Sur les traces de Lévi-Strauss, Lacan et Foucault, filant comme le sable au vent marin...
3 Septembre 2023
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- Dans toutes mes lectures (voir dernièrement ici) je bute sur le concept de faisceaux. Certes, j'ai bien compris qu'il fallait démarrer l'histoire à partir des surfaces de Riemann, (voir "Répétitions et création"), mais j'ai du mal à rapporter toute cette approche à mon schéma de l'Imaginaire...
- Est-ce que tu touches à ses limites ?
- Je crois plutôt que c'est à moi de me détordre l'esprit, pour véritablement entendre ce que l'on me dit.
- Et cet article "Faisceaux" va t'y aider ?
- En le survolant avant-hier, il m'a semblé écrit avec une volonté d'expliquer simplement l'enchaînement des concepts, et j'y a retrouvé une problématique qui me tient à coeur, nous y viendrons au fil de notre lecture. Je te propose donc de commencer sans plus attendre, gardant en tête ce que nous avons appris des surfaces de Riemann et des fonctions holomorphes.
- Pourquoi cette expression de te "détordre l'esprit" ?
- Parce qu'avec mes préjugés de néophyte, je pense tout de suite que, par quelqu'action magique, le matheux joue de ses formules mathématiques pour nous "en dire plus", comme une cartomancienne tirant les tarots, alors que plus modestement en fait, devant l'inconnu, il tente d'en tirer "un minimum".
Et en repensant aux réflexions de Pierre Cartier sur la nature de l'espace et des points (ici), je comprends qu'il s'agit au fond d'associer à un "ouvert" sur un espace topologique, un "ensemble de points", et ça se remarque dans la définition même que l'auteur donne d'un préfaisceau:
1- Préfaisceaux, faisceaux, et leurs morphismes
"Définition 1.1.
Soit X un espace topologique. Un préfaisceau (d’ensembles) F sur X consiste en les données suivantes :
L’ensemble F(U) est appelé ensemble des sections au-dessus de U du préfaisceau F."
Tu vois immédiatement qu'il y a d'une part des données topologiques : l'espace X et les ouverts U, V, W, que nous plaçons d'autorité en [#] (i.e. X vu globalement en [#]𓁜 et les ouverts vus localement en 𓁝[#]), et d'autre part le soucis de passer à des "ensembles" F(...), et donc des points éléments F(U) pour définir ces ouverts. (Note 11)
- Autrement dit, dans un retournement [⚤]𓁝⋃𓁜[#]⏩[⚤]𓁝⋂𓁜[#] ?
- Exactement : d'où le nom de "topologie algébrique".
Et c'est dans l'emploi de cette référence à une verticalité ("au dessus de U") que personnellement je bute, car de mon point de vue, jusqu'ici, nous tentons plutôt de "semer" des points sur un ouvert... (Note 14)
- Je crois que l'auteur y revient plus tard, au paragraphe 5.
- Soit, continuons donc, avec ce grain de sable dans la chaussure.
"La plupart du temps, le préfaisceau F possède une structure algébrique additionnelle. Soit A un anneau quelconque et soit K un corps quelconque.
Définition 1.2.
Un préfaisceau d’ensembles F sur X comme ci-dessus est appelé un pré-faisceau de groupes abéliens (resp. d’anneaux, de A-modules, d’algèbres, de K-espaces vectoriels) si, pour tout sous-ouvert U⊂X , l’ensemble F(U) est un groupe abélien (resp. un anneau, un A-module, une algèbre, un K-espace vectoriel) et si les applications ρU,V sont des morphismes de la structure algébrique en question. Dans ces cas-là, on suppose alors toujours que F(∅)={0}."
Ça ne pose pas de problème métaphysique, dans la mesure où, après l'identité assez évidente ρU,U=Id et la transitivité ρW,V◦ρV,U=ρW,U, on n'a pas trop de mal à imaginer que toute application ρV,U puisse avoir un inverse pour en arriver à une structure de groupe. Écrire F(∅)={0}. implique seulement d'utiliser une écriture additive.
Fort heureusement, l'auteur nous fait la grâce de quelques exemples, ce qui permet de nous exercer à frotter ces concepts l'un à l'autre comme des cailloux roulant sous la langue d'Ésope.
"(a) Si on assigne à tout ouvert U⊂X l’ensemble C(U, ℝ) des fonctions réelles continue sur U et si ρU,V désigne le morphisme évident de restriction C(V,ℝ)→C(U,ℝ), alors on obtient un préfaisceau d’algèbres sur X , que l’on peut noter CX.
(b) De manière similaire, si X est une variété différentielle de classe Ck, on obtient un préfaisceau d’algèbres sur X en considérant les fonctions de classe Ck définies sur des ouverts U⊂X qui sont à valeurs dans ℝ (ou dans C), et on peut le noter CXk .
(c) Si X est une surface de Riemann, on obtient le préfaisceau des fonctions holomorphes sur X, classiquement noté OX."
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- C'est en mangeant quelques huîtres accompagnées d'un petit Sauvignon des Charentes, que l'esprit à l'aise en ruminant ce texte, j'ai entrevu une éclaircie.
- De quoi parles-tu ?
- Du mouvement [⚤]𓁝⋃𓁜[#]⏩[⚤]𓁝⋂𓁜[#] qui n'est qu'un résumé du processus. Passons-le en détail :
- Je ne te suis pas très bien sur le dernier point...
- La syntaxe♡ que nous définissons ici est indépendante du choix♡ de structure (groupe, anneau, un A-module, une algèbre, un K-espace vectoriel) fait pour structurer l'ensemble 𓁝[⚤]♢𓁜 des éléments vus 𓁝[⚤]♢𓁜.
- J'ai l'impression qu'il s'agit plus d'applications F que de points... (oui)
- Tu as raison : j'ai encore beaucoup de mal à "penser morphismes", par ailleurs, et ça ne simplifie pas la compréhension, on ne sait pas définir de "points" dans les "ouverts" U, V ou W, d'où toute cette gymnastique. En l'occurrence, la répétition des mouvements 𓁝[⚤]𓁜⏩𓁝[⚤]𓁜 définit un point élément dans une structure. (Note 1)
- En fait, on ne sait pas grand chose du passage [⚤]𓁝/𓁜[#]...
- Et c'est bien pour cela que j'ai parlé en introduction de se "détordre" les idées : tout ce mouvement est là pour "tourner" une impossibilité fondamentale : dans le passage [⚤]𓁝/𓁜[#], il y a un gap entre le discret et le continu, et faute de pouvoir pointer des "éléments" ou des points" dans les ouverts en [#], la seule chose que l'on puisse dire raisonnablement, c'est cette application de restriction ρV,U: F(U)→F(V), (sur les flèches et non les objets) qui suit la règle (ii). À la réflexion il y a là un discours extrêmement modeste du matheux, derrière toutes les fioritures d'une écriture exubérante.
Ceci dit, nous retrouvons ici un processus extrêmement général : la "prise de conscience" ou "identification" d'un objet en [⚤]𓁜 est la rencontre entre deux processus S↓ et S↑, ici : (voir "La cohomologie #2")
- Ne me dis pas que tu vas nous ressortir J.P. Changeux ? (voir Note 1 de "La bosse des maths")
- Et pourquoi pas ? Mais laissons là cette aparté philosophique, pour revenir à ce qui me chagrinait tant :
Le 04/ 09/ 2023 :
- Je suis encore sous le choc de l'évidence : il n'y a rien de neuf dans ce que j'ai écrit hier et nous l'avions en filigrane depuis le travail d'Évariste Galois. Nous l'avons revu en abordant l'homologie et la cohomologie, et l'aporie autour de laquelle nous tournons sans cesse est bien la réplique [⚤]𓁝/𓁜[#] en mode ♢ d'une venue au monde que l'infant vit dans sa chair en mode ♧ comme une coupure ☯𓁝/𓁜☯ du sein maternel (voir "Aux origines du Je - Piera Aulagnier").
- Moi je veux bien, mais tu ne retrouves pas les exemples donnés. Explique-moi l'exemple (a) :
(a) Si on assigne à tout ouvert U⊂X l’ensemble C(U, ℝ) des fonctions réelles continue sur U et si ρU,V désigne le morphisme évident de restriction C(V,ℝ)→C(U,ℝ), alors on obtient un préfaisceau d’algèbres sur X , que l’on peut noter CX.
- Tu remarqueras que :
Il y a donc un non-dit dans le passage 𓁝[#] (i.e. : U⊂C) à 𓁝[⚤] (i.e. : les éléments de U∈ℝ).
