Topologie et géométrie algébriques #3— retour à zéro

Le 05/ 03/ 2025 :

- En suivant la présentation de Michel Raynaud, j'ai l'impression que mon découpage topologique de l'Imaginaire est inefficient.

- Je te croyais rassuré après ta relecture de Dehaene (voir #1)

- Sur le fond, oui, mais concrètement, ça ne marche pas. 

- Précise ?

- Si je distingue les niveaux de cette façon :

• [⚤] <=> discret / algèbre
• [♻] <=> analyse / mesure

Je n'arrive tout simplement pas à situer les concepts de nombres  ℕ ℚ ℤ ℝ ℂ en [⚤] ou en [♻]. Par exemple, j'ai placé ℂ en [♻], cependant, je peux très bien définir un polynôme (en algèbre donc) ayant des coefficients dans ℂ...

- C'est peut-être ta caractérisation des niveaux qui est en défaut ? Ou plus précisément, peut-être n'y a-t-il pas un transcription directe entre ta façon de parler des postures du Sujet en ][⚤], [#] et [♻] et les objets mathématiques? Après tout, tu es sans cesse à de défendre de "faire des maths"...

- Tu as raison : il faut justifier mon intérêt pour ce langage mathématique qui m'occupe depuis 2015 ( voir "À Roger, Phillipe, Étienne").  Revenons à ce que j'en disais dans "Syntaxe de l'entropologie" :

• [⚤] caractérisé par la dichotomie des concepts. Il contient l'objet discriminant de la théorie des catégories (pour Ens : {0,1}). C'est le niveau de la théorie des Ensembles, du discret, de  ℕ , de la logique etc... Le connecteur associé aux "éléments" de niveau [⚤] est "∈".
• [#] Caractérisé par la continuité. le saut  [⚤]→[#] marque le passage du discret au continu, de l'algèbre à la topologie etc... Le connecteur associé aux "parties" de niveau [#]  est "⊂".
• [♻] après le foisonnement des concepts en [⚤] et [#] grâce à un principe de répétition propre à chaque niveau, [♲] est le niveau des équivalences, de la rationalité, de la quantité et de la mesure, avec ℚ,  ℝ (à discuter), ℂ, ℍ etc; impliquant la recherche d'un ordre perdu en [#],
  • soit partiel type graphe,
  • soit sur une seule dimension.

Comme tu le vois dans les ratures, j'ai des hésitations.

- D'autant plus qu'un peu plus loin tu nous parles des principes de répétitions associés :

1. En [⚤] s'expriment les concepts de successeur^⚤ ou _⇅, d'ordre^⚤ ou de causalité^⚤ qui permettent de repérer les sauts diachroniques [∃]→[⚤]𓁜, comme la répétition entre [⚤] & [#]; soit : [⚤]𓁜→𓁝[#].
   => L'automatisme de répétition de Freud s'exprime de façon temporelle. 
2. En [#] s'exprime les concepts l'altérité^# ou d'orthogonalité^# ou ⊥ qui caractérisent la répétition entre [#] & [♻], soit : [#]𓁜→𓁝[♻].
   => L'automatisme de répétition détruit la notion d'ordre (sur une droite), pour donner des représentations de l'objet par sa surface dans un espace de plus en plus complexe;
3. En [♻] s'exprime le concept d'équivalence^♲ ou ⇆ permettant de comparer ce qui aux niveaux précédents est dissemblable. L'objet n'est plus représenté par une surface^# mais par un volume^♲ ou une quantité^♲ que l'on mesure^♲. L'équivalence comme la conservation portent sur des comparaisons de ces mesures. (Exemple: un tableau de Picasso vaut 20.000 tonnes de citrons verts)..
   => L'automatisme de répétition exprime :
   • la conservation de l'objet au-delà de ses différentes représentations; dans le saut 𓁝[♲]→[♲]𓁜;
   • la conservation de l'objet au-delà de ses différentes mesures entre [♲]𓁜⇆𓁝[∅]

- À ceci doit s'ajouter le passage du mode ♧ au mode ♢, caractérisé par le changement d'objet final : de l'objet on passe au rapport entre objets...

