Topologie et géométrie algébriques #2 — retour à Zariski

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(suite de "Topologie et géométrie algébriques #1 — retour à Dehaene") 

La 01/ 03 2025 :

- L'espace étale ?

- Oui, je ne le vois pas, tout simplement. Et lorsque j'interroge Perplexity, c'est la topologie de Zariski qui revient en boucle et qu'il me faut situer correctement avant tout :

— 🤖 : La topologie de Zariski est un concept fondamental en géométrie algébrique, introduit par Oscar Zariski. Elle permet d’étudier les variétés algébriques en utilisant des outils topologiques. Voici une définition détaillée :

• Définition La topologie de Zariski est définie sur des espaces géométriques appelés variétés algébriques. Dans ce contexte, les ensembles fermés sont les ensembles algébriques, c’est-à-dire les ensembles définis par des équations polynomiales. Par exemple, dans l’espace affine Kⁿ, un fermé de Zariski est un ensemble algébrique V(I), où I est un idéal de l'anneau K(X₀, X₁ ... X_n).
• Propriétés
  • Non-Hausdorff : La topologie de Zariski n’est pas Hausdorff, ce qui signifie que deux points distincts ne peuvent pas être séparés par des ouverts disjoints.
  • Fermés et ouverts : Les fermés sont les ensembles algébriques, et les ouverts sont les complémentaires de ces fermés.
  • Dimension : La dimension d’un espace topologique irréductible est définie comme le plus grand entier tel qu’il existe une chaîne de fermés irréductibles (X₀, X₁ ... X_n).
• Applications La topologie de Zariski est utilisée dans la théorie des schémas, qui permet de construire des variétés algébriques générales en collant des variétés affines, similaires à la construction des variétés différentielles. Elle est également cruciale pour étudier les spectres premiers des anneaux commutatifs, où chaque idéal premier correspond à un point dans l’espace topologique."

Le 01/ 03/ 2025 :

- Je ne fais plus un pas de plus avant d'avoir visualisé cet espace comme une évidence.

- Tu en avais déjà parlé sans t'y arrêter plus que ça. Reviens à ta lecture de Pierre Cartier (ici)  et aux schémas (Note 5).

"Historiquement, il faut remonter à la notion de variété au sens où une fonction linéaire f(x) définit une courbe à 1D dans un espace à 2D (f(x);x). En suivant le fil, on en arrive à considérer qu'il s'agit d'une relation entre le niveau topologique [#] et le niveau algébrique [⚤].

Pour raccrocher ceci à ce que nous avons vu en homologie/ cohomologie, une variété S se présente comme la clôture en dimension Dⁿ, d'un espace topologique X de dimension Dⁿ⁺¹. Le passage [⚤]→[#]  s'exprimant comme un co-bord, c'est-à-dire une expression algébrique, dans un anneau, A en [⚤]. L'espace topologique Dⁿ⁺¹, est un espace fibré plongeant sur une base B. Cette base B se représentant sur un Corps k (par exemple ℂ)."

Qu'est-ce qui te dérange là-dedans ?

- Le corps ℂ est de niveau [♻], avec une notion de "longueur" ρ permettant d'écrire un nombre complexe sous la forme z = ρ.e^iθ. Il est là mon problème : je n'arrive pas à articuler les passages entre [⚤], [#] et [♻].

- OK, mais nous avons déjà pressenti qu'en "montant dans les tours", même si l'idée initiale vient d'un coeur en [#]_♢, l'expression que l'on en donne "tourne autour", (voir "circulation" dans "cross-cap").

• L'origine de l'idée de "variété" en bien en  [#];
• Dans l'expression algébrique d'une conique ex. : ax²+by²-c=0  il faut distinguer :
  • En [♻] : Le corps k servant à représenter la variété, on sont placés les "objets" a, b, c, et x, y (lorsque le corps est sans extension, comme  ℂ);
  • En [⚤] : La symétrie des racines de l'équation (...)=0, exprimée sous forme de groupe de symétrie G, que tu peux enrichir jusqu'à une structure d'anneau A.

- Autrement dit le cheminement serait :
avec :

• Le choix d'un corps k en 𓁝♡^♻↓♢^♻𓁜;
• Le choix d'un groupe G ou anneau A en 𓁝♡^⚤↓♢^⚤𓁜.

- Oui.

- Continuons : comment places-tu les schémas ?

- Il faut comprendre les avatars du "point", à partir des faisceaux de Leray. C'est le passage délicat.

