La cohomologie #3 - Re-reprise

- En attendant une inspiration salutaire, je lis et relis mes derniers articles, pour les "redresser", car je sens bien que si j'y suis presque, ce n'est pas encore absolument limpide dans mon esprit.

- Ça se voit : ce que tu écris est illisible, mais pourquoi revenir précisément sur ton article #2, sur la cohomologie ?

- Parce qu'en écoutant Jean Bénabou parler des "petits et gros objets" à propos des foncteurs cartésiens (voit ici dans "Foncteurs cartésiens"), il me vient immédiatement que le discours se situe en mode syntaxique ♡...

- Le rapport avec la cohomologie ?

- Dans l'article #2, en repartant de la définition des foncteurs adjoints ici, je pensais rectifier une présentation que j'avais faite avant de comprendre que l'Imaginaire se déploie sur plusieurs modes, cependant, j'en reste à une présentation sur 2 modes ♧ & ♢, alors que l'idée d'un plongement d'une catégorie C^op×D → Ens doit faire penser à une relation directe ♡↓♧.

- Reprends depuis la définition des foncteurs adjoints, pour être bien clair.

- Définition catégorique :

Soient C et D deux catégories localement petites, et F : C→D  et G : D→C  deux foncteurs. On dit que F est adjoint à gauche de G (ou que G est adjoint à droite de F) s'il existe un isomorphisme naturel Φ du foncteur Hom(F(-),-) vers le foncteur Hom(-,G(-)), ces deux foncteurs allant de la catégorie C^op×D vers la catégorie des ensembles. Autrement dit :

• pour tout objet X de C et Y de D, Φ_X,Y est une bijection de l'ensemble Hom_D(F(X),Y) sur l'ensemble Hom_C(X,G(Y)).
• pour tout morphisme f : X→X' de C^op (c'est-à-dire f : X' → X de C) et tout morphisme g : Y→Y' de la catégorie D, le diagramme suivant commute :

  

  Si l'on a un morphisme r : F(x)→Y, alors
  Φ_X',Y'(g∘r∘F(f))= G(g)∘Φ_XY(r)∘f

C'est à partir de là qu'il faut reprendre le discours, en considérant un Imaginaire se déployant sur 3 modes.

1. En mode syntaxique ♡ :
   • La définition des foncteurs adjoints F & G par
     Hom_D(FX,Y) ≅ Hom_C(X,GY) ; (Note 3)
   • C'est une règle relationnelle entre éléments, autrement dit elle concerne des objets de mode ♢;
   • Cette équivalence doit s'exprimer sous forme d'une propriété universelle. (Note 1)
2. En mode relationnel ♢ :
   • Le diagramme ci-dessus est l'expression catégorique de la définition, à partir d'une propriété universelle : "pour tout ^𓁝élément d'une catégorie^𓁜", qui s'applique ici à :
     • f : X→X' de C^op
     • g : Y→Y' de D

- Et le mode ♧ ?

- Il apparaît dans le fait que nos catégories sont "petites", ça permet d'envisager directement des foncteurs allant de C^opxD→Ens.

Ce qui nous renvoie à une structuration sur 3 modes :

CopxD	♡		=>		♢
↓		⇘		⇙
Ens (ou Set)			♧

- Et ce recadrage t'amène à quoi ?

- Il nous permet de situer le concept de topos.

Si je reprends la définition d'André Joyal, cf. début d'article #2 :

"Définition : un topos est une réflexion exacte à gauche d'une catégorie Set^ℂ."

On reste, si je puis dire, dans le cadre "catégorique", que je circonscris au mode ♢; mais si je repense à l'extension proposée par Bénabou, à des objets "plus gros" que ℂat, à savoir des 2-Catégories, en mode ♡ comme nous l'avons vu, ça permet de comprendre que cette "réflexion exacte à gauche" de mode ♢ renvoie au "foncteur vertical" dont parle Bénabou en mode ♡.

- Quel intérêt ?

- J'entrevois la répétition d'un schéma très primitif.

- De quel schéma parles-tu ?

- Nous cherchons à rapporter tout ce que nous voyons d'un ensemble d'objets à une "base" qui soit incluse dans celui-ci. (Note 2)

• En mode ♧ : géométriquement_# c'est ce que nous faisons avec les "coordonnées cartésiennes", en oubliant souvent que les deux axes choisis pour base, font partie du plan qu'ils servent à décrire;
• En mode ♢ :
  • En [⚤] la théorie des groupes permet de définir un groupe quotient Q comme un groupe B ramené à un sous-groupe distingué A : Q=B/A, à partir de quoi l'on construit les groupes d'homologie et de cohomologie;
  • En [#], nous avons l'idée de "recouvrement" en topologie;
• En mode ♡ : nous rapportons un "gros objet" B̂ pointant sur un objet B faisant partie de B̂ (voir ici).