- Justement : elle est peut-être là ton erreur. Il suffit d'être en [⚤]_♧ pour "comprendre" ℕ à partir d'un principe de répétition, et ensuite passer à ℤ par ♧^⚤↑♢^⚤, avec la structure de groupe, vue comme "relation" entre les nombres. Mais tu confonds la structure attachée à ℤ et les "nombres" dans ℤ. De même tu es troublé par la "structure" polynomiale et le corps ℂ où tu vas exprimer cette structure. Ta confusion t'empêche d'entendre clairement ce que l'on te dit pourtant très explicitement. Écoute ce qui dit Michel Raynaud tout au début de sa présentation (à 0'40"):

• L'algèbre c'est l'étude des équations polynomiales ;
• L'analyse c'est l'étudie des équations définies par des séries convergentes.

Pars simplement de là.

- Soit. Pour présenter l'histoire de cette différenciation géométrie analytique/ géométrie algébrique, il part donc de la définition des "fonctions" implicites d'une courbe dans le plan.

Je remarque immédiatement qu'il s'agit de la description globale f(x,y)=0 d'un objet fermé —soit a priori vu d'une posture [♻]𓁜— et que, mis à part des points singuliers, il est possible de décrire cette courbe localement par une fonction y = φ(x) —dans une posture 𓁝[♻].

- Fait attention au langage ! Il dit

"Dans un rectangle à côtés parallèles aux axes, la portion de la courbe d'équation f(x,y)=0 va être le graphe d'une fonction de x : y = φ(x). Dans ce rectangle les solutions de y = φ(x) sont les solutions de f(x,y)=0" (à 3'50")

La différence essentielle entre la courbe définie par une fonction f(x,y)=0 et le graphe d'une fonction y=φ(x) est que pour le graphe, x est associé à une seule valeur y=φ(x), alors que sur la courbe, à un x donné peuvent correspondre plusieurs valeurs de y. Tu vois déjà se pointer l'idée de "recollement" entre les différents "rectangles" que tu as découpés pour définir tes fonctions y = φ(x).

- Si je te suis bien notre mouvement [♻]𓁜—f(x,y)=0→y=φ(x)—𓁝[♻] est plus complexe qu'il n'y paraît ?

- Oui : en 𓁝[♻] ton horizon f(x,y) n'est plus perceptible; il faut donc, toujours en  [♻]𓁜 "recoller les morceaux" c.-à-d. les différents "rectangles" au sein desquels chaque description locale 𓁝[♻] est pertinente.

- C'est le même problème que celui auquel s'est attaqué Lebesgue pour définir ses intégrales.

- Je vois que tu as raccroché les wagons.

- Poursuivons : les fonctions y=φ(x) restent souvent implicites (d'où le nom du théorème); la seule chose que l'on sache est que si f(x,y) est analytique, alors les y=φ(x) sont analytiques.

- Ce qui confirme l'écriture des postures 𓁝𓁜 autour du niveau [♻]. C'est déjà ça !

- Oui, maintenant revenons à la définition de "analytique" : la valeur y₀ de y=φ(x) au point x₀ est définissable par une série qui converge au point x₀.

- Autrement dit :

• à la répétition précédente 𓁝[♻]⇆[♻]𓁜 consistant à "recoller" les rectangles de définition des y=φ(x),
• il y a une seconde répétition 𓁝[♻]⇆[♻]𓁜 autour de chaque point x_i dans un rectangle donné pour atteindre à la valeur y_i=φ(x_i)?

- Oui, d'où la question suivante : comment s'articulent ces deux répétitions entre elles ?

- Gardons ceci en mémoire et avance un peu dans la vidéo. 

- Il passe ensuite aux fonctions polynomiales. Le point important est que si f(x,y) est polynomiale, les y=φ(x) ne le sont pas forcément; avec l'exemple évident de la parabole : y²-x=0 et y=±√x, où √x n'est pas une expression polynomiale.

- Ah ! Nous en revenons à notre problème initial : où est situé ℝ ?

