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Sur les traces de Lévi-Strauss, Lacan et Foucault, filant comme le sable au vent marin...

L'Homme quantique

À l'ombre de Grothendieck et de Lacan #1 - Initiation au topos

- J'ai acheté ce livre lors du colloque "Grothendieck et Lacan, l'impossible rencontre", que j'ai déjà évoqué sur ce blog il y a trois semaines et je ne l'avais pas encore ouvert jusqu'à hier; voulant prendre le temps d'en faire la recension. Je passe sur les circonstances qui ont présidé à son élaboration, pour entrer dans le vif du sujet :

Chapitre 1 : Initiation au topos :

Ainsi que j'avais pu le constater lors du colloque, Alain Connes s'intéresse essentiellement à l'objet classifiant, sans s'attarder sur la différence d'appréhension entre objet initial et final (si important pour comprendre le rôle en mathématique de cet objet si particulier qu'est une matrice -voir "Matrice") ce que j'avais noté ainsi :

"- J'ai été très frappé de la focalisation d'Alain Connes sur le "topos classifiant", alors qu'à mon sens, il importe, avant de s'y intéresser, de regarder de plus près les objets initial / final qui lui sont attachés.

- Et pourquoi ?

- Parce que très rapidement le regard que l'on porte sur cet objet peut être, soit local 𓁝, soit global 𓁜 (y compris dans la Catégorie Ens i.e.: (𓁝[⚤]𓁜𓂀), alors qu'il y a une dissymétrie fondamentale dès lors que l'on regarde :

  • l'objet initial en 𓁝[∅];
  • l'objet final en [∃]𓁜.

On loupe donc une marche (une brisure de symétrie) fondamentale dans la démarche.

- Tu te répètes, et si au lieu de radoter tu avançais dans le texte ?

- Tu as raison : Alain Connes nous offre ici une introduction très simple de certains concepts, ce qui prouve sa grande maîtrise du sujet.

Il se propose de montrer à son ami Gauthier-Lafaye que les mathématiciens peuvent travailler autrement qu'avec la logique classique.

Il prend pour cela deux exemples : 

Le premier est celui d'un ensemble X de "couples", dont les éléments seraient repérés par une paire (comme un point sur un plan est repéré par deux coordonnées (x,y)). 

Soit une application P de X sur l'objet classifiant (Vrai, Faux), on voit tout de suite que l'on peut avoir les cas suivants : 

  • (vrai; vrai)
  • (vrai; faux)
  • (faux; vrai)
  • (faux; faux)

C'est déjà plus riche que la logique binaire classique, mais, cependant, la double négation ramène sur l'élément de départ. Par exemple :

  • non (vrai; faux) donne (faux; vrai) et
  • non (faux; vrai) ou non(non(vrai; faux)) redonne (vrai; faux).

Nous dirions qu'il reste ici en mode "objectif" ♧.

(b) Le second exemple quant à lui ne respecte pas cette double négation: il s'agit d'une catégorie (X; s) dans laquelle l'ensemble X est muni d'une opération "d'évolution" s permettant de passer d'un élément de X à un autre. 

La question porte sur les sous-ensembles Y de X.

  • On peut calculer le nombre de fois qu'il faut appliquer s à un élément x de X pour qu'il appartienne à Y. Soit g(x) qui fait correspondre à x le nombre d'itérations de s;
  • g(x) est  une application de la catégorie (X,s) vers N+ qui est celle des entiers naturels N positifs ou nul, à laquelle on adjoint l'infini, munie d'une relation d'ordre : n<n+1.
    • L'infini est vu ici comme l'impossibilité pour l'élément x d'appartenir à Y : g(x)= ∞;
    • L'appartenance de x à Y se traduit par g(x)=0.

- Tu ne vas pas nous retranscrire tout le bouquin ?

- Je veux juste arriver aux constats suivants :

1/ Le foncteur qui applique (X,s) sur N+ introduit de l'ordre là où il n'y en avait pas.

- Je ne te suis pas ?

- Le décompte des pas pour qu'un élément x de X arrive dans Y est une sorte de "mesure" : on compte les itérations de s. Et je trouve intéressant de voir que la notion d'ordre est une sorte de "régression" :

  question : x appartient-il à Y ? 𓁝[⚤] 𓂀
  réponse : par la mesure du nombre de pas
  • g(x)= 0 alors x appartient à Y;
  • g(x)= n alors x sera dans Y après n pas;
  • g(x)= ∞ alors x restera toujours étranger à Y.

[⚤]𓁜

 

𓂀

J'espère que tu vois très clairement le décalage entre :

  • une question 𓁝 (ex ante) purement d'ordre "topologique" ou de lien d'appartenance en mode ♢;
  • une réponse  𓁜 (ex post) "logique" en mode ♧.