- Je vois bien que tu cherches à cerner le mode ♢ par ♧ & ♡, mais est-ce que cela t'aide à comprendre le concept de "faisceau" sur lequel tu bloques ?

- Laisse-moi poursuivre sur ma lancée : le fait que la base B à laquelle on rapporte les éléments de X soit incluse dans X, implique des contraintes, génère une structure, et c'est à mon sens le point le plus souterrain.

- Par exemple ?

- Ne serait-ce que le théorème de Lagrange sur les sous-groupes :

"Soit G un groupe fini, et H un sous-groupe de G . Alors le cardinal de H divise le cardinal de G."

Le 15/ 11/ 2023 à Kovalam :

- Depuis une semaine, je reprends et corrige en bleu mon texte #2 (afin de garder la trace de mes errements). Ce faisant, je bute avant-hier sur mon schéma d'ensemble homologie/ cohomologie (cf. ici) qui ne me convainc pas. Je corrige donc la partie "homologie", assez facilement, après avoir revisité les vidéos d'Antoine Bourget desquelles j'étais parti dans l'article initial "La cohomologie et toutes ces sortes de choses", mais je reste toujours bloqué sur la partie cohomologie.

Puis tout se clarifie ce matin au réveil, après avoir ruminé durant la nuit les vidéos de la veille.

- Ne racontes pas ta vie et vas à l'essentiel.

- Oui, bon, en bref : l'orthogonalité autour de quoi je tourne ces temps-ci (voir ici) tient à la dualité  homologie/ cohomologie, qui s'exprime dans le retournement du Sujet [⚤]𓁝/𓁜[#]⏩[⚤]𓁝/𓁜[#], ou mathématiquement par un changement de regard sur une matrice :

• En 𓁝[#] le Sujet voit des vecteurs α d'un espace vectoriel V;
• En [⚤]𓁜 le Sujet voit des covecteurs α*, ou formes linéaires de l'espace dual V*=L(V, ℝ), qui à vecteur α associe un nombre.

Je recherchais un orthogonalité^♢ au niveau topologique [#], alors qu'elle se trouve dans une relation [⚤] ⇆ [#] faisant le lien entre des mouvements verticaux n⇅n+1 ayant leurs expressions particulières :

• en [⚤]^♢ avec les groupes abéliens (collection de sous-groupes de formes ℤ et ℤ/pℤ), ou autres structures algébriques ; (Note 5)
• en [#]^♢ avec les préfaisceaux, les recouvrements etc.

Ces passerelles sont matricielles, et l'on peut embrayer sur tout ce qu'en dit la théorie des catégories (voir "Matrice").

- Ça corrobore ton idée d'une "géométrisation de l'Imaginaire en mode ♢ :

- Absolument et rétrospectivement, je me traite bien entendu d'imbécile, de ne pas en avoir tiré les justes conséquences bien avant !

- Et qu'en est-il des vecteurs cartésiens de Bénabou ?

- Il me faudra y revenir pour voir si ça colle. En m'inspirant de notre schéma, je pense a priori qu'en mode ♡, il doit y avoir une équivalence, ou disons une formulation très générale, d'une dualité fondamentale 𓁝𓁜 qui se déploie sur tout le spectre Imaginaire.

- À quoi penses-tu ?

- Dans la définition d'une flèche cartésienne, Bénabou stipule une condition "d'unicité" de la projection (cf ici dans "Foncteurs cartésiens"), et ça me ramène à une réflexion d'Antoine Bourget à propos de la cohomologie, en particulier celle de de Rahm : On étend l'espace topologique en lui associant une restriction. Ça m'avait surpris, car je n'associais pas naturellement d'idée de différentielle (ou de petit) à celle d'extension d'un espace, et je crois que c'est là-dessus que j'ai ruminé toute cette nuit.

- En bref, nous revenons à Évariste Galois ?

- Bien entendu puisque tous ces développements se rattachent à ses travaux. Et donc, pour en revenir aux flèches (et foncteurs) cartésiens, cette "unicité" est la restriction associée à l'espace de dimension n+1, dans lequel une flèche de dimension n est représentable. Comme tu le vois, il s'agit d'une caractérisation extrêmement générale, de mode syntaxique ♡.

- Soit, merci pour la mise en perspective, mais si tu revenais maintenant à notre cohomologie ?

