La mesure de toute chose...

- De retour à Saintes, j'ai complété mon article "Plus qu'en roue libre" pour ne pas rester sur une note pessimiste, et un peu fatigué par dix heures de route, j'ai fait court (voir ici); ce qui a produit un effet de langage :

"... il faut un "pont" en mode ♡ !

La problématique devenant toute autre : il s'agit dès lors d'un passage d'une répétition (constitution additive du Lagrangien du modèle standard voir présentation d'Alain Connes ici) dans la syntaxe 1, au continu —dans la syntaxe 2 (Lagrange).

Problématique, en mode ♢, qui rejoint celle plus globale de la répétition du mode ♢ pour accéder au mode ♡."

- Où est l'effet de langage ?

- Dans la chute qui vient ensuite :

"Et là mon ami, nous ramenons toute notre problématique à des questions de répétitions (Freud), de sauts diachroniques (de Saussure) et d'orthogonalité (Galois) exprimables en mode ♢ !"

En voulant raccourcir le texte au maximum, j'ai sorti ce triptyque :

• Répétition <=> Freud
• Saut diachronique <=> de Saussure
• Orthogonalité <=> Galois

Et j'y repense ce matin, après m'être réveillé en résumant quelques brumes matinales par cet autre raccourci:

"une mesure est un foncteur à gauche".

- Il va falloir dérouler pour que j'y comprenne quelque chose :

- Il faut d'abord contextualiser. Tout part de ma lecture d'Olivia Caramello (voir ici) qui m'a conduit à conforter une représentation de l'Imaginaire sur 3 modes et 3 seulement. (à partir de "Représentation des 4 modes Imaginaires").

- Et alors ?

- Nous sommes, si je puis dire, dans l'ère des catégories : tout ce que nous concevons actuellement peut se ramener à une description catégorique, autrement dit notre langage naturel, familier, vernaculaire, est et va devenir de plus en plus "catégorique".

- Et ?

- L'épistémè actuelle, au sens de Foucault, même si peu de philosophes (tels Alain Badiou) en ont pris conscience, s'exprime en mode ♢ (par 𓂀) avec la syntaxe de la théorie des catégories (𓂀^♢), à partir de considérations topologiques au niveau [#]^♢. Ce que j'appelle, par commodité "ère Galoisienne", puisque tout part de son introduction des concepts de groupe_⚤ ^♢ et d'extension galoisienne_# ^♢.

- Tu es lancé aujourd'hui, mais cette belle envolée pour nous dire quoi ?

- Il y a déjà quelque temps que nous représentons la révolution galoisienne comme une irruption du niveau [#] et du mode ♢ dans un Imaginaire façonné, en Occident du moins, par Platon (à la louche). Ce qui donne cette projection à plat sur un espace topologique (modes/ niveau:x) :

 - Merci pour le résumé, mais il n'y a rien de nouveau.

- Attends ! Je voudrais te parler d'un "effet de bord" du à la posture de l'auteur du discours 𓂀^♢ dans l'expression en mode ♢ des passages de mode ♧/♢ et ♢/♡. C'est plus facile à comprendre sur la coupe du tore Imaginaire, dont on peut rendre compte, hors du langage catégorique, en mode ♡.

- Stop ! si l'auteur 𓂀 s'exprime en mode ♡, il introduit une dualité dans la posture du Sujet 𓁝𓁜 s'exprimant en mode ♢, non ?

- Exactement 𓂀^♢ est en posture :

• Ex post 𓁜 en exprimant la relation ♧/♢ : c'est celle de l'esclave de Ménon qui a "compris" la leçon de Socrate;
• Ex ante 𓁝 en exprimant la relation ♢/♡ : c'est le rapport de la syntaxe à la sémantique.

- Si je te suis bien, on retrouve dans l'ordre des modes, l'effet de bord que nous connaissons bien dans l'ordre des niveaux :

• Ex post 𓁜 face au réel : ☯ 𓁜 ;
• Ex ante 𓁝 face au Symbolique 𓁝☯.

- Oui.

- Et donc ?

- Ma difficulté à parler correctement du mode ♧ tient au changement de paradigme ensembles —♧/♢—catégories que nous vivons actuellement.

- Exemples ?