Le tour de passe-passe, si je puis dire, consiste à "remettre de l'ordre" entre toutes les fonctions grâce à l'application ρU,V : on reste toujours incapable d'exhiber une seule "fonction réelle continue", faute d'un point d'arrivée de départ dans un espace topologique X en 𓁝[#], mais l'on sait que (ii) fait correspondre un restriction en [⚤] à une inclusion en [#]; e basta cosi !
- Remettre de l'ordre ?
- Oui, l'idée qui me vient est celle du peigne que l'on se passe dans les cheveux pour les démêler : on sait où il sont implantés, mais l'on ne sait pas trop où ils aboutissent. En les lissant, on y voit plus clair... (Note 2)
- Sauf que là c'est plutôt l'inverse: l'implantation en U reste vague, quand ℝ est pointé. Et c'est tout ?
- Oui, oui, c'est tout et c'est bien là tout le génie des matheux : ils savent gratter à fond les concepts pour ne retenir que l'os du discours !
- Tu relevais une ambigüité...
- Parce que je suis néophyte (avec quelques préjugés), sans l'usage des codes mathématiques. Je suis obligé de préciser des choses que des matheux savent d'instinct et n'ont pas besoin d'exprimer. Je te l'ai déjà dit : je me déplace en mathématique comme un autiste en société lisant ses fiches pour savoir s'il faut faire un baise-mains, une poignée de mains ou une bise sur la joue de la demoiselle qu'on lui présente.
- Soit, mais j'ai besoin d'une image pour me fixer les ides : si tu devais représenter un "faisceau" par une flèche, comment la tracerais-tu, sur ton schéma de l'Imaginaire ?
- Ce serait une flèche descendante, pointé de ♢↓♧, dans un mouvement de répétition qui nous rapproche de Ens, semblable au mouvement en homologie, qui déshabille l'objet étape par étape pour arriver aux points de sa structure. (Note 12)
Le 05/ 09 /2923 :
- En me relisant ce matin, je reste insatisfait de ce que j'ai pu écrire au sujet du concept de "section". Mes idées se brouillent, avec des flèches qui partent dans tous les sens...
- On peut savoir de quoi tu parles exactement ?
- Du concept de point par exemple. (Note 7)
- Tu l'as défini en mode ♧ comme l'identification d'un trauma : ☯[∃]𓁜⏩[⚤]𓁜, d'où la métaphore avec le concept d'objet final de la catégorie Ens, le singleton (*) au niveau [∃].
- Bien sûr, mais comme je l'ai déjà relevé, j'ai toujours une difficulté personnelle à me détacher du mode ♧, pour aborder le mode ♢ en termes de fonctions (ce texte en est la preuve), ou de flèche de morphisme (soit → ou ⟲) en [∃]♢, et dans le mouvement, le point en question change de place.
- Tu n'es pas très clair.
- Parce que je viens juste d'y penser, que je cherche encore mes mots, et que cela me demande de revenir sur la définition des modes ♧ & ♢. Dans son article, et précisément au sujet du point, Pierre Cartier parle de 3 plans du discours :
"Le point de vue moderne est ontologique : les points préexistent et sont sans identité propre; comme les monades, ils sont simplement soumis à des relations. La même dualité se retrouve en logique formelle.
Le point de vue sémantique en mode ♢ et syntaxique en mode ♡ me semblent assez évidents, ce qui m'amène à considérer le mode ♧ comme celui de "l'actuel". (Note 8)
- Peut-être dans la zone ☯[∃][⚤], avec le contact du Réel hors Imaginaire, mais pour le haut [#][♲][∅]☯?
- Oui, je le sais bien, nous ne sommes plus dans l'instant, ni le temps logique élémentaire, cependant, il y a malgré tout cette idée d'une "première fois", comme par exemple dans la phase du miroir, durant laquelle l'enfant expérimente le retournement [⚤]𓁝/𓁜[♲] (avant émergence du niveau [#]), qui se retrouve dans le 1er passage de ℕ à ℝ (i.e.: 𓁝[#]𓁜⏩𓁝[#]𓁜), avant la répétition de type ⊥ (de la ligne ou passe à la surface etc.).
- Tu rabâches...
- Je tente de faire le lien entre l'actualité dont parle Pierre Cartier, et la fraîcheur que l'on associe à nos "premières fois", ou découvertes, ou émergences...
- Lis mieux le texte : il n'est pas question pour lui de première fois, mais au contraire d'infinité.
- Je le lis autrement : l'infinité potentielle (celle que tu rumines dans ton cerveau) s'évanouie dans l'instant de l'actualisation.
- Tu en as déjà parlé comme d'une décohérence dans le passage de mode ♢↓♧.
- Voilà, cette fois-ci nous y sommes. Maintenant, revenons à notre "point", et au passage de mode inverse ♧↑♢. La question est : que devient notre point⚤♧ lorsqu'on le décrit en termes relationnels⚤♢ ? Passage que l'on peut décrire ainsi :
| objet initial | ||||
| ⟲ | [∃] | 𓁝[⚤]𓁜 | 𓂀♢ | |
| ↑ | ||||
| (*) | ☯[∃] | [⚤]𓁜 | 𓂀♧ |
Et c'est là que, polarisé comme je le suis par l'idée d'objet comme une "chose" à manipuler entre mes mains, j'oublie qu'en mode ♢ il faut parler de relations. (oui)
- Accouche ! C'est trop long.
- J'avais une difficulté à comprendre exactement le passage de [∃] à [⚤] en mode ♧ : il permet bien, par la répétition du même de dénombrer les coups du Réel, c'est l'automatisme de répétition le plus primaire, et je suis bien tourné vers le Réel ☯[∃][⚤]𓁜 dans ce dénombrement. Cependant, j'avais une difficulté à inverser le passage [⚤][∃], puisque celui-ci est proprement "indicible", et à sens unique, pour exprimer que tout ensemble en [⚤] puisse s'appliquer sur le singleton en [∃].
- Autrement dit tu essayais d'utiliser la propriété universelle du langage catégorique pour parler d'un mode où il n'est pas encore définissable, faute d'avoir réifier le passage [∃]/[⚤] ?
- Exactement. Maintenant, dans ce mode ♢, je peux passer d'une infinité de liens entre les points vus 𓁝[⚤]♢𓁜 pointant vers un unique "objet" en 𓁝[⚤]♢𓁜. Et là s'applique la propriété universelle, qui me permet de comprendre un point⚤♢ vu [⚤]♢𓁜, défini par une infinité de relations 𓁝→𓁜. (Note 4)
En fait, je réifie le passage [∃]/[⚤] avec une inversion de sens 𓁝→𓁜; due au changement de mode.
Maintenant, et c'est là où c'est perturbant, après ce premier retournement (et nous retrouvons ici notre problématique des "premières fois"), je peux voir ensuite, localement ce point 𓁝[⚤]♢, comme appartenant à une structure algébrique, et en premier, à celle de groupe, vu globalement [⚤]♢𓁜.
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- Ça devient compliqué, et en mode syntaxique ♡? (Note 7)
- On peut reprendre le texte de Pierre Cartier de la façon suivante, vu par 𓂀♡:
Règle syntaxique :
quel que soit le mode, un "point" s'identifie en posture [⚤]𓁜 :
- Écoute, tu as l'air de bien t'amuser avec tes petits schémas, et j'en suis content pour toi, mais en quoi ceci va-t-il nous aider ?
- Dans la dialectique entre le point et l'ouvert, la première question à se poser est : de quel point parlons-nous ? (où je commence à raccrocher les wagons !)
- Tu nous parlais d'un processus S↓, et du retournement [⚤]𓁝⋃𓁜[#]⏩[⚤]𓁝⋂𓁜[#]. Et donc ce [⚤]𓁝⋂𓁜 doit correspondre à ce que tu as défini comme l'aboutissement d'un processus S↑, non ? Ce qui nous ramène à tes considérations initiales, et à J.P. Changeux.
- Oui, mais l'algébriste, lui, embraie direct sur l'appartenance de ces points à une structure algébrique : il le manipule en 𓁝[⚤]♢.
- En conséquence, tu dois, en parler en termes d'applications du style 𓁝→𓁜, comme précédemment.
- Avoue que cela prête à confusion !
- C'est bien toi qui cherches à ramener tous nos jeux Imaginaires à des répétitions simples, non ? Et bien soit content, tu es servi.
- Bon, soit, et si nous revenions à nos préfaisceaux ?