- Avant cela j'aimerais rectifier une erreur de perspective que j'ai faite en présentant ce schéma dans "Flèches cartésiennes" : 

	discontinu algèbre		continu topologie
	𓁝[⚤]𓁜			𓂀♢
	𓁝[⚤]𓁜	←	𓁝[#]𓁜

Il faut redresser le dessin, et garder l'orientation verticale, instinctive, que nous nous faisons des projections:

	discontinu algèbre		continu topologie
	𓁝[⚤]𓁜	⇆		𓂀♢
	↑		↓
	𓁝[⚤]𓁜	⇆	𓁝[#]𓁜

- Et ce que tu as écrit concernant la distinction entre un premier saut et sa répétition ?

- Cela garde un sens (Note 6), mais c'est l'objet de la répétition qu'il faut redéfinir ! Ce qui se répète, c'est le schéma d'ensemble, à savoir le mouvement dual :

• Homologie : la projection verticale n+1↓n en [#] ET le pont horizontal [⚤]←[#];
• Cohomologie : un passage n-1↑n en [⚤] ET le pont horizontal dual [⚤]→[#]. (Note 4)

Mouvement dont le passage à la limite ♢↓♧ doit être vu a posteriori (ou ex post) par 𓂀^♢ comme une dégénérescence.

- Et si tu reprenais maintenant ton schéma d'ensemble homologie/ cohomologie ?

- Une dernière chose avant cela.

• Dans la démarche homologique, partant d'un objet "donné", il est naturel de régresser par paliers à partir de celui-ci, jusqu'à l'objet final [∃]^♧, après la régression ♢↓♧ et le rabattement final [⚤]^♧←[#]^♧;
• À l'inverse, dans la démarche cohomologique partant du simple vers le complexe, il faut cadrer l'horizon du développement, par un choix du Sujet en mode ♡. C'est ainsi que le théorème de d'Alembert sur l'existence de racines d'un polynôme, offre  ℂ comme horizon à Galois lors qu'il s'intéresse à la question. (Note 10)

Le 19/ 11/ 2023 - São Paulo :

- Après notre envol d'hier, revenons au schéma qu'Antoine Bourget brosse lui-même de la dualité bord et cobord :

Je t'en propose la lecture suivante :  

1. Il s'agit d'une écriture algébrique, et donc en [⚤];
2. Cependant, on peut décrire la notion de "bord" ∂ de façon topologique, avant toute transcription algébrique;
3. Les cochaînes ϕsont des relations linéaires, signant le passage de [⚤]𓁝/𓁜[#]⏩[⚤]𓁝/𓁜[#], où G est choisi par le Sujet en mode ♡, par un retournement 𓁝[⚤]^♡↓[⚤]^♢𓁜;
4. Le "cobord" δ est :
   • Un concept purement algébrique, en [⚤];
   • Répondant à l'ajout d'une dimension topologique n⏩n+1, en [#];
   • Par une restriction en [⚤] des possibles (variétés n) dans cet espace n+1;
   • Correspondant, en [⚤], à la notion de :
     "un bord parmi les C_n(X), qui n'est pas un bord parmi les C_n+1(X)"

- Tu n'as pas situé les chaînes et co-chaînes dans ton schéma...

- J'y viens, et c'est là que je dois préciser mon écriture.

En fait, l'écriture "Hom(C_n,G)" est une transcription en [⚤] de la figure topologique en [#].

- Explique-toi.

- Pense à l'usage des simplexes ∆ⁿ. La figure topologique peu être définie (dans sa dimension n) par un recouvrement de ∆ⁿ. Tu as :

• Une vue globale [#]𓁜 de l'espace topologique X;
• Des points de vue locaux 𓁝[#] de X, représentés par des chaînes C_n(X), la posture 𓁝 ne te permettant pas de faire autre chose que de "tourner autour des trous";
• En écrivant Hom(C_n,G) il faut voir
  • G comme l'horizon global de X transposé en [⚤]𓁜;
  • Les C_n(X), comme l'ensemble des points de vue locaux d'où l'on perçoit G en  𓁝[⚤];
  • Hom(C_n,G) traduit la relation
    • local—𓁝[#]𓁜—global topologique de X par une relation 
    • local—𓁝[⚤]𓁜—global algébrique.

Dans l'opération, le retournement [⚤]𓁝/𓁜[#]⏩[⚤]𓁝/𓁜[#] peut être caractérisé par l'objectivation de l'objet initial [∅] vu ex ante et autour duquel on tourne en 𓁝[#], par un horizon G vu [⚤]𓁜 résultant d'un choix^♡ :

L'opération d'ensemble s'inscrivant entièrement dans l'espace Imaginaire 𓁝[⚤]𓁝/𓁜[#]𓁜 de mode ♢.

- Il te reste à définir la procédure de construction de ces cobords δ.