- Non, arrête de te focaliser sur les objets, et pense en termes de mouvements, après tout, c'est le rôle de notre syntaxe, non ?

- Je te propose ceci : polynôme—[⚤]𓁜→𓁝[♻]—analyse. En l'espèce nous avons :

• 𓁝[♻] : 2 expressions locales 𓁝[♻] avec y₁=√x, et y₂=-√x;
• 𓁝[♻]→[♻]𓁜 : 1 représentation globale [♻]𓁜 en raboutant y₁ et y₂.

Maintenant seulement, nous pouvons prendre un peu de recul et tenter de comprendre ce qui se passe dans notre cerveau :

• La description de l'objet en [⚤]_♢𓁜 est à la fois global (i.e. comme le singleton en [⚤]_♧𓁜 et limitée (Note 1)<=>  en phase avec l'idée générale de discontinuité dans le discours en [⚤];
• L'approche de l'objet dans une démarche immanente [⚤]_♢𓁜→𓁝[♻]_♢ :
  • Passe de global—𓁜→𓁝—local ;
  • Implique la répétition 𓁝[♻]_♢→[♻]𓁜 : avant "comprendre" globalement l'objet en [♻]𓁜;
  • Le passage [⚤]_♢→[♻]_♢ marque le passage du discret au continu;

- En gros, nous passons des nombres en [⚤] à la quantité en [♻] ?

- Oui, et rétrospectivement, cela permet de discriminer clairement :

• En [⚤] : ℕ et ℤ
• En [♻] : ℚ ℝ ℂ

En comprenant le passage  ℚ→ℝ→ℂ comme une recherche de "complétude" :

• ℚ marque le début d'une rationalité, c.-à-d. de la comparaison à un étalon, soit une "mesure";
• ℝ "bouche les trous", et peut être vu comme une construction à partir d'une "catastrophe" : les solution de x²=2 ne sont pas "rationnelles";
• ℂ est également une réponse à une autre "catastrophe" : x²=-1 n'est pas dans ℝ.

On arrive ainsi progressivement au XIX^e siècle à concevoir ℂ comme le cadre idéal pour représenter un nombre, prolongé par ℍ en 4 dimensions grâce à Hamilton.

Je passe sur les détails de l'opération : il faudrait parler des extensions galoisiennes, que nous avons vues il y a longtemps, avec la notion d'orthogonalité ⊥ et un passage par [#] pour, petit à petit, comprendre ℂ en [♻]𓁜 comme la fermeture d'une série d'extensions : [#]𓁜⊥𓁝[♻]→[♻]𓁜, ce n'est pas ici notre propos.

- Et il faudrait encore exprimer ces introductions de "√ " et "i" dans le champ mathématique, comme la terre à poterie s'introduit chez les Jivaros grâce aux mythes de la "Potière jalouse", tu nous l'a déjà dit.

- Or donc, tout ceci pour exprimer une volonté constante de "boucher les trous" en [♻] d'une représentation initialement discrète en [⚤]. D'où les courbes "lisses" et le soin mis à traiter à part, tout ce qui dépasse : points doubles, points de rebroussement ou points à tangentes verticales etc.

- OK, tu as retrouvé une certaine cohérence dans ta représentation sur 3 niveaux [⚤] [#] [♻], il est temps d'avancer un peu : tu en es à 4'50" sur une vidéo de 30'.

- Nous en sommes au fait qu'une équation polynomiale f(x,y) ne conduit pas à des fonctions y=φ(x_i) de même espèce. D'où problème pour les algébristes :

"Ils partaient d'une équation polynomiale; pour aller plus loin ils étaient obligés de quitter le domaine des polynômes pour entrer dans celui des séries et passer dans la géométrie analytique et ils disaient "quitte à passer dans l'analytique", je peux décrire mon équation en inversant f et en introduisant une fonction analytique φ" (à 6' 12")

Avec cette remarque de l'auteur: "quitte à faire ceci, on obtient cela, c'est une phrase magique en mathématiques", qui confine à l'universel !

- Tu penses à Lévi-Strauss parlant du bricolage ?

