. En suivant le développement de Bourget, je comprends que:

• Homologie : la structure associée à la topologie_#^♢ est celle de groupe_⚤^♢ (additif, avec l'opération +) en [⚤]^♢;
• Cohomologie : on passe du groupe à l'anneau, en ajoutant l'opération x (Note 6) et donc en restreignant les possibles dès le niveau [⚤]^♢; on contraint d'autant la topologie développée en [#]^♢. 

- En les restreignant, en es-tu sûr ?

- Attention à l'effet de perspective ! Reporte-toi à cette figure (Voir à 38'49" sur cette vidéo) représentant les points d'intersections de 2 courbes : vu localement des points d'intersection 𓁝[#], tu as l'impression d'une grande liberté pour imaginer toutes les courbes jaune et bleu qui pourraient se croiser en ces points. D'où cette impression locale, de liberté.

Cependant, globalement [#]𓁜, ces courbes sont plus contraintes par la structure d'anneau que par celle de groupe.

C'est la situation duale de celle du triangle impossible de Penrose :

• Dans le triangle de Penrose, le passage topologique de 2D à 3D induit une restriction d'ordre algébrique;
• Dans le passage de l'homologie à la cohomologie, c'est le passage de groupe à anneau, qui introduit une contrainte topologique.

C'est encore assez vague en moi, mais j'ai l'impression qu'une structure qui se développe dans un espace de plus en plus grand en [#]^♢, doit s'écraser à plat sur l'algèbre en [⚤]^♢.

- Comme un vecteur sur sa base...

- Oui, c'est l'idée générale qui me vient pour l'instant, et encore une fois, je développe des a priori au fil de cette lecture, qu'il faudra valider ou oublier, ex post, après avoir digéré ce que je découvre peu à peu.

- Je croyais que la dualité homologie/ cohomologie tenant au passage d'une dimension à l'autre ?

Le 31/ 07/ 2023 :

- J'ai l'air de flâner en route, mais le peu que nous avons vu jusqu'à maintenant m'amène à reconsidérer les premiers niveaux [∃] et [⚤] des modes ♧ et ♢, voir la Note 6 qui clarifie grandement ma démarche globale.

- OK, mais embraie, s'il te plait.

Le 01/ 08/ 2023 :

Les groupes d'homologie :

- En fait, l'approche par les simplexes présentée par Bourget fausse un peu la perspective, puisque sa démarche consiste à déstructurer couche par couche l'objet, passant de ∆ⁿ⁺¹, à ∆ⁿ, puis ^∆-1. 

- Ça colle parfaitement à l'idée que le bord des structures ∆ⁿ⁺¹(X) sont en ∆ⁿ(X), et permet de définir les applications ∂_n+1 : ∆ⁿ⁺¹(X) → ∆ⁿ(X) & ∂_n : ∆ⁿ(X) → ∆^n-1(X), pour ensuite utiliser cette propriété ∂_n∘∂_n+1=0.

- Certes, mais il y a malgré tout une limite provenant du fait que tu pars en ayant déjà identifié l'objet "simplexe", autrement dit, tu pars du pied ex post [#]𓁜, tourné vers l'objet final ∆ⁿ. Je pense que la démarche proposée par Wildberger est plus générale puisqu'il part d'une posture ex ante 𓁝[#], tournée vers l'objet initial ∅. De cette façon, un cycle de dimension n est défini comme fermé s'il entoure un trou, avant de savoir s'il est le bord effectif d'un espace de dimension n+1. En ce sens, une surface est vue après un retournement  𓁝[#]𓁜⏩𓁝[#]𓁜.

- Bourget nous a prévenu que si la démarche par les simplexe n'est qu'une topologie parmi d'autres, elle présente le gros avantage de permettre des calculs d'une grande simplicité.

- Oui, mais la présentation de Wildberger me semble plus générale. Retournons à sa vidéo de pour comparer les deux démarches.(voir "les groupes d'homologie du Sujet"):

À la relecture, il est clair que dans l'approche de Bourget, un n-cycle est un "bord" s'il borde un objet de dimension n+1, tandis que Wildberger définit un bord comme entourant un vide. Les deux points de vue sont complémentaires, et cela se voit immédiatement sur l'exemple du double donut : d'un côté une surface hachurée, de l'autre un vide lorsque l'on coupe l'objet en deux selon cette bordure :

- Avec un bémol malgré tout : on peut "pincer" une enveloppe pour transformer un trou en deux (à 30'): 

En glissant sur cette surface en Y ("pair of pans" en anglais), le cycle "a" se décompose en b et c. 

- Effectivement, il faudra y regarder de plus près, cependant, la démarche de Widberger me semble plus proche de celle de Galois puisque l'on y retrouve nos deux connecteurs ⋃ et ⋂ :

• ⋃ ajoute une dimension topologique en [#] comme Galois ajoutait une extension, ce qui se traduit par
• ⋂ une restriction algébrique en [⚤] en passant du groupe Z des n-cycles à ceux qui ne bordent pas un n-trou (i.e. soit B bordant les n+1-surfaces) en quotientant Z par B : Z/B.

D'ailleurs, il indique à la fin de la vidéo (40') qu'il existe effectivement deux approches :

• "Simplexial homology" : Par les simplexes, historiquement celle de Poincarée;
• "Singular homology", plus flexible, mais plus compliquée à calculer. 

- Cette différence d'approche est-elle si importante ? Car enfin, nous arrivons toujours à la même construction des groupes d'homologie, à savoir H_n=Ker ∂_n / Im ∂_n+1, avec ce schéma général:

Approche simpliciale : (à 1h):

Approche "singulière" :   (à 37')

- Je n'en sais trop rien à ce stade de la réflexion, mais il me semblait important de retrouver Galois derrière cette démarche. Nous en rediscuterons sans doute après avoir abordé la cohomologie.

