Vitesse de groupe, vitesse de phase

- En balayant la liste de mes "vidéos à regarder", je redécouvre celle-ci :

"La fabuleuse histoire du principe de moindre action".

Conférence organisée le 26 novembre 2013, par la Société Française de Physique et l'Université de Toulon. Animée par Monsieur Madjid MESLI, Centre National de Recherche Scientifique (CNRS).

Lorsqu'il en arrive à Lagrange (à 35" sur la vidéo), l'orateur reprend l'idée d'un "échange" entre énergie potentielle et cinétique. Dans l'article "L'approche topologique de Lagrange", j'ai présenté cette approche comme une incompréhension de ma part, alors qu'il s'agissait en fait d'une interprétation "classique" de la physique !

- Quelle importance ? Note-le simplement en bas de ton article.

- C'est ce que j'ai fait, mais du coup, ma prise de conscience:

"il n'est pas question "d'échange" entre deux types d'énergie mais d'établir une équivalence entre deux façons de "représenter" l'énergie !"

gagne en importante, car il s'agit dès lors d'un changement de paradigme.

- Tout doux l'ami ! Dans quoi vas-tu nous embarquer cette fois-ci?

- Tu as raison, cette remarque ne vaudrait pas à elle seule tout un article, mais je ne sais pourquoi, cette revue au pas de course a stimulé mes méninges d'une drôle de façon.

Tout d'abord, il me faut remercier l'orateur pour son introduction (à 5" de la vidéo) partant d'un différent philosophique entre Planck :

"La nature est indépendante de notre façon de la connaître, elle existe objectivement"

et Einstein d'une part :

"Ce que nous appelons science a pour but de déterminer ce qui est"

et Bohr d'autre part :

"C'est une erreur de croire que la tâche de la physique est de découvrir comment est la nature. La physique traite de ce que nous pouvons dire"

Je ne sais pas si Bohr avait lu Wittgenstein, mais ça ressemble furieusement au dernier point du Tractatus, le 7^ème:

"Sur ce dont on ne peut parler il faut garder le silence"

- Tu fais des fiches pour un ouvrage en préparation ?

- Qui sait ? Toujours est-il qu'avant de parler du principe de moindre action, Madjid Mesli porte le fer dans la plaie ! Avec Bohr, plus question d'oublier le Sujet, puisqu'il s'agit d'exprimer "ce que nous pouvons dire". Et je me retrouve pleinement dans sa trace.

- Arrête de te cirer les pompes. Tu as trouvé une citation ou deux à ressortir en société, mais tu ne me déranges pas pour ça quand même ?

- Non bien sûr. Je m'aperçois que j'ai zappé certains fils de trame de cette longue histoire de la physique.

J'ai, en particulier, négligé Fermat, et le principe de "moindre temps", relatif à la réfraction, pour ne retenir que le principe de "moindre distance" relatif à la réflexion. Or, ces temps-ci, je suis particulièrement attentif à ce duo temps/espace, et ça me met en alerte...

Puis, l'orateur fait un rapprochement, que j'ignorais totalement, entre l'optique et la mécanique, avec l'importance du concept "d'indice de réfraction". Et l'aventure commence avec Jean Bernouilli (à 27") et son problème du "brachistochrone", qu'il résout, avec Leibnitz en assimilant le champ gravitationnel à un indice de réfraction !

J'avoue qu'à partir de là, je me suis repassé la vidéo en boucle pour m'en imprégner, qu'elle infuse lentement dans ma cervelle de granit ! Il me faudra certainement beaucoup de temps pour trouver tout ceci évident.

- Encore une fois, tu commences à écrire avant de savoir de quoi tu parles... Nous sommes loin de Wittgenstein !

- Encore une fois, je me sers de ce blog pour élaborer ma propre pensée, non pour donner des leçons. Or, là, j'ai un point dur à résoudre: comment passer d'un indice de réfraction à l'énergie potentielle ? Je suis comme fasciné par ces trois tableaux, que je me permets de repiquer à son auteur, pour y méditer à loisir :

Or, j'ai bien entendu l'orateur dire que le sujet, comme tout corps, se déplace avec une "vitesse de groupe", à laquelle Hamilton a cherché à associer une "vitesse de phase", pour retrouver en mécanique l'équivalent du principe optique de Fermat.

-Je pense qu'il est temps pour toi de laisser cet article de côté par reprendre tes études !

- Oui, oui, j'en comprends la nécessité, mais avant cela je voudrais malgré tout en rester pour l'heure à ma fascination devant ce tableau !

J'y retrouve certains gimmicks qui se propagent d'article en article au fil de ce blog !

Par exemple l'idée de symétrie en miroir dans les deux formules de la vitesse de groupe et de phase, ou encore cette orthogonalité entre rayon lumineux et front d'onde en optique, comme entre vitesse de déplacement d'un objet (sa vitesse de groupe) et sa vitesse de phase qui serait propre à "l'action" en mécanique !

Franchement, c'est pour moi de la pure poésie !

- Tu ne vas pas t'en sortir en évoquant de la poésie ?

- Si, j'en reste là pour me laisser le temps de digérer tout ceci.