- Oui, et c'est même extrêmement intéressant à décortiquer, parce qu'en mode ♢, le-dit processus n'est pas d'ordre temporel. On peut même aller plus loin et comprendre en 𓂀^♡ la notion de successeur en [⚤]^♧, comme résultant d'une brisure de symétrie d'une dualité avant/ après en [⚤]^♢. (Note 7)

- Tu veux parler un calcul des bords, en descendant et des cobords en montant ?

- Exactement, et c'est ce que je dois corriger sur ce schéma d'ensemble sensé représenter les deux mécanismes homologie/ cohomologie, dans l'article #2.

					𓂀♢
	𓁝[⚤]G		[#]𓁜		∆n+1
Cn-1=Hom (Cn-1,G)	δn-1 ↓		↓ ∂n+1
Hn=Kerδn/ Imδn-1	[⚤]𓁜	Hn=Ker∂n/Im∂n+1     𓁝/𓁜	𓁝[#]𓁜		∆n
Cn=Hom (Cn,G)	δn ↓		↓ ∂n
	𓁝[⚤]G		𓁝[#]	∅	∆n-1

Je m'étais tordu l'esprit pour représenter les ↓ de même sens que les ↓, en espérant retrouver une transformation naturelle... Je pense a posteriori que j'étais dans l'erreur parce que trop pressé. Pour l'heure, il me semble plus important de souligner que:

• l'homologie est une traduction algébrique d'une topologie, quand
• la cohomologie doit être vue comme une restriction algébrique des possibles lors d'un passage de n à n+1.

Schéma rectifié : 

					𓂀♢
	𓁝[⚤]G		[#]𓁜		∆n+1
	δn ↑		↓ ∂n+1
Cn=Hom (Cn,G)	𓁝[⚤]𓁜	𓁜←𓁝	𓁝[#]𓁜		∆n
		Hn=Ker∂n/ Im∂n+1
		Hn=Kerδn/ Imδn-1
		𓁜→𓁝
	δn-1  ↑		↓ ∂n
	𓁝[⚤]G		𓁝[#]	∅	∆n-1

- Bon, maintenant que te voilà l'esprit un peu plus léger, il faudrait aller au bout de la présentation d'Antoine Bourget, non ?

- Effectivement, car nous n'en sommes qu'au début. L'auteur nous dit que la richesse de la cohomologie tient à ce qu'elle permet d'imaginer des "objets topologiques" construits à partir de structures plus riches que les groupes auxquels nous sommes limités en homotopie, et en homologie. Essentiellement, il s'agit d'acclimater en topologie ce qui correspondrait au concept de "multiplication" de une structure d'anneau.

Cup product noté "⌣" :

- À mon sens, notre schéma met en évidence une analogie entre le mouvement dual 𓁜→𓁝/𓁜←𓁝 et ce que nous avons déjà vu très primitivement de la dualité section — s/ r — rétraction, définissable dans la catégorie élémentaire Ens, et menant à la distinction :

• idempotence : e = s∘r
• identité : Id = r∘s

- Tu pars d'un peu loin...

- Je pense au théorème de Poincaré que nous attend à l'arrivée, en vue duquel Bourget nous présente ce cup product ⌣.

- Si tu commençais par le début ?

- Reportons-nous à 47' de la vidéo. Mon problème personnel, est que j'ai beaucoup de difficultés à "comprendre" une description algébrique. Quoi que je fasse, pour moi, ces manipulations de symboles restent vides de sens, tant que je ne peux pas les visualiser peu ou prou...

- Avance pas à pas, prends tout ton temps, de toute façon tu es coincé ici par un temps gris de jour férié (dia da consciência negra) dans une ville vidée de ses habitants...

- D'accord. Commençons par nous remémorer ce qu'est un produit dans un anneau R(+,•). C'est une opération R X R → R telle que pour tout a, b, c nous avons :

• Distributivité à gauche : a•(b+c)= (a•b) + (a•c)
• Distributivité à droite : (a+b)•c= (a•c)+(b•c)
• Associativité : (a•b)•c = a.(b.c)

Tu remarqueras que le produit n'est pas forcément commutatif : a•b peut être différent de b•a, mais ici, nous prendrons R commutatif, avec une unité (ex Corps, ℤ, ℤ/nℤ etc.)

Cet anneau R structure globalement l'"objet" de notre attention, composé dans le cas présent, de simplexes ∆ de diverses dimensions ∆⁰, ∆¹, ..., ∆ⁿ.

Le 22/ 11/ 2023 :

 - Depuis deux jours, j'essaie de comprendre l'exemple du tore T² donné dans la vidéo à 59', et je bute toujours sur la représentation qui est donnée des applications φ & ψ, en pointillé bleu et vert au tableau.