- Par exemple je définis les limites extrêmes de l'Imaginaire, soit les niveaux ☯[∃]^♧&[∅]☯^♧ en termes d'objets initial et final, qui sont empruntés au langage catégorique.

De même, je parle d'objet classifiant {0;1} au niveau discret [⚤]^♧.

- Et c'est grave docteur ?

- Cette idée d'objet classifiant est juste en [⚤]^♢ mais surdétermine l'idée beaucoup plus rustique de réification en [⚤]^♧ du saut diachronique [∃]↑[⚤] qui est à l'origine de tous mes développements. Cette expression catégorique, qui implique de parler des ^𓁝parties de l'objet singleton (*), conduit à envisager la posture 𓁝[⚤]^♧, détruisant ainsi l'idée primitive d'un "saut diachronique" pur, indicible en mode ♧.

• Du Réel ☯ au choc [∃] le Sujet est ex post 𓁜;
• De ce choc, le Sujet reste dans l'incapacité de parler (l'infant de Piera Aulagnier) tant qu'il ne le re-présente pas en [⚤]𓁜.;
• Ensuite seulement viennent les questions concernant la signification du signifiant [⚤]𓁝𓁜[α]⏩[⚤]𓁝𓁜[α].

- Que proposes-tu ?

- De prendre au sérieux la nécessité de toujours repérer soigneusement d'où l'on parle ! Mes petits glyphes en marge de mes textes ne sont pas là pour faire joli.

- Tu les places au-dessus de tous les autres langages, en mode sémantique ♡?

- Non, ce serait une grossière erreur. Il s'agit d'un langage s'appliquant à représenter la posture d'un Sujet dans son propre Imaginaire, et à ce titre, il faut comprendre sa syntaxe particulière, en mode ♢.

- Avec un pont sémantique de mode ♡ entre cette écriture et le langage catégorique ? (Note 3)

- C'est tout du moins l'expression en mode ♢ qu'un auteur 𓂀^♢ pourrait en donner !

Pour bien signifier que les modes ♧ & ♡ sont hors de leurs représentations catégoriques en mode ♢, au même titre que Réel ☯ et Symbolique ☯ sont hors de l'Imaginaire, je te propose de représenter ces 4 instances dans une zone rouge entourant le champ de leur re-presentation utilisant peu ou prou la syntaxe catégorique.

Les écritures du type [α]^β, où β ≠♢, devant dès lors être comprises comme les représentations en mode ♢ d'objets de discours, en mode β.

- De même que [∃] et [∅]  sont des représentations Imaginaires de ☯ & ☯ ?

- Voilà, tu as compris, ce qui te donne une parfaite symétrie entre niveaux et modes, vus en [#]^♢ comme orthogonaux.

- OK, et donc, le cerneau de la noix, pour reprendre l'image de Grothendieck, c'est :

- Oui; et jusqu'à présent, nous nous sommes particulièrement intéressés aux deux niveaux [⚤]^♢ et [#]^♢, en délaissant quelque peu [♲]^♢.

- Celui de la "mesure"...

- Nous y sommes : l'idée qui m'est venue au réveil est la suivante : si [♲] fait le lien entre ce qui est de niveau [#] & [⚤], de quoi s'agit-il, exprimé de la façon la plus générale possible ? (Note 1)

- C'est toi l'auteur, à toi d'annoncer.

- C'est d'établir une équivalence (notée ⇆) entre un automatisme de répétition en [⚤] (noté ⇅) et celui propre à [#] (noté ⊥).

- Rien de neuf : nous en parlons depuis fatigué, même avant d'avoir pensé à la différence niveaux/ modes, lorsque tu écrivais :
(☯[∃][⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓁝⊥𓁜[♲]𓁝⇆𓁜[∅]☯) 𓂀^♧ .

- Heureusement ! Je te dis juste ici qu'il faut l'exprimer dans une syntaxe catégorique. D'où l'idée toute bête que si le schéma de Grothendieck traite d'une flèche [⚤]^♢←[#]^♢, l'équivalence recherchée en [♲] implique une flèche en retour  [⚤]^♢→[#]^♢.

Prenons le concept de l'"aire" d'une figure géométrique, et pour fixer les idées arrêtons-nous à celle d'un triangle (voir "De Descartes à Leibniz et Newton"). La surface d'un triangle vaut 1/2 (base X hauteur).