Les groupes de cohomologie :

Bourget aborde la cohomologie en faisant un rappel d'analyse vectorielle, et en particulier en situant le co-vecteur dans l'espace des application linéaires, comme le dual d'un vecteur dans un espace vectoriel, ce qui nous ramène directement à la notion de matrice.

- Nous revenons deux jours en arrière (cf. ici), tu radotes...

- Oui, je m'en rends compte, et j'aimerais bien trouver une introduction plus intuitive, plus visuelle, mais en surfant sur le net, je ne trouve que des exposés analytiques qui m'endorment. La présentation ci-dessous illustre bien une dualité entre homologie et cohomologie, mais franchement, c'est très pénible à suivre.

Je tente ma chance avec cette introduction de Basile Billet, qui a le double avantage d'être visuelle, et de reprendre le triangle de Penrose dont parle Bourget en introduisant la cohomologie comme traitant de l'impossible :

J'aime bien cette présentation, qui nous dévoile l'essentiel en dénudant la promise.

- Je suis impatient de voir ce que tu vas en faire !

Le 02/ 08/ 2023 :

- Très simple, je (𓂀_⇅Hari^♧) peux même l'écrire sous forme d'un dialogue intérieur du Sujet 𓁝/𓁜 en précisant ses mouvements Imaginaires entre modes ♧&♢ et niveaux [⚤]&[#]:

- Ça me parait bien compliqué !

- En fait pas tellement si tu te laisses guider par la syntaxe ♡ que nous avons développée petit à petit.

- Soit, mais en quoi cela peut-il nous éclairer sur cette approche cohomologique ?

- En mode ♧, au ras des pâquerettes si je puis dire, la question se résume à passer d'un objet A en 2D à un objet B en 3D dont A serait une représentation. Géométriquement, cela se comprend comme le passage de R² à R³: ou R⊥R ⏩R⊥R⊥R en [#]𓁜^♧, avec ⊥ comme principe répétitif.

Notre Sujet 𓁝𓁜 confronté à cette image du triangle de Penrose bugge, car il n'arrive pas à faire le 3^e saut et reste coincé en [⚤]𓁝⇅𓁜[#] face à une impossibilité logique du 1^e ordre :

• 𓁝[#]^♧ localement le triangle est visible;
• [#]𓁜^♧ globalement le triangle est impossible

Situation intenable qui viole le principe du tiers exclu en [⚤]𓁜^♧. Blocage Imaginaire repérable par la répétition du même 𓁝⇅𓁜 si cher à Freud.

- Reviens à la cohomologie.

- Oui, bon. Si je suis le fil de cette vidéo, je comprends que le Sujet s'interroge en mode relationnel ♢ passant de la géométrie à la topologie, ce qui lui permet de décomposer la figue 2D en parties_#^♢ U1, U2, U3, pour tenter de comprendre leur recollement (aux points A1-A2, B1-B3 & C2-C3) dans un tout identifiable.

L'approche cohomologique se caractériserait alors par la transformation d'un question géométrique_#^♧ en une question algébrique_⚤^♢ portant sur des recouvrements_#^♢. C'est ce que symbolise cette image de la vidéo de Pillet.

- Mais en quoi, précisément consiste ce passage ([⚤]𓁝⋂𓁜[#])^♢ ?

(ε)- Si tu restreins le questionnement à une seule dimension, en l'occurrence la profondeur, ou distance de l'objet au Sujet (i.e. ℝ), alors tu introduis une notion d'ordre en [⚤]𓁜 entre des points vus 𓁝[#]. C'est le même problème que celui des pistes de ski (portant sur l'altitude cette fois-ci), présenté par Bourget comme 1^er exemple, à 7' de sa vidéo. Et c'est ce que nos deux auteurs présentent comme le fait d'attacher un nombre à des êtres topologiques.

Je crois qu'il est là le changement de perspective :

• En 𓁝[#] ^♢, une figure est représentable comme un ensemble de vecteurs dans un espace vectoriel;
• En [⚤]𓁜^♢, les relations entre éléments portent sur une relation linéaire sur une seule coordonnée. 

Vois-tu maintenant, comment la dualité
—espace vectoriel V / Espace des applications linéaires V*=L(V,ℝ)— permet d'exprimer le passage  ([⚤]𓁝⋂𓁜[#])^♢ dans un langage matriciel ? (Note 8)

- Gardons-le en mémoire, mais pour l'instant j'aimerais comprendre le langage propre à la cohomologie, et situer cette dernière par rapport à l'homologie.

- Après ce que nous avons vu, le crois que nous avons tous les éléments de langage en mains pour faire le parallèle suivant :

1. Homologie^♢ :
   • En [#]𓁜 vue globale d'un espace topologique X de n Dimensions (Dⁿ),
     par exemple à l'aide de simplexes : ∆ⁿ(X).
   • En 𓁝[#] : vue locale, exprimée par une variété D^n-1.
     Par exemple ∆^n-1(X), lacets, cycles.
   • Entre [⚤]𓁝𓁜[#], ou "topologie algébrique"
     • les objets topologiques [#] peuvent être rapportés à une base [⚤]𓁜
       • Soit le groupe fondamental Ω de Poincaré;
       • Soit une base vectorielle e₁,e₂,...,e_n)
2. Cohomologie^♢ :

En langage vectoriel, c'est l'expression linéaires de conditions (cocycle) entre coordonnées d'une collection de parties 𓁝^n-1[#] de dimension D^n-1 pour former un espace observable en [#]ⁿ𓁜 de dimension Dⁿ.

Et donc :

• Un cycle est une expression locale 𓁝^n-1[#]ⁿ𓁜^♢ (ou partie) d'un espace global;
• Un cocycle est une expression algébrique (sur un anneau) [⚤]𓁜 liant les différentes parties d'un objet hypothétique.

En ce sens, nous sommes toujours dans la vision introduite par Galois : 

• à une extension ⋃ en [#] : (passage de D^n-1 à Dⁿ),
• est associée une restriction ⋂ en [⚤] : ici une expression algébrique linéaire.