Le 06/ 09/ 2023 :
- En repensant à cette digression sur le "point", et à la bonne façon de penser "action" en mode ♢, m'est venue cette idée très banale que l'action 𓁝[⚤]𓁜→𓁝[⚤]𓁜 dans le domaine discret (sur les points en particulier) est analogue à celle qui l'on fait dans le domaine continu 𓁝[#]𓁜→𓁝[#]𓁜. (Note 3)(la remarque est plus importante qu'il n'y paraît).
- C'est en effet très banal, mais du même coup, ne serait-ce pas là le moyen de faire le lien entre discret et continu, autrement dit, cette analogie n'est-elle pas une pensée de niveau [♲]♢?
- Ça reste à développer (Note 9). En tout cas, je crois que je commence à me décoller du mode ♧ et du monde des objets, pour enfin aborder le mode ♢ en me concentrant sur leurs relations elles-mêmes... L'image qui me vient est celle-ci : entre l'action de planter des clous sur une planche (objets discrets) et celle de carreler une salle de bains (des surfaces), l'action en son essence, consiste dans les deux cas à donner une structure d'ensemble à des objets livrés en tas.
- Et nos préfaisceaux dans tout ça ?
- Eh bien je dirais que nous cherchons à structurer en [#] une relation entre des "parties" 𓁝[#] et un "tout" [#]𓁜, en utilisant le langage propre à ce niveau, d'une façon analogue à ce qui est fait au niveau [⚤] entre éléments dans le langage algébrique.
- Et donc le préfaisceau est lié à l'idée de répétition d'une inclusion en [#]♢ est bien dans le passage 𓁝[#]𓁜→𓁝[#]𓁜, où l'on s'exprime avec le connecteur ⋃, et l'on garde l'idée de relation ou d'action (et d'ordre entre elles) sur les parties, en oubliant toute référence à des points, CQFD.
- Si tu avais l'esprit un peu plus malléable, tu t'en serais aperçu à première lecture (oui), en nous évitant un baratin qui nous tient depuis dimanche...
- Certes, mais cela m'a permis de mieux fixer notre tableau de l'Imaginaire. Bref, tout ceci mis en place, et pour en revenir aux surfaces de Riemann, tu comprends tout de suite que la question du "recouvrement" est explicitable algébriquement en [⚤], quand il ne peut se poser qu'en termes d'inclusion en [#]...
- Il reste à comprendre : "L’ensemble F(U) est appelé ensemble des sections au-dessus de U du préfaisceau F". On retombe sur une ambigüité du langage, relevée par Sanders Mac Lane dans "Mathematics form and function" : en écrivant "F(U)", Marçais fait-il référence à l'image de U par F ou bien à la fonction en elle-même ?
- D'après ce qui précède, il faut évidemment comprendre que l'on s'intéresse à la fonction, et non à l'image (i;e.: puisque l'on est en [#], l'idée d'un point d'arrivé reste indéterminé). Autrement dit, la "section" en question doit s'imaginer comme un coup de faux dans un champ de blé F, et donc une coupe au-dessus de la zone balayée U. (Note 8)
- Bon, soit, mais si tu passais à la suite : comment expliquer que l'on puisse ensuite munir ces préfaisceaux d'une structure algébrique ?
- Tu simplement parce que les structures algébriques, de mode ♢ portent sur des actions et non des objets♧. (Note 9)
Le 07/ 09/ 2023 :
- Il est temps de passer aux faisceaux :
Définition 1.3.
Un préfaisceau F sur un espace topologique X est dit être un faisceau si, pour tout ouvert U⊂X et tout recouvrement :
⋃Ui=U avec i∈I
de U par des sous-ouverts Ui⊂U, il satisfait deux conditions.
Nous avions remarqué que le passage du discret au continu en mode ♧ se caractérise par la perte de la notion d'ordre, dès que l'automatisme de répétition passe de [⚤]♧⇅𓁜 à [#]♧⊥𓁜.
Je pense que la nécessité de ces 2 axiomes vient du désir de retrouver un ordre en [#]♢ dans son langage propre [#]♢⋃𓁜, en donnant un sens à la restriction F(Ui∩Uj), qui utilise ⋂, propre au niveau [⚤]♢⋂𓁜.
- Mais, si j'ai bien compris, l'ordre en [⚤]♧ porte sur des objets (i.e. : la réification du passage [∃]⏩[⚤] se répète ⇅), mais ici nous ne pouvons pas objectiver en [⚤]𓁜 les "éléments" d'un ouvert vu comme "partie" U —𓁝[#]/ [#]𓁜 — d'un "tout" X.
- C'est pour cela que l'on s'en garde bien : l'objet]#♢ de cet ordre, c'est le préfaisceau lui-même. "Objet" qui par ailleurs, permet de définir des morphismes :
1.7. Morphismes de préfaisceaux.
Soient maintenant F et G deux faisceaux de groupes abéliens (ou de toute autre structure algébrique) définis sur le même espace topologique X.
Définition 1.8.
Un morphisme de préfaisceaux sur X :
φ: F→G
est une collection de morphismes de groupes abéliens (ou d’une autre structure algébrique) :
φU: F(U)→G(U)
associés à tout sous-ouvert U⊂X qui commutent avec les morphismes de restrictions, i.e. qui, pour toute paire d’ouverts emboîtés V⊂U, assurent la commutativité du diagramme suivant :
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Définition 1.10.
Un morphisme de préfaisceaux φ: F→G est dit injectif ou surjectif suivant que tous les φU : F(U)→G(U) sont injectifs ou surjectifs.
Deux préfaisceaux F et G sont dit isomorphes lorsqu’il existe un morphisme φ : F→G qui est simultanément injectif et surjectif.
Définition 1.11.
On dit que F est un sous-préfaisceau de G si, pour tout ouvert U⊂X, on a F(U)⊂G(U) et si le morphisme φU : F(U)⊂G(U) est induit par l’inclusion.
On vérifie alors (exercice) que la propriété de commutativité signifie : ρGV,UF(U))⊂F(V) pour tous ouverts emboîtés V⊂U, et que ρGV,U coïncide avec ρFV,U sur F(U).
Si F est un sous-préfaisceau d’un préfaisceau G de groupes abéliens, on peut définir un préfaisceau quotient H := G/F en assignant à tout sous-ouvert U de X le groupe quotient :
H(U) := G(U)/F(U).
D’une manière similaire, on définit le préfaisceau noyau, le préfaisceau image, et le préfaisceau conoyau d’un morphisme de préfaisceaux φ: F → G en assignant à tout sous-ouvert U de X :.
U → KerφU, U→ ImφU, U→ CokerφU,
Ce sont des sous-préfaisceaux (respectivement) de F , de G , de G . La somme directe F ⊕G de deux préfaisceaux de groupes abéliens F et G est le préfaisceau :.
U→ F(U)⊕G(U).
Le produit tensoriel F⊗AG de deux préfaisceaux de A-modules est le préfaisceau :.
U→F(U)⊗AG(U) .
En bref, on déploie en [#] toute la panoplie propre à [⚤]. Je t'avoue humblement ne pas capter tous les détails du produit tensoriel, mais note au passage que nous retrouvons les noyaux KerφU et images ImφU dont nous avons déjà vu l'utilité en homologie et cohomologie. Note également le passage "naturel" en (1.9) à une écriture en termes de transformations naturelles.
En ce sens, il me semble que les deux axiomes d'unicité et de recollement sont les expressions de niveau [♲]♢⇆𓁜 qui réalisent l'analogie :
(𓁝[⚤]𓁜→𓁝[⚤]𓁜) ⇆ (𓁝[#]𓁜→𓁝[#]𓁜).
dont nous parlions hier.
Je laisse de côté les exemples donnés, car en écrivant "S1≅ℝ/2πℤ" nous n'avons plus besoin me semble-t-il de considérations purement topologiques, et nous assistons à un simple exercice de virtuosité d'algébriste qui nous éloigne de la dialectique discret/ continu.
2- Collection des germes d’un préfaisceau
"Commençons par introduire la notion de germe qui inspecte les préfaisceaux au microscope.
Définition 2.1.
Si F est un préfaisceau sur un espace topologique X et si x∈X est un point quelconque, l’ensemble Fx des germes de F en x est défini comme étant la limite inductive abstraite :
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c’est-à-dire plus explicitement, Fx est l’ensemble des classes d’équivalence d’éléments appartenant à la réunion disjointe :
∐U∋xF(U)/∼x
modulo ‘∼x’ dans laquelle deux éléments :
F1∈F(U1), U1∋x et F2∈F(U2), U2∋x
sont considérés comme équivalents :
F1∼x F2,
si et seulement si — par définition — il existe un voisinage ouvert V∋x avec V⊂U1∩U2 tel que :
ρV,U1 (F1) = ρV,U2 (F2).
