Mise au point sur la méthode - #2

Sommaire :

1. Les 3 modes
2. La syntaxe ♢ de la représentation de l'Imaginaire
3. Les effets de bord Imaginaire & syntaxique
4. Orthogonalité (niveaux⊥modes)
5. Nombre, Grandeur et Forme
6. Triptyque d'Emmy Noether en mode ♡

- Depuis ma dernière "Mise au point" du 30 novembre, j'ai commis un série d'articles allant un peu dans tous les sens, jusqu'à ce que l'horizon s'éclaircisse en écrivant le dernier "La mesure de toute chose...".

- As-tu enfin trouvé le "bon point de vue", d'où s'éclairerait ta démarche ? (Note 2)

- Il faut repartir de ce qui vient de me frapper comme une évidence.

- Et qu'y a-t-il de changé par rapport au précédent point ?

- Tout d'abord la prise de conscience que notre Imaginaire ne se développe que sur 3 modes et 3 seulement (voir "Olivia Caramello à Shanghai"), que j'ai renommés en reprenant des termes usuels de la sémiotique, ou plutôt la sémiologie de Saussurre, puisqu'il s'agit, d'échanger socialement grâce à leur utilisation :

• Mode ♡ : Sémantique (antérieurement : syntaxique)
• Mode ♢ : Syntaxique (antérieurement : relationnel)
• Mode ♧ : Signifiant (antérieurement : objectif)

Qui sont liés entre eux selon ce schéma : 

coupe	3D

- Le problème formel est le suivant : comment représenter les modes ♡ et ♧, qui par définition échappent à la syntaxe ♢ utilisée pour en parler ?

- Ça paraît impossible.

- Effectivement, nous ne pouvons nous y référer qu'à partir du mode syntaxique ♢, c'est le caillou dans la chaussure, qui m'irritait depuis longtemps, jusqu'à cette prise de conscience (voir ici):

- Que proposes-tu ?
- De prendre au sérieux la nécessité de toujours repérer soigneusement d'où l'on parle ! Mes petits glyphes en marge de mes textes ne sont pas là pour faire joli.
- Tu les places au-dessus de tous les autres langages, en mode sémantique ♡?
- Non, ce serait une grossière erreur. Il s'agit d'un langage s'appliquant à représenter la posture d'un Sujet dans son propre Imaginaire, et à ce titre, il faut comprendre sa syntaxe particulière, en mode ♢.
- Avec un pont sémantique de mode ♡ entre cette écriture et le langage catégorique ?
- C'est tout du moins l'expression en mode ♢ qu'un auteur 𓂀^♢ pourrait en donner !

Pour bien signifier que les modes ♧ & ♡ sont hors de leurs représentations catégoriques en mode ♢, au même titre que Réel ☯ et Symbolique ☯ sont hors de l'Imaginaire, je te propose de représenter ces 4 instances dans une zone rouge entourant le champ de leur re-presentation utilisant peu ou prou la syntaxe catégorique.

Les écritures du type [α]^β, où β ≠♢, devant dès lors être comprises comme les représentations en mode ♢ d'objets de discours, en mode β.
- De même que [∃] et [∅]  sont des représentations Imaginaires de ☯ & ☯ ?
- Voilà, tu as compris, ce qui te donne une parfaite symétrie entre niveaux et modes, vus en [#]^♢ comme orthogonaux.
- OK, et donc, le cerneau de la noix, pour reprendre l'image de Grothendieck, c'est :

- Vois-tu à quel point cette mise en abime est éclairante ?

- Je t'en pris, déroule...

- Il vient tout de suite que nous ramenons la problématique de la liaison trinitaire entre nos 3 modes, impossible à exprimer "en soi", faute d'un langage enveloppant ces 3 instances, à une représentation en mode ♢ formellement semblable à celle d'un "pont" sémantique entre une syntaxe et les signifiants.

Il y a, là un repli Imaginaire, qui est une prise de conscience (ou re-présentation) en termes de modes, qui fait écho à la présentation du Réel en [∃] et du Symbolique en [∅]  en termes de niveaux.

Et le repli du repli conduit le Sujet au centre du dispositif [#]^♢ d'où il perçoit les formes.

