Répétition et création

Musique de J. S. Bach - Vidéo de Taylor Anderson

- Je n'ai pu résister à l'envie de te faire partager cette vidéo que M. m'a transmise hier, car cette musique de Bach illustre merveilleusement bien la dualité des mouvements S↑ & S↓ entre modes ♧ & ♢ (lorsque l'on se limite à ces deux premiers modes bien entendu; voir "Les 4 modes de l'Imaginaire").

- Encore une parenthèse dans une autre en attente de fermeture, avoue que ça fait très fouillis ton histoire...

- Non, il y a autre chose : je m'aperçois peu à peu que ma façon d'aborder ces développements mathématiques, qui me dépassent de beaucoup, commence à se structurer.

Ou plutôt, j'ai le sentiment que ma façon d'avancer dans l'inconnu dénonce ma nature humaine.

- Pas très clair, peux-tu préciser ?

- Il y a d'abord l'automatisme de répétition, repéré par Freud, je n'y reviens pas. Ensuite, nous avons beaucoup tourné autour de la forme canonique de Lévi-Strauss à laquelle on peut rattacher la déconstruction de Deleuze. Je passe, bien entendu sur la dialectique, ou de façon plus profonde, sur les dualités Yin—Yang ou Linga—Yoni.

- Tu radotes mon ami, tu radotes...

- Laisse-moi le temps d'arriver à ce que nous avons vu de la théorie des groupes de Galois, et tout récemment de la co-homologie, et reviens à ce schéma final (voir ici):

"... tentons de situer les éléments définissant

Hⁿ=Kerδⁿ/Imδ^n-1et
H_n=Ker∂_n/Im∂_n+1
de cette façon :

Co-homologie			Homologie			𓂀^♢
C^n-1=Hom (C_n-1,G)	𓁝[⚤]G		Ker∂_n	[#]𓁜
	δ^n-1↓			↓ ∂_n
Hⁿ=Kerδⁿ/ Imδ^n-1	[⚤]𓁜	C_n/ H_n=Ker∂_n/Im∂_n+1	𓁝/𓁜	𓁝[#]	H_n
	δⁿ↓			↓ ∂_n+1
Cⁿ=Hom (C_n,G)	𓁝[⚤]G		Im∂_n+1	[#]𓁜

Laisse tomber toute la rhétorique mathématique et concentre-toi sur les mouvements de notre petit bonhomme 𓁝𓁜 dans son Imaginaire.

Il y a déjà la répétition d'un mouvement de retournement du Sujet 𓁝↓𓁜, qui porte sur la dualité primaire 𓁝𓁜. Ensuite, la distinction entre les deux approches homologie/co-homologie porte sur la posture de départ :

Ex ante 𓁝[#], tournée vers l'objet initial en homologie (on regarde les trous);
Ex post [⚤]𓁜, tournée vers l'objet final en co-homologie (on définit un objet).

Les deux retournements concernent notre Sujet 𓁝𓁜, mais l'affectent d'une façon différente. Je ne sais trop comment l'exprimer par des mots, mais tentons ceci en attendant mieux :

Les répétitions 𓁝[⚤]↓[⚤]𓁜↓𓁝[⚤] ou [#]𓁜↓𓁝[#]↓[#]𓁜 portent sur le mode ♢ (par exemple dans une approche par les simplexes passage de ∆ⁿ⁺¹/∆ⁿ/∆^n-1);
Les retournements [⚤]𓁝𓁜[#] portent sur les niveaux [⚤]/[#] (épargne-moi le "passage à niveau", merci).

Comme tu le vois, cela paraît plus complexe que la simple dialectique ou les mutations du Yi King, cependant, nous ne traitons portant que des retournements très primitifs du Sujet autour de son axe 𓁝𓁜.

- Certes, mais entre-temps, tu as structuré sa topologie Imaginaire autour de ce qui, métaphoriquement, apparaît en mode ♢ semblable au groupe fondamental de Poincaré : Ω ≅ (𓁝𓁜, niveaux, modes)𓂀^♢, où tu retrouves ta petite musique de Bach... Belle pirouette !

- Oui, je n'en suis pas mécontent, mais j'ai le sentiment que nous pouvons aller un peu plus loin, selon deux voies différentes :

1/ De la dualité à la répétition :

C'est la grande leçon que nous avons retenue : l'objet de la répétition porte sur une dualité qui évolue, de niveau en niveau et de mode en mode. Je te renvoie à "Co-homologie" pour les détails.

2/ De la dualité à la symétrie :

Je crois que c'est là l'apport inestimable de Galois : le groupe de symétrie généralise à plus de deux l'idée que l'on oscille toujours entre plusieurs positions.

- Sauf en [⚤]𓁜^♧ où tu y es coincé dans la répétition indéfinie du même...

- Oui, bien sûr, mais vois-le maintenant comme le cas dégénéré de l'Imaginaire, juste avant que le Sujet aille se fracasser la tête contre le Réel ☯[∃][⚤]𓁜. Dès qu'il cogite un tant soit peu, le Sujet se renferme sur lui-même et cocoone dans son Imaginaire comme un foetus suçant son pouce dans le ventre maternel.

- Un instant s'il te plaît : tu viens de dire en 1/ que la répétition porte sur une dualité et en 2/ tu nous parles de groupes de symétrie au-delà de 2 éléments?