Intuitivement et conceptuellement parlant, les germes sont donc des sections considérées dans un voisinage arbitrairement petit du point de référence."
Quand ça tourne autour du pot de cette façon, c'est qu'il y a baleine sous coquillage, et là, à mon humble avis, en commençant par "Si F est un préfaisceau sur un espace topologique X et si x∈X est un point quelconque,..." tu es sûr que ça va partir en cacahuètes.
Le 08/ 09/ 2023 :
- Je trouve ta dernière remarque bien ironique, tu expliques ?
- Dire x∈X me semble une faute de syntaxe, tout simplement :
1/ Pour aller de X, vu [#]♢𓁜 au point x, vu [⚤]♢𓁜, il est nécessaire de passer par un ouvert U vu 𓁝[#]♢ pour ensuite effectuer le retournement dont nous avons déjà parlé: [⚤]♢𓁝⋃𓁜[#]♢⏩[⚤]♢𓁝⋂𓁜[#]♢; avec au passage un changement de langage (de ⋃ ou passe à ⋂).
2/ Nous avons vu que le point, en [⚤]♢𓁜 est "originellement" l'objet final d'une infinité de morphismes 𓁝[⚤]♢⏩[⚤]♢𓁜, après une montée [⚤]♧𓁜↑𓁝[⚤]♢ (voir notre discussion du 05/ 09).
3/ Après avoir identifié en [♲]𓁜 l'équivalence (𓁝[⚤]𓁜→𓁝[⚤]𓁜) ⇆ (𓁝[#]𓁜→𓁝[#]𓁜) (voir hier), l'équivalent d'un ouvert U vu 𓁝[#]♢ serait l'élément x vu 𓁝[⚤] d'une structure par la propriété universelle algébrique vue [⚤]𓁜.
Et donc, dans le retournement défini en 1/, en toute logique, je devrais me retrouver sur le point originel, défini en 2/, soit [⚤]𓁜, mais, comme pour décrire ce retournement 𓁝[#]⏩[⚤]𓁜, j'utilise l'équivalence 3/, le point "équivalent" à un ouvert doit se comprendre en posture 𓁝[⚤].
- Le point x est nécessairement le même, vu ex ante 𓁝[⚤] ou ex post [⚤]𓁜. La posture ex ante, supposant nécessairement un "environnement, et donc, en [⚤]𓁜 une structure algébrique.
- OK, mais alors il faut l'expliciter en [♲] : (𓁝(*)⚤⇆(*)⚤𓁜)⇆𓂀♢, ou de façon plus globale encore, en mode syntaxique ♡, complétant ainsi ce que nous avons déjà vu ici.
Quoi qu'il en soit, tu ne peux pas écrire directement x∈X, puisque "∈" est un élément de langage de niveau [⚤].
- Il faut passer par nos 2 axiomes d'unicité et de recollement qui réintègrent de l'ordre au niveau [#]♢, avec l'idée de "restriction".
- C'est exactement ainsi que l'auteur introduit le "germe".
Le 09/ 09/ 2023 :
- Revenons à cette définition des "germes". L'expression : ∐U∋xF(U)/∼x doit être rapprochée de la façon que nous avons de représenter le point⚤♢ :
Or, il est facile de voir dans ∐U∋xF(U) l'équivalent de la collection des morphismes → précédents, et ce "modulo ∼x" me semble bien correspondre à notre point⚤♢ vu comme codomaine unique d'un ensemble de morphismes.
- Autrement dit, pour parfaire ton analogie entre [⚤] et [#], le germe#♢ x serait vu [#]𓁜 au même titre que l'espace topologique X en entier ?
- Non, je crois que le passage de [⚤] à [#] reste, comme en mode ♧ une traversée du miroir d'Alice:
Je comprends ainsi l'enchaînement du processus :
|
morphisme |
→ |
préfaisceau |
[♲]⇆𓁜 | 𓂀♢ | ||
| ∈ | 𓁝[⚤]𓁜 | 𓁝[#]𓁜 | Ouvert | |||
| ↑ | ↓ | restriction / ⊂ | ||||
| élément | 𓁝[⚤]𓁜 | ← | 𓁝[#]𓁜 | Ouvert | ||
| point | germe | |||||
/image%2F0964014%2F20230909%2Fob_41af1e_capture-d-ecran-2023-09-09-a-19-04.png)
Après ça, petite pause méditative à la fraîcheur d'un arbre...
Le 10/ 09/ 2023 :
- J'ai bien relu ton dernier texte, mais tu ne peux pas te permettre de parler de "faute de syntaxe" dans l'énoncé "x∈X"...
- Disons que c'est un raccourci qui m'a perturbé. Mais effectivement, un matheux qui sait de quoi il parle n'a sans doute pas besoin de se rappeler sans cesse qu'en [#], pour parler d'un point x en [⚤], il suffit de travailler sur un ouvert V "aussi petit" que l'on veut, pourvu qu'en se retournant, le Sujet retombe sur notre point x, c'est ce que représente notre schéma : 𓁝[⚤]𓁜←𓁝[#]𓁜.
- Dans la suite du texte, ce n'est pas la seule occurrence de l'emploi de ∈ au niveau [#] ! L'auteur parle également de "F1∈F(U1), U1∋x ".
- En ce qui concerne une "famille de préfaisceaux", la situation est différente : nous avons convenu qu'il y a une analogie formelle entre les "actions" réalisée sur des ouverts et celles réalisées sur des points, autrement dit des morphismes élémentaires en Ens. Ce que j'ai compris comme une règle de niveau [♲]♢𓁜, toujours sur notre schéma. En ce sens, on peut écrire "F1∈F(U1)" sans ambigüité.
Ceci étant préciser, avançons un peu.
"Définition 2.2.
Pour tout ouvert U⊂X et tout point x∈U, on note :
ρx: F(U)→Fx
l’application qui assigne à toute section F∈F(U) sa classe d’équivalence modulo ∼x.
L’image ρx(F) d’une section F∈F(U) est alors appelée germe de F en x.
Lorsque F est un faisceau de groupes abéliens, on vérifie pour tous F1, F2∈F(U) que (exercice) :
(2.3) ρx(F1 ± F2) = ρx(F1) ± ρx(F2),
et, pour tout sous-voisinage ouvert x∈V⊂U, pour toute section F∈F(U), que (exercice) :.
(2.4). ρx ρV,U (F ) = ρx(F )."
En bref, on retrouve en [#] tout ce que a été développé en [⚤], ce qui n'a rien d'étonnant puisque c'était le but recherché. L'auteur en tire des conséquences utiles à la compréhension des fonctions holomorphes et méromorphes, que je laisse de côté. Poursuivons :
"Lemme 2.8.
Si F est un préfaisceau de groupes abéliens sur X, alors pour tout x∈U, le germe Fx admet une structure de groupe abélien.
En outre, tout morphisme de préfaisceaux induit des applications entre germes.
Proposition 2.9.
Soient deux préfaisceaux de groupes abéliens F et G sur un espace topologique X, et soit φ: F→G un morphisme. Alors en tout point x∈X, ce dernier induit un homomorphisme-fibre entre groupes abéliens :
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Le résultat étant indépendant du choix d’un représentant F∈F(U) de f = ρFx (F) avec U∋x ouvert."
Où nous voyons le terme de fibre pour la première fois : une fibre est un faisceau sur un ouvert se réduisant à x, par les voies que nous avons vues.
3- Topologie sur l’espace des germes d’un préfaisceau
"Soit comme précédemment F un préfaisceau arbitraire sur un espace topologique quelconque X. On souhaite maintenant munir la réunion disjointe des germes de F en tous les points x de X :
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d’une topologie naturelle. À tout ouvert U⊂X et à toute section F∈F(U), on associe la collection des germes de cette dernière :
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et l’on prétend que cette (immense) collection convient."
- SI je comprends bien le propos, faute de pouvoir affirmer que l'image par Fx d'un "point" x de X est lui-même dans un espace topologique, semblable à l'espace de départ X, à tout le moins peut-on munir l'ensemble des préfaisceaux Fx d'une topologie.
- Oui, et la démarche est tout à fait cohérente puisqu'en mode ♢ nous ne nous intéressons plus aux "objets" eux-mêmes, mais à leurs liens, ou actions par lesquelles nous les associons.
- Du morphisme au faisceau l'idée de mouvement va donc s'enrichir, et le passage de [⚤] à [#] ne sera plus réversible ?
- Rétrospectivement, il faudra certainement voir le passage du faisceau au morphisme, comme un "oubli" de la structure topologique du faisceau... Mais n'anticipons pas.
"Proposition 3.1.