2/  Ici, l'infini sert à clore N, avec une idée de répétition, et donc dans une approche temporelle, alors que jusqu'ici nous avions compris l'∞ comme la clôture d'ordre géométrique de R (ce qui va avec l'idée d'un espace hyperbolique de C (i.e.: Ensemble des nombres complexes) ; voir "Notes #2 The geometry of surfaces").

Si tu reviens à notre carte de l'Imaginaire :

[∃] [⚤] [#] [♲] [∅]
[∃] [⚤] [#] [♲] [∅]
[∃] [⚤] [#] [♲] [∅]
[∃] [⚤] [#] [♲] [∅] 

Cela revient à dire qu'une fois passé le cap du niveau [#], avec cette clôture en R puis en C (dans la répétition [#]⊥𓁜), alors l'Imaginaire est clos à jamais!

Lorsqu'en mode supérieur (car ici, avec la réification de la flèche des morphismes en [∃], nous sommes bien en mode ♢) nous repassons par le niveau [⚤] (où s'exprime l'objet classifiant), mais le concept d'infini, (vu comme une clôture Imaginaire, une façon de couper court en écrivant "etc.") régresse de géométrique (en [#]) à temporel (en [⚤].)

Ceci explique l'effort à faire pour comprendre rétrospectivement, en oubliant cette conception de mode ♢, que l'ensemble N originel, en [⚤] n'est pas infini, mais indéfini ou "dénombrable".

D'où cette idée, nouvelle pour moi :

 On peut comprendre le concept d'infini temporel, comme une façon d'objectiver l'objet initial. 

- Comment cela ?

- Considère ceci :

  • En mode, lorsque le Sujet prend le point de vue de x en 𓁝 et s'interroge sur son appartenance ou non à Y, il n'a pas forcément conscience d'appartenir à X, qui est défini par l'auteur 𓂀 : "soit X..." La question se complète ainsi : (𓁝[⚤]𓂀, nous en avons déjà beaucoup parlé.
  • En mode ♧, la réponse de 𓁜 n'est pas "x n'appartient pas à Y", mais "à partir de x je n'arriverai jamais à atteindre Y", sans référence aucune à l'ensemble d'origine X;

Une façon peut-être plus mécanique de voir les choses, quoiqu'à mon sens moins éclairante : 

Nous avons vu que l'objet discriminant de la catégorie des Ensembles (ou Ens) est {{*};{ }} et peut s'écrire {1; 0} : 

  • Le 1 (ou encore la valeur "vrai") renvoie à l'objet final (*);
  • Le 0 (ou la valeur "faux") renvoie à l'objet initial vide ∅.

Or, ici:

  • Le 1 est remplacé par le 0 (i.e.: x∈Y, hic et nunc, maintenant);
  • Le 0 est remplacé par ∞ (i.e.: x restera, ad vitam aeternam,  pour toujours étranger à Y).

- Attends une minute : tu nous balades avec cet infini. Concrètement où est-il situé dans ton tableau de l'Imaginaire?

- Je pense que sa genèse est un peu bâtarde ! Le problème théorique c'est que l'ensemble de départ X est clos en [⚤]𓁜 et que l'espace d'arrivée N+ en [⚤]𓁜 est ouvert, d'où la nécessité de cette clôture à l'infini ...

Histoire que l'on pourrait raconter de cette façon : 

∞ géométrique   changement d'objet final    ∞ temporel  
    [∃]𓁜 𓁝[⚤] 𓂀
       
[#]𓁜 𓁝[∅]   [⚤]𓁜 𓂀

Schéma que l'on peut lire ainsi :

Ma relation (en mode ♢) avec l'horizon (∞ géométrique en [#]𓁜),
c'est qu'une marche (nombre de pas discrets et ordonnés en
[⚤]𓁜) infinie m'en sépare.

Le passage de l'indéfini primaire de N à cet infini qui le clôt, évite d'errer sans fin vers l'horizon, et de couper court à la marche.

Dit autrement, on passe :

  • de l'objet initial vide : "du vide tout peut advenir" : 𓁝[∅]
  • au concept d'infini temporel : "je n'y arriverai jamais" : [⚤]𓁜

Pour en revenir à Spinoza : c'est une démarche de 2e espèce S↓ ou transcendante, qui ne peut que déplaire à des mathématiciens, surtout lorsque, comme ici, ils cherchent à être constructivistes en évitant les raisonnements par l'absurde que permet le principe du tiers exclu (d'où la discussion autour de la double négation).

- Je ne vois pas le rapport entre Spinoza et le constructivisme ?

- L'entendement de 1re espèce, ou immanence (mouvement que j'ai symbolisé par S↑), part du Réel et se construit dans le temps, comme ici l'appartenance d'un élément à Y se juge dans le temps logique de la répétition des mouvements élémentaires s pour y parvenir, ou pas... Mais pour pouvoir porter un jugement "définitif" ou absolu du genre Vrai/ Faux, je dois m'appuyer sur un concept (cet infini temporel) qui est le produit d'une réflexion de type S ↓.

- Je pense avoir compris, et si tu avançais un peu ?


