La Cohomologie #2 - Reprise

13 Septembre 2023

Nota du 12/ 11/ 2023 à Kovalam :

Depuis le premier jet, ma rumination à porté sur :

Le tout m'ayant fait prendre conscience que pour penser correctement le mode ♢, une démarche purement constructiviste, à partir du mode ♧ restait insuffisante.

J'ai donc rectifié dans le texte ci-dessous ce qui garde un sens, en passant en mode ♡ ce que j'avais présenté en mode ♢. Rectifications en bleu.

Par ailleurs, je reprends partiellement cet article ici #3.

Le 12/ 10/ 2023, Udaipur

- J'ai tenté hier de relire mon article sur la cohomologie, et il faut bien avouer qu'il m'est tombé des mains. Pas de quoi s'affoler me diras-tu : c'était un brouillon écrit en marge des textes et vidéos qui m'ont aidé à comprendre ce dont il s'agissait. Son seul intérêt, après coup, est de me souvenir de ma propre évolution, accompagnée d'erreurs, d'hésitations, et de retours en arrière, oubliés dès qu'écrits.

- Sauf qu'en l'occurrence, tes idées ne sont pas encore au clair...

- C'est exact, mais en avançant vers les topos, tout particulièrement au moment de passer des "préfaisceaux" aux "faisceaux" (§4, ici), j'éprouve le besoin d'y revenir, avec le sentiment d'une filiation qu'il me faut mettre à jour.

- À quoi penses-tu en particulier ?

- Je veux prolonger ma réflexion concernant d'une part le principe de répétition, et d'autre part la dualité de plus en plus évidente dans notre compréhension des choses, dont parlent Spinoza, comme J.P. Changeux, et que j'ai sommairement étiquetée par :

S↓ pour entendement de première espèce ou transcendance ;
S↑ pour entendement de deuxième espèce ou immanence.

- Et quelle est cette intuition ?

En très gros si, dans le mode élémentaire ♧, la grande question est le passage du discret en [⚤] au continu en [#]; et bien, j'ai le sentiment que le mode ♢ explicite le passage du mode ♧ au mode ♡.

- Autrement dit, tu cherches une orthogonalité entre des mouvements [⚤]⇆[#] et ♧⇅♡ ? Mais décidément tu radotes complètement mon pauvre vieux : c'était déjà le sujet de ton article "Répétitions et création" d'il y a à peine quinze jours...

- Disons que je le poursuis en pensant faisceaux et topos, après avoir suivi une présentation des topos dans une vidéo d'André Joyal, lors d'un atelier organisé par Catren de Sphère en 2015.

- Qu'y a-t-il de neuf dans sa définition d'un topos?

- Il définit le topos par un mouvement qui me renvoie directement à l'aparté sur les sections que fait Marçais en introduction à la "faisceauisation des préfaisceaux"; ce qui me fait penser que nous sommes au coeur du sujet. Je vais tenter de te restituer le tout début de sa présentation. (Note 1)

"Une sous-catégorie ℂ d'une catégorie 𝐄 est réflexive si l'inclusion ℂ→𝐄 a un adjoint à gauche L: 𝐄→ℂ;
ℂ est dit être une réflexion à gauche exacte si L préserve les limites finies;
Définition : un topos est une réflexion exacte à gauche d'une catégorie Set^ℂ."

Pour bien me représenter cette définition, désolé, mais j'ai besoin de la restituer dans mon propre langage.

ℂ⊂𝐄 : après ce que nous avons vu ces jours derniers (voir Note 3 de l'article #3), on pense immédiatement que ℂ va servir de base pour 𝐄;
Ce qui nous ramène aux concepts très primaires de section/ rétraction (voir "Anthropologie des catégories #10") ou encore de recouvrement (voir "identité- idempotence");
Dans ce contexte, le foncteur ℂ↑𝐄 et son adjoint à gauche L 𝐄↓ℂ ramènent à cette représentation qui nous a déjà beaucoup servi de support à nos réflexions :
La seule nuance étant précisément que ℂ⊂𝐄, quand, dans notre schéma initial, A et B font juste partie de Ens.
Dans ce rapprochement Foncteur/ morphisme :
- Le foncteur inclusion ℂ↑𝐄 est <=> la section s ;
- Le foncteur L : 𝐄↓ℂ adjoint à gauche <=> la rétraction r.