Là encore, l'intuition en [#]_♢ est bête comme chou, et s'exprime à l'aide d'ouverts et du connecteur ⊂. Un point p est la limite d'une série d'inclusion d'ouverts O : p ⊂ ⊂...⊂ ⊂ ⊂ O, qui se représente naturellement par des mouvements (partie→tout→partie→tout) ou 𓁝[#]𓁜→𓁝[#]𓁜→𓁝[#]𓁜...→𓁝[#]. Ensuite, le passage [⚤]𓁜←𓁝[#], permet de représenter le "point^#" soit une "^𓁝partie^#", par le singleton soit un "élément^⚤".

- La suite d'ouverts devient dénombrable ?

- Oui, mais il y a plus : nous sommes ici dans la voie des choses (☯𓁜𓁝☯), quand l'intuition du point en [#] vient d'une démarche homologique dans la voie des mots (♧𓁜𓁝♡) par cette constatation "qu'un point n'a pas de bord"; dans cette démarche :  ⁿ♢^#𓁜↓𓁝^n-1♢^#; avec au final le sujet face à un vide, et une évolution dans la voie des choses vers [♻] : 𓁝[#]→[#]𓁜→𓁝[♻]→[♻]𓁜, où on en arrive à compter des trous.

- Tu nous enfumes, quel rapport avec le sujet ?

- En suivant bêtement notre syntaxe, pour décrire les parcours du Sujet sur son cross-cap Imaginaire, nous en étions arrivé à cette idée : (voir ici dans "Récoltes et semailles #16") :

cross-cap
1	2

Ce qui se présentait "à plat" comme le dallage d'une terrasse en (☯𓁜𓁝☯), se retrouve maintenant comme une pile d'assiettes en (♧𓁜𓁝♡).

• dans un processus itératif ♢^♻, semblable à la construction homologique primaire en ♢^#;
• avec au final l'attention dirigée vers un comptage de trous : [♻]𓁜⇆𓁝[∅]←[♻]𓁜⇆𓁝[∅].

- Ça, c'est l'application bébête de ta syntaxe, mais est-ce qu'au moins ça colle avec les concepts mathématiques que ces mouvements sont sensés représenter ? Pousse ta syntaxe jusqu'à casser le moteur : quel est le pas suivant, après 𓁝[∅]?

- Eh bien théoriquement :

cross-cap
1	2

On doit choisir une structure de groupe en 𓁝♡^⚤↓♢^⚤𓁜, pour repasser en (☯𓁜𓁝☯).

- Ça ne semble pas totalement idiot : tu as la voie inverse de la précédente :

voie des choses (☯𓁜𓁝☯)
1	2

- Oui, mais il y.a un mouvement (♧𓁜𓁝♡) passé sous silence. C'est là que doivent s'immiscer nos faisceaux.  C'est à ce point que je bloque.

- Espérons que tu a au moins délimité correctement le champ opératoire... Et si tu revenais à Zariski ?

Il faut commencer par laisser de côté la proposition de Perplexity : l'idée "d'espaces géométriques appelés variétés algébriques"  et suivre le cours d'Antoine Ducros (voir ici) pour revenir à la question fondamentale : "qu'est-ce qu'un point" :

- Tu viens d'en parler, et c'est pas fini ?

- Ça commence au contraire. À la relecture de l'article "Un pays dont on ne connait que le nom #1 Schéma - Pierre Cartier", je te propose l'hypothèse de travail suivante : on oublie le niveau [#] pour s'intéresser aux rapports entre [⚤]<=>[♻]; et l'on va acclimater notre vocabulaire "topologique" en conséquence.

- Il faut donner un sens aux concepts d'ouvert, de partie d'un tout et de point; soit en [⚤], soit en [♻] ?

- Oui, du côté [♻] ce n'est pas trop difficile, car avec la notion de mètre et de mesure, on a déjà toute la panoplie déployée pour l'analyse.

1. On peut par exemple munir l'ouvert d'une distance, et même passer des ouverts du continu en [#] aux tribus (pour l'intégrale de Lebesgue);
2. On définit les espaces vectoriels.

- Disons qu'en [♻] on a l'espace affine + quelque chose.

- Voilà, et des générations ont ratissé le terrain depuis Newton et Leibniz. Maintenant, c'est moins évident du côté [⚤], car il s'agit de passer du continu au discret.

Je te renvoie à l'article précité pour reconsidérer quelques définitions :

• Module
• Dimension 
• Localisation
• Spectre d'anneau
• Topologie de Zariski

Le plus utile pour l'heure est le spectre d'anneau, à partir de cette définition du point en géométrie, façon Grothendieck :

"En géométrie, un «point» est quelque chose en lequel on peut évaluer des fonctions, le résultat étant à valeurs dans un corps."

- J'ai l'impression que c'est la traduction en 𓁝[♻] de l'idée de "partie" en 𓁝[#], autrement dit une approche "locale.