La thèse épistémologique que je propose de suivre est donc la suivante:

• ♧ : Quel que soit le champ d'expérience^♧,
• ♢ : la syntaxe^♢₁ utilisée pour en représenter les signifiants^♧ doit se ramener à une description catégorique^♢₀ par un "pont^♢", qui est l'expression^♢
• ♡ : d'un concept^♡ sémantique liant les deux expressions ♢₁ & ♢₀.

- Ça paraît bien compliqué.

- Pas tant que ça, mais surtout c'est nécessaire pour éviter la contradiction qui tient à l'impossibilité de concevoir une syntaxe transcendant toutes les autres, rôle dévolu à la sémantique.

- Et du coup, tu peux enfin donner un statut à ton repérage du Sujet dans son Imaginaire : c'est une syntaxe^♢ qui doit trouver son écho en théorie des catégories... Mais dans ce cas, quel peut en être la spécificité ?

- La théorie des catégories s'intéresse aux morphismes, autrement dit aux relations entre "objets", typiquement la classe Ens, quand je m'intéresse au Sujet lui-même. Notre écriture glyptique est donc a priori plus aisée à manier lorsque l'objet du discours est le Sujet...

3.1 Imaginaire :

- Nous avons depuis longtemps remarqué la différence de posture 𓁝𓁜 du Sujet concernant les niveaux extrêmes :

• 𓁜 Ex post face au Réel, qui se présente à l'infant en ☯[∃]𓁜 et qu'il identifie ensuite en [⚤]𓁜;
• 𓁝 Ex ante face au Symbolique 𓁝[∅]☯

- Avec au passage un emprunt à la théorie des catégories dans l'utilisation que tu faisais des concepts d'objet initial en [∅] et final en [∃].

- Absolument. Emprunt que je peux à présent revendiquer en me situant moi-même 𓂀_Hari en mode ♢ pour en parler.

3.2. Syntaxique :

- Après ce que nous avons vu des modes ♧♢♡ Il y a un autre effet de bord aux contact ♢/♡ et ♢/♧ que l'on peut exprimer simplement en disant que le point d'arrivée du Sujet n'est qu'une des expressions potentielles en mode supérieur:

- Et dans une liaison directe ♡↓♧ ?

- Tu conserves la même structure de saut :

- Même en dehors de tout formalisme catégorique ?

- Oui, prends l'exemple de l'Un et du multiple chez Platon : l'Un en posture initiale 𓁝[1]^♡☯ (Dieu), te renvoie à l'un à partir duquel se conçoit le multiple ☯[1]^♧𓁜,(les abeilles toutes semblables). (Note 1)

- Pourquoi les termes "choix" et "décohérence"?

- Le "choix" parce qu'en mode ♡, la sémantique qui traite du sens implique la présence d'un Sujet 𓁝𓁜 s'exprimant par des choix. Quant au terme "décohérence", parce que la représentation qu'il suggère en Méca Q fait sens, dans son opposition à "intrication" caractérisant en retour les états d'un système en mode ♢.

- Et les sauts de sens contraire ?

- Ah ! C'est peut-être le plus intéressant : nous retrouvons en termes de modes ce que nous avions vu en termes de niveaux, à savoir un principe de répétition à l'oeuvre, et l'on retrouve dans le mouvement dual ↓↑ toute la discussion que nous avions eu concernant les concepts de section/ rétraction (voir "Identité et idempotence").

- J'ai beaucoup galéré ces temps-ci en tentant de comprendre de quelle façon pouvait s'articuler les démarches cohomologie/ homologie avec le concept de faisceau, et je n'en ai toujours pas saisi l'évidence, mon problème étant que je les vois comme "orthogonaux".

- Tu avais compris la cohomologie/ homologie comme un passage 𓁝[⚤]^♢𓁝⇆𓁜[#]^♢𓁜, et les faisceaux comme un passage 𓁝[#]^♢↓[#]^♧𓁜.

- Oui, mais je crois qu'il faut faire un pas de plus, à partir de l'idée qu'en mode ♢, et vu du point central [#]^♢ il y a une symétrie entre modes et niveaux, et que la ligne :

renvoie à la colonne :

- Quel intérêt présente toute cette gymnastique ?