- Oui, le point important tient à la différence essentielle entre :

un 1^er saut diachronique (tu sautes dans l'inconnu) et
les suivants (tu sais ce qui t'attend à l'arrivée).

En ce sens, l'acte de création peut être vu ex post comme une rupture entre deux types de répétitions.

- Je sens que tu vas nous ressortir Emmy Noether...

- En fait c'est tautologique :

La quantité conservée : c'est ce que tu crées, évidemment,
La rupture c'est par exemple le passage du connecteur ⋂ à ⋃ ou bien de ⇅ à ⊥;
L'indétermination se rapporte au créateur 𓂀, bien entendu.

- Mouais, si tu veux, mais encore ?

- Et bien, en lisant les textes sur lesquels j'ai brodé mes derniers articles (i.e. "La cohomologie" et "La folle journée"), j'ai eu le sentiment très fugace qu'un retournement 𓁝𓁜 d'une autre nature était en jeu, mais cette fois-ci pour passer du mode syntaxique ♡ au mode relationnel ♢.

- À quel moment ?

- La première fois ce fut en découvrant que les groupes de cohomologie Hⁿ=Kerδⁿ/ Imδ^n-1 qui structurent la "répétition de mode" en ⁿ[⚤]^♢ (i.e. grâce à Kerδⁿ& Imδ^n-1), ont eux-mêmes une structure de groupe H* dans leur ensemble, ce que j'ai placé d'autorité en [⚤]^♡.

- Autrement dit tu penses à un saut :

H*	[⚤]𓁜	𓂀^♡
	↑
Hⁿ	𓁝[⚤]	𓂀^♢

- Exactement, car, s'il est toujours question de structure de groupe (ne chipotes pas sur les détails), le regard change d'objet : il ne porte plus sur la structure d'un "objet" en mode ♢, au nième pas d'une répétition, mais à la structure d'ensemble de cette répétition elle-même.

- D'accord, et la seconde ?

- C'est beaucoup plus vieux, et plus profondément enfoui encore : je me suis toujours demandé comment l'on pouvait passer du recouvrement d'un espace "à plat", comme on recouvre une salle de bains de carrelage, à la notion de recouvrement où tous les carreaux sont empilés les uns sur les autres (je te renvoie à la vidéo d'Étienne Ghys).

Et jeudi dernier, voulant comprendre le début du début de l'article de Pierre Cartier, je regarde une série de vidéos très claires concernant les surfaces de Riemann (Note 1), lorsque, à nouveau j'ai l'impression d'un glissement dans l'objet du discours.

1/ Au tout début de la présentation, il est question de "fonctions holomorphes", c.-à-d. :

"Une fonction f : U ⊂ ℂ → ℂ est holomorphe si elle est C-dérivable en chaque point de U, et si sa dérivée f : U → C est continue. Les fonctions holomorphes sont donc les fonctions continûment dérivables, au sens complexe, sur tout leur domaine de définition."

2/ De là on souhaite élargir le problème en prenant U non plus en ℂ, mais sur une surface, telle un tore, une sphère, un cylindre etc. L'idée de base étant que "localement", on peut travailler "comme si" ces parties différentielles (des ouverts) étaient des parties de ℂ.

- D'où l'idée du carrelage ?

- Pas tout à fait, car chez Riemann nos ouverts peuvent se chevaucher (en fait on parle de cartes); d'où une difficulté : l'image d'un point sur ℂ ne doit pas dépendre de l'ouvert d'où tu es parti.

3/ Et là, le regard dévie : il s'agit maintenant de définir de quelle façon les cartes vont se raccorder entre elles, et l'on passe de notre objectif de départ à cette question de raccordement entre ouverts qui recouvrent une surface de Riemann.

Et d'un ensemble de cartes que l'on étalait pour recouvrir un territoire, on en vient à la structure de l'atlas que ces cartes forment lorsqu'on les empile.

4/ Le regard maintenant focalisé sur les objets "atlas", il est possible :

De définir leur équivalence (2 atlas sont équivalents si chaque carte de l'un est compatible avec l'ensemble des cartes de l'autre;
De les additionner pour produire un nouvel atlas

Le point fondamental de cette syntaxe c'est que l'on est sûr de l'existence d'un atlas maximum, grâce au lemme de Zorn.

Bon, je n'en sais pas plus à l'heure actuelle, mais tu vois bien comme moi je l'espère ce glissement dans l'attention/ intention du Sujet, qui me rappelle un autre glissement du même ordre (selon moi) entre les groupes d'homologie (ou de cohomologie) et la structure de groupe qui permet de les articuler entre eux...

Dans les deux cas, on passe d'une collection d'objets construits par itération en mode ♢, à la clôture de leur structure en mode ♡, ici dans une structure de groupe, et là par un objet maximum.

Je pense que nous nous rapprochons progressivement de l'articulation entre modes ♢ & ♡...

- À suivre donc... En revenant déjà à l'article précédent, s'il te plaît.

- Amen.

Hari

Note 1 :

Je note ici, pour m'y référer facilement par la suite, les cours du Dr. Venkata Balaji de l'Indian Institute of Technology — Madras :

Très franchement, je souhaiterais comprendre un jour pourquoi cela me semble si facile à suivre lorsque c'est expliqué par un anglophone, et si tordu lorsqu'un Français ouvre la bouche (sauf exception, bien sûr)?