Rétrospectivement, tout ceci paraît évident.

- Mais alors qu'est-ce qui te bloquait tant ?

- Sans doute le terme de "co-cycle". Je voulais à toute force trouver une représentation géométrique de "l'inverse" d'un cycle, comme par exemple le passage d'un bord à la surface qu'il circonscrit. C'était une fausse piste, mais personne pour me le dire avec des mots simples...

J'en tire une autre leçon : il est à peu près certain que les "parties" d'un espace topologique donné ne doivent pas se représenter comme le pavage, à plat, d'un espace de même dimension, mais comme des éléments de dimension n-1, dont "l'accrochage" se fait dans une dimension n. Reste à voir comment cette idée va se développer par la suite. (Note 9)

- Et si tu finissais par aborder les groupes de cohomologie ?

 - Reviens à notre narratif (cf. ici). En fait, il y a quelque chose d'artificiel dans l'expression par une succession (...⏩...)_⇅𓂀^♧ d'un processus en mode ♢, qui, fondamentalement n'est pas lié au temps logique [⚤]^♧, et à mon sens, ceci perturbe notre façon de parler de topologie.

- Je ne te suis pas.

- Prends ce schéma exprimant la succession des groupes d'homologie H_n. (à 1h sur la vidéo)

Ces flèches nous perturbent car elles indiquent une sorte de régression de ∂_n+1 à ∂_n, qui vient de l'enchaînement ∂_n∘∂_n+1=0, cependant si tu regardes l'image dans le coin inférieur gauche, tu as une représentation du ker ∂_n dans lequel Im ∂_n+1 est un sous-groupe. Ça revient à parler d'un morceau de tarte avant d'avoir défini la tarte; ça suffit à invalider toute représentation "narrative" respectant une temporalité logique, et c'est pourquoi il est si "difficile d'en parler".

Le coeur même de l'homologie, c'est l'inclusion Im(∂_n+1)⊆Ker(∂_n), a-temporelle.

- Pourquoi t'y appesantir ?

- Pour te faire prendre conscience que la dualité recherchée ne saurait s'exprimer facilement comme un "processus inverse".

Je te propose cette hypothèse de lecture, à vérifier, bien entendu :

• L'homologie part d'une réflexion de niveau [#] pour trouver une expression de niveau [⚤], typiquement l'expression  Im(∂_n+1)⊆Ker(∂_n),
• La cohomologie partirait du niveau [⚤] pour remonter au niveau [#].

En ce sens, mais il faut le comprendre comme une facilité de langage pour une transmission orale, on peut dire :

• Homologie : (([⚤]𓁝⇅𓁜[#])^♢⏩([⚤]𓁝⇅𓁜[#])^♢)_⇅𓂀^♧
• Cohomologie : (([⚤]𓁝⇅𓁜[#])^♢⏩([⚤]𓁝⇅𓁜[#])^♢)_⇅𓂀^♧

- Une telle dualité, mêlant modes ♧&♢, ne peut prendre pleinement son sens que dans une réflexion de mode ♡...

- Comme de bien entendu.

- Fort de cette mise en perspective, et si tu t'attelais enfin à nous définir ce qu'est un groupe de cohomologie ?

- Retournons à 19' de la vidéo d'Antoine Bourget. 

Bon, là il faut partir des définitions :

1/ À partir de l'application bord ∂ sur des chaînes (par exemple des chaînes de simplexes ∆ⁿ de dimension n sur un espace topologique X)

2/ On a défini des groupes d'homologie H_n(X) de dimension n tels que   Im(∂_n+1 )⊆Ker(∂_n), (avec n en indice)

3/ Pour faire de la cohomologie, on s'intéresse maintenant aux fonctions définies sur les chaînes. (Je le comprends comme des contraintes, ou intersections, par exemple des contraintes sur l'altitude dans l'exemple des pistes de ski, ou la distance à l'observateur pour le triangle de Penrose). En termes vectoriels, il s'agirait pour un ensemble de vecteurs V, de son dual V* sur un corps de base K qui doit être précisé (puisque l'on passe de [#] à [⚤]). Ici, de façon plus générale, les valeurs sont dans le groupe de base G. Ces fonctions sur les chaînes sont appelées co-chaînes.

Définition : une n-cochaîne est un élément de Cⁿ(X,G) = Hom (C_n(X),G) (attention : n en exposant pour les co-cochaînes et en indice pour les chaînes).

(δ)- Pourquoi cet homomorphisme Hom (...) ?

- Précisément parce que la projection de X sur sa base B doit différencier : (Note 9)

• identité : B↑X↓B, ramenant une série d'éléments semblables sous une même étiquette en B :
• idempotence : X↓B↑X.

En l'occurrence, considère que Cⁿ(X,G) est un élément de la base B et Hom (C_n(X), G) l'ensemble des éléments de X qui se projettent sur lui.

4/ Maintenant, il s'agit de définir l'application co-bord notée "δ" :

Définition : l'application co-bord δ est le dual de l'application bord ∂.

- J'avoue que je décroche !

(β)- Bourget nous propose ce schéma pour nous y retrouver ( à 23' de la vidéo)

Le 04/ 08/ 2023 :

- Je suis depuis avant-hier sur ce schéma sans comprendre l'essence de ce cobord δ. J'ai le sentiment qu'il y a une torsion dans la représentation, et ça me rappelle l'idée d'Alain Connes d'une scène doublée des coulisses. C'était lors du colloque "Grothendieck et Lacan - l'impossible rencontre" et j'avais transcrit à l'époque son idée par un schéma qui, après réflexion, m'avait conduit à représenter l'imaginaire sur un ruban de Moebius (voir le schéma (a) dans les "4 modes de représentation de l'Imaginaire").

- Oui, mais tu utilises cette représentation dans le cas d'un Imaginaire limité aux 2 modes ♧ & ♢.