Le 21/ 06/ 2022 :

- Ouf, retour au calme saintongeais ! Ayant oublié le fil de ma lecture, je suis obligé de la recommencer, avec le vague souvenir d'une très légère erreur de parallaxe chez nos auteurs. Et donc, retour à :

Introduction :

- Ce terme de "parallaxe" est-il une réminiscence de Žižek ?

- Oui sans doute, reviens au texte de présentation de son ouvrage dans Babélio, c'est suffisant pour notre propos. Prends par exemple cette question liminaire sur laquelle s'engage leur dialogue : 

"Quelle garantie avez-vous qu'une équation n'est pas folle ?" Il voulait savoir s'il existait dans cette discipline l'équivalent de ce que représente le "Nom du Père" en psychanalyse, concept qui permet que la langue puisse s'organiser autour d'un sens partagé par tous ou a contrario s'évade vers ce que l'on appelle la folie. C'était donc la possibilité d'énonciation d'une vérité qui était ainsi posée par cette interrogation, ainsi que celle du lieu à partir duquel elle pouvait se dire... où s'écrire" p. 17

- J'ai l'impression que nous sommes ici au coeur même de ta recherche, comme de tes efforts pour partager avec d'autres ta propre démarche, afin de te rassurer de ne pas être fou...

- Et c'est pour répondre à cette question qu'il m'a fallu préciser ma place dans le discours, marquée par l'oeil d'Horus (...)𓂀 "comprenant" son discours entre parenthèses.

- Voilà pour le lieu de l'énonciation, quant au Nom du Père ?

- Il est situé au niveau Symbolique, d'où une première difficulté !

- Laquelle ?

- Par définition, l'auteur ne maîtrise pas le Symbolique  qui le détermine, et donc notre 𓂀, qui est fondamentalement en position ex post par rapport au discours qu'il présente, ne peut se représenter en position ex ante 𓁝 que de cette façon : (𓁝)𓂀...

Tu vois donc toute l'ambiguïté d'un propos qui ne précise pas dès ces prémices si les auteurs nous parlent "en général" et de façon consciente des rapports d'un Sujet lambda 𓁝𓁜 au "Nom du Père", qui est une identification par Lacan, une étiquette posée par lui 𓂀 sur le Symbolique du Sujet 𓁝, ou si nos auteurs se réfèrent à l'expérience intime de leur inconscient.

- Ils échangent sur leurs convictions, autrement dit, ils objectivent leurs présupposés, en les conceptualisant: ([♲]𓁝⇆𓁜⏩[♲]𓁝⇆𓁜)𓂀. Le signe d'équivalence ⇆ indiquant que pour chaque 𓂀, le concept [♲]𓁜 décrit ce qu'il en perçoit 𓁝. Ils échangent, chacun étant à ce niveau de son propre Imaginaire ([♲]𓁜)𓂀, ou plus simplement [♲]𓁜, avec nos conventions d'écriture (voir ici les règles de clôture du discours).

- Au passage, tu retrouves déjà ce que nous avions vu du Sujet vu comme un topos...

- Effectivement, mais nous n'en sommes pas là.

Ensuite, nous retrouvons tout le développement d'Alain Connes concernant la "logique intuitionnisme". Dimanche dernier, j'ai profité d'un déjeuner avec J.P L. pour lui demander de préciser ce que l'on appelle "logique intuitionnisme". J'ai retenu de sa réponse qu'il s'agit en fait d'un terme générique, renvoyant à quantité de logiques particulières. Ça m'a conforté dans l'idée que toute logique s'exprime bien en [⚤]𓁜.

  • En mode ♧ nous avons la logique binaire élémentaire Avec le principe du tiers exclu : [⚤]𓁜;
  • En mode ♢ nous abandonnons le tiers exclu [⚤]𓁜;
  • Le passage [⚤]𓁜↓[⚤]𓁜 pouvant être vu comme une brisure de symétrie.

Je ne reviens pas sur ce que nous avons vu des liens entre objet final en [∃]𓁜 et objet classifiant en [⚤]𓁜, mais je note qu'Alain Connes privilégie ici une logique "procédurale" (i.e.: x∈X se rapproche pas à pas du sous-ensemble Y⊂X).

(a) Ce qui m'a un peu surpris, c'est qu'Alain Connes engage la présentation du topos pas une ouverture sur des logiques intuitionnistes, alors que je m'attendais à ce qu'il parte directement de Grothendieck pour qui c'est le "lit commun du discret et du continu".

- Pour y voir fondamentalement la différence entre les postures [∃]𓁜 et 𓁝[∅]☯ ?

- Bien entendu, et même avant toute identification (i.e.: exprimable par les objets initial en [∅] / final en [∃]), à savoir : (𓁝/𓁜)𓂀. Elle est là, la parallaxe à laquelle je faisais allusion : Alain Connes saute une étape pour se focaliser sur le rôle de l'objet classifiant...