- Oui, et c'est tout le sens de notre démarche : nous ne faisons que "bricoler" avec ce que nous avons sous la main pour produire des objets neufs : il a fallu que 3,3 millions d'années pour passer des éclats de silex à des pinces optiques et manipuler des atomes; mais notre cerveau lui, réutilise toujours les mêmes circonvolutions cérébrales.

- On s'éloigne, colle au texte.

- En on arrive à l'entrée en scène de Grothendieck, et là il faut passer le film image par image :

"Ça se passait en 57-58; mais c'est quelque chose de tout à fait véniel qui aurait pu se produire un siècle plus tôt. Grothendieck a dit : "enlevons les points singuliers, enlevons les points à tangente verticale et regardons ce qui nous reste de la courbe et regardons la projection sur l'axe des x. On obtient une flèche algébrique parce que c'est une équation algébrique et cette flèche a une propriété remarquable c'est que quand on passe à l'analytique réelle la projection devient un isomorphisme local.

Alors ça c'est certainement une propriété très belle et très forte, il faut la glorifier et la première étape va consister à donner un nom à ce type de flèche : on va dire que la projection est une flèche ou un morphisme étale.

Alors donc, un morphisme étale est un morphisme entre deux variétés algébriques, disons sur ℂ ou sur ℝ, qui quand je passe en analytique devient un isomorphisme local.

Alors on s'est aperçu, mais c'est un peu technique, que l'on pouvait donner d'autres caractérisations purement algébriques de ce type de flèches, donc je passe, et l'on pouvait parler de morphisme étale sans introduire de corps comme ℝ et ℂ.

Et alors, avec ce simple vocabulaire de "morphisme étale", d'introduction du mot "étale", le théorème des fonctions implicites a pratiquement été viré de la géométrie algébrique.

Parce que, quand on parle d'un morphisme étale X↓S, qui je le répète a un sens sans introduire ℝ ou ℂ, que devient le théorème des fonctions implicites ? Il est remplacé par la chose suivante :

Si je prends de nouveau S←X et si je regarde le produit fibré X←X_/SxX, (XxX)_/S et bien

Il y a une flèche naturelle X↑X_/SxX qui est l'application diagonale et cette application diagonale devient un isomorphisme de X sur une partie ouverte... La diagonale est ouverte; et donc, "quitte à faire" ce changement de flèche on est ramené au cas où au voisinage de la diagonale on a un isomorphisme local.

Donc, ce qu'on disait avant "quitte à passer dans l'analytique, on obtient un isomorphisme local" est devenu "quitte à faire un changement étale, on obtient un isomorphisme local", et on avait une perception de la chose qui était purement algébrique, on n'avait plus à passer aux séries."

- Il me manque quelques précisions quant au concept de "produit fibré" et "d'application diagonale", mais je sens que l'on est près du but.

- Oui, commençons par compléter notre culture rapidement.

Espace fibré : En questionnant Perplexity, je suis renvoyé à cette présentation des espaces fibrés sur le site Scientia Egregia où Antoine Bourget en a besoin pour développer la théorie de jauges. C'est clair et je n'ai pas besoin de commenter.

- Il y a un petit air de famille entre ces espaces fibrés et les surfaces réglées de ma jeunesse !

- Certainement, mais fait attention : une droite est un objet géométrique, en [#]_♧𓁜, alors que nous parlons ici de fonctions, en faisant la distinction entre l'espace X et la base S à laquelle celui-ci est rapporté : X↓S. Notre discussion porte sur le passage de cette "expression" analytique en [♻] à son "expression" algébrique en [⚤]. On peut certainement y voir une filiation historique [#]→[♻]→[⚤], mais ce n'est pas le sujet ici.

Retiens seulement que la fibre n'a pas besoin d'être continue et peut être discontinue, voire se réduire à deux points comme F=(0; 1).