- Ah ! Nous en revenons à notre discussion  du 27/ 07 autour du simplexe ∆ⁿ. Nous pourrions comprendre les sauts ♧⇅♢ comme les derniers d'une régression Imaginaire, dont le mécanisme serait totalement maitrisé en mode ♢. De ce point de vue le passage ♢↓♧ serait comme le passage d'une catégorie C à Ens.

- N'oublie pas ce que tu en as dit : ce point de vue est syntaxique ♡, et le recouvrement de l'Imaginaire n'est pas selon ce ruban, mais comme un tore. Par ailleurs, ton schéma du 02/ 08 pêche un peu : tu indiques une question en posture 𓁝^♢[#], et une réponse en posture [⚤]𓁜 sans passer par le niveau [♲]𓁜 qui seul peut faire le lien entre les deux niveaux[⚤] & [#]. Pour aller au bout de ta réflexion : quels seraient ici les éléments initiaux [∅] en et finaux [∃] ?

- OK, gardons la structure Imaginaire sur 3 modes ♧ ♢ ♡, et faisons une représentation de celle-ci en termes topologiques de mode ♢, en raisonnant à partir des simplexes ∆ⁿ qu'il faut situer aux différents niveaux [∃] & [∅]. Ça nous donne ceci :

Le plus intéressant dans cette structure est la possibilité de "faire une coupe" (dont je rends compte en recopiant la ligne ♡ sous ♧), qui rappelle la coupe de notre "tore" ♧ ♢ ♡ :

- Tu nous fais de jolis dessins, mais comment vas-tu t'en servir ?

- Essayons d'inscrire dans ce schéma de mode ♢, la partie centrale en jaune de notre récit du 02/ 08 tenu par 𓂀_Hari^♧.

Je vais tenter une hypothèse :

• L'homologie se traite en mode ♢ et le lien entre [⚤] & [#] se fait en [♲];
• La cohomologie traite le lien entre [⚤] & [#] en mode ♡.

En se sens, la "dualité" homologie/ cohomologie" serait un passage de niveau à mode, plus complexe que les termes employés ne laissent présager, car sur notre topologie de l'Imaginaire ces deux dimensions ne sont pas duales, mais orthogonales ⊥.

- OK, si je te suis bien, en cohomologie, on laisse tomber le niveau [♲] pour ne s'intéresser qu'aux relations entre [⚤] et [#]?

- Oui, tentons ceci :

- Soit, mais pour comparer les deux approches, il faut d'abord situer la démarche homologique, tournant autour de la propriété fondamentale : Im(∂_n+1)⊆Ker(∂_n), dans ce cadre cohomologique.

• L'application "bord" ∂ applique des objets de dimension Dⁿ⁺¹, vers des objets de dimension Dⁿ; en termes de posture, on passe :
  • objet Dⁿ⁺¹ vu de [#]𓁜 (ex post / global) :
    • les objets Dⁿ⁺¹ sont identifiés globalement
    • servent d'horizons à leur bord de dimension Dⁿ;
  • bordure Dⁿ vue de 𓁝[#] (ex ante / local);
  • Application ∂_n+1 se comprend :
    • dans le retournement 𓁝[#]𓁜⏩𓁝[#]𓁜
    • aboutissant en Dⁿ

soit sur notre schéma :

Bien entendu, il faut répéter l'opération pour arriver à notre expression ∂∘∂=0 :

La posture finale 𓁝 étant naturellement tournée vers l'objet initial, vide ∅, qui se comprends ainsi : "pas de bord de dim Dⁿ pour un bord de dim Dⁿ⁺¹".

Et comme l'expression "naturelle" du niveau [#], est l'union ⋃, il vient immédiatement que Ker(∂_n) à l'étage Dⁿ est l'union des deux sous-groupes: Im(∂_n+1)⋃H_n^∆(X).
Ou, plus précisément H_n^∆(X) est le complément de Im(∂_n+1) dans Ker(∂_n).
Franchement, jusqu'ici, j'ai l'impression que ça tombe d'équerre...

Le 06/ 08/ 2023 :

- Oui, bon ce n'est que la première pierre d'un édifice encore fragile, et après tout, tu n'as rien écrit d'autre que le schéma qui t'était donné d'entrée de jeu...

- Pas faux. À partir de là, j'avoue cafouiller totalement pour passer à la cohomologie, et en explorant la suite de la présentation, je prends conscience que je n'ai pas une vision claire des objets qu'il faut représenter en [⚤].

- Je crois qu'il faut avant tout comprendre de quoi tu parles en [⚤]𓁜^♢, et revenir à tes toutes premières réflexions (cf. (γ) ci-dessus).

- Soit, mais je vais quand même garder les idées suivantes :

1/ Différence de nature entre chaîne/ co-chaîne :

Du schéma ci-dessus (β), je retiens l'idée que :

• Une chaine est une partie de l'objet, en 𓁝[#]^♢, quand
• la co-chaîne associée est une application qui nécessite le changement de posture: [⚤]𓁝⋂𓁜[#]⏩​​​​[⚤]𓁝⋂𓁜[#].
• G est un choix du Sujet en mode syntaxique ♡, appliqué uniformément au mode relationnel ♢(pour tout palier n).

Soit le schéma suivant :

Je crois, je dis bien "je crois" que ce qui manque dans le schéma  (β), c'est précisément le retournement [⚤]𓁜↑𓁝[⚤], qui peut se lire ainsi :

l'application (notée ϕ) sur le schéma produit un résultat identifiable ex post [⚤]𓁜, et l'application δⁿ "plonge" celui-ci 𓁝[⚤] dans G.

En situantt tout ceci sur mon schéma, je suis embarrassé du manque de vocabulaire pour me référer à l'image de l'application "co-chaîne"; car on ne sais trop si l'auteur se réfère à l'application elle-même ou à son image en [⚤]. 