Le 15/ 09/ 2023 :

- Puisque nous sommes entre toi et moi, n'ayons aucune honte à aller au fond des choses, et commençons par réviser ce que tout le monde sait des "foncteurs adjoints".

"L'adjonction est une situation omniprésente en mathématiques, et formalisée en théorie des catégories par la notion de foncteurs adjoints. Une adjonction entre deux catégories C et D est une paire de deux foncteurs F : C→D et G : D→C vérifiant que, pour tout objet X dans C et Y dans D, il existe une bijection entre les ensembles de morphismes correspondants
Hom_D(FX , Y) ≅ Hom_C(X, GY)
et la famille de bijections est naturelle en X et Y.
On dit que F et G sont des foncteurs adjoints et plus précisément, que F est «adjoint à gauche de G» ou que G est «adjoint à droite de F»." Wikipédia

Définition catégorique :

Soient C et D deux catégories localement petites, et F : C→D et G : D→C deux foncteurs. On dit que F est adjoint à gauche de G (ou que G est adjoint à droite de F) s'il existe un isomorphisme naturel Φ du foncteur Hom(F(-),-) vers le foncteur Hom(-,G(-)), ces deux foncteurs allant de la catégorie C^op×D vers la catégorie des ensembles. Autrement dit :

pour tout objet X de C et Y de D, Φ_X,Y est une bijection de l'ensemble Hom_D(F(X),Y) sur l'ensemble Hom_C(X,G(Y)).
pour tout morphisme f : X→X' de C^op (c'est-à-dire f : X' → X de C) et tout morphisme g : Y→Y' de la catégorie D, le diagramme suivant commute :

Si l'on a un morphisme r : F(x)→Y, alors
Φ_X',Y'(g∘r∘F(f))= G(g)∘Φ_XY(r)∘f

- Je me souviens de ta 1^ère présentation à l'atelier CLE (voir "Présentation du 12 juin 2019"). Tu t'étais fait un cube de carton pour représenter cette relation au tableau :

Avec une difficulté de taille à l'époque car, n'ayant pas fait la distinction entre niveaux et modes, tu patinais au fur et à mesure de ton exposé, l'horreur ! (Note 2)

- Oui, 4 ans après, il est temps de nettoyer cette blessure. Ayant aujourd'hui distingué les modes ♧, ♢ & ♡, ce bout de phrase "ces deux foncteurs allant de la catégorie C^op×D vers la catégorie des ensembles" me permet de mieux situer ce schéma dans l'Imaginaire du Sujet : la catégorie Ens est la régression ultime en mode ♢ ♡ (i.e. C^op×D↓Ens) , avant l'oubli des flèches des morphismes pour tomber en mode "objectif" ♧ —décrit en mode ♢ par un foncteur d'oubli ♢↓♧.

- Autrement dit, nous sommes ici au raz des pâquerettes, à tutoyer le passage de mode ♡ vers ♧, soit directement, soit via ♢ ?

- Exactement. Maintenant, je ne sais pas pour toi, mais cette représentation en 3D m'est nécessaire pour bien me représenter l'isomorphisme Φ, expression de mode ♢.

- Bon, soit, mais c'est le préalable à cette définition du topos, et si tu avançais un peu ?