La suite est évidente : ils vont tenter de se rejoindre au niveau de leurs langages propres, compte tenu de leur appartenance (Note 1). Par la suite, je parlerai de

  • Alain Connes "classé" mathématicien en  ([#]𓁝⊥𓁜Φ[♲]𓁜)𓂀;
  • Patrick Gauthier-Lafaye "classé" psychanalyste en ([#]𓁝⊥𓁜Ψ[♲]𓁜)𓂀.

- Tu ne précises pas qui parle ?

- Pas nécessaire, puisqu'ils sont dans un contexte culturel commun, à eux 𓂀Φ et 𓂀Ψ, comme à moi 𓂀H, qui fait bien la différence entre mathématiques psychanalyse (les classes sont orthogonales).

Et donc, chacun, à partir de son appartenance, va expliquer en quoi sa "loi" en [♲]𓁜 va s'exprimer en [⚤]𓁜.

Ce qui nous donne deux cheminements orthogonaux entre eux :

(...)𓂀 concept   appartenance ⏩ discours ⏩ Réalité / percept
A. C. [♲]𓁝⇆𓁜Φ[∅] [#]𓁜Φ  [⚤]𓁜Φ [∃]𓁝⇅𓁜Φ[⚤]𓁝⇅𓁜Φ
P. G.-L. [♲]𓁝⇆𓁜Ψ[∅] [#]𓁜Ψ  [⚤]𓁜Ψ [∃]𓁝⇅𓁜Ψ[⚤]𓁝⇅𓁜Ψ

À partir de ce tableau, tu peux broder un bouquin, mais l'idée directrice me semble être la suivante : 

  1. À partir de réalités vécues en fonction de leur appartenance :
    • [∃]𓁜Φ renvoie à la propriété universelle de la théorie des catégories liée à l'objet final (*) de Ens en mode ♧ pour 𓂀Φ;
    • [∃]𓁜Ψ renvoie au traumatisme du Réel dans l'Imaginaire pour un Lacanien ou 𓂀Ψ.
  2. 𓂀Φ et 𓂀Ψ peuvent-ils se retrouver en [♲]𓁝⇆𓁜[∅] au-delà de leur appartenance en [#]𓁝⊥𓁜[♲] ?
  3. La discussion porte alors sur les logiques propres à chaque discours :
    • Mathématique en  [⚤]𓁜Φ et
    • Psychanalytique en [⚤]𓁜Ψ.

Dans cette perspective, Alain Connes en parlant de logique "intuitionnisme" montre qu'il n'y a pas de différence sensible entre les deux structures de discours. Approche qui entre en résonance avec celles :

- Dans ce contexte, qu'Alain Connes entame la partie par cette ouverture logique (rep a) n'est pas si surprenant...

- Oui, mais ce faisant, il présente le topos à partir de considérations qui ne me semblent pas être à la racine du concept :

"L'une des conséquences du concept de topos est de proposer de subtiles nuances sur la notion de vérité, concept cher à nos deux disciplines, bien que ce terme ne puisse être entendu par nous de manière univoque. Mettre en valeur ces nuances est une tâche difficile, car elle demande aux lecteurs, pour que sa compréhension ne reste pas superficielle, à la fois celle de l'idée mathématique sous-jacente est celle de la technique sans laquelle on ne peut dire des choses précises." p. 19

Phrase concluant l'introduction pour passer au premier chapitre, et donc retour à :

Chapitre 1 : Initiation au topos :

Jeudi dernier, je m'étais focalisé sur la présentation par Alain Connes de la logique intuitionnisme, et plus particulièrement sur le concept d'infini comme clôture de l'ensemble N des entiers. Je vais donc m'attarder aujourd'hui sur ce que j'avais laissé de côté. Ne m'en veux pas si mes commentaires sont plus ou moins décousus.

De la réalité :

"A. C. -En tant que mathématicien, l'essentiel de mon travail consiste en l'exploration d'une réalité qui existe indépendamment de moi-même, comme je l'avais expliqué dans mon dialogue avec Jean-Pierre Changeux." p. 23

Nous avons déjà eu l'occasion de discuter de cette rencontre Connes/ Changeux (Note 2); et il me semble fortement discutable que l'on puisse parler d'une "réalité existant indépendamment de moi-même". Ce peut être un fantasme de mathématicien, mais je pense qu'un physicien serait plus réservé à ce sujet. Là-dessus il faut suivre la position de Bohr (il me faudra trouver la référence) pour qui le physicien traite de la cohérence de son discours portant sur la physique et non de "lois de la nature" extérieures à quiconque. Il me semble plus sage de suivre J.P. Changeux pour qui la prise de conscience provient de la rencontre entre un percept et un concept. Discussion qui nous renvoie à la distinction très scolastique et remonte à Platon, entre

  • ce qui est de la chose [∃]𓁜 et
  • ce que l'on dit de la chose [⚤]𓁜.