 2/ Différence d'approche homologie/ cohomologie :

• dans la démarche homologique, le "sens" que prend un espace topologique X, se cristallise en [♲], avec un rapprochement du discret et du continu de mode ♢ : ([⚤]𓁝⋂𓁜[#]𓁝⋃𓁜[♲]𓁝⇆𓁜) 𓂀^♢ — ce qui met l'accent sur l'importance du calcul matriciel.
• dans la démarche cohomologique, le "sens" de la structure_⚤^♡ intime de l'objet_#^♢ va se retrouver dans la structure d'anneau H* des groupes de cohomologie, c.-à-d., au bout du calcul des H_n des groupes de cohomologie, vus comme éléments_⚤^♡ de cet anneau H*; qui serait donc un saut final :(Note 10)

Le 07/ 08/ 2023 :

- Je pense que mon trouble, resenti en transcrivant la démarche cohomologique sur mon schéma de l'Imaginaire, révèle à lui seul une erreur dans ma compréhension des objets de niveau [⚤] !

- De quoi parles-tu ?

- De mon besoin de trouver un terme pour définir Im(ϕ) !

Je pense encore "objet" en mode ♢, alors que mon attention devrait se porter sur les relations entre objets. Formellement, ce que je "vois" en [⚤] s'exprime essentiellement comme des mouvements, et donc les "objets" en question sont bien des "co-chaînes' comprises comme objets de mon attention.

- Et c'est important ?

- Essentiel, puisque dans la démarche cohomologique, mon but n'est pas de descendre ↓ en mode ♧ pour voir quels éléments en sont la trace, mais qu'au contraire, nous tendons ↑ vers ♡ pour en extirper la structure sous-jacente, le groupe H* en question, un "groupe de groupes"...

En ce sens, il faudrait écrire :

Nota : G est un choix en 𓁝[⚤]^♡), s'imposant comme horizon commun à [⚤]𓁜^♢, que je simplifie en [⚤]G.

Le 08/ 08/ 2023 :

- En relisant mon texte jour après jour, c'est à chaque fois le même constat : j'aborde systématiquement tout ce qui touche au niveau [⚤] de travers. 

- De quoi parles-tu ?

- De mon commentaire sur le triangle de Penrose (cf. ε). J'emploie le verbe "restreindre", à mauvais escient, et mon explication est donné dans une mauvaise posture.

- Je ne comprends pas ?

- En écrivant "se restreindre à une dimension", j'ai une approche topologique, descendante ↓, bref, je reste dans l'homologie en [#], alors qu'il faut adopter un point de vue algébrique en [⚤], dans le sens de la montée ↑: on ajoute une dimension. Et en prenant conscience de cette erreur de posture, la restriction en question, apparaît immédiatement dans une perspective "Galoisienne", c'est-à-dire que l'ajout d'une extension en [#] s'accompagne d'une restriction en [⚤]. Changement de point de vue, qui rend évident la filiation portant de Galois à la topologie algébrique.

Par ailleurs, je l'avoue, je n'ai pas été attentif à la fin de l'explication de Pillet, lorsqu'il définit les rapports d₁₂, d₂₃ et d₃₁ comme des "cocycles", et les conditions sur λ₁, λ₂,  λ₃ qui en font des "cobords"

- Pourquoi cette inattention ?

- Tout simplement parce que je ne sais pas où situer ces objets dans mon Imaginaire. Entendons-nous : je comprends parfaitement son explication, qui est simplissime, mais je n'arrive pas à y voir l'expression d'une approche cohomologique, faute de situer précisément les expressions d₁₂, d₂₃ et d₃₁ ou λ₁, λ2 et λ₃. sur mon schéma de l'Imaginaire.

- Laisse-toi guider sans résister ! En écoutant Pillet, le cocycle d₁₂ est l'expression algébrique du passage du point A₁ à A₂, qui ne diffèrent dans un espace D³ que par leur distance à l'observateur. Ce cocycle d₁₂ est donc l'expression algébrique d'un "cycle".

- Je n'arrive pas à voir un quelconque trajet de A₁ à A₂ comme un "cycle" ?

- Ce cycle roule dans ta tête comme un cerceau d'enfant ! Arrête ! Tu nous as fait toute une tartine sur la définition du cycle il y a à peine une semaine (cf. 01/ 08), sans avoir rien assimilé du concept. 

Et pense non pas en [#], mais en termes algébriques en [⚤] : un n-cycle est une chaîne C_n qui est dans le Kernel de l'application ∂_n. Ramène maintenant ta façon d'appréhender ce triangle de Penrose dans cette perspective : dire que A₁ et A₂ coïncident, en un seul point, c'est dire que dans l'application ∂₁ des lignes sur les points, tous ces chemins A₁-A₂ sont des 1-cycles.

Maintenant, repars dans l'autre sens.

Le 09/ 08/ 2023 :

- J'ai l'impression d'être un idiot apprenant l'alphabet en suivant les lettres du doigt. 

1/ un n-cycle est une chaîne C_n qui est le kernel de l'application ∂_n ;

2/ En partant de C_n pour "remonter", je ne dispose pas de Im ∂_n+1 ; ce qui me permettrait de définir H_n(X), c.-à-d. le groupe permettant de décrire X à l'étape n;

3/ Cependant, à partir de C_n, il est possible de construire l'ensemble des liens de type (n+1) à partir des C_n, ce qui s'écrit : Hom (C_n,G), qui est par définition Cⁿ(X,G). Il faut juste prendre conscience que Cⁿ explicite à l'étape n les "possibles" de d'étape (n+1), tandis que les C_n se définissent à partir de l'étape (n-1).

4/ L'application co-bord δⁿ va maintenant restreindre les possibles en (n+1), en conditionnant les Cⁿ(X,G).

- Reste à caractériser l'application co-bord δⁿ...

Le 10/ 08/ 2023 :

- Le beau temps est là et il devient difficile d'échapper à cette atmosphère de vacances, 

- Oui, bon, et ce co-bord δⁿ ?