- Prends ton temps, et avance pas à pas. Commence par la première ligne :

- Jusque là, c'est clair :

1. Nous nous intéressons aux ∆¹, ou chaînes de dimension 1;
2. L'ensemble des applications Hom(H₁(T²), ℤ) ramène la représentation de l'espace topologique T² engendré par a et b à un quadrillage discret, sur ℤ.
   • Les lignes "parallèles" ou isomorphes à a forment la classe [a] (désolé si mon vocabulaire n'est pas mathématiquement clean);
   • Les lignes "parallèles" à b forment la classe [b];
   • L'écriture ℤ[a]⊕ℤ[b] permet d'abstraire le groupe H₁(T²) d'une représentation particulière a de [a] et b de [b].
   • D'où le groupe ℤ².

- Jusque là, pas de problème, c'est la suite qui coince.

- Reviens à l'exemple initial des pistes de ski dans la vidéo précédente.

Tu repères l'altitude sur une échelle Z perpendiculaire à une surface idéale horizontale (X,Y), ce qui te permet de faire des "calculs" (ici sur ℤ), et comparer des dénivelées. Fixer une hauteur Z₀, "met à égalité" toute une coupe de terrain, repérable sur une carte par une courbe de niveau. C'est ce que fait un plâtrier lorsqu'il utilise un laser pour poser un plafond de niveau.

Ici, sur T², le problème est limité à 2D. Sur le schéma, considère b comme l'axe ℤ que nous venons de voir, et a, comme la surface au sol (ici limitée à 1D). La ligne bleu ψ est l'équivalent de notre courbe de niveau, et elle est "parallèle" à a.

- Mais tu mélanges des choux et des navets : a est un concept topologique, soit lacet en homotopie, soit cycle en homologie, et là tu me parles de coordonnées cartésiennes.

- C'est exactement en cela que consiste le jeu : lorsque tu lis 𓁝[⚤]𓁜→𓁝[#]𓁜, il faut comprendre : "le Sujet aborde localement la description de l'objet en 𓁝[#] avec les outils algébriques en [⚤]𓁜". Dont acte. Mais, et c'est là l'important, ces outils algébriques ne s'utilisent ici que sur une seule dimension à la fois.

- Et l'opération ⌣ serait l'étape suivante, pour étendre le langage algébrique à tout l'objet topologique ?

- C'est ce qu'il reste à vérifier, mais ne brûlons pas les étapes. En prenant ℤ comme horizon de notre description (i.e. les altitudes ψ sont discrètes, représentant l'axe [b])...

- Et nous faisons la même opération avec φ sur [a], ce qui "algébrise" notre surface topologique (a,b) ?

- Non, tu vas trop vite. Assimile d'abord correctement cette écriture : φ et ψ sont des 1-cochaînes, représentant les classes α et β et donc :

• α = [a]* = [φ]
• β = [b]* = [ψ]

Maintenant, j'espère que tu vois mieux l'orthogonalité entre la représentation topologique de "a" et celle de "φ" ?

- Oui : à un "point" de a donné, correspond tout un parcours possible, orthogonal à l'axe "a", on en revient à nos courbes de niveau.

- Exact. Maintenant, il s'agit de caractériser les autres 1-chaînes de la surface T², à l'aide (indépendamment) de φ et ψ. Nous sommes ici localement en 𓁝[#]. L'idée est assez simple.  Revenons à nos pistes de ski. Imagine que pour les besoins du cadastre, nous ayons triangulé le terrain de ski. Si la bordure (une 1-chaîne  ∆¹) d'un triangle ∆², est coupée en un point par une ligne de niveau, alors, il y a nécessairement une autre 1-chaîne de cette bordure qui sera également coupé par celui-ci.

- C'est un peu alambiqué comme phrase.

- Oui, il faudra que je travaille mon écriture. Mettons que le père Mathieu a un champs (a, c₁ & c₄) qui s'étend entre les altitudes de 1190m (les points 3 & 5) et 1250 m (le point 1), encerclé par une clôture. À l'évidence, il y aura deux éléments de clôture (c₁ & c₄), de part et d'autre de son terrain, qui seront à l'altitude de 1200m (ψ). C'est ce que représentent les points c₁ & c₄ sur ψ. De la même façon on a les points b, c₃, c₄ sur φ. C'est cette certitude, d'ordre topologique 𓁝[#], qui trouve une écriture algébrique [⚤]𓁜. Si tu as compris ça alors, une fois que la tête est passée, tu t'engouffre dans le terrier, tel Alice à la poursuite du lapin blanc..