Comme par la suite nous nous occuperons de langage (au niveau [⚤]) il semble bien aventureux d'entamer le chapitre sur ce terrain, et plus sage de s'en tenir à la cohérence interne du discours (Wittgenstein II).

De la création :

"A. C. - En tout cas, par rapport à cette réalité dont je parle, il y a néanmoins dans la pratique mathématique, mais beaucoup plus rarement, un acte de création. Celui-ci consiste en l'invention d'un concept, obtenue par distillation de quantité de situations différentes." p. 24

Aïe ! L'acte de création, nous en avons parlé en long, en large et en travers, à partir de la forme canonique des mythes de Lévi-Strauss. Contrairement à ce qu'en pense A. Connes, avec cette idée d'une immanence pure S↑ des concepts, l'acte de création est un acte de rupture, ou pour parler "French theory" une déconstruction. Ce qui se traduit par un passage de 𓁝[♲]𓁜 à 𓁝[♲]𓁜 point d'aboutissement entre deux mouvements S↓ et S↑.

- Tu ne vas pas nous refaire tes 16 articles sur la querelle des universaux quand même ? D'ailleurs c'est un chantier que tu as laissé en plan...

- Non, rassure-toi. Mais cette idée d'une création d'un concept à partir de la distillation de "quantité de situations différentes" est totalement inappropriée, et en tout cas inacceptable du point de vue psychanalytique, sinon, il n'y aurait pas de Sujets post-traumatisés enfermés dans l'automatisme de répétition... S'il suffisait d'énoncer son mal au patient, pour qu'il le conceptualise et avance, ça se saurait (Note 4). C'est également à rejeter en linguistique, car si l'on en revient à Chomsky, il y a une coupure très nette entre l'accumulation des "performances" de l'enfant et son acquisition d'une "compétence" linguistiques.

Maths et philo :

"A. C. - Dans de très rares cas, un concept nouveau peut même avoir une portée philosophique…

P. G.-L. -... ou intéresser le psychanalyste." p. 24

Pour le coup, je trouve A. Connes beaucoup trop modeste ! En particulier, tous les concepts mathématiques autour desquels sont forgés les axiomes des mathématiques posent question au philosophe ! Que l'on pense à l'axiome de "choix", à l'hypothèse du continu, au concept de "vide". Et en théorie des catégories, c'est un festival ! Pense à l'objet initial, l'objet final, l'objet classifiant, au concept de "propriété universelle", de "transformation naturelle" etc.. Et que dire du triptyque d'Emmy Noether (quantité conservée/ symétrie/ indétermination) ? Toute ma démarche consiste à retrouver en psychique⊥physique un questionnement fondamental, repérable dans le langage  mathématiques à sa racine.

- Bref les maths comme "pont linguistique" ?

- Bingo !

Grothendieck :

Je ne retiens ici que cette illustration concernant le théorème de Grothendieck-Riemann-Roch :

J'ai complètement oublié de demandeur à J.-P. L. si ce théorème est ce dont j'avais parlé à l'Atelier de Logique Catégorique il y a 3 ans (voir la fig 4) sans la nommer. Je le note à mon propre usage, pour y revenir à tête reposée... (Note 3)


Le 22/ 06/ 2022 :

- Nous arrivons à l'introduction proprement dite de la notion de topos par Alain Connes. Je me permets de le citer longuement car nous sommes ici au coeur du "Sujet" (au double sens du mot : objet du discours et auteur du discours).

"P. G.-L. - Et c'est quoi un topos ? Un autre nom de l'espace ?

A. C. - On sait tous en effet que la notion d'espace joue un rôle central en mathématiques. On se le représente traditionnellement comme un ensemble de points, avec une notion de voisinage, de proximité des points, que l'on appelle une "topologie".

P. G.-L. - Topologie et topos c'est pareil ?

A. C. - Non, la notion de topos est infiniment plus générale et je dirais même plus conceptuelle. L'univers des nouveaux espaces, les topos, dévoilé par Grothendick, est merveilleux autant par sa richesse infinie – il contient, outre les espaces topologiques ordinaires, quantité d'exemples de nature combinatoire – que par la manière totalement originale dont un espace est perçu : au lieu d'être mis au-devant de la scène, il reste dans les coulisses et ne se manifeste que comme un deus Ex Machina qui introduit une variabilité dans la théorie des ensembles." p. 32

Comprends-tu maintenant pourtant je dois absolument discuter avec Alain Connes ? Reprenons :

"au lieu d'être mis au-devant de la scène,
il reste dans les coulisses
et ne se manifeste que comme un 
deus Ex Machina"

Pour moi, le "devant de la scène", c'est le mode ♧ de l'Imaginaire, d'ailleurs, si j'ai coloré en rouge et en vert un même symbole Yin Yang ☯ pour différencier Réel et Symbolique, bordant cette scène, c'était originellement pour représenter une scène face au lecteur :

  coulisses    
côté cours ( [∃]𓁝⇅𓁜[⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓁝⊥𓁜[♲]𓁝⇆𓁜[∅]  côté jardin   𓂀
bâbord spectateur/ lecteur tribord  

Le surlignage jaune symbolise les "feux de la rampe", les "coulisses" étant :

  • Le lieu d'où l'on fait coulisser les décors nécessaires à l'action (nous en avons 5 : [∃][⚤] [#] [♲] [∅]);
  • Le lieu permettant de passer du côté cours au côté jardin à l'insu du spectateur.