- En rapprochant cette image de Basile Pillet de cette introduction d'Étienne Ghys à la topologie :

je me dis que nous sommes toujours dans la problématique de l'identification et de l'idempotence :

• Dans le passage B↑X↓B, le point sur la base B est le même au départ à l'arrivée, quand
• Dans le passage  X↓B↑X, tous les points de X qui se projettent sur un même point de la base B sont idempotents.

L'homologie est dans le passage ↓, la cohomologie dans ↑.

L'application co-bord doit être un moyen de lever cette idempotence B↑X pour qu'une figure de dimension Dn⁺¹, se projetant en Dⁿ, puisse exister.

- Précise ton idée.

- Je le visualise assez clairement en [#], mais j'ai toujours autant de mal à l'exprimer formellement en [⚤].

Le 12/ 08/ 2023 :

- V. est repartie à Abidjan le 10, et les choses se remettent en ordre, dans la maison comme dans ma tête.

- As-tu besoin de nous parler de ta vie privée, ?

- D'abord, ce blog est mon carnet intime, ensuite, je trouve frappant d'avoir pataugé sur cette histoire de cohomologie pendant une bonne partie de son séjour, ce qui me donnait l'occasion rêvée de me couper du monde pendant son écriture... À vouloir m'extraire de la situation, je me suis extrait de moi-même, jusqu'à la bêtise.

- Mais  encore ?

- De toutes les possibilités définies par C_n=Hom(C_n,G), le codomaine de Hom, qui est proprement l'image du domaine de C_n, la seule partie qui nous intéresse pour définir un "objet" de dimension supérieure, est celle pour laquelle notre application co-bord δⁿ (c.-à-d. celle que j'ai représenté par B↑X ci-dessus) décrit des circuits fermés, autrement dit, tu atterris dans les Kernel de Hom(C_n,G).

- Je ne comprends pas ?

- Mais si ! Regarde le lien entre tes points A1 et A2 : il est vide parce que A1 est A2. Maintenant, il s'agit de passer de cet exemple à une propriété universelle sur tout l'espace des possibles, et tu as ta condition Hⁿ=Cⁿ/δⁿ. Et là, tu tombes sur le cul, parce que c'est merveilleux de simplicité !

Bon une fois le choc de la prise de conscience passé, il faut situer les Hⁿ dans une série d'inclusions d'images (codomaines) et de Kernels (domaines) de δ.

Mais j'ai une difficulté à le faire entrer dans mon schéma... je n'arrive pas à retrouver les schémas de "sens inverse" des auteurs. Il y a une torsion quelque part, et je ne suis pas sorti de l'auberge !

Je dois encore y réfléchir.

- Cela doit être dû aux changements de posture du Sujet, 𓁝/𓁜, qui ne sont pas pris en compte dans les schémas de nos matheux... 

Le 13/ 08/ 2023 :

- Tout à ma surprise de "comprendre", hier, j'en avais effectivement oublié la syntaxe de mon propre schéma de l'Imaginaire.

Après ce que vous avions vu le 04/ 08, il faut garder à l'esprit que dans une "étape" n de construction/ déconstruction de l'objet, ce qui laisse comme trace les C_n comme les Cⁿ, nous avons une dualité local— 𓁝/𓁜—global, dont la signification peut varier.

- De quelle façon ? 

- Il y a différentes façons de comprendre "faire partie de". Il peut s'agir :

• comme dans ce triangle de Penrose d'une partie A, B ou C en 3D d'un objet 3D, ou bien
• d'une projection sur un plan (2D), visible globalement 𓁜, d'un espace 𓁝 (3D) potentiel dont il serait une projection  𓁝↓𓁜.
• Ou encore comme en comptabilité la différence qu'il y a entre un bilan vu ex post 𓁜 et un budget prévisionnel vu ex ante 𓁝.

J'avoue que c'est un peu délicat de faire tout tenir sur un seul schéma, mais tentons de situer les éléments   définissant

• Hⁿ=Kerδⁿ/Imδ^n-1 et
• H_n=Ker∂_n/Im∂_n+1 
• de cette façon :

- Difficile à interpréter, non ?

- Ça nous force à situer correctement le point de vue du Sujet. Si l'homologie paraît à première vue si "simple" à comprendre, c'est que l'application bord ∂ est d'une certaine façon "objective" : tu appréhendes concrètement le Kernel de ∂_n et l'image de ∂_n+1. Au milieu, H_n reste hypothétique en attente de Im∂_n+1. Ensuite, le retournement 𓁝/𓁜 produit concrètement une expression algébrique (à isomorphisme près) H_n.

Le point de vue cohomologique est plus complexe. Prends le triangle de Penrose. Ce qui est donné originellement, c'est une vue 2D^𓁜 à partir de laquelle tu vas échafauder des hypothèses, construire des fantasmes.

• À partir de ce qui est donné C_n, tu projettes une partie ^𓁝3D de G;
• Par le raisonnement vu hier, tu conditionnes cet univers 𓁝 des possibles vu de n^𓁜 par une règle portant sur la dimension ^𓁝manquante (en l'occurrence les points de la profondeur).

- Mouvement faisant penser à X↓B↑X.

- Oui et je pense que nous ne sommes pas près de lâcher notre réflexion quant à la différence entre ce mouvement X↓B↑X qui conduit à l'idempotence des éléments de X opposé à l'identification des éléments de  B dans le mouvement B↑X↓B. Dualité que tu retrouves ici entre homologie et cohomologie. (Note 11)

La règle  Kerδⁿ — X↓B↑X — Imδ^n-1, pouvant se comprendre comme loi permettant de fixer une "coupe" dans X, comme Ker∂_n—B↑X↓B—Im∂_n+1  ramènerait à l'identité des éléments de B. (Idée à conforter)

- Il faudra y réfléchir, oui, mais c'est tout ? Tu nous plantes là avec ce petit schéma ?