Le système de tous ces ensembles [U, F], où U⊂X est ouvert et où F∈F(U), forme une base pour une topologie sur ∐x∈XFx."
Suivons la démonstration qui est intéressante :
"Démonstration :
Pour s'assurer que le système puisse bien former une base pour une topologie sur ∐x∈XFx, on doit premièrement vérifier que tout élément de ∐x∈XFx est contenu dans au moins un [U, F], ce qui provient du fait que tout germe possède au moins un représentant local.
Deuxièmement, on se convainc par la réflexion — exercice très recommandé — que cette famille est stable par intersection :
[F, U] ∩ [G, V] = [H, W],
où W est l’ensemble ouvert (exercice) de tous les points x ∈ U∩V en lesquels ρx(F) = ρx(G), et où H := ρW,U(F) = ρW,V(G).
On introduit alors deux notations abrégées pour désigner cette réunion de fibres munie de cette topologie canonique :
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Cette "stabilité par intersection" est toute entière un concept de niveau [#], ce qui évite un passage par [⚤], et au recours à des "atlas" tels ceux représentant une surface de Riemann en ℂ.(Voir "Répétitions et création").
- J'ai l'impression d'une inversion dans le concept de "base" topologique.
- Précise ?
- Par exemple dans un produit cartésien : un "objet" de (X,Y) de la collection est représenté par la donnée de (x,y) avec x∈X et y∈Y. Ici, la donnée des U reste très vague, et un point x∈U ne se laisse approcher qu'en restreignant le faisceau F(u) enserrant la fibre fx, comme on attrape un cheval au lasso pour le ramener à soi.
- Je pense que cela vient du schéma général que nous avons vu hier :
|
morphisme |
→ |
préfaisceau |
[♲]⇆𓁜 | 𓂀♢ | ||
| ∈ | 𓁝[⚤]𓁜 | 𓁝[#]𓁜 | Ouvert | |||
| ↑ | ↓ | restriction / ⊂ | ||||
| élément | 𓁝[⚤]𓁜 | ← | 𓁝[#]𓁜 | Ouvert | ||
| point | germe | |||||
Je parlais du miroir d'Alice, et je pense que le retournement en question est très général : je m'intéressais au renversement de perspective : point — [⚤]𓁜/ 𓁝[#] — germe, mais tu as sans doute remarqué l'inversion en :
𓁝[⚤]𓁜↑𓁝[⚤]𓁜 — montée contravariante / descente covariante — 𓁝[#]𓁜↓𓁝[#]𓁜.
Il y a là une double inversion qui demande réflexion de notre part, si je puis dire. Je te propose de nous familiariser avec ce changement de perspective sans trop philosopher dessus pour l'instant. (Note 5).
Il s'en suit tout un ensemble de proposition inutile de rappeler ici, mieux vaut lire directement le texte où la typographie utilisée rend les expressions plus lisible que ce que le html ne peut reproduire ici. Je m'arrête juste sur le final de l'auteur concernant l'identité et la séparation :
"Définition 3.9.
Un préfaisceau F sur un espace topologique X est dit satisfaire le principe d’identité germique si pour tout ouvert connexe U⊂X, pour toute paire de sections F, G ∈ F(U) dont les germes coïncident en au moins un point x∈U :
ρx(F ) = ρx(G),
on a nécessairement F = G.
Théorème 3.10.
Soit X un espace topologique localement connexe séparé et soit F un préfaisceau sur X qui satisfait le principe d’identité germique. Alors l’espace topologique Germes (F) = ∐x∈XFx est séparé."
Tu te souviendras peut-être de toute la discussion que nous avons eu concernant la définition d'un espace topologique, à partir des ouverts, des fermés, ou encore les adhérences ou les voisinages (voir "Point #8") ?
- C'est un peu loin, mais encore ?
- Nous tournons toujours autour de la même difficulté, à savoir le mariage impossible du discret et du continu, qui rend difficile de définir les "limites" d'un ouvert ou d'un fermé. D'où les "atlas" en [⚤]♢ dont nous venons de reparler pour représenter une surface en géométrie.
Et bien là, on identifie, non pas le point x, mais le germe sur x. C'est donc à mon sens une réflexion de niveau [♲]𓁜; permettant de passer de l'identification d'un point en [⚤]♢𓁜 à celle d'un germe sur x en posture 𓁝[#]♢. Ce qui permet de transmettre à la topologie des préfaisceaux, celle de l'espace topologique sur lequel ils prennent appui. En particulier le terme de "séparation" renvoie à nombre de définitions (voir "Axiomes de choix et de continuité").
- Tout ça pour nous dire quoi ?
- Que l'on tourne toujours autour de ce gap discret — [⚤]/[#] — continu, avec beaucoup d'intelligence, certes, mais sans jamais s'en affranchir.
4- Faisceautisation des préfaisceaux
Je passe pour l'instant : ce que l'auteur définit à partir des "espaces fibres" me passe au-dessus de la tête, et j'aurais préféré qu'il parle de sections et projections en termes de catégories. Par ailleurs, en lisant le texte en diagonal, il me semble qu'il sera plus simple d'y revenir (si nécessaire) après lecture du paragraphe suivant.
Le 11/ 09/ 2023 :
- J'étais parti pour boucler cet article bien trop long à mon goût, pensant que le passage de "préfaisceaux" à "faisceaux" serait une formalité, pour s'apercevoir au fil de ma lecture que je n'avais peut-être rien compris au sujet, et que tout est sans doute à reprendre. C'est dans ces moments-là que je me désole de n'avoir pas un ami matheux avec qui discuter pour m'éviter ce genre d'écueil.
- Qu'est-ce qui te perturbe tant ?
- La définition d'une "fibre" :
Définition 5.1.
Soient X et Y deux espaces topologiques, et soit τ : Y→X une application continue. Si x∈X est un point, la fibre de x est l’ensemble :
τ−1(x) = {y∈Y : τ(y) = x} .
Guidé par le vocabulaire, je m'attendais à ce qu'une "fibre" soit comme l'élément d'un "faisceau", or cela n'a rien à voir.
Les deux ne sont pas comparables. La flèche, représentant une action ou un lien est de mode ♢, la fibre me paraît être une vue "objective" de mode ♧, et j'y perds mon latin.
- Avant d'aller si vite au paragraphe 5, essaie de suivre la présentation de l'auteur... Reviens au début du paragraphe 4 :
"Au début de ce chapitre, nous avons adopté une terminologie qui décidait d’appeler «sections» les éléments F(U) d’un préfaisceau F associés à un ouvert U d’un espace topologique X. Or nous l’avons déjà dit, le terme «section» possède déjà — en topologie et géométrie différentielle par exemple — un sens plus spécifique : si π : E→M est un espace fibré (principal, vectoriel, etc.) au-dessus d’une variété lisse M, une section de π au-dessus d’un ouvert U⊂M est — d’après une définition standard universellement admise — une application lisse σ : U→E «allant dans le sens inverse de π» qui envoie chaque point x∈U dans la fibre Ex := π−1(x) «située au-dessus de lui», à savoir brièvement, une application qui satisfait π ◦ σ = IdU ."
Tu retrouves immédiatement toute notre discussion autour des sections/ rétractions catégoriques (voir "Identité et Idempotence"), et ta fibre est bien définie catégoriquement, en mode ♢. Il reste à comprendre de quel espace fibré nous parlons ici... Mais je m'épuise à lire la suite...
Je manque désespérément de matière pour comprendre les enjeux, et en glanant quelques idées sur le net, je trouve cette conférence inaugurale de Pierre Cartier à l'IHES du 23/ 11/ 2015, concernant les topos, où il fait un historique de l'idée de faisceau. Par ailleurs, j'ai de vagues notes d'une intervention de Jean Benabou à l'atelier Clef d'Anatole Khelif le 22/ 05/ 2019 concernant les catégories fibres... (Note
- Et qu'en retires-tu ?
- il est bien entendu que tout ceci me passe largement au-dessus de la tête, mais j'ai malgré tout retenu quelques pistes. En particulier qu'il y a deux façons d'aborder les faisceaux, et dans ma tête, j'ai le clignotant "orthogonal" qui s'allume dans ma tête.C'était le grand sujet de Benabou, avec son idée de "flèche cartésienne". Ensuite, il y a un lien à faire avec la cohomologie, enfin, avec Grothendieck, il semble bien qu'il soit possible de ramener l'idée de topologie au niveau discret.
C'est très ténu, mais suffisant pour me faire comprendre que j'ai dis quelque bêtises.
En particulier concernant le mouvement à considérer pour parler de faisceau.