- Tu es optimiste, et comment lis-tu la suite ?

- Tu as raison, je vais un peu vite.

Tout ce que l'on peut voir de la situation en 𓁝[#], c'est une intersection (donc un point de dimension 0 ou ∆⁰) entre une relation algébrique (marquant le passage [⚤]𓁜→𓁝[#]) et une chaîne homologique de dimension ∆¹. Pour le φ particulier, dessiné ici en vert sur le schéma :

• Il y a 3 intersections en a, c₃, c₄;
• Il n'y a pas d'intersection avec b, c₁, c₂.

- Oui, mais pourquoi la valeur "1" ?

- Pour retrouver la notion de "dualité" entre  [a] et [a]*. Le produit vaut 1. On retrouve ainsi des notions matricielles.

L'important, c'est que dans la suite du discours —bien que s'appuyant sur des représentations particulières φ & ψ des classes correspondantes α=[φ] & β=[ψ]— les résultats sont généralisables aux classes α & β; mais là, je te laisse le soin de faire l'exercice pour t'en convaincre.

- Admettons. ce qui me rassure en tout cas, c'est de voir se préciser ici, dès les premières considérations sur la cohomologie, bien avant les faisceaux de Leray, et les topos de Grothendieck, cette question d'orthogonalité qui t'as tenu pas mal de temps (voir "Une question d'orthogonalité"), et qui se retrouve dans les foncteurs cartésiens de Jean Bénabou. Maintenant, pouvons-nous avancer ?  (Note 8)

- Avant cela, il faut revenir à la définition que j'ai zappée (à 54'), bloqué comme je l'étais sur la représentation de φ & ψ.

- Je sens de l'enthousiasme, rien qu'à ta manière d'encadrer ceci...

- Cette petite propriété "δ(ϕ⌣ψ) = δϕ⌣ψ + (-1)^kϕ⌣δψ" est d'une importance capitale en physique, via la cohomologie de de Rahm, et j'ai quelque tristesse en pensant au temps passé à ingurgiter des formules dans mon école d'ingénieur, alors que la topologie algébrique m'aurait aidé à mieux comprendre la physique... J'y reviendrais sans doute plus en détail; mais pour l'heure, je reste un peu sous le choc de prendre conscience aujourd'hui d'où l'on part pour établir tout ceci.

- À savoir ?

- D'un constat qu'un fellah sous Ramsès II aurait pu faire : "si le Nil inonde en partie mon champ, alors, le niveau d'eau qui coupe la clôture à droite, coupe nécessairement la clôture à gauche". (Note 8)

Le 23/ 11/ 2023 :

- J'ai bien conscience du champ d'investigation qui se déploie dans le passage [⚤]^♢𓁝/𓁜[#]^♢, mais ne perds pas ton objectif : tu étais parti d'une remarque de Grothendieck dans "Récoltes et semailles", faisant état d'une "idée bébête" à propos des schémas qui lui était venue. En suivant le fil, tu as trouvé cet article de Jean-Pierre Cartier "La folle journée", où des schémas on passe aux motifs (voir ici), pour atterrir, via les faisceaux de Leray à cette cohomologie "bien connue de tous".

Tu as tenté de comprendre les faisceaux (voir "Faisceaux") à partir d'un texte de François Marçais, mais tu n'as pas dépassé les préfaisceaux, et es resté en cale sèche, faute de comprendre la cohomologie, qui demande à être située correctement par rapport à l'homologie...

- Oui, et donc nous sommes ici au fond de la piscine...

- Et il s'agirait de remonter au plus vite ! Tout ce que tu pourrais fouiller maintenant va se représenter dans une perspective élargie.

- Soit, renonçons pour l'instant à aborder la cohomologie d'une façon détaillée, mathématique, mais il faut néanmoins nous assurer d'en avoir saisi l'essence même...

- Je crois que tu y es avec cette image d'un fellah au bord du Nil contemplant son champ inondé...

- Pour rendre compte du terme (-1)^k dans la formule
δ(ϕ⌣ψ) = δϕ⌣ψ + (-1)^kϕ⌣δψ ,
je crois qu'il s'agit de la généralisation d'un constat tout aussi élémentaire : en faisant le tour de son champ, si notre fellah entre dans l'eau en longeant sa clôture du côté gauche, il va en sortir du côté droit. Ce qui introduit une dissymétrie entre les deux côtés du champ. Dissymétrie que l'on retrouve dans l'écriture algébrique de la clôture d'une surface quelconque, tel un triangle de côtés a, b, c : avec a+b-c=0. Il y aurait là encore tout un développement à faire.

- OK, c'est noté, mais reviens au tore T², et au produit ⌣, please.