- Oui, oui tu nous en a déjà beaucoup parlé, en cherchant à préciser la syntaxe de tes glyphes. (Note 5) et c'est tout ?

- Loin de là ! Alain Connes nous parle des "topos" comme d'un "deus Ex Machina", et je trouve que sa formulation appelle quelques commentaires, car cette conception d'une "idée" qui se "manifeste" en modelant la théorie des Ensembles, me semble furieusement néoplatonicienne.

- Tu peux préciser ?

- Nous sommes d'accord qu'au plus près du Réel, le mathématicien s'exprime par la théorie Ens, c'est ce qui se présente en mode ♧ aux yeux du spectateur.

Mais il en parle comme de la "substance", que nous avons vue en 𓁝[♲], qui serait "informée" par les idées en [♲]𓁜, de même que la cire est mise en forme par le chaton d'une bague pour donner un sceau identifiable; et c'est au coeur même de la discussion entre Aristote et Platon, qui alimentera toute la querelle des universaux ! (Note 6)

Par ailleurs, il ne différencie pas :

  • Géométrie qui est un niveau Imaginaire, primitivement en [#]𓁜♧ associant : 
    • Approche locale  (𓁝[#]𓁜𓂀
    • Approche globale (𓁝[#]𓁜𓂀
  • Topologie qui est un mode de penser relationnel ♢ (en non plus objectif ♢).

- Et c'est grave, Docteur ?

- À mon sens (et je souhaiterais vraiment en discuter avec lui), cela induit des dissonances dans son discours.

- Par exemple ?

- Lorsqu'il parle ainsi de l'espace :

"On se le représente traditionnellement comme un ensemble de points, avec une notion de voisinage, de proximité des points, que l'on appelle une "topologie"."

1/ Son discours est sur deux niveaux  [⚤] et [#] qu'il ne distingue pas :

  • Les "points" sont des éléments identifiables : ([⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓂀, avec un passage de la géométrie à l'analyse initié par Descartes;
  • Les "voisinages" doivent être compris comme :
    • une collection de parties  (𓁝⇅𓁜[#]𓁝⊥𓁜𓂀 d'un tout (𓁝⇅𓁜[#]𓁝⊥𓁜𓂀
    • avec l'hypothèse du continu, tout au moins initialement, en [#]
    • et l'ouverture sur une mesure en [♲] vue comme le "volume" contenu dans une "surface" en  [#].

2/ Le point précédent 1/ se décline selon deux modes ♧ et ♢ :

  • En mode "objectif" ♧, nous parlons de "géométrie", voire de "géométrie analytique" et de "mesure";
  • En mode "relationnel" ♢ nous parlons de "topologie".

La bascule se faisant par le changement d'objet final : on passe de (*) en [∃], à un autre en [∃]. Jusqu'ici, je me suis toujours référé au monoïde •, quand Alain Connes préfère partir d'une catégorie X munie d'une opération d'évolution s (voir b). Les deux points de vue sont équivalents en ce sens qu'ils s'expriment par des graphes où la flèche de l'application est réifiée, au même niveau que les éléments de la catégorie considérée.

- C'est important ?

- Fondamental !

  • En géométrie, tu peux voir une droite comme un ensemble infini de points : c'est R en [#],
  • En topologie, le point et le lien entre points sont deux objets radicalement différents et posés l'un à côté de l'autre, ce qui ouvre la voie à une présentation de l'objet par des groupes d'homologie. (Note 7)

La charnière entre les deux modes se fait lorsque l'on veut donner une "mesure" à un ouvert, en passant par  [♲], lieu où tu commences à parler de "topos" !

- En somme, il a tout faux ?

- Je dirais plutôt qu'il n'a pas décanté ses idées, et qu'elles se bousculent au portillon, d'autant plus qu'il fait ici oeuvre de vulgarisation, ce qui est en soi un exercice casse-gueule ! Je te propose plutôt de rechercher ce qu'il dit de profondément juste et novateur, est décortiquant un peu sa présentation.

  1. Il y a derrière la scène des coulisses;
  2. En coulisses, le topos informe la représentation. 

- Tu viens de critiquer son approche néoplatonicienne !

- Reviens sur ce que nous en avons dit : du moment où je commence à vouloir expliquer la dernière posture  du Sujet, après l'apothéose finale et la chute du rideau 𓁝[∅], c'est comme lorsque Lacan explique dans son séminaire le cas du président Schreber ou lorsque Freud explique son rêve le l'injection faite à Irma : nous montrons les cintres.

