S'imaginer un topos

- Enfin tu y reviens !

- Calme ta joie, avant d'y arriver, il faut que je règle un problème qui me bouffe la tête depuis 6 mois et m'empêche d'avancer.

- Peut-on savoir?

- Si tu regardes l'historique de ce blog, tu verras que j'ai été constamment obnubilé par la question de situer la démarche homologie/ cohomologie par rapport au concept de préfaisceau et autres qui en découlent. 

- Quel genre de problème?

- Une question d'orthogonalité, et d'esthétique, de manière générale...

- De l'esthétique, en maths?

- Absolument, si tu utilises le rasoir d'Occam comme le couteau d'un peintre, qui d'un geste t'éclaire tout un paysage.

- Quel paysage?

- Notre représentation de l'imaginaire, où mon coup de rasoir est en jaune:

- Et?

- Dans l'article sur "le discours du physicien", j'ai avancé l'idée que l'objet final de la physique évolue de mode en mode, pour donner ceci :

• En [∃]^♧ : le point ou singleton (*) (Note 1);
• En [∃]^♢ : la quantité de mouvement  p⃗=mv⃗;
• En [∃]^♡ : le ih du 2^e Axiome de la mécanique quantique ou équation de Schrödinger  ih∂/_∂tψ(r⃗,t)=Ĥψ(r⃗,t) (ou ihd/_dt|ψ(t)⟩=Ĥ|ψ(t)⟩).

Le "i" imaginaire marquant une l'orthogonalité fondamentale, neurologique tenant à l'organisation intime du cerveau humain —d'ordre syntaxique ♡— entre espace et temps. Dans ma tête, ceci renvoie en maths à l'idée de "foncteurs cartésiens" dont nous parlait le regretté Jean Bénabou.

- C'est plus de la poésie qu'autre chose, ton approche des maths...

- Il s'agit de manier le rasoir d'Occam dans l'esprit du bushido, où l'efficacité est intrinsèquement d'ordre esthétique. Or donc, le concept d'orthogonalité géométrique que j'ai situé primitivement en [#]^♧, se retrouverait en mode ♡ au niveau [∃]^♡.

- Et tu te dis qu'en mode ♢, il devrait se retrouver dans les concepts maniés au niveau discret [⚤]^♢, en position médiane...

- Exactement, d'ailleurs l'espace Imaginaire, où j'identifie des "postures" d'ordre synchronique entre lesquelles le Sujet 𓁝𓁜 évolue par des sauts diachroniques, est par nature discret... Le mouvement général, ou la nécessité si tu veux, d'organiser notre Imaginaire par strates, se comprenant comme la manipulation d'objets de plus en plus complexes, en passant toujours par les mêmes "niveaux" [⚤], [#], [♲], avec l'idée d'une "synthèse discret—[⚤]/[#]—continu" en [♲], que l'on réifie comme objet final du mode supérieur [∃].

- Oui, je vois, par exemple la synthèse temps—[⚤]^♧/[#]^♧—espace, avec v̅.v= c² en [♲]^♧ devrait se retrouver dans l'idée de "mouvement" p⃗=mv⃗. en [∃]^♢ ?

- Quelque chose comme ça.

- Mais qu'est-ce que ceci a à voir avec le topos de Grothendieck?

- C'est cette idée d'orthogonalité en [⚤]^♢, dont j'aimerais sentir l'évidence.

- Attends une seconde. Je visualise bien l'orthogonalité ⊥ entre deux droites sur un dessin en 2D en [#]^♧, mais dans quel espace pourrais-tu concevoir une "orthogonalité" en mode ♢ ?

- À mon sens, il ne peut s'agir que de l'orthogonalité entre "modes" et "niveaux" de notre espace Imaginaire.

- OK. Et donc, si je te suis bien, puisque avec la notion de schéma que nous venons de voir (cf. "Parole et création #2"), tu as traité la démarche homologie/ cohomologie comme un passage entre niveaux [⚤]^♢⇆[#]^♢ il s'ensuit qu'il faudrait associer à ce mouvement, un mouvement orthogonal entre modes [⚤]^♢⇅[⚤]^♧?

- C'est l'idée. Sans oublier une autre contrainte due au "bouclage" de nos 3 modes, pour former un tore :

- Tu m'embrouilles, continue sur cette idée d'orthogonalité entre niveaux/ modes.

- Tu as raison. J'étais donc dans cette problématique, cherchant à me persuader de cette évidence:

• Mouvement homologie/ cohomologie entre [⚤]^♢⇆[#]^♢ ;
• Préfaisceau : entre [#]^♢⇅[#]^♧.

lorsque je me réveille avec cette idée en tête :

le lemme de Yoneda est un mouvement du type [⚤]^♢⇅[⚤]^♧!

- Tu reviens à ta Présentation du 12/ 06/ 19?

- Oui, et donc, je vois là le bouclage entre les 4 niveaux surlignés en bleu de notre schéma de l'Imaginaire :

Ce qui dissocie nettement deux types de préoccupations :

• Dans le passage [⚤]^♢←[#]^♢ avec les schémas de Grothendieck, on s'intéresse aux groupes et aux symétries, c.-à-d. aux rapports entre éléments_⚤ ou parties_# d'un objet;
• Dans les passages ♢↓♧ :
  • En [#]^♢↓[#]^♧ par inclusions successives en [#]^♢, on arrive in fine au germe en [#]^♧;
  • Le passage [⚤]^♧←[#]^♧ transforme le germe_# en élément_⚤ de Ens;
  • En [⚤]^♢↓ [⚤]^♧, on arrive à la catégorie Ens et au singleton {*}. (Note 1)

- Autrement dit, tu marques une orthogonalité fondamentale entre ce qui relève de la théorie des ensembles et ce qui relève de la théorie des groupes?

Tu es conscient que tout ceci est pure fantaisie?

- Disons que c'est au sens propre un "préjugé", l'idée que j'ai actuellement en tête au moment d'entrer concrètement dans l'étude des topos. La suite nous dira si c'est ou non un chemin de traverse ! 

- Amen.

Hari

Note 1 :

Pour être plus précis :

• En [⚤]^♧ Le singleton {*} est un "élément" d'un ensemble, avec la structure qui va bien (i.e.: avec les axiomes mathématiques qui définissent un ensemble);
• En [∃]^♧, je parle de "singleton" (*) à tord, faute de terme approprié: c'est proprement le trauma du Réel qui frappe à la porte de l'Imaginaire, hors langage, avant son identification en [⚤]^♧.