Soit S la valeur en [⚤] de la surface de chacun des triangles ayant b comme base et h comme hauteur. Cet ensemble X de triangles est en [#]. La mesure définie en [♲] de l'aire de cet ensemble X donnée par la règle: aire=1/2(bxh), peut se comprendre comme une application [⚤]←[#]. Maintenant pour associer un triangle particulier de X à la mesure de son aire, il faut l'application inverse [⚤]→[#].

Et bien, cette interprétation est l'expression en mode ♧ d'une façon beaucoup plus générale de comprendre le topos au niveau [♲]^♢, comme liant le discret et le continu, ainsi que le schéma de Grothendieck S←X (i.e.: en [⚤]←[#]).

- Le topos vu comme une mesure ?

- C'est juste une piste, et ma réflexion de ce matin ""une mesure est un foncteur à gauche", indique que mon esprit y travaille inconsciemment... 

- OK, et c'est tout ?

- Non pas. L'orthogonalité entre base et hauteur du triangle nous amène à quelque chose de peut-être plus universel, de mode ♡ cette fois-ci.

La mesure en [♲] opère un rapprochement entre ce qui est du domaine de l'orthogonalité [#] et ce qui est :

• du domaine de la répétion en [⚤]^♧, avec Freud;
• qui devient restriction en [⚤]^♢, et nous renvoie à la démarche de Galois.

Je ne sais encore le dire avec précision, mais mon triptyque repérable en modes ♧&♢:

• [∃]^♧↑[⚤]^♧𓁜 Saut diachronique <=> de Saussure
• [⚤]^♧𓁝⇅𓁜[#]^♧ & [#]^♧𓁝⊥𓁜[♲]^♧ Répétitions <=> Freud
• Restriction—[⚤]^♢/ [#]^♢—Orthogonalité <=> Galois

me semble intimement lié à celui d'Emmy Noether en mode ♡:

• Symétrie;
• Quantité conservée;
• Indétermination.

- Je vois qu'il y a encore du pain sur la planche !

- Certes, mais j'ai l'impression que ma représentation de l'Imaginaire tient le choc, tout au moins jusqu'à présent !

Le 18/ 04/ 2024 :

- Le grand mystère, finalement c'est qu'un carré de 1x1 ait une surface de 1.

- Pardon ?

- Parfaitement. Comment comprends-tu 1x1 ?

- Une fois 1 = 1.

- Autrement dit, tu es dans une séquence, avec la notion de successeur, et de temps logique, en posture [⚤]^♧𓁜; mais quel est le rapport avec la mesure de la surface d'un carré de 1 de côté, une figure géométrique concevable globalement en [#]^♧𓁜?

Comment décrire de la façon la plus éthérée possible, en mode ♡, à partir de l'expérience du Sujet 𓁝𓁜 le passage de [⚤]^♧𓁜 à [#]^♧𓁜 pour "voir" le carré et ensuite le passage de  [#]^♧𓁜 à [♲]^♧𓁜 pour en "mesurer" la surface? Vas-y, raconte-moi le scénario, à tout le moins une histoire plausible.

- Tentons ceci à partir de la perception globale d'un carré 1x1 par le Sujet:

• 1/ 𓁝[#]^♧𓁜 : perception globale du carré de base 1 et hauteur 1;
• 2/ 𓁝[#]^♧𓁜 : perception locale de la base 1 ou de la hauteur 1;
• 3/ [⚤]^♧𓁝⇅𓁜[#]^♧⏩[⚤]^♧𓁝⇅𓁜[#]^♧ : décompte de la base 1 comme de la hauteur 1;
• 4/ [♲]^♧𓁜 : le carré présente une symétrie entre base et hauteur: la mesure de la hauteur 1 =  la mesure de la base 1, nous sommes dans un espace Euclidien;
• 5/ [#]𓁝⊥𓁜[♲]⏩[#]𓁝⊥𓁜[♲] : en intervertissant hauteur et base, le carré se conserve;

- C'est là que l'écriture matricielle devient éclairante. En décrivant base et hauteur par leurs extrémités sur deux axes orthogonaux nous avons ceci :

Et le changement de perspective du Sujet 𓁝⊥𓁜⏩𓁝⊥𓁜 correspond à une transposition des lignes et des colonnes, ce qui, en l'occurrence ne change pas la matrice I₂. On peut ajouter que I₂ est inversible, et que nous avons I₂.I₂^-1=I₂.