- Là c'est assez simple à comprendre. Nous venons de voir que le groupe de cohomologie H¹(T²,ℤ) = ℤ², pouvait être généré par α et β, chacun de dimension 1.

Le produit (ϕ⌣ψ), de dimension 2 est donc le produit d'éléments ϕ & ψ de dimension 1.

Sur le schéma, on repère les 4 éléments de surfaces qui tapissent notre T², et on applique la définition. Pour le premier, on a
(ϕ⌣ψ)(1,2,4)=ϕ(1,2)•ψ(2,4)=ϕ(c₂)•ψ(a)=0 etc. D'où :

• (ϕ⌣ψ)(1,2,4)=0
• (ϕ⌣ψ)(1,4,5)=1
• (ϕ⌣ψ)(1,2,3)=0
• (ϕ⌣ψ)(1,3,5)=0

Par ailleurs, le générateur homologique H²(T²) n'a pas de bord. C'est ici (1,2,4)+(1,4,5)-(1,2,3)-(1,3,5), ayant pour évaluation:
(ϕ⌣ψ)((1,2,4)+(1,4,5)-(1,2,3)-(1,3,5))=1 (du fait de la distributivité de ⌣). (Note 9)

Soit γ la classe duale du générateur (1,2,4)+(1,4,5)-(1,2,3)-(1,3,5), nous avons : 

• H₀ = ℤ•1
• H₁ = ℤ•α ⊕ ℤ•β
• H₂ = ℤ•γ

Après avoir prouvé sur des représentants particuliers que α⌣β=γ, on peut étendre ce résultat aux classes elles-mêmes.

Maintenant, faisons un pas de plus en considérant l'anneau H^• formé ds éléments H₀, H₁ & H₂, en établissant la table du produit • (je te laisse les calculs en exercice: la vidéo est très claire).

Comme le fait remarquer l'auteur cet anneau n'est pas trivial, puisque :

• il est non-commutatif : α•β = -β•α
• il est nilpotent, avec : α•α = β•β= 0

- Avant de continuer, j'aimerais bien que tu nous situes ce H^• dans notre schéma de l'Imaginaire.

- Ah ! A priori, il s'agit d'une caractérisation globale d'un objet, ici T², au même titre qu'une "mesure", et donc j'ai envie de dire qu'il s'agit d'un rapprochement fait par le Sujet entre deux descriptions de l'objet , l'une au niveau [⚤]^♢ , l'autre au niveau [#]^♢, autrement dit en [♲]^♢.

Ou plus précisément, c'est la répétition d'une construction par étapes (sur un groupe et donc non temporelle) des différents H₀, H₁,...,H_n vus 𓁝[♲] qui est réifiée par H^• en [♲]𓁜 lorsqu'au-delà d'un certain rang n+1 ils sont tous nuls.

- On pourrait en dire autant des groupes d'homologie Hⁿ, non ?

- On dégage effectivement des invariants homologiques, qui sont de l'ordre de la "mesure" au sens large, comme la caractéristique d'Euler par exemple. À ce titre, on peut les considérer en [♲]𓁜.

Mais je pense qu'il y a plus à en dire, en considérant qu'au terme des procédures de construction des H^k(X; R) et H_k(X; R), on tutoie le mode syntaxique ♡, d'où le Sujet choisit R en 𓁝[⚤]^♡↓[⚤]^♢𓁜 pour décrire X.

- Autrement dit, il faudrait discuter du passage de [♲]^♢𓁜↑𓁝[⚤]^♡ ?

- Oui, discussion qui s'ouvre par la définition d'un objet initial [∃]^♡𓁜, et comme il est question d'y penser en termes de topos, je préfère remettre cette analyse à plus tard...

- En as-tu finis avec cette vidéo ?

- Il faudrait certainement y revenir, ne serait-ce que pour comprendre le théorème de Poincaré sur les variétés, ou encore ce qui est dit des intersections, mais j'ai peur de perdre de vue notre objectif, qui reste, je te le rappelle, de comprendre ce qu'est un faisceau.

- OK, restons-en là pour l'instant, et rendez-vous le 24/11 dans l'article sur "Les faisceaux".

- Amen

Hari

Note 1 :

Je le note ici pour ne pas l'oublier : il faut faire le lien entre la "propriété universelle" et le principe de Relativité  qui me semble le point d'entrée d'un possible bouquin (voir ici).

• L'acquisition d'un concept se fait dans la répétition 𓁝[α]𓁜, et il est "acquis" dans le saut 𓁝[α]𓁜→𓁝[α]𓁜.

En  𓁝[α] nous sommes dans le multiple, quant en [α]𓁜, nous passons à la limite projective.