J'ai écrit ici, que le préfaisceau était dans le passage 𓁝[#]𓁜→𓁝[#]𓁜, c'est idiot; et j'aurais du m'en rendre compte en présentant ce schéma :
|
morphisme |
(3)→ |
préfaisceau |
[♲]⇆𓁜 | 𓂀♢ | ||
| ∈ | 𓁝[⚤]𓁜 | ← (5) | 𓁝[#]𓁜 | Ouvert | ||
| ↑ | ↓ (1) | restriction / ⊂ | ||||
| élément | 𓁝[⚤]𓁜 | ← (2) | 𓁝[#]𓁜 | Ouvert | ||
| point | germe | |||||
après ce que j'en ai dit hier :
"... je m'intéressais au renversement de perspective : point — [⚤]𓁜/ 𓁝[#] — germe, mais tu as sans doute remarqué l'inversion en :
𓁝[⚤]𓁜↑𓁝[⚤]𓁜 — montée contravariante / descente covariante — 𓁝[#]𓁜↓𓁝[#]𓁜.
Il y a là une double inversion qui demande réflexion de notre part, si je puis dire."
Prenons une seconde ce schéma au sérieux, et tentons un rapprochement avec ce que nous avons pu comprendre des rapports entre homologie et cohomologie (voir ici).
Dans l'idée de "restriction, il y a bien celle de répétition; et donc, pour prolonger ce que nous avons déjà vu à plusieurs reprises, il conviendrait de distinguer le premier saut (ou plutôt ici : le dernier, vers le germe) et des autres, de même qu'en [#]♧ il faut distinguer le premier, menant de ℕ à ℝ de sa répétition qui mène à ℂ, etc. Dans cette optique, le préfaisceau serait dans cette descente ↓(1) dont le terme ultime serait le germe.
Il reste au terme de cette régression, à passer du germe au point ←(2), là rien de changer.
Maintenant imaginons la possibilité de ←(5):
Et ces deux flèches ↓(1) et ←(5), peuvent se comprendre comme un double conditionnement des faisceaux.
- Qu'entends-tu par conditionnement ?
- D'une part avec ↓(1), nous parlons de préfaisceaux au niveau [#]♢, et d'autre part, avec le passage [⚤]𓁝⋃𓁜[#]⏩[⚤]𓁝⋂𓁜[#], nous nous intéressons à leur structure algébrique au niveau [⚤]♢. Pour faire une image matricielle: d'une représentation vectorielle, nous passons aux combinaisons linéaires entre vecteurs. Et j'ai besoin d'une telle orthogonalité pour comprendre la suite.
- Et donc, quelle différence entre préfaisceaux et faisceaux ?
- Reviens à notre image d'un champ de blé que l'on coupe à la faux. L'idée, c'est que les coups de faux sans être tous à la même hauteur, forment une onde sur le champ de blé : ce serait une "surface étale". Autrement dit une surface assez soft, aux variations différentiables, et l'on s'attend à une expression algébrique du raccordement entre images du sol en tête de coupe.
Tout ceci reste pifométrique, mais je crois que c'est déjà mieux que ce que j'avais hier en tête...
Le 20/ 09/ 2023 :
- Hier, en corrigeant cet article à la lueur du point de vue développé dans "Cohomologie #2", je me suis aperçu de ma mauvaise approche concernant tout ce qui a trait au mode ♢, mes ratures et rectifications donnent une idée de l'ampleur de mes errances, que j'ai sans doute ruminées toute cette nuit, car au réveil me sont venues quelques évidences quant aux symétries entre modes objectif ♧ & relationnel ♢.
- Dans ce tableau tu fais apparaître le mode syntaxique ♡ pour cadrer le mode relationnel ♢.
- Nécessairement, il faut bien que cette limite reste Imaginaire. Mais tu vois que la différence qu'instinctivement nous faisons entre une démarche
n'est pas tant une opposition dialectique qu'une orthogonalité.
- Tu peux développer ?
- En mode objectif ♧, l'opposition fondamentale des postures du Sujet est entre ☯[∃]𓁜 / 𓁝[∅]☯ à laquelle se superpose en mode relationnel ♢, le sens du passage de ♧ à ♡. À ce qui relevait d'une circulation entre niveaux se superpose la question d'un passage entre modes. Et nous commençons à structurer cette nouvelle problématique en termes de topos, à l'aide du schéma développé dans "Cohomologie #2":
| 2-catégories/ topos | ♡ | => | ♢ | Catégories/ sites | ||
| ⇘ | ⇙ | |||||
| ♧ | Ensembles | |||||
(Note 10)
- Je vois que cela commence à prendre tournure, mais ce ne sont que de grands coups de pinceaux sur une toile encore vierge. je te signale que tu n'as toujours pas abordé le concept de faisceau.
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- En repensant aux flèches cartésiennes de Jean Bénabou, et après ce que nous venons de voir, je ne peux m'empêcher de faire le rapprochement entre cette orthogonalité qui se voit chez lui entre ce qui est de la "fibration" et ce qui ressort du "feuilletage", comme l'expression en [#]♢ du passage
([⚤]𓁝⋃𓁜[#]⇆[⚤]𓁝⋂𓁜[#])⇆𓂀♢.
Laisse-moi le temps de méditer là-dessus...
Le 21/ 09/ 2023 :
- En repeignant ce texte encore une fois ce matin, j'ai le sentiment d'être passé à côté de quelque chose de fondamental, lié à cette idée de F(U) "au-dessus de U", quand je vois les opérations sur F(U) pointant vers le bas ♢↓♧, pour retrouver la démarche homologique.
Je dois garder à l'esprit l'origine des développements : les fonctions holomorphes d'un sous-espace P⊂ℂ dans ℂ. Il y a l'idée qu'à partir d'une partie P d'un espace donné X, on peut définir un espace quotient X/P: en ce sens le sous-espace P permettant de "quotienter" l'espace X est représenté "sous" X.
C'est de ce point de vue que les F(U) dans X sont compris être "au-dessus de U".
- Où est ton erreur ?
- Il n'y en a pas : c'est juste une question de point de vue :
Il doit y avoir quelque chose de fondamental, à identifier en mode ♡, concernant ce renversement de sens ♡⇅♧ accompagnant le retournement du Sujet [⚤]𓁝/𓁜[#] en mode ♢.
- Décidément tu ne fais que radoter : c'était déjà dans ton schéma du 09/ 09.
- Sans doute, mais à un autre niveau :
|
morphisme |
→ |
préfaisceau |
[♲]⇆𓁜 | 𓂀♢ | ||
| Groupe | 𓁝[⚤]𓁜 | ← | 𓁝[#]𓁜 | F(U) | ||
| ↑ | ↓ | restriction / ⊂ | ||||
| élément | 𓁝[⚤]𓁜 | ← | 𓁝[#]𓁜 | fibre | ||
| point | germe | |||||
- Est-ce que les foncteurs cartésiens de Bénabou s'inscrivent dans ce schéma ?
Le 22/ 09/ 2023 :
- Je crois qu'il est temps de le suivre à la trace Bénabou dans son exposé pour prendre un peu de hauteur et donner du corps à mes divagations. Malheureusement, la vidéo est de très mauvaise qualité, et n'ayant pas le polycopié de la présentation, je baisse vite les bras, jusqu'à ce que je trouve cette autre cours,
Foncteurs cartésiens et espaces fibrés. voir l'article "Foncteurs cartésiens - Jean Bénabou"
Le 02/ 11/ 2023 :
- Il m'a fallu du temps pour me remettre les idées au net pendant le mois d'octobre. Ce qui m'a conduit à écrire 4 articles :
Le 24/ 11/ 2023 :
- Il m'a fallu tout ce temps pour mettre au clair mes idées concernant la cohomologie, et terminer l'article :
- En résumé, qu'as-tu retiré de ton exploration de la dualité homologie/ cohomologie ?
- Il me semble y avoir trouvé confirmation de mon intuition concernant l'orthogonalité fondamentale qui occupe le mode ♢ entre ce qui relève d'une approche "spatiale" et vectorielle et une transcription algébrique par des formes linéaires. On peut ajouter que la cohomologie permet d'étendre (dans des conditions idéales d'homogénéité de l'espace) une description algébrique essentiellement sur une seule dimension, à des dimensions quelconques, grâce au concept de produit ⌣ . Dualité qui est au fondement du théorème de Poincaré sur les variétés. (Note 15)
En relisant l'article de Marçais je le trouve difficile à suivre parce qu'il y a un mélange des genres, entre ce qui relève de 𓁝[#]♢ et ce qui relève de [⚤]♢𓁜.
- Peux-tu préciser ?
- Reviens aux définitions 1.1 et 1.2 des préfaisceaux.