- Tu nous éloignes du sujet.

- Attends! Le déterminant de cette matrice I₂ vaut 1, et c'est là où je voulais en venir. Il y a, dans le retournement du point de vue du Sujet, respectant une certaine symétrie, un principe de conservation qui y est attaché. Lorsque je tourne un carré de 90°, la perception que j'en ai, reste inchangée, de même que lorsque je transpose lignes et colonnes d'une matrice unitaire. Et ça se retrouve dans l'écriture de Dirac exprimant la Méca Q. Si, localement 𓁝[#] le Sujet peut décrire soit la hauteur, soit la base du carré, qu'il identifie en [⚤]𓁜; leur orthogonalité s'exprime en [#]𓁜 par ⟨1| & |1⟩ et l'observable en [♲]𓁜 vaut ⟨1|1⟩=1.

- Tu mélanges tout, en passant de la géométrie au calcul matricielle et à la Méca Q!

- Arrête de chercher la Lune au bout du doigt quand je te parle des mouvements du doigt! L'étape suivante du scénario est donc : 

• 6/ [♲]^♧𓁜 : le carré unitaire en [#]𓁜 peut être vu en [⚤]^♧𓁜 de deux points de vue équivalents. La règle est 1x1=1 (ou det I₂=1 ou ⟨1|1⟩=1).

Tu vois de quelle façon le Sujet établit une équivalence ⇆ entre une orthogonalité ⊥ et la succession élémentaire ⇅.

- Je connais tes gimmicks : le temps séquentiel ⇅ en [⚤]^♧𓁜 devient orthogonal à l'espace ⊥ en [#]𓁜 auquel est attaché un principe de conservation ⇆ en [♲]^♧𓁜, soit le principe d'inertie de Galilée  v⃗=constante  ou celui d'Einstein v̅.v=c².

- Ça commence à rentrer. 

- Je te vois bien tourner autour du triptyque de Noether, en liant symétrie et conservation, mais quid de l'indétermination ?

- En [♲]^♧𓁜 je parle bien d'une règle liant les deux niveaux [⚤] & [#], autrement dit il en va de l'intention du Sujet, [♲]^♧𓁜 (Socrate) ou de celle à laquelle il se plie 𓁝[♲]^♧ (l'esclave de Ménon). Après tout, les Égyptiens ont pu mesurer leurs terres par leurs périmètres, et l'on n'a pas attendu Dirac pour comprendre qu'en transvasant un verre d'eau dans un bol le volume transvasé se conservait !

- Soit, il en va de l'intention du Sujet en [♲]^♧𓁜, mais Noether ne parle pas de ça...

- C'est vrai. L'indétermination est fondamentalement dans le 1^er saut diachronique ☯[∃]↑[⚤]^♧𓁜.

- Et en [#]^♧ ? 

- Je pense qu'il doit être dans le passage global—𓁝[#]^♧𓁜/𓁝[#]^♧𓁜—local. Dans le saut, l'attention du Sujet se focalise sur 1 dimension —soit sur la base, soit la hauteur— du carré en 2D (et se généralise à nD).

- Je crois que tu as fait le lien entre ce triptyque qui s'est échappé de ton clavier et celui de Noether, non?

 - Il va falloir consolider tout ça en passant à la syntaxe catégorique.

- Amen

Hari

Note 1 :

En écrivant ceci, je respecte strictement la définition commune de la mesure :

"De façon informelle, une mesure a la propriété d'être monotone : si l'ensemble E est un sous-ensemble de F, la mesure de E est inférieure ou égale à celle de F. De plus, on impose à la mesure de l'ensemble vide la valeur 0."  Wikipédia

• [♲] : Le niveau où se conçoit cette définition;
• [#] : le lieu des parties de F comme de la topologie;
• [⚤] : le lieu où l'on met de l'ordre entre les objets, avec la notion de successeur;
• Repérer le vide ∅ par l'élément 0 exprime un changement de posture : 
  • ∅ vu ex ante 𓁝[#][♲][∅] (il n'y a pas d'objet);
  • 0 vu ex post [∃][⚤]𓁜 (je ne vois pas l'objet)

Note 2 : du 20/ 04/ 2024 :

- Je le note ici pour y revenir en temps voulu : 

C'est à propos de la géométrie d'Alain Connes qu'il présente comme une feuille dont une face présenterait une géométrie classique, commutative, et l'autre une face non commutative.