- Il importait au premier chef de caractériser les mouvements du Sujet, Ensuite, bien entendu il faudra apprendre beaucoup pour maîtriser ces outils, mais ça nous donne déjà une métaphore intéressante dans d'autres domaines moins structurés que le langage mathématique. 

Tu te plains du peu, mais mon ami, ne vois-tu pas que ce schéma colle parfaitement avec celui que nous avions tiré de Galois ? Tu as là un recouvrement entre algèbre et topologie, avec au passage toute la discussion que nous avions eue autour du concept de "matrice" vu comme un retournement de perspective du Sujet 𓁝/𓁜 !

Par ailleurs, nous avons deux perspectives qui s'offrent au regard :

1/ Une extension au niveau [♲]^♢ du concept de "métrique" :

• En [♲]^♧, à partir d'une approche géométrique [#]^♧, nous pouvons situer l'approche de Lebesgue;
• En [♲]^♢, à partir de la topologie en [#]^♢, nous développons d'autres façons d'ordonner et classer les objets entre eux, à partir des groupes d'homologie et de cohomologie.

2/ Une extension en mode syntaxique ♡ :

• Les groupes de cohomologie Hⁱ pris ensemble ont eux-même une structure de groupe H*;
• Cette structure dépend du choix que l'on fait de G pour décrire l'objet. C'est en cela que nous sommes en mode syntaxique : l'objet dépend du discours qui le décrit.

Comme tu le vois, le sujet est loin d'être épuisé, mais j'espère que nous l'avons suffisamment dégrossi pour attaquer la suite : à savoir les faisceaux de Jean Leray. N'oublie pas que l'objectif est de revenir à cette idée "bébête" que Grothendieck a conçue à partir de là !

- Il y a encore du pain sur la planche..

- Nous en reparlerons plus tard : je dois encore me préparer pour accueillir demain M. à Orly.

Hari

Note 1 :

En toute rigueur :

1. Dans le passage [∃]^♧↑[∃]^♢, je réifie le concept diachronique du changement de niveau [∃]⏩[⚤] primitif;
2. Dans le passage [⚤]^♧↑[⚤]^♢, je réifie l'action première [∃]^♧↑[∃]^♢, ou "je prends conscience de ce que je fais".

Dis autrement en 1/ je fais, en 2/ j'identifie ou j'étiquette ce que j'ai fait.

Désolé, pour ce pinaillage, mais c'est juste pour vérifier que mon schéma est résilient.

Note 2 :

Je ne voudrais pas alourdir le texte par des considérations trop éloignées du sujet, mais vois comme ceci nous renvoie à l'idée du Sujet enfermé dans son Imaginaire, ☯𓁝𓁜☯ : Au-delà des limites de l'Imaginaire, nous ne pouvons rien dire, et là-dessus, nous retrouvons le trauma du Réel Lacanien, comme cette 7^e proposition de Wittgenstein ( "Whereof one cannot speak, thereof one must be silent").

Note 3 :

Je me rends compte, en approfondissant un peu ce qu'est la topologie algébrique, qu'il y a tout un développement à faire autour de ce concept de "frontière". Voir en particulier cette introduction à la. topologie algébrique :

Je développerai à l'occasion, mais a priori, à partir de cette introduction j'imagine que lacet, groupe fondamental, groupes d'homotopie sont conçu à partir d'un point de vue  global [#]𓁜, quand cycle et groupes d'homologie sont appréhender primitivement en posture locale 𓁝[#]. À vérifier.

Note 4 :

Ce n'est pas neuf. Lorsque le petit Ernst joue au fort/ da, il apprend la permanence de l'objet (soit sa bobine, soit sa mère) à partir de la répétition (absent/ présent - o/a - fort/da), mais Freud qui l'observe et nous qui en parlons, ne pouvons plus nous mettre dans sa peau. Ici c'est pareil, un fois que tu as pris conscience du passage de l'objet (*) à la relation →, tu ne peux plus considérer l'objet (*) que comme le produit d'un oubli d'une relation, sa trace (forclusion ou "foncteur d'oubli"). De même que le passage du continu [#] au discret [⚤], apparaît toujours, rétrospectivement, comme une schématisation, comme de passer du paysage à sa représentation sur une photo pixellisée.

Note 5 :

On pourrait voir cette "obstruction" en mode ♢ comme le pendant du choc traumatique au contact du Réel en mode ♧. 

Prenons par exemple "la catastrophe ultraviolette". Depuis la nuit des temps, l'homme utilise du charbon pour produire du feu, et ce corps noir émet de la lumière, sans que cela ait perturbé quiconque avant que nos théories sur la chaleur en fassent une question scientifique. Le trauma dans ce cas n'est pas du type ☯[∃][⚤]𓁜^♧, mais relève plutôt de cette obstruction^♢, révélant une dissonance Imaginaire en mode ♢, tout comme le Réel perturbe l'Imaginaire en mode ♧.

Les deux processus conduisent à une création objective, ou identification ou mesure d'un observable en [⚤]𓁜^♧. De ce point de vue, la catastrophe ultraviolette a conduit à la création d'un monde quantique.

Note 6 :

La mise en perspective à laquelle je procède aujourd'hui me permet de lever quelques incohérences et non-dits dus à une écriture antérieure sur un seul mode objectif ♧. En particulier :

1/ L'objet final du mode ♢ :

C'est seulement maintenant, en réfléchissant à partir de l'idée de simplexe ∆ⁿ, et en particulier que ∆¹ renvoie à l'objet final en ♢, et ∆⁰ à celui du mode ♧, que je comprends avoir fait une erreur en assimilant le mode ♢ à la catégorie des graphes. Non, le mode ♢ renvoie seulement au mouvement, et donc, l'objet final doit être uniquement la flèche du morphisme et non le morphisme lui-même; soit, dans le cas minimal du monoïde la flèche ⟲ et non le monoïde complet •⟲.