- Reprenons :

1/ "Une sous-catégorie ℂ d'une catégorie 𝐄 est réflexive si l'inclusion ℂ→𝐄 a un adjoint à gauche L: 𝐄→ℂ."
Pour bien enfoncer le clou : Une sous-catégorie réflexive partage la même classe d'objets que la catégorie parente. En d'autres termes, elle inclut certains des objets de la catégorie parente, ainsi que les flèches (ou morphismes) qui les relient, de manière à ce que leur identité soit préservée.

2/ "ℂ est dit être une réflexion à gauche exacte si L préserve les limites finies."
Pour avancer sans entrer dans le détail catégorique, et "faire des maths", il me faut "comprendre" de quoi il retourne dans ce concept de "limite", liée à celui de "propriété universelle". Au plus simple, il s'agit de passer d'une multitude de points de vue ex ante 𓁝[α], au passage 𓁝[α]𓁜 ⏩𓁝[α]𓁜, identifiable ex post en [α]𓁜.

Ce passage peut se décliner de différentes façons :

Propriété universelle : c'est la façon de dire que ce qui est embrassé globalement en posture [α]𓁜, est en accord avec chaque point de vue local 𓁝[α];
Limite : vue en posture ex post [α]𓁜, posture stable figurée à l'extrémité d'une série de flèches potentielles. La "limite" serait une flèche représentant cette série, réifiée en [α]𓁜.

- Je ne comprends pas trop cette flèche vue comme "limite".

- En fait, il s'agit de réifier une action (Note 6). Prends la définition du "produit" vu comme limite. Wikipédia nous propose ce schéma qui traduit la réponse à un questionnement : si f existe, alors ∃X_i& ∃π_i tel que, ∀Y, ∃f_i : f_i=π_i∘f. Le passage par ∀Y tenant à la propriété universelle. Le ∃X tenant à l'unicité du "produit". En ce sens il n'y a qu'un seul "objet-produit", ici f en ♢, réifié en ♡. J'arrête là pour l'instant, en espérant que ce soit suffisant pour la suite. (Note 10)

Or donc, dire que L "préserve les limites finies", c'est dire que tout ce qui est vu ex post [α]^♢𓁜 en 𝐄 le sera aussi en ℂ. Par exemple, si 2 et 3 font partie de ℂ, alors 6 fait également partie de ℂ (i.e. : f est préservé en ℂ). (Note 8)

3/ "Définition : un topos est une réflexion exacte à gauche d'une catégorie Set^ℂ."

- J'ai du mal à lire "Set^ℂ"...

- La catégorie en question est un foncteur ℂ↓Set (Note 3) et notre topos, le foncteur exact à gauche L : Set↑ℂ.

- Je ne vois pas d'inclusion ?

- Prends par exemple l'objet classifiant {{*},{}} de Ens en [⚤]^♧ et l'objet classifiant Ω du monoïde de Gr = ℂ en [⚤]^♢:

en mode ♢ : l'élément "•" et la flèche "⟲" de l'objet final monoïde •⟲ de ℂ en [∃]^♢ se retrouvent identifiés par les deux flèches "vrai" dans Ω en [⚤]^♢; dans un mouvement horizontal :
[∃]𓁝𓁜[⚤]⏩[∃]𓁝𓁜[⚤]𓁜⏩𓁝[⚤]𓁜;
Le foncteur : Set^♧↑ℂ^♢, applique les deux éléments_⚤^♧𓁜de l'objet classifiant {{*},{}} dans une structure Ω qui modifie leur contexte en [⚤]^♢𓁜; soit : [⚤]^♧𓁜↑𓁝[⚤]^♢𓁜. (Note 4)
Le foncteur ℂ^♢↓Set^♧ est un foncteur d'oubli (ici on oublie les flèches). Ce qui est "vrai" en mode ♢ reste "vrai" en mode ♧, mais le contexte (i.e. ce qui n'est pas vrai) est plus complexe, la table des valeurs plus étoffée.

En ce sens, il y a inclusion de la logique du 1^er ordre dans une autre dite de deuxième ordre (ici intuitionniste). (Note 7)

Le 17/ 09/ 2023 :

- Tu étais parti pour nous parler de cohomologie, et nous nous retrouvons à parler de topos...