Or, nous venons de voir que toute la mécanique liée au passage 𓁝[#]♢<=> [⚤]♢𓁜 est loin d'être simple.
- Tu abandonnes ?
- Non pas. Nous avons malgré tout repéré la filiation entre cette définition 1 et la notion de fibre, de germe et de topologie sur les germes d'un faisceau, avec un schéma de compréhension du passage entre :
Et c'est loin d'être négligeable.
Maintenant, là où je me suis fourvoyé, c'est en comprenant le préfaisceau comme un objet purement topologique, alors qu'on peut lui assigner dès le départ une structure algébrique. La différence entre faisceau et préfaisceau tenant simplement à la définition 1.3. que je n'avais pas voulu aborder, avant d'avoir clarifié mes idées :
Un préfaisceau F sur un espace topologique X est dit être un faisceau si, pour tout ouvert U⊂X et tout recouvrement :
⋃Ui = U (i∈I)
de U par des sous-ouverts Ui⊂U , il satisfait deux conditions :
- Et si l'on faisait un résumé de tes erreurs pour tenter de mettre un peu d'ordre dans ton cerveau ?
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- Les termes de "faisceau" et "préfaisceau" m'ont fait penser à ceux de "flèche de morphisme" ou de foncteur, et j'ai instinctivement pensé à un recouvrement avec cette image en tête, et des "flèches" verticales. Une image d'ordre géométrique, associée à des concepts topologiques, en [#]♢.
Je me suis d'autant plus conforté dans cette représentation, que la définition 1.1. des préfaisceaux conduit, par une approche purement topologique, aux concepts de fibre et de germe.
De là, je me suis forgé l'idée que le préfaisceau était un concept de niveau [#] et que le faisceau devait tenir à l'adjonction d'une structure algébrique de niveau [⚤], fabriquant ainsi une sorte d'orthogonalité entre les deux.
- Et cette idée était fausse.
- Totalement. La dualité des deux définition 1.1. et 1.2. souligne au contraire la volonté de lier une structure topologique (1.1.) à une structure algébrique (1.2.).
- Autrement dit, nous traitons ici du passage [⚤]𓁝/𓁜[#] que nous avons vu en détail avec les groupes d'homologie et de cohomologie ?
- Exactement ! Rapportés à mon schéma de l'Imaginaire, les faisceaux/ préfaisceaux traitent d'un passage horizontal [⚤]⇆[#] de mode ♢, quand je voulais faire un lien ♢⇅♧.
- J'ai le sentiment que cette figure de patatoïde te perturbe beaucoup et que tu ne sais décidément pas dans quel sens la prendre ! Tu y revenais encore ici dans "Cohomologie #3". Une sorte de patate chaude en quelque sorte...
-J'en ai bien conscience, et je pense que la réponse se trouve en mode syntaxique ♡, et qu'il est un peu tôt pour nous y attarder.
Mais il y a malgré tout la nécessité de partir de faire le lien entre points et singleton en mode élémentaire ♧, ce qui nous renvoie à ce schéma, qui, finalement résiste à toutes mes investigations, à quelques modification près :
1/ Concernant la définition d'un "point" :
| Groupe | 𓁝[⚤]𓁜 | 𓁝[#]𓁜 | F(U) | 𓂀♢ | ||
| ↑ | ↓ | fibre | ||||
| élément | 𓁝[⚤]𓁜 | ← | 𓁝[#]𓁜 | 𓂀♧ | ||
| point | germe | |||||
2/ Concernant la définition 1.1. des ouverts U ⊂ X :
Nous sommes dans la répétition d'un mouvement local — 𓁝/ 𓁜 — global en [#]
| 𓁝[⚤]𓁜 | 𓁝[#]𓁜 | U⊂X V⊂U |
𓂀♢ | |||
| 𓁝[⚤]𓁜 | 𓁝[#]𓁜 | 𓂀♧ | ||||
- Peux-tu détailler ?
- Au départ, U⊂X, implique que U est appréhendé ex ante 𓁝 et X est vu ex post 𓁜, ensuite en écrivant V⊂U, c'est U, vu ex post 𓁜 qui sert d'horizon à V, vu ex ante 𓁝.
Il s'agit d'un type de répétition utilisant le connecteur ⊂, mais contrairement à ce que l'on a vu avec les simplexes ∆ en homologie & cohomologie, la répétition ne porte pas sur un changement de dimension. En quelque sorte, on est "à plat", autour de [#]♢.
3/ Concernant les fonctions C ayant X comme domaine de définition :
Je trouve que l'article n'est pas très explicite, et qu'il faut aller voir les exemples pour que ce soit clair : les éléments topologiques tels que X, ou les ouverts, U, V, servent de domaines d'application ayant pour but un espace pointé, soit ℝ, ℂ etc.
- Autrement dit des applications C(U) de [#]♢↓[#]♧ ?
- Exactement :
| 𓁝[⚤]𓁜 | 𓁝[#]𓁜 | X, U | 𓂀♢ | |||
| ↓ | C | |||||
| 𓁝[⚤]𓁜 | 𓁝[#]𓁜 | ℝ, ℂ | 𓂀♧ | |||
4/ Concernant la structure de l'ensemble des faisceaux- préfaisceaux F :
Il s'agit de la structure globale [⚤]𓁜 des applications de restriction ρ 𓁝[#].
| ρ(v,u) | ||||||
| 𓁝[⚤]𓁜 | ← | 𓁝[#]𓁜 | V ⊂ U | 𓂀♢ | ||
| 𓁝[⚤]𓁜 | 𓁝[#]𓁜 | 𓂀♧ | ||||
Comme tu le vois, il y a une différence très nette entre la structure qui peut être associée au germe, dans le schéma 1, et la structure associée au faisceau F dans le schéma 4.
- D'où sans doute une définition purement topologique des faisceaux ?
- Ça reste à voir..
Le 25/ 11/ 2023 :
- N'y arrivant toujours pas, je me suis posé les questions de fond : à quoi servent ces faisceaux, pourquoi Jean Leray y a-t-il pensé, et où est le lien avec la cohomologie.
Et en désespoir de cause, faute de quiconque à qui en parler, j'ai posé la question à ChatGPT voici sa réponse :
La cohomologie et les faisceaux de Leray sont liés dans le contexte de la théorie de la cohomologie à coefficients dans un faisceau. Plus précisément, le théorème de Leray est un résultat important qui établit une relation entre la cohomologie d’un espace topologique total et celle de ses espaces de base, lorsque le total est une fibre d’un fibré localement trivial. Ce théorème est souvent utilisé en conjonction avec la cohomologie Čech pour simplifier le calcul de la cohomologie d’un espace.
En termes plus concrets, le théorème de Leray affirme que si vous avez une application continue entre deux espaces topologiques, et si le préimage de chaque ouvert dans l’espace de destination peut être «recouvert» par des ouverts de l’espace source de manière compatible, alors la cohomologie de l’espace de destination peut être calculée à partir de la cohomologie de l’espace source.
Ainsi, les faisceaux de Leray sont des outils mathématiques qui facilitent ces calculs de cohomologie, en particulier dans le contexte des applications continues entre des espaces topologiques.
Et je découvre la cohomologie Čech :
La cohomologie Čech est une méthode pour calculer la cohomologie d’un espace topologique à l’aide de recouvrements ouverts. Elle a été développée par le mathématicien tchèque Eduard Čech au début du 20e siècle.
L’idée fondamentale est de recouvrir l’espace topologique par une collection d’ouverts, puis de considérer les intersections de ces ouverts pour construire des complexes de chaînes. Ces complexes de chaînes conduisent à une séquence spectrale, qui peut être utilisée pour calculer la cohomologie de l’espace.
En d’autres termes, la cohomologie Čech permet de calculer la cohomologie d’un espace topologique en utilisant des collections ouvertes qui recouvrent cet espace. Cela offre une méthode alternative à la cohomologie singulière ou à d’autres approches pour étudier les propriétés topologiques des espaces. Cette approche est souvent utilisée en conjonction avec le théorème de Leray pour simplifier les calculs de cohomologie dans le contexte de fibrés et de faisceaux.
Tout ceci pour dire qu'il manque plus d'un échelon à mon échelle de Jacob !
- On arrête les frais ?
- Oui je boucle cet article car j'ai besoin d'en savoir un peu plus sur cette cohomologie de Čech pour avancer, et suivre le fil qui m'est indiqué ici., à partir de là.
le 28/ 11/ 2023 :
Voir la suite dans "Faisceaux et cohomologie de Čech".