Le 02/ 03/ 2025 :

- Ça se bouscule un peu dans ma tête au réveil, car cette formulation ne cesse de m'étonner. Le professeur nous dit que, sur ce graphique qui a bercé mes jeunes années, il ne faut pas considérer les "points" sur la courbe rouge comme des points de coordonnées (x, y=f(x)) dans un espace 2D, avec une équivalence entre les x et les y, mais que les "points géométriques" seraient seulement la coordonnée x d'un "point" (x, f(x)) sur la courbe ?

- Oui. Je t'ai déjà fait remarquer que la réflexion nous éloigne du sensible, une appréhension pure des symétries en [#]_♢, dans un "espace", "éther" voire "Ma 間" ou "topologie" continus; pour nous satelliser à la périphérie, éclatée entre le discret [⚤] et la mesure [♻]; ce qui donne du poids à la proposition que je t'ai faite de nous centrer sur la liaison [⚤]<=>[♻].

- Excuse-moi d'insister, mais je vois bien une courbe en 2D.

- Question de point de vue, comme toujours. La représentation graphique de la fonction f(x) fait fis de la fonction f(x) elle-même, autrement dit, par un "foncteur d'oubli" ↓, tu passes de la fonction f elle-même de 𓁝♢↓♧𓁜 à sa représentation par une collection de y.

- C'est capillotracté...

- Crois-tu ? Crois-tu que la carte soit le territoire, que l'image mentale dans ton cerveau tienne compte des processus mentaux qui y conduisent ? Certainement pas. Et bien envisage le niveau [♻] comme la machine à fond de cale permettant au navire de tracer sa route. À partir de données brutes, soit les points x de départ et d'arrivée, il fabrique une "variété" en liant entre eux les éléments d'un corps que tu te donnes 𓁝♡^♻↓♢^♻𓁜. C'est la conséquence concrète de ce que nous avions postulé hier. Tu peux même filer la métaphore pour soulager ta mémoire : le corps k sert de combustible à la machine, et la variété (une restriction) est un principe d'organisation (impliquant une diminution de l'entropie).

- OK, si je te suis bien, les "points", munis d'une structure d'anneau sont en [⚤] et les "valeurs" de la fonction f sont en [♻] ?

- Oui, nous avons bien deux choix à faire :

• k par 𓁝♡^♻↓♢^♻𓁜.
• G ou A par 𓁝♡^⚤↓♢^⚤𓁜,

Et ça colle également avec l'idée d'un bouclage du point_♧^♻ vu comme vide en 𓁝[∅]_♧ sur l'existence d'une structure à choisir [∃]^♡𓁜→𓁝[⚤]^♡, par 𓁝♡^⚤↓♢^⚤𓁜 dont le point_♢^⚤ fait ^𓁝partie_♢^⚤:  𓁝[⚤]_♢←[⚤]_♢𓁜.

- Et ensuite ?

- En relisant mes articles sur le sujet, je comprends mon erreu d'abord, qui expliquent en grande partie mes difficultés : je n'avais pas correctement délimités les niveaux [#] / [♻], et beaucoup de ce que je situait en  [#], comme les espaces vectoriels, se trouve en fait en [♻]. Du coup je revois d'un oeil neuf la vidéo de Michel Raynaud. (Note 5)

- Il parle bien de "fonction implicite" f(x,y), dans le sens premier que j'avais en tête, non ?

- Exact, mais remarque (à 4') comme, d'un point de vue "analytique", il décrit localement cette fonction par une autre : y = φ(x). Là nous sommes dans une réflexion dans la voie des mots, et Il y a un changement de point de vue local—𓁝^n-1♢^♻↑ⁿ♢^♻𓁜—global qui m'avait échappé.

Le 04/ 03/ 2025 :

- Je m'habitue progressivement à l'idée qu'il faille parler de "topologie" en dehors du niveau  [#], d'où quelques réflexions à l'adresse de mes rares, autant que précieux, lecteurs quotidiens : "Penser ses erreurs".

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Note 5 :

J'ai déjà parlé de l'espace de Zariski en cherchant à comprendre le triptyque schéma—topos—motif de Grothendieck, sans aller jusqu'à en sentir l'évidence :

• La folle journée, de Grothendieck à Connes et Kontsevich. Évolution des notions d’espace et de symétrie du 23/ 08/ 2023
• Un pays dont on ne connait que le nom #2 Topos du 30/ 11/ 2023
• Géométrie arithmétique - analytique - Michel Raynaud du 07/ 12/ 2023
• Un pays dont on ne connait que le nom #1 Schéma - Pierre Cartier du 13/ 12/ 2023