- Très franchement, c'est du à ma surprise de comprendre, à la lumière de cette définition, combien le concept de topos est lié à la catégorie des ensembles Ens.

Par ailleurs, cette gymnastique nous a rappelé, par analogie avec la théorie des catégories, qu'en mode ♢ les objets de discours sont des actions définies ex post 𓁜 de façon "universelle" comme un "passage à la limite" (𓁝[α]𓁜⏩𓁝[α]𓁜).

- Sans préciser la place du Sujet ?

Jean Benabou - Journée Guitart - 11/ 2012

- Il faudrait entrer dans une analyse plus fine, mais restons-en à cette verticalité de 𝐄 au-dessus de ℂ pour l'instant, parce qu'elle me ramène à une présentation de Jean Bénabou concernant le concept de "flèche cartésienne", qui reprends ce que nous venons de voir concernant les limites projectives (ici).

- N'est-ce pas lui qui démarrait sa présentation par une remarque sur le concept de foncteur adjoint à gauche "bien connu de tous" ?

- Entre autres, et comme tu le vois, ça fait le lien avec ce que nous venons de voir des topos. Les termes avec lesquels il faut nous accoutumer sont ceux de "fibration" et de "feuilletage".

Le 18/ 09/ 2023 :

- Je repense à l'introduction de Lawvere dans "Conceptual mathematics".

"Let's begin with Galileo, four centuries ago, puzzling over the problem of motion. He wished to understand the precise motion of a thrown rock, or of a waterjet from a fountain. Everyone has observed the graceful parabolic arcs these follow; but the motion of a rock means more than its track. The motion involves, for each instant, the position of the rock at that instant; to record it requiresa motion picture rather than a time exposure. We say the motion si a 'map' (or 'function') from time to space.

You have no doubt heard the legend; Galileo dropped a heavy weight and a light weight from the leaning tower of Pisa, surprising the onlookers when the weights hit the ground simultaneously. The study of vertical motion, of objects thrown straight up, thrown straight down, or simply dropped, seems too special to shed much light on general motion; the track of a dropped rock is straight, as any child knows. However, the motion of a dropped rock is not quite so simple; it accelerates as it falls, so that the last few feet of its fall takes less time than the first few. Why had Galileo decided to concentrate his attention on this special question of vertical motion? The answer lies in a simple equation:

SPACE = PLANE × LINE

but it requires some explanation!

Two new maps enter the picture. Imagine the sun directly overhead, and for each point in space you'll get a shadow point on the horizontal plane:

This is one of our two maps: the 'shadow' map from space to the plane .The second map we need is best imagined by thinking of a vertical line, perhaps a pole stuck into the ground. For each point in space there is a corresponding point on the line, the one at the same level as our point in space. Let's call this map 'level':

Etc." Conceptual mathematics p.4

J'avais été un peu étonné de cette entrée en matière, d'autant plus qu'à l'époque, j'étais bloqué sur l'idée d'un temps purement logique, en [⚤], quand nous sommes ici en [#]. Mais à la réflexion, avec de plus ce retour à Galilée, le père de la physique et des sciences occidentales, j'y trouve une profondeur insoupçonnée.

- Ça paraît très évident...

- Comme toujours après coup; mais aujourd'hui, je fais le rapprochement avec ma réflexion d'hier concernant "feuilletage" et "fibration".

De façon extrêmement générale, j'ai le sentiment que le mode ♧ est l'espace de projection, à plat où l'on oublie toute relation Imaginaire, pour n'entendre que le battement du Réel à nos portes ☯[∃][⚤]^♧𓁜, et au-dessus de cette plaine ♧, un espace entier de relations ♢ qui se projette sur lui ♢↓♧.