Espace fibré principal :

1. La fibre peut être munie d'une structure de groupe, par exemple F=G={+1;-1};
2. Par ses exemples d'un espace fibré de fibres {+1;-1} sur S1, l'auteur nous montre qu'il s'agit d'une définition "locale" de l'objet, puisque "globalement", nous n'arrivons pas à discriminer un tore d'un tube. (à 17'30").
3. Explication : avec la structure de groupe G, en "faisant un tour", cela correspond à multiplier par -1 :
   • 1 (haut) x -1 (un tour) = -1 (bas)
   • -1 (bas) x - 1 (un tour) = 1 (haut) 

- Ça nous renvoie à quelques discussions au sujet du "spin du Sujet"...

- Oui, gardons-le en mémoire et poursuivons.

• Le cylindre est un "fibré principal trivial" <=> c'est juste un "produit" de XxS;
• Le ruban de Moebius est un "fibré principal non trivial" <=> ce n'est pas un produit.

Je quitte cette vidéo au moment où Bourget va parler des groupes de Lie, pour repartir dans la théorie de jauges; revenons à :

L'expression X_/SxX : (Note 4)

Le 07/ 03/ 2025 :

- En fait il faut lire  (XxX)/S de cette forme (AxE)/B: 

(désolé pour la typographie, mais je ne peux pas faire mieux en html).

Je me suis souvenu cette nuit d'avoir déjà galéré sur cette expression en écrivant mon premier article sur cette vidéo (voir ici) de décembre 2023. En le relisant en diagonale, je me rends compte que j'étais mal parti en pensant à un parallèle entre les niveaux [⚤] et [#], faute d'avoir correctement compris le rôle majeur du niveau [♻] et un lien direct [⚤]⇆[♻]; mais au moins avais-je mieux cerné cette expression qui me perturbait hier parce que mal retranscrite X_/SxX par moi. Ça s'appelle un "produit fibré", et ce matin au réveil, ça me semble plus évident. Retour à ce que j'avais écrit piqué de Wikipédia et oublié depuis :

Définition ensembliste :

Étant données deux applications f de A et p de E vers un même ensemble B

Le produit fibré de A et E au-dessus de B est défini comme le sous-ensemble des couples du produit cartésien dont les composantes ont même image : f(a)=p(e). Il se note :

Le produit fibré de A et E étant un sous-ensemble du produit cartésien, les projections sur chaque facteur permettent de compléter le carré commutatif :

Dans des catégories ensemblistes tels que des espaces topologiques ou des espaces vectoriels, le produit fibré lui-même est un objet de la catégorie".  Wikipédia

Vu sous cet angle, le carré commutatif ci-dessus est une Lapalissade.

- Et la propriété universelles attachée à ce produit fibré ?

- C'est celle propre au produit : la limite projective i :

- Et dans l'affaire le Sujet se situant en X est dans cette posture : [⚤]𓁜 ?

- Oui, la même que celle qu'il adopte pour voir l'objet final : [∃]←[⚤]𓁜; traduisant la propriété universelle de limite projective. (Note 3)

- Et la même qu'il adopte en [#] et [♻] pour des objets analogues :

• En [#]𓁜 pour la topologie (avec l'espace X rapporté à des lacets dans le groupe fondamental Ω);
• En [♻]𓁜 pour les espaces vectoriels (avec les vecteurs se projetant sur les vecteurs de base);
• En [⚤] pour l'algèbre (avec ce produit fibré).

- Un même langage commun à chaque niveau ?

- N'oublie pas que nous sommes en mode ♢ !

- OK, nous sommes revenus à zéro, à la base même du langage catégorique, merci pour le rappel. Maintenant, pouvons-nous revenir à la vidéo de Michel Raynaud et au diagramme qu'il présente ?

-  (XxX)_/S est un produit fibré un peu particulier puisqu'ici les deux composantes A et E précédentes sont identiques.

- Oui, d'où l'image d'une "diagonale" qui  me vient en pensant à un produit cartésien (x,x) représentable par une droite à 45° passant par l'origine d'un plan de coordonnées x, y avec y=x. Dans cette image, S se réduit à l'origine. J'ai le sentiment d'une correspondance ici en [⚤] avec la "mesure métrique" en [♻] au sens où |x|=√x².

- Mais quel sens profond, neurologique, donner à cette façon duale d'évaluer ou mesurer un objet?