Et cela correspond au passage du mode ♧ au mode ♢. Alain Connes en a bien conscience, sauf à penser que le topos agit, quand c'est lui, l'Auteur 𓂀, qui change de mode de penser. Le spectateur prend alors du champ pour voir la scène et les coulisses :

  [∃]𓁝⇅𓁜[⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓁝⊥𓁜[♲]𓁝⇆𓁜[∅]   coulisses 𓂀
cours ( [∃]𓁝⇅𓁜[⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓁝⊥𓁜[♲]𓁝⇆𓁜[∅]  jardin scène   𓂀
bâbord spectateur/ lecteur tribord    

C'est avec une telle approche que nous avons pu discuter de la théorie de Freud concernant les rêves.

- Je comprends ton excitation à voir enfin un matheux, et non des moindres, se retrouver sur les mêmes brisées que toi, mais nous ne savons toujours pas grand-chose de ce fameux topos !

- N'allons pas trop vite. Alain Connes précise avant cela ce qu'il entend par son "deus Ex Machina" :

"A. C. - Laisse-moi le préciser le terme de deus Ex Machina que j'utilise par rapport à l'acceptation Usuelle de celui d'aléa. La nuance importante est que le deus Ex Machina régit de manière imprévisible ce qui se passe sur la scène mais n'agit absolument pas au hasard ! Il y a un deus ex machina par topos ! Lorsque l'on travaille dans un topos, tout se passe comme si on manipulait des ensembles ordinaires, sauf que l'on ne peut plus appliquer la règle du tiers exclu, qui s'entend comme " pour toute proposition on doit accepter soit qu'elle est vraie, soit que sa négation est vraie". Comme la situation dépend d'un paramètre – pensons au temps évoqué tout à l'heure –, on ne peut plus raisonner par l'absurde ; un énoncé peut être vrai pour certaines valeurs du paramètre, sans être vrai pour toutes. Mais en revanche tout raisonnement intuitionnisme, qui n'utilise donc pas le raisonnement par l'absurde continue à marcher. Un topos apparaît ainsi comme une généralisation de la théorie des ensembles, dont il continue à satisfaire les propriétés essentielles, mais où la notion de "vrai ou faux" devient beaucoup plus subtile et nuancée. On y rencontre même la notion de chemin vers la vérité, qui dépend du Topos considéré." p. 34

Je m'excuse de le dire crûment, mais cette présentation embrouille les choses plutôt qu'elle nous éclaire !

Déjà, l'angle d'attaque porte à faux : Alain Connes considère que le point de départ est la catégorie Ens, que l'on "module" à l'aide d'un paramètre ! Partis comme ça nous allons droit dans le mur !

- Explique-nous...

- Alain Connes part d'une conception néoplatonicienne qui aboutit chez les Anglo-Saxons à la philosophie analytique, et cela se retrouve ici, dans certaines remarques :

1/ Certes, l'abandon du raisonnement par l'absurde permet de s'émanciper d'une logique du 1er ordre qui nous scotche en [⚤]𓁜, mais, et là c'est un contresens, Alain Connes garde l'idée que l'on puisse approcher de ce jugement idéal (oui/ non) au terme d'une progression. Ce qui l'y conduit, c'est l'exemple particulier qu'il a pris (b) ! Eut-il pris l'exemple plus élémentaire du monoïde comme objet final de la catégorie des Graphes, que toute évolution disparaissait.

L'évolution qu'il repère n'est pas inhérente au topos en mode ♢, mais résulte de l'oubli de cette structure en régressant du mode ♢ au mode ♧ (foncteur d'oubli)! L'ordre qu'il exhibe n'est pas un surplus par rapport à Ens, mais la trace de cette régression en N+. c.-à-d. en [⚤]𓁜! Pour le dire très clairement : le temps vu comme succession est de niveau [⚤]𓁜♧ et uniquement de ce niveau !

Et je vois un lien très net entre pensée néo-platonicienne, positivisme logique anglo-saxon, constructivisme en mathématiques et temporalité...

- Qu'as-tu contre le constructivisme ?

- Rien si ce n'est l'oubli qu'avant de faire des parts de tarte il faut avoir une tarte: tu ne peux en aucune façon présenter un ouvert comme "ensemble de points" mais bien comme partie d'une collection d'ouverts, donnée a priori. (Note 12) De ce point de vue, l'introduction aux topos de Laurent Lafforgue évite cet écueil (voir "Imaginaire et topos").

2/ Le deus Ex Machina n'est pas dans le topos, mais dans le choix du topos par l'auteur 𓂀, Alain Connes le laisse échapper, sans le relever : "Lorsque l'on travaille dans un topos..."

3/ "Un topos apparaît ainsi comme une généralisation de la théorie des ensembles, dont il continue à satisfaire les propriétés essentielles".