Je me représentais cette feuille comme séparant les deux modes ♢&♧, or, dans le changement de perspective qui se fait jour ici, je me demande s'il ne faudrait pas faire faire un quart de tour à cette représentation, et comprendre cette dualité comme celle de [⚤]^♢ & [#]^♢.

- On passe des modes aux niveaux? Dans ce cas, tu fais directement le lien avec les "schémas" de Grothendieck, et tu récupères toute la démarche duale cohomologie/ homologie pour revisiter la physique...

- Esthétiquement parlant, c'est séduisant, non? Le saut diachronique final ♢↓♧ serait vu en physique comme le passage d'une représentation "intriquée" des états à leur décohérence...

- Ou en psychologie comme le passage du rêve à l'éveil.

- Laissons cela aux psys... Mais revenons à cette rotation des représentations. Tu remarqueras que ce procédé devient récurrent. Pense à la présentation du groupe de Poincaré par Étienne Ghys, qui commence par tourner sa parabole de 90°. Ou bien à l'évolution de l'idée de "mesure" lorsque l'on passe de Riemann à Lebesgue.

- Mais est-ce si nouveau que cela ?

- Là, nous tombons dans une réflexion philosophique.

Lorsque Lévi-Strauss remarque que dans les sociétés premières tout concept est dual, lorsque Grothendieck lui-même associe la dualité Yin/Yang à gauche/droite, comme moi-même d'ailleurs, en disposant les niveaux Imaginaires entre Réel/ Symbolique, ou en représentant le Sujet 𓁝𓁜 par une dualité ou même Derrida avec sa déconstruction, tout se ramène à une dichotomie.

La question est : est-ce que Galois a fait exploser ce cadre de pensées ?

- Tout doux l'ami ! Tu es dans une culture Occidentale, encore largement néoplatonicienne. Il faudrait élargir ton horizon.

- À quoi penses-tu ?

- Aux Chinois, par exemple, qui utilisent depuis bien longtemps une écriture matricielle pour calculer; ou encore aux Japonais qui avaient une perception globale de l'espace-temps (le Ma 間) bien avant d'adopter la dualité espace—空間/ 時間—temps occidentale à l'ère Meiji.

Et puis, à la réflexion, la forme canonique des mythes, est plus complexe qu'il n'y paraît. Oublies-tu ton rapprochement entre un mythe et un schéma de Grothendieck (voir ici dans "Parole et création #2")?

- OK, il serait plus juste de dire qu'avec Galois, nous nous libérons du carcan Platonicien pour retrouver des structures de pensées plus riches, et déjà présentes dans la pensée mythique.

- Exactement. La philosophie Grecque apparaît comme une restriction (à partir de Parménide) d'une pensée antérieure plus riche de toute une mythologie, que pas à pas nous pouvons réintégrer dans notre discours...

- Tu penses à la psychanalyse ?

- Oui, en particulier. Mais pour en revenir au langage mathématique, il y a, et nous l'avons bien mis en évidence, une réintroduction du Sujet au coeur du discours mathématique. C'est l'axiome de choix, qui bon gré mal gré est difficile à éviter par le matheux, quoi qu'il en ait; c'est encore l'introduction d'une sémantique au-dessus d'une syntaxe, comme revendiqué par Olivia Caramello.

Et c'est là que ça coince, philosophiquement pour beaucoup de matheux, restés Platoniciens dans leurs tripes. En particulier dans une pensée anglo-saxonne qui se voudrait purement immanente S↑. Le Sujet s'impose et referme le couvercle sur son Imaginaire : S↓.

- Tu radotes.

- Désolé.

Note 3 du 28/ 04/ 2024 :

- Le "pont", théorisé en langage catégorique par Olivia Caramello, trouve son écho, dans l'approche de Luigi Rizzi en linguistique. Voir

• "Entre syntaxe et matière molle"
• "L'imaginaire du Sujet et son langage"

- Quel rapport ?

- Lui aussi passe par un langage pivot pour traduire une lange dans une autre.

- Que proposes-tu ?