Et rétrospectivement, je comprends enfin pleinement, et sans ombre, cette introduction de Lawvere dans "Conceptual mathematics" :

• C'est l'action de "nommer" John qui qualifie l'élément John dans l'ensemble, et nous sommes en mode ♢ pour réifier l'action qui porte sur un "objet" élémentaire, le singleton en mode ♧; (Note 7)
• Ce sont les choix faits en mode ♢ qui font la "clôture" de l'ensemble d'arrivée (John, Marie, Sam), originellement indéfini (comme  ℕ);
• La théorie des catégories se développe pleinement sur les deux modes ♢ et ♧ de l'Imaginaire;

Le saut diachronique entre modes [∃]^♧ et [∃]^♢ une fois identifiée pour ce qu'il est en mode ♢, permet la répétition ∆ⁿ en [⚤]^♢, de la même façon qu'au niveau [⚤]^♧, la répétition mène à  ℕ.

- Ça remet pas mal de choses en question, en particulier quid de l'objet discriminant {{*},{∅}} de la catégorie Ens, que tu plaçais en [⚤]^♧ ?

- Je pense que l'opposition entre (*) et ∅ tient sa légitimité, non pas de la théorie des catégories, mais à la différence des postures du Sujet ☯𓁝𓁜☯ qui se révèle hors de toute considération mathématique. J'ai donc projeté rétroactivement une écriture catégorique de mode ♢ sur le mode ♧.

En toute rigueur il faudrait partir de l'objet discriminant Ω de Graph, pour voir {{*},{∅}} comme l'oubli des flèches de Ω :

les points de Ω	𓁝[⚤]𓁜		𓂀♢
	↓
	[⚤]𓁜	{{*},{∅}}	𓂀♧

Autrement dit, nous ré-interprétons en termes catégoriques, une logique connue des Grecs, à partir de considérations non pas de mode ♢, mais de mode ♡, c'est-à-dire des considérations éthiques ou philosophiques. 

- Je vois que tu réécris tout en termes de foncteurs, et de transformations naturelles...

- C'est la faute au simplexe. Comme je te l'ai dit, il nous oblige à penser sur 3 modes, et tout notre Imaginaire doit se réorganiser dans cette perspective.

2/ La posture 𓁝[⚤] n'est concevable qu'à partir du mode ♢:

• En 𓁝[⚤]^♢, il s'agit de percevoir chaque lien entre 2 objets comme partie d'un "groupe" de transformations vu globalement en [⚤]𓁜^♢;
• En  [⚤]𓁜^♧, le Sujet prend conscience de l'existence (*) d'un élément ☯[∃][⚤]𓁜. La réification du passage [∃]⏩[⚤] donne naissance à la notion de successeur, seule structure propre au niveau [⚤]𓁜^♧.
• Le foncteur d'oubli 𓁝[⚤]^♢↓[⚤]𓁜^♧, établi un diagramme commutatif et le lien précédent est nommé comme élément :

Il y aura sans doute à discuter d'un passage covariant en [∃], mais le plus intéressant ici est le passage contravariant en [⚤] : ce qui est vue localement 𓁝 comme élément d'un groupe, est vu globalement 𓁜, indépendamment du contexte (qui reste indéfini), en mode objectif. Seule reste le nom donné à l'objet, avec l'oubli de l'action du Sujet qui nomme les choses.

3/ La multiplication ou produit:

Ceci mis en place, il est plus facile de faire le lien entre la structure d'anneau et la cohomologie (Voir à 38'49" sur cette vidéo) :

L'auteur, après avoir dit que la structure d'anneau se transmet aux objets topologiques (donc en [#]), donne à titre d'exemple ce schéma de l'intersection de deux courbes pour expliquer que la multiplication (ou produit), dans cette structure d'anneau, correspond à l'intersection de ces deux courbes.

Et ceci rapporté au niveau [⚤] me donne l'image du "produit" de 2 catégories X et Y, où chaque élément repéré par la paire (x,y), avec x∈X et y∈Y, représenterait une intersection ⋂ de X et Y.

On retrouve bien tout ce qu'il fallait en attendre :

• l'élément (x,y) vu localement 𓁝[⚤]^♢;
• le produit XxY vu globalement [⚤]𓁜^♢;
• une expression en [⚤]𓁜^♢;
  • en termes d'appartenance de l'élément : (x,y)∈XxY;
  • à l'aide du connecteur ⋂.

Il faudra reboucler tout ceci avec la théorie des catégories...

Note 7 :

En cherchant ce matin une autre présentation de la cohomologie, je trouve cette vidée sur la cohomologie Galoisienne dans laquelle à 5", est défini un "critère de rationalité de Galois" pour un point dans un corps Kⁿ : il est rationnel sur  k si et seulement si il est fixe par un groupe de Galois g. On retrouve ici, en plus détaillé, cette idée que l'objet est ce qui reste inchangé par les manipulations dont il est l'objet. Il s'agit bien de définir le point par un groupe d'actions :

Note 8 :

C'est à partir de là qu'il faudrait faire le rapprochement avec les définitions catégoriques de  :

• Produit et coproduit,
• Matrice

Mais à chaque jour suffit sa peine !

Note 9 :

Je garde en tête l'introduction du groupe fondamental via la notion de recouvrement par Étienne Ghys.

Voir "Identité et idem potence".

Note 10 :

Cela aurait l'intérêt de conserver notre idée de la circulation général dans l'Imaginaire, bouclant d'objet final [∅]^♢ sur l'objet initial de [∃]^♡ i.e.: 

De cette manière, il doit être possible de faire converger en [⚤]𓁜^♡ nos représentations de l'objet dont les symétries (toujours Emmy Noether) seraient alors exprimables,de façon un peu plus structurée que je ne l'ai fait jusqu'à présent...

Je ne précise pas encore la nature du connecteur associé à la répétition en 𓁝[⚤]𓁜^♡, faute d'en avoir actuellement une idée bien claire !

Note 11 :

Voir Note 3 de #3.

(α) ici crois J'avoue ε mouvement

27/ 07