Hari
Note 1 :
Ce matin, mon attention attirée par les statistiques de début de mois m'indique que cet article "Le mythe fondateur") vient d'être lu par quelques uns.
Or, il pose déjà en 2016 cette question du passage de l'élément à la fonction, alors que je venais à peine d'ouvrir le livre de Lawvere. C'est dire que les changements d'habitude prennent du temps !
Note 2 :
Cette image qui me vient tout à trac, me renvoie immédiatement au théorème du point fixe de Brouwer, l'avenir nous dira si c'est un hasard...
Du 19/ 09/ 2023 :
Après l'article "Cohomologie #2", je me rends compte que je dois inverser la représentation mentale que je me fais de la direction des faisceaux. J'ai l'idée ici d'un cheveu qui se peigne à partir de sa racine, or il s'agirait au contraire de partir du bout libre, pour se "restreindre" à cette racine. Il s'agit de pointer vers le germe, que l'on aborde par la suite.
Idéalement, il s'agirait de pointer une catégorie C↓Set, de façon similaire à un topos qui a la propriété d'être un préfaisceau et un foncteur exact à gauche d'un foncteur Set↑C.
Je dois revoir tout mon texte en ce sens. J'indiquerai si nécessaire les modifications apportées en les écrivant en bleu.
Note 3 :
À la relecture, je m'aperçois revenir à Sanders Mac Lane. Voir en particulier le schéma (β) dans "Mathematica fom and function #3 Reprise") : je commence à m'habituer au mode ♢...
Note 4 :
Notons au passage que l'on fixe l'horizon du Sujet ex ante 𓁝 sur un "point" constitué par la propriété universelle en [⚤]𓁜 alors que primitivement, alors qu'originellement cet horizon est le vide ∅.
Ce n'est pas ici l'endroit pour développer, mais ce passage du mode ♧ au mode ♢ est à rapprocher de l'effort théorique réalisé par Platon, pour imposer le 1 comme horizon philosophique...
Note 5 :
1/ Je pense en particulier à la différence homologie/ cohomologie, sur laquelle il faudra revenir, bien entendu. Voir "La cohomologie et toutes ces sortes de choses".
2/ Au-delà, il faudrait revenir sur ce que l'on entend de la différence entre
Note 6 du 14/ 09/ 2023
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Par miracle, je tombe aujourd'hui sur cette vidéo de 2012 de Bénabou lors d'une séance en hommage à René Guitart.
Note 7 :
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1/ Laurent Lafforgue y revient de façon extrêmement précise dans sa présentation des topos. J'en parle dans "La cohomologie #2".
2/ Nous avons vu également qu'en mode ♡ notre topos est une 2-catégorie, d'où ce schéma général :
| 2-catégories/ topos | ♡ | => | ♢ | Catégories/ sites | ||
| ⇘ | ⇙ | |||||
| ♧ | Ensembles | |||||
Note 8 :
Je le raye de mon texte pour garder la trace de cette erreur d'interprétation. Je cherchais encore à toute force à "recouvrir" l'espace d'une collection de cartes (ou atlas), mais ce n'est pas du tout le propos. L'analogie doit se faire avec l'homologie. Par exemple avec les simplexes, on passe de ∆n à ∆n-1 en perdant à chaque étape un élément de l'objet (du volume, on passe à la surface etc.) pour en arriver à ∆0, c.-à-d. le point. Elle est là l'inclusion.
Note 9 :
C'est même sans doute plus profond que cela : on s'intéresse ici aux relations entre flèches de morphismes, autrement dit nous sommes dans des 2-Catégories, ce que précisément, à la lecture de Laurent Lafforgue, (Note 7) nous venons de placer en mode ♡.
Le rapport [♲]♢/♡ nous ramène au schéma (α) présenté dans "Ikebana".
| [∃]♡ | [⚤]♡ | [#]♡ | [♲]♡ | ☯ | 𓂀♡ |
| [∃]♢ | [⚤]♢ | [#]♢ | [♲]♢ | 𓂀♢ | |
| ☯[∃]♧ | [⚤]♧ | [#]♧ | [♲]♧ | 𓂀♧ |
Note 10 :
Au passage, la question Platonicienne du passage du multiple à l'Un, se comprend ici (exprimé en utilisant le concept de topos de Grothendieck) comme le passage du mode ♧ au mode ♡; non médiatisée avant Galois, puis médiatisée via ♢ après une révolution explicitée par sa théorie des groupes. Révolution initiée par Galilée lorsqu'il s'intéressa à la description du mouvement.
Note 11 :
Aujourd'hui, 21/ 09, je ne cesse de relire cet article pour corriger les erreurs de perspectives qui, rétrospectivement, expliquent pourquoi ce fut si dur d'entendre ce que l'on me disait.
J'écris ici "point" en pensant aux domaine & codomaine d'un morphisme, alors qu'il faut comprendre F(U) comme élément d'un ensemble, c'est ce qui est écrit, et ce que je ne voyais pas, focalisé par l'idée des "points" fantasmés d'un espace topologique.
Note 12 du 02/ 11/ 2023 :
Je reprends laborieusement cet article, après en avoir écrit 4 autres entre temps, et j'avoue avoir du mal à raccrocher les wagons. Cette remarque écrite en bleu est erronée. Je n'ai commencé à y voir un peu plus clair qu'en écoutant Bénabou. Voir :
Note 13 du 07/ 11/ 2023 :
Je n'arrive toujours pas à me dépêtrer de cet article, qu'il me faudra sans doute passer aux oubliettes, afin d'aborder les choses d'une façon plus cohérente.
Cependant, à la relecture, et après tout ce que nous avons remué ces temps derniers, il me semble que ma confusion est sans doute liée aux non-dit de la définition :
1/ Nous nous intéressons au passage de niveau [#]→[⚤] en mode ♢ :
C'est un discours portant sur les fonctions F(U), vues comme "éléments"; d'un point de vue ensembliste. C'est ce que j'avais perçu du texte.
2/ Il y a un passage de modes ♢↓♧.dans un non-dit, qui tourne autour de la difficulté de parler de "points" (domaine et codomaine de F) qui sont a priori —et nous y reviendrons bien sûr— des "objets".
C'est afin de définir ce passage que sont nécessaires les notions de fibre et germe, (voir la suite de l'article), construits en [#]♢ à l'aide du connecteur propre à la répétition associé : ⊂, à partir des préfaisceaux.
|
morphisme |
→ |
préfaisceau |
[♲]⇆𓁜 | 𓂀♢ | ||
| Groupe𓁜 | 𓁝[⚤]𓁜 | ← | 𓁝[#]𓁜 | F(U) | 𓂀♢ | |
| ↑ | ↓ | restriction / ⊂ | ||||
| 𓁝élément | 𓁝[⚤]𓁜 | ← | 𓁝[#]𓁜 | fibre𓁜 | 𓂀♧ | |
| point𓁜 | 𓁝germe | |||||
Dans ce contexte, il faut comprendre ℂ comme ℝ2, construit primitivement en mode ♧. En particulier il s'agit d'un espace "séparable" 𓁝[#]♧, formé de "points" [⚤]♧𓁜.
On comprend, rétrospectivement que cette définition 1.1 soit un peu difficile à appréhender tout à trac : la notion d'ensemble de fonctions F(U), en mode ♢ peut difficilement être ramenée à la notion d'ensemble de mode ♧, à partir de l'idée de "succession" et des axiomes de Peano :
En particulier, la logique en ♢ (par exemple intuitionniste) n'est pas celle de ♧.
Note 14 :
- Je dois bien avouer que 2 mois après avoir commencé cette lecture, je n'ai toujours pas digéré cet "au-dessus" de U.
- Historiquement, on s'intéresse à des fonctions F(U) où U est une partie de ℂ...
- Oui, mais tu vois bien que mélanges les chèvres et les choux. À l'origine, ton ℂ est bel et bien un concept de mode ♧, et ensuite, à partir de U, tu portes un raisonnement topologique, en considérant des "chemins" dont tu te contentes de compter les tours et détours autour de pôles. En ce sens tu passes de U en 𓁝[#]♢ à ℂ en [#]♧𓁜; soit quelque chose comme ça : 𓁝[#]♢↓[#]♧𓁜.
- Je croyais que tu en étais arrivé à cette représentation :
Note 15 :
Je me suis arrêté en route, et il faudra y revenir en détail, mais oui ce travail de Poincaré est à la source même de tous les développements en topologie algébrique. À noter au passage que pour établir ce théorème, il faut définir un "cap product" ⏜. Les deux opérations cup ⌣ et cap ⏜ devant être rapprochées des concepts ⋃ & ⋂ , bien entendu... Leur forme n'est pas due au hasard !
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