- Là c'est une question philosophique.

- Je te propose ceci comme sujet de méditation :

"le Sujet prend conscience de l'objet en le comparant à lui-même".

- Pas très clair.

- Le déclic c'est concept X = percept de X. Reviens à la définition de la prise de conscience comme rencontre entre un percept et un concept, les deux étant de "nature" différente, c.-à-d. les deux étant orthogonaux, nous aurions :

1. En [♻] : X est "mesuré" en le rapportant à lui-même. En ce sens tout "concept vaut globalement^𓁜 1" et l'on peut y voir le principe général du retournement [♻]𓁜⇆𓁝[∅]→[♻]𓁜⇆𓁝[∅] (il faudra y revenir en détail);
2. En [#] : l'objet X se repère par ses symétries : percept—X⊥X—concept. (en mode ♢ : orthogonalité des voies percept—(☯𓁜𓁝☯)⊥concept—(♧𓁜𓁝♡));
3. En [⚤] : l'expression des symétries de X est une structure algébrique soit ici S.

Je pense que nous avons là l'idée de "diagonale" dont parle Michel Raynaud, hypothèse que je te propose de vérifier dans la suite de la vidéo, en repartant de l'instant où il présente cette application comme "diagonale":

- Représentation un peu confuse, sans doute parce qu'il évite d'utiliser le langage catégorique.

- Oui et non, car il parle tout de suite "d'ouverts" autour de cette diagonale, et là, il acclimate en [⚤] un concept initialement de niveau [#], revu en [♻] par la dotation d'une métrique. Mais je ne vois toujours pas pourquoi c'est évident à ses yeux.

- Je crois qu'il faut revenir 5 ans en arrière aux notions élémentaires d'identité et d'idempotence. Les points "voisins" d'un point x₀∈X dans (XxX)_/S sont les points autour de x₀ sur la fibre dans X↓S dont il fait partie !

Mon indécrottable erreur est de toujours visualiser les "ouverts" comme "à plat autour de x₀" d'un pur point de vue topologique [#], et dans une représentation "objective", de mode ♧, à l'aide d'une série d'inclusions.

- Tu avais pourtant prévu le coup ici dans un article précédent "Récoltes et semailles # 16 — La cérémonie funèbre" par ce schéma :

1	2

- Ah mon ami ! Entre "savoir" intellectuellement et ressentir l'évidence d'une chose, il y a plus qu'un pas à franchir ! L'apprentissage doit beaucoup à la répétition...

- Bon, en espérant que ce changement de perspective soit pertinent, que dit-il ensuite?

- Et bien justement : 

"Cette application diagonale devient un isomorphisme de X sur ... une partie ouverte, la diagonale est ouverte (il cherche ses mots) et donc (XxX)_/S quitte à faire ce changement de flèche on est ramené au cas où au voisinage de la diagonale on est ramené à un isomorphisme local.
Donc, ce qu'on disait avant

• "quitte à passer dans l'analytique, on obtient un isomorphisme local" est devenu :
• "quitte à faire un changement étale, ça devient un isomorphisme local".

Et l'on avait une perception de la chose qui était purement algébrique, on n'avait plus à passer aux séries.
Et ensuite cela a eu des prolongements tout à fait remarquables.
On s'est aperçu qu'un morphisme étale pouvait être perçu comme un morphisme de localisation. Ça c'est très important parce que cela va nous conduire aux topologies de Grothendieck.
Alors d'habitude quand on introduit une topologie on définit les ouverts, les parties de l'espace topologique."

- En écoutant ceci, je ne suis pas sûr de ton interprétation précédente... Et ça ne colle pas avec la présentation d'Étienne Ghys sur les revêtements.

- J'hésite, et c'est peut-être le moment de repenser aux foncteurs cartésiens dont parlait Jean Bénabou ?

Le 15/ 03/ 2025 — Mariana :

- J'ai abandonné la lecture de la suite de cette vidéo, qui ne nous apprend plus grand chose, l'essentiel ayant été exposé. J'ai repris le fil de mes réflexions dans l'article suivant "Petite pause philo". Pause qui m'a permis, je l'espère, de bien préciser la place respective du produit fibré, des faisceaux de Leray et des schémas de Grothendieck.