- Rappeler Lawvere en parlant de Grothendieck, c'est un peu comme marier l'eau et l'huile... Passons, mais en gros, tu en reviens à ce que tu avais déjà présenté il y a un an dans Ikebana, résumé dans ce schéma :

[∃]^♡	[⚤]^♡	[#]^♡	[♲]^♡	☯	𓂀^♡
[∃]^♢	[⚤]^♢	[#]^♢	[♲]^♢		𓂀^♢
☯[∃]^♧	[⚤]^♧	[#]^♧	[♲]^♧		𓂀^♧

L'expression privilégiée (surlignée en bleu) du mode ♢ serait l'orthogonalité représentée géométriquement dès le niveau [#]^♧.-

Les topos de Grothendieck - Laurent Lafforgue

- Oui, je tourne toujours autour de ce constat.... Mais avant de continuer, je voudrais vérifier que l'introduction aux topos faite par Laurent Lafforgue faisait bien le lien avec la catégorie Ens, qui par analogie, se prolonge de façon extra-mathématique par un passage ~~♢↓♧~~ ♡↓♧.

Le cours est trop riche pour me contenter de le survoler, et je devrais pouvoir mieux le comprendre à présent...

Je note juste, dans le préambule, que sous le chapitre général consacré au concept de "symétrie", Lafforgue nous dit en passant que tous les invariants cohomologiques et homotopiques sont des invariants de topos, pour dans la foulée parler des propriétés invariantes des topos, et en particulier de celle d'être un préfaisceau, ce qui rejoint tout ce que nous venons d'en dire.

Tout est là, ainsi que la distinction entre "points" d'un topos et espace...

- Bref, mieux vaut retourner à cette vidéo, que de continuer à lire tes divagations pour aujourd'hui.

- Eh bien soit, embrayons là-dessus. Il y a déjà cette mise au point à 28', où il parle des "actions de groupes", ce qui me rassure quant à mon interprétation du "geste" tel que j'en parlais le 06/ 09 dans "faisceaux".

"Cette notion d'équivalence d'action de groupe est meilleure que celle d'isomorphisme de groupe... La notion de topos contient celle de groupe et est énormément plus générale... Je pense que la gigantesque généralisation de la notion de groupe au travers de celle de topos peut devenir en mathématiques aussi importante que l'a été au XIX^e siècle l'invention des groupes par Galois. Grothendieck dit ça déjà, mais jusqu'à présent très peu de gens l'ont compris... Vous avez une même notion qui d'une part comprend les espaces topologiques, et d'autre part les groupes." Laurent Lafforgue vidéo à 28'

Tout ceci, résumé (à 24') par "les topos forment une 2-catégorie", qui immédiatement, me fait penser que le passage du mode ♢ au mode ♡, est semblable à celui du langage catégorique (en ♢) aux 2-catégories (en ♡) tout simplement. Le fil à suivre serait alors :

2-catégories/ topos	♡		=>		♢	Catégories/ sites
		⇘		⇙
			♧		Ensembles

Et c'est dans cette perspective qu'il me faut avancer à tâtons dans une jungle mathématique m'étouffant de tout son vocabulaire luxuriant.

- OK pour la perspective, mais tu en es pour l'instant à la cohomologie, à la racine de tous ces développements attendus.

- Revenons donc à ce schéma de l'homologie repris de l'article "Cohomologie", et corrigé car faux dans le 1er jet. (Note 9)

					𓂀^♢
	~~𓁝[⚤]G~~		[#]𓁜		∆ⁿ⁺¹
~~C^n-1=Hom (C_n-1,G)~~	~~δ^n-1↓~~		↓ ∂_n+1
~~Hⁿ=Kerδⁿ/ Imδ^n-1~~	~~[⚤]𓁜~~	H_n=Ker∂_n/Im∂_n+1 𓁝/𓁜	𓁝[#]𓁜		∆ⁿ
~~Cⁿ=Hom (C_n,G)~~	~~δⁿ↓~~		↓ ∂_n
	~~𓁝[⚤]G~~		𓁝[#]	∅	∆^n-1

Nous avons, entre homologie et la cohomologie un lien entre une progression ↑ et une régression ↓, (Note 5) avec à chaque étape une passerelle s'exprimant sous forme de "groupes" H_nou Hⁿ, dans un langage algébrique. Chaque "groupe", se projetant ensuite sur sa base, repéré comme "points" d'un ensemble en Ens, où s'efface leur structure de groupe...