La seule chose qui me vient à l'esprit pour l'instant est un souvenir très prégnant de l'agence bancaire d'Abidjan au Plateau, où j'allais retirer chaque mois mon salaire. Je faisais salon dans l'attente de mon tour au premier étage, sorte de palier en haut d'un escalier donnant à claire-voie sur le rez-de-chaussée. Or le palier comme l'escalier étaient flanqués d'un garde-fou de tôle perforée. Ce qui fait que, de ma place, le jeu de la tôle de l'escalier derrière celle du palier produisait comme une sorte de zoom de la structure de la tôle.

- Ça s'appelle un "effet de moiré" en photographie. Un peu comme ceci :

- Oui, c'est exactement ça. Mais, je ne sais pourquoi, cet effet est associé pour moi à cette occasion particulière.

- D'accord, mais pour en revenir à ton sujet ?

- Éh bien, dans cet effet, il y a deux vitesses également:

Le déplacement d'une "couche" de traits fins par rapport à une autre,
La vitesse de déplacement de l'effet produit.

J'y vois intuitivement la différence entre vitesse de phase (celle de la feuille) et vitesse de groupe (celle de l'effet).

- Et ça te mène où ?

- Je te livre mon intuition brute de décoffrage : je pense que tout ceci nous ramène au saut diachronique IR/I#. Ne te récrie pas tout de suite ! Laisse-moi articuler une hypothèse:

En I01, je réifie le concept de temps, je n'y reviens pas. Disons simplement que le temps est l'affaire des strates les plus élémentaires de mon Imaginaire (entre I1 et I01),
En IR, nous nous intéressons à l'espace, et notre approche devient topologique, avec cette idée du quaternion qui présente le temps comme globalement orthogonal à l'espace (tu remarqueras au passage que nous retombons sur Hamilton). (note 1)

Maintenant, je cherche désespérément à caractériser le saut IR/I# de façon aussi radicale que nous avons pu le faire pour le saut I01/IR.

Et cette vidéo me semble être un caillou blanc sur la voie à suivre !

D'un mot, l'idée qui me vient, c'est qu'en I#, nous réconcilions l'espace et le temps.

- Ça nous le savions déjà ! Tu y étais arrivé en partant de la relativité (note 2).

- Oui, oui, mais ce qu'il me manque, c'est la caractérisation franche du passage des maths à la physique. Je me doutais bien que cela tournait autour du principe de moindre action de Maupertuis, nous en avons assez discuté, mais là j'entrevois enfin une voie qui me permettrait d'y arriver !

- De quelle façon ?

- Le temps, plus élémentaire, sera à la base une fréquence, ici l'équivalent d'une "vitesse de phase". Mais la "vitesse de groupe" serait plutôt comme le "déplacement" d'une figure géométrique, ou d'un corps.

- Je ne comprends pas ?

- Revenons à la définition des vitesses de phase et de groupe (note 3).

Une onde de fréquence porteuse Ω modulée par une fréquence ω , émise au point x₀=0, peut s'écrire sous la forme :

y(0,t)= y_m.cos(Ωt).cos(ωt) avec Ω>>ω
ou : y(0,t)=y_m/2(cost(Ω-ω)+cost(Ω+ω))

Or, tu as déjà entre les deux grandeurs Ω et ω une différence de nature qui est de l'ordre de celle entre espace et temps.

- De quoi parles-tu ?

- Une onde modulée, c'est par exemple la voix, à la fréquence ω portée par une radio émettant à la fréquence Ω. Ce qui t'intéresse dans l'histoire, c'est la "forme" ω transportée par les ondes, d'où tu extrairas un sens.

Il y a bien dans l'histoire un discours à 3 étages :

Un échantillonnage à la fréquence ω, qui constitue ta base de temps,
Une forme représentée par Ω,
Un sens né du rapprochement Ω/ω

C'est exactement comme notre effet de moiré. Ce "moiré" est mon "interprétation" d'une variation de l'intensité chromatique d'un ensemble de points sur une feuille de papier.

J'ai l'intuition que ceci est une métaphore très simple de notre étagement Imaginaire :

I01 : temps,
IR : espace,
I# : mouvement.

Et ce mouvement répond au principe de moindre action.

Maintenant, le chaînon qui me manquait, c'était de comprendre quel serait à la charnière IR/I#, l'analogue de la différence espace/temps qui se constitue à la charnière I01/IR.

- Et tu l'as trouvé ?

- Oui: le concept qui se réifie dans l'histoire c'est l'action !

Je le sens, je le sais, et il me faudra encore pas mal de temps pour en trouver une présentation claire et limpide. Mais je sais, grâce à Madjid Mesli, qu'il me faut revenir à Fermat et Hamilton.

Bonne rumination.

Hari.

Note 1 :

Voir:

"Quaternion - réalité du temps et espace imaginaire".

Note 2 :

Voir :

Note 3 :

Voir :

"Propagation d'un paquet d'onde (1/4)"

Je reviens avec gratitude envers l'auteur sur ces vidéos de "E-learning physique" de grande qualité, qui me permettent de réviser des cours depuis bien longtemps oubliés !