- Cela permettrait de rapprocher : (Note 3)

• [♲]^♢ et [#]^♡, pour y voir le lieu du topos sous 2 aspects :
  • comme lien en [♲]^♢ du discret et du continu ;
  • sous son aspect topologique en [#]^♡;
• [#]^♧ et [⚤]^♢ pour comprendre que l'on puisse associer :
  • au germe en [#]^♧, une structure en [⚤]^♢.
  • à une structure en [⚤]^♢, une représentation géométrique en [#]^♧.

- OK pour les correspondances que tu établis, mais qu'en est-il des niveaux [⚤] & [♲] en modes  ♢ & ♡ entourant ta croix ?

- Les correspondances sont établies dans un Imaginaire plus rustique, avant la révolution "Galoisienne" — j'espère que le terme sera repris un jour ou l'autre.

- Autrement dit, dans ton schéma en forme de ruban de Moebius, où deux niveaux [⚤] et [♲] sont comme l'avers et le revers d'une pièce de monnaie ?

mise à plat	3D

- Exactement. Quant aux correspondances entre niveaux extrêmes [∃] & [∅] nous en avons déjà beaucoup parlé. Avoue que ça commence à prendre forme, n'est-ce pas?

- Ouf ! Il y a de quoi méditer un bout de temps sur les implications...

- Oui, et je crois qu'il est temps de revenir à la lecture de Récoltes et Semailles, maintenant que j'ai récupéré le livre !

Le 22/ 04/ 2024 :

- Je retrouve avec plaisir le texte de Grothendieck, d'où les 2 notes de ce matin.

- Tu ne vas pas nous en faire un commentaire à rallonge dans cet article ?

- Non pas, mais je voudrais clore cette mise au point par un autre changement de perspective, concernant les niveaux cette fois-ci.

- Dans mon esprit, j'ai toujours vu le niveau [♲] comme celui de la synthèse entre continu/ géométrie en [#] et discret/ nombres en [⚤]; dans une sorte de progression, et cela se retrouve dans l'écriture gauche-droite utilisée pour décrire le mode élémentaire ♧: (☯[∃][⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓁝⊥𓁜[♲]𓁝⇆𓁜[∅]☯) 𓂀^♧.

Cependant, dans le tome 1, page 58, Grothendieck parle de :

"La géométrie nouvelle ou les épousailles du nombre et de la grandeur"

Deux choses me frappent 

5.1 Dénomination des niveaux :

La terminologie de Grothendieck me semble plus adaptée que la mienne, aussi vais-je immédiatement renomemer nos 3 niveaux [⚤], [#] et [♲] de manière à centrer notre terminologie sur le mode ♢ et non plus le mode  ♧:

• [⚤] : niveau du Nombre;(antérieurement : "discret");
• [#] : niveau de la Forme; (antérieurement : "continu");
• [♲] : niveau de la Grandeur. (antérieurement : "mesure").

Les 2 derniers restent bien entendu inchangés :

• [∃] : niveau de l'objet final;
• [∅] : niveau de l'objet initial.

5.2 [#]^♢ comme pivot en termes de niveaux :

- Selon Grothendieck, le niveau [#] serait le lieu de la synthèse entre [⚤] & [♲] ?

- Oui, et j'avoue que c'est nouveau pour moi, il va falloir y réfléchir. Mais je vois déjà se dessiner une symétrie entre les "mouvements" qui se développent selon nos 3 modes: en se souvenant que les deux modes ♧&♡ sont primitivement en relation sur un ruban de Moebius, on pourrait résumer cette évolution ainsi :

- Là encore. le niveau [#]^♢ apparaît comme un pivot...

- Oui, et cette fois-ci, je crois que nous avons bien installée le niveau [#]^♢  au centre du système Imaginaire. (Note 4)

- À propos des noms des différents niveaux, et en repensant au triptyque de Noether, je me demande si l'on ne pourrait pas affiner notre repérage de nos 3 niveaux en fonction de leur mode d'expression de cette façon :

Avoue que d'un point de vue esthétique, le tableau est séduisant, non ?