(Schéma rectifié le 20/ 11/ 2023 cf. ici dans l'article #3.)

- Ça prolonge ton exemple d'hier concernant les topos classifiants.

- Oui, maintenant, reviens à ce que nous avons déjà vu des préfaisceaux. Cette fois-ci nous sommes en [#], comme pour l'homologie, où nous traitons d'une régression ultime, en passant des préfaisceaux à une fibre pointant sur un germe, en [#]^♢, avant de régresser, via un passage
[⚤]𓁝/𓁜[#]⏩[⚤]𓁝/𓁜[#], à ♢↓♧,
dont Lafforgue parle en termes de Hom(-;{1}) d'une catégorie ℂ dans Set.

Si je comprends bien le sens des choses, le préfaisceau doit être considéré comme pointant ↓, via un germe, vers la catégorie Set, dans une situation comparable à l'homologie.

Il est là, dans de sens ♢↓♧, et un langage catégorique, le parallèle homologie/ préfaisceau/ topos. Ce topos étant (en [⚤])de sens opposé à la montée ↑ en cohomologie.

Et c'est une disposition rappellant cette ligne verticale (ou fibre) opposée à des coupes localement orthogonales qui composerait notre espace Imaginaire Occidental (vu comme un feuilleté), sine varietur depuis que Galilée a pensé le mouvement, tel que présenté par Lawvere.

Hari

Note 1 :

Malheureusement, l'enregistrement est tellement mauvais que j'ai renoncé à aller au-delà de cette introduction, pourtant si captivante. J'y reviendrais sûrement, dans la mesure de mes capacités occulaires !

Note 2 :

Je situais la partie en bleu du schéma au "niveau" [♲] (ou I# à l'époque) et la "projection en jaune au niveau [#] (ou IR à l'époque).

Note 3 :

Merci à Anatole à qui j'ai posé la question, car j'étais dans le doute face à une écriture qui ne m'est pas coutumière.

Note 4 :

C'est ce qui définit les "points" d'un topos voir la vidéo de Lafforgue à 30'.

Voir la discussion concernant "point" et "germe" d'une fibre dans "faisceaux".

Ce dit définit à la limite, en mode ♡, le topos comme une "image réciproque", au-dessus de Set en mode ♧.

Note 5 :

L'inversion des postures du Sujet explique que dans cette représentation ↓ et ↓ soient de même sens sur le schéma. Voir le détail dans l'article "Cohomologie".

Note 6 :

Il s'agit donc d'un principe très général qu'il faut rattacher aux toutes premières considérations de Lawvere introduisant le concept de "morphisme". Lorsque l'on considère les morphismes entre le singleton (*) et les éléments d'une collection de 3 (*, *, *), c'est l'action de nommer ou flèche du morphisme, qui donne les étiquettes "Pierre", "Paul" & "Jacques", par lesquelles ensuite on se réfère aux éléments de la collection en question.

Avec le concept de limite, nous passons à un degré supérieur de mode ♢, en rattachant la réification d'une action à son universalité au sens qu'on lui donne en théorie des catégories.