- Et la limite inductive ?

- Par symétrie, je dirais qu'elle doit être associée au mouvement

 [α]𓁝/𓁜[β]→[α]𓁝/𓁜[β].

Dans les deux cas, Relativité et propriété universelle seraient associées au changement de posture du Sujet 𓁝/𓁜. Ça reste à développer, bien entendu.

Note 2 :

Je parle d'une tendance, ou aspiration générale, ce qui pose le problème des limites, et de la nécessité de définir un point à l'infini; je pense au plan projectif par exemple.

Note 3 :

Puisque nous sommes en mode syntaxique ♡, de plus grande profondeur & généralité, il faut rapprocher cette définition des concepts très primitifs d'identité et d'idempotence (voir ici) portant sur les éléments des catégories C et D..

- Précise ?

- En rapprochant F : C→D d'une section et G : D→C, d'une rétraction.

La définition "d'adjoint à gauche" permet de définir un isomorphisme entre C et D, non plus, comme dans l'enchaînement section/ rétraction, en s'intéressant aux éléments de C & D, en mode ♧ mais par une propriété portant sur les flèches ♢ entre éléments dans C et dans D.

Et ce rapprochement est bien d'ordre syntaxique.

À rapprocher de la dualité homologie / cohomologie (voir ici dans "Cohomologie") qui se déploie en mode ♢.

Note 4 :

1/ Je me concentre ici sur la cohomologie, mais bien entendu, nous préparons le terrain pour restituer dans ce schéma les préfaisceaux ↓ et faisceaux ←.

2/ Il faudra redéfinir, a posteriori, comment l'on passe de ce mouvement dual de mode ♢, faisant le passage [⚤]^♢⇆[#]^♢, à la disjonction: temps logique—[⚤]^♧/[#]^♧—espace de mode objectif ♧, dans des termes propres au mode ♡.

Note 5 :

- Si dans l'homologie le mouvement [⚤]←[#] rabat la topologie sur une structure de groupe (du type  ℤ⊕... ⊕ℤ⊕ ℤ/n₁ ℤ⊕... ⊕ℤ/n_pℤ, dans la cohomologie le mouvement [⚤]→[#] amène en topologie des structures plus riches. Par exemple dans une structure d'anneau, la multiplication introduit la "d'intersection":

Où l'on renouvelle toute notre problématique concernant la caractérisation des niveaux [⚤]^♢ & [#]^♢, par des opérations liées à des répétitions  ⋂ et ⋃ utilisant des connecteurs  ∈ et ⊂.

- Il y a du boulot !

Note 6 :

Après ce que nous venons de voir hier, il faut corriger "le premier" d'un ordre chronologique impossible par "celui que le Sujet choisit".

Note 7 :

Feynman lui-même joue avec cette idée en Méca Q pour nous parler de l'inter-action électron-positron voir :

• "L'écume du temps"

Or, beaucoup d'indices laissent à penser que le mode ♢ est celui où l'on peut exprimer la Méca Q.

Note 8 :

- La beauté de la chose, c'est que tu passes d'une description topologique de T² à l'aide d'un groupe de base (a,b), du style "vecteurs", à une représentation dans l'espace conjugué (α,β) du style "formes linéaires".

- Je ne vois pas bien...

- Reviens à notre schéma de l'Imaginaire :

Et ce retournement a des allures matricielles : d'une base (a,b), tu passes au conjugé (α, β).

- Tu vas un peu vite, il y a effectivement un schéma d'ensemble qui se laisse deviner, mais procède par ordre, et reste-en pour l'instant à notre produit ⌣.

Note 9 :

Tu remarqueras au passage l'importance des sens de circulation et des signes : le passage de T² à une bouteille de Klein se traduirait par l'inversion de sens des flèches de a en haut et en bas du schéma, et une inversion des sommets 3 et 5. Le générateur deviendrait alors : (1,2,4)+(1,4,3)-(1,2,5)+(1,5,3).

Note 10 :

Concernant le choix en géométrie, revoir cette vidéo d'Étienne Ghys concernant Poincaré (à 1h 15')

En particulier "le groupe s'impose à nous non comme forme de notre sensibilité mais de notre entendement..." tiré de "La science et l'hypothèse".

À 1h30 cette idée : contrairement à ce que dit Kant, ce n'est pas l'espace qui est inné en l'homme, mais le groupe... Ce qui appuie l'idée selon laquelle Évariste Galois est bel et bien à l'origine d'une véritable révolution  intellectuelle.

Le 15/ 11/ 2023  erreur - Cela

avant cela

Le 19/ 11 Schéma rectifié

Le 22/ 11 cup product

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