Mise en perspective expliquant peut-être les hésitations de Michel Raynaud lorsqu'il cherche à exprimer de façon synthétique de quelle façon l'approche de Grothendieck combine :

• l'aspect algébrique et par essence discret de l'écriture d'un polynôme et
• l'aspect continu de l'approche analytique (i.e.: par l'utilisation des suites convergentes).

Hari

Note 1 :

Il y a tout un développement à faire quant à cette limite, ce qui passe en particulier par le théorème de Riemann-Roch.

Note 2 :

Note au passage (à 21') la question très centrale du calcul des points d'intersection de deux courbes. Avec un mouvement intéressant : l'addition de conditions (chacune des équations d'un système d'équation) réduit  la dimension des solutions (i.e.: 2 courbes de dimension 1D se coupent en des points de dimension 0D). C'est une introduction au théorème de Bézout.

Le théorème de Falting concernant le genre est présenté à 58' de la vidéo.

À 1h de la vidéo est présenté la nécessité de mettre un point à l'infini, pour atteindre à une "généralité" du décompte des points d'intersections en ligne avec le théorème de Falting. (Géométrie projective).

Note 3 :

- J'ai encore besoin de temps pour m'y familiariser...

- Je te suggère ce moyen mnémotechnique : suppose que B se réduise à un point, origine des coordonnées d'un espace vectoriel en 2D : A et E sont comme les axes x et y, et un point de ce plan AxE "fibré" par rapport à ce point origine est repérable par ses projections selon x et y.

- Ton exemple est un produit cartésien...

- Oui, mais la propriété universelle est la même. L'important c'est l'idée que d'une certaine façon il n'y a qu'un seul "produit en soi" et que 3x7=21 n'est qu'une expression particulière du concept "produit" exprimé par la propriété universelle projective. N'oublie pas : en mode syntaxique ♢ nous nous intéressons aux relations entre objets et non aux objets eux-mêmes ! 

Note 4 :

À la réflexion, j'ai viré cette partie du texte écrite hier : je n'arrivais à rien.

Je le conserve en note, iniquement pour revenir éventuellement sur les vidéos qui y sont commentées :

 - J'avoue être un peu largué. A priori, l'écriture de Michel Raynaud relève de la théorie des catégoriques sans qu'il le dise explicitement, et j'enrage littéralement d'être bloqué si près du but, par une question de définition, si évidente pour les initiés qu'il ne s'y appesantit pas.

- Pas de panique, boit un verre d'eau et repars à l'attaque.

- OK, encore une fois, je me retrouve au point de départ, en repartant cette fois-ci d'une autre vidéo de  Scientia Egregia, ce qui nous permettra au passage de conforter ce que j'ai cru comprendre de Michel Raynaud.

- Tâche d'accélérer le mouvement quand même...

- La vidéo est très claire, et je l'ai parcourue en entier (Note 2), mais nous nous égarons : il n'éclaire pas l'écriture qui me bloque.

En torturant Perplexity, je tombe sur une vidéo de Pierre Deligne présentant les travaux de Grothendieck en référence à "Récoltes et semailles", qui retient d'emblée ma curiosité ! Enfin voici l'homme qui occupe tant l'esprit de Grothendieck ! 

À 7', Deligne démarre par le schéma X↓S, ce qui au moins nous confirme qu'il s'agit bien du "schéma de Grothendieck"! Ouf, et donc, d'après ce que nous avons vu précédemment,  qu'il est vu en [⚤]_♢. Il présente ensuite cette transformation comme d'un changement de base au sens géométrique, indépendamment des caractéristiques arithmétiques de X.

Mais après il va trop vite pour moi, et je décroche. 

Ensuite, je tombe sur un séminaire maths-philo de Pierre Cartier è l'ENS en 2019, là encore je ne m'attarde pas, en me réservant d'y revenir à l'occasion. 

- Tu papillonnes mais n'avances pas beaucoup...

Le 07/ 03/ 2025