De ce temps de vue, la réification (ou identification) d'un rapport du Sujet à l'objet en mode ♡, serait un "principe universel" s'exprimant :

en mode ♢ par des transformations naturelles;
- Le mode ♢ se présente sous forme d'un espace de potentialités. Ce que l'on retrouve dans des phrases du type : "∃ x∈X et X⊂Y tel que ∀y∈Y lors..."
en mode ♧ par la répétition (ou récursivité).
- Le mode ♧ est lié à une déploiement temporel de procédure, de niveau [⚤]

Note 7 :

Je n'enfonce pas trop le clou ici, mais tout ceci nous renvoie à nos considérations liminaires concernant la dualité linguistique que Saussure a repérée entre "diachronie" et "synchronie".

En l'occurrence, la flèche diachronique du passage [∃]^♧→[⚤]^♧ a été réifiée dans la flèche ⟲ du monoïde en mode ♢.

Note 8 :

- Il faudrait bien entendu conduire la même réflexion quand à la limite injective.

- Je ne peux pas aborder tous les sujets dans un même article, déjà que celui-ci explose de toutes parts !

J'imagine, à priori, que l'idée à développer serait de dire que pour rester cohérent, un discours doit toujours garder un même cadre général, ou se situer dans un même "univers", dans lequel le Sujet serait plongé, autrement dit garder une posture 𓁝[α] stable à un niveau donné, en tout cas et à la limite 𓁝[∅].

- À suivre donc...

Note 9 :

Ce qui rend si difficile la compréhension de ces deux mécanismes d'homologie et de cohomologie, c'est qu'ils ne sont pas séquentiels.

Par exemple pour calculer H_n=Ker∂_n/Im∂_n+1 à l'étape n d'un processus a priori régressif, partant du calcul de Im∂_n+1, il faut malgré tout attendre d'avoir l'image de ∂_n au stade n-1, pour revenir à n et définir le Ker∂_ndont Im∂_n+1 fait partie, i.e.: Im∂_n+1 ⊂ Ker∂_n. Comment, dans une logique de causalité temporelle, pourrait-on "faire partie" a priori que quelque chose qui n'existe pas encore ? Comment la part de tarte pourrait-elle exister avant la tarte ?

Or ces "mises en attente" et "retours en arrière" dans le calcul, demandent des stockages mémoriels intermédiaires, contre le cours du temps. De fait, ces calculs se font au tableau noir, avant que de pouvoir être exprimés oralement. Qui garde encore le souvenir de la notation polonaise inversée des bonnes vieilles Texas Instruments et autres HP ?

La remarque est d'importance car ce type de processus souligne que le mode ♢ est absolument déconnecté de toute idée temporelle au niveau [⚤]. Voire même au niveau [∃], car La flèche ⟲ du monoïde •⟲ est une représentation graphique, en mode ♢ d'un saut diachronique [∃]⏩[⚤] en mode ♧.

À preuve dans Ω, on la "symétrise" :

Ce qui revient à rendre symétrique passé/ futur autour du présent dès l'objet classifiant [⚤]^♢ alors qu'en mode ♧, le physicien ne le fait qu'au niveau [#]^♧— i.e.: l'axe temporel de ses diagrammes.

Désolé si j'ai l'air de rabâcher, mais il est si difficile de se déprendre du raisonnement logique du 1er ordre et des liens de causalité temporelle qui guident notre vie quotidienne, qu'il faut le rappeler à chaque occasion qui s'offre, comme ici.

Le plus simple est de penser au mode ♢ comme à celui des potentialités...

- Où du rêve ?

- Oui également, mais là, nous sortons des maths.

J'ai repris ce schéma ici dans l'article #3.

Note 10 :

Pour prolonger la réflexion sur le rôle des propriétés universelles en théorie des catégories, voir à 35' de cette vidéo de René Guitart :

"Théorie de la théorie - esquisses ou topos".

Son propos général demanderait d'être plus précisément examinée. Il parle en particulier du passage d'une vison ensembliste / logique à une autre catégorique/ universelle, qui pourrait caractériser ce que j'ai naïvement traité comme un passage du mode ♧ au mode ♢... À revoir très certainement.

(x) Le 15/ 09/ 2023

- Revenons

Le 18/ 09/ 2023