- Il faudrait en dire un peu plus pour que l'on s'y arrête !

- Ça me semble assez simple :

•  [♲]
  • [♲]^♡ une quantité conservée;
  • [♲]^♢ est une grandeur;
  • [♲]^♧ qui se mesure.
• [#]
  • [#]♡ les symétries déterminent;
  • [#]^♢ les formes qui sont représentées;
  • [#]^♧ dans un espace continu., dont l'objet fait ^𓁝partie.
• [⚤]
  • [⚤]^♡ l'indétermination se retrouve dans les choix du Sujet;
  • [⚤]^♢ dans le passage d'un élément (nombre) à un autre d'une structure (cf. objet discriminant, structure algébrique, groupe) ;
  • [⚤]^♧ dans le saut diachronique élémentaire [∃]↑[⚤] indicible, menant à ℕ par répétition, et Ens composés d'éléments^𓁜 discrets (synchroniques).

Comme tu le vois, notre vocabulaire se met peu à peu en place, avec en prime ces deux jolis recollements finaux : 

1/ Un objet existe ([∃]^♧𓁜) dans la mesure où il se conserve([♲]^♡𓁜) 

2/ Une mesure ([♲]^♧𓁜) est une réponse à un choix (𓁝^♡[⚤]) (cf. : "The principes of quantum mechanics" de Dirac)

- Mais, tout ceci reste plus, pour l'heure, un sujet de méditation qu'autre chose...

- Amen.

Hari

Note 1 :

- Je te prends en flagrant délit de contradiction. Tu viens juste de dire que l'on pouvait passer de ton écriture au langage catégorique par un pont en mode ♢, quand tu écris maintenant que ta syntaxe se conserve même en dehors du mode ♢.

- Effectivement, je devrais plutôt dire qu'en posture 𓂀^♢, c'est ainsi que je me représente la philosophie de Platon, ici et maintenant. Je n'ai absolument pas la possibilité de dialoguer avec Platon pour confirmer ou infirmer mes dires. Je m'abstrais par la pensée du mode ♢ alors même que mon expression s'articule avec une syntaxe de ce mode.

De même que je n'arrive plus à écrire, ni ressentir vraiment la différence entre cas sujet et cas régime en vieux Français (voir ici dans "L'Imaginaire fractal").

• la beste fiert li cuens,
• fiert li cuens la beste,
• li cuens fiert la beste.

signifient tous sans équivoque « le comte frappe la bête », li cuens étant marqué explicitement comme sujet, par opposition au cas régime : le conte. Malgré tout, j'arrive encore à "en parler" dans une syntaxe contemporaine.

Note 2 : du 22/ 04/ 2024

Reprenant la lecture de Récoltes et semailles", je tombe en introduction sur ce paragraphe de Grothendieck :

"Comme je l'écrivais tantôt, ce que j'ai apporté de meilleur dans la mathématique, ce sont les "points de vue" nouveaux que j'ai pu entrevoir d'abord, et ensuite dégager patiemment et développer peu ou prou" Récoltes et semailles T1 p. 40

Note 3 : du 22/ 04/ 2024

Toujours chez Grothendieck, cette réflexion en bas de la note 27, T1 p. 46 :

"Avec un recul de près de trente ans je peux dire maintenant que c'est l'année vraiment [1958] où est née la géométrie nouvelle, dans le sillage des deux maîtres-outils de cette géométrie : les schémas (qui représentent une métamorphose de l'ancienne notion de "variété algébrique", et les topos (qui représentent une métamorphose plus profonde encore de la notion d'espace)."

Comme tu le vois, ma symétrie recoupe ce point vue :

• La variété algébrique en [#]^♧ et le schéma en [⚤]^♢ 
• Le topos comme espace en [#]^♡ "maîtrisé" en [♲]^♢ qui donne sens au niveau [#].

Note 4 :

Il y aurait un développement intéressant à faire autour de l'idée que la bataille Aristote/ Platon autour de la notion de "substance" que nous avons située autour du niveau 𓁝[♲]𓁜 dans un Imaginaire sur 2 modes ♧&♡, se retrouve en 𓁝[#]^♢𓁜 dans une perspective "Galoisienne".