Pour y comprendre quelque chose, il faut inverser la proposition : La catégorie Ens est une dégénérescence de la Catégorie Graph, lorsque la flèche (synchronique) du monoïde • devient indicible (diachronique), avec le singleton (*) pour résidu (i.e.: •↓(*)), ce qui est une pensée S↓ (transcendante), permettant  a priori une approche constructiviste (immanente) des maths S↑.

4/ Enfin, et plus fondamental sans doute, concernant la nature de "l'aléa".

Pour moi, l'aléa est dans le triptyque d'Emmy Noether, et c'est un principe que je placerais directement au niveau de la syntaxe ♡, régissant l'ensemble des modes  ♤ ♡ ♢ ♧. Je pourrais même y voir la nécessaire ouverture finale (𓁝[∅]𓂀 entre le Sujet en posture ex ante, face au Symbolique qui le détermine : ma liberté d'y adhérer ou pas, qui se retrouve dans tous les changements de postures du Sujet; qu'il s'agisse de changements de niveaux 𓁝/𓁜 ou de mode 𓁝⇅𓁜...

Ce dont nous parle Alain Connes n'a rien à voir avec cet aléa :

"... le deus Ex Machina régit de manière imprévisible ce qui se passe sur la scène mais n'agit absolument pas au hasard !"

Il s'agit simplement de la différence entre le point de vue de l'auteur, qui prépare la pièce à jouer en 𓂀 et celui du spectateur qui l'écoute en [⚤]𓁜, la regarde en [#]𓁜 et la juge en [♲]𓁜, bref, en mode ♧. De ceci, nous avons traité en discutant des 4 discours de Lacan...

- Je te trouve bien critique ?

- Je m'énerve un peu de la présentation d'Alain Connes, comme il m'arrive de le faire en lisant Lacan, mais ne t'y trompe pas : ce sont eux les artistes, et par rapport à eux, je suis comme le "culottier" des fresques de Michel Ange au ciel de La Chapelle Sixtine ! Lo capisci ?

- Mais dis-moi, Jacques, et si nous revenions à tes amours? Reparle-nous donc des topos...


Le 23/ 06/ 2022 :

- Plus je relis ce texte, plus il me force à définir ma propre position. Ce matin, par exemple, à la relecture, j'ai rajouté le point 4/ précédent concernant la nature de l'aléa dont parle Alain Connes, et me reportant au livre pour corriger certaines citations (j'utilise le Dictaphone du Mac, mais ma prononciation laissant à désirer, le robot prend ses aises), je me retrouve peu ou prou dans les interrogations de Patrick Gauthier-Lafaye :

"Mais, tu as l'air de faire d'un topos, c'est-à-dire quand même un espace si je t'ai bien compris, un deus Ex Machina, ce qui n'est pas la même chose ! ? Tu pourrais m'expliquer comment tu fais cela ?" p. 32

"Est-ce paramètre qu'on appelle aléa ? J'imagine alors qu'il peut y en avoir plusieurs ?" p. 33

""Le chemin vers la vérité" ? Sans doute est-ce un a priori de ma part mais, c'est quand même un drôle de concept mathématique ! Il me semble plutôt faire partie du domaine religieux !" p. 34

Lorsque Patrick Gauthier-Lafaye pointe une différence espace/ deus Ex Machina, forçant Alain Connes à préciser, il met à jour une faille, car la réponse ne colle pas :

"On avait l'habitude, en mathématiques, d'étudier les espaces en les regardant directement ; ici, on change complètement d'approche et on met l'espace dans les coulisses en lui faisant jouer le rôle de paramètre dans la théorie des ensembles ordinaire." p. 33

  • "Étudier les espaces en les regardant directement...", 
    Nous sommes en ([⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓁜𓂀, no problem
  • "On met l'espace dans les coulisses...",
    Non ! Il y a amalgame entre :
    • l'espace géométrique en [#]𓁜 et
    • l'espace topologique en [#]𓁜 ! (voir "Discussion de comptoir" à partir du 10/ 06/ 2020, ce n'est pas vieux!)
  • "...dans les coulisses en lui faisant jouer le rôle de paramètre...",
    Non ! Ce serait comme dire qu'un champ de vecteurs est un "paramètre" de son corps de base !
  • "... de paramètre  dans la théorie des ensembles ordinaires",
    Non ! Je soupçonne Alain Connes d'utiliser l'outillage de la théorie des Catégories (il en parle comme d'une "boîte à outils" dans une interview avec Anatole Khelif et Stéphane Dugowson), sans en avoir adopté la philosophie  et d'en rester à Bourbaki, malgré ses références à Grothendieck.

Et lorsqu'à cette réponse, Patrick Gauthier-Lafaye pose la question :

"Est-ce paramètre qu'on appelle aléa ? J'imagine alors qu'il peut y en avoir plusieurs ?" p. 33

tout part en cacahuètes.

- Ça va, on a compris, et arrête de t'accrocher à chaque virgule du texte, ce n'est pas un contrat à décortiquer pour éviter les claims ! Je sais bien que tu adorais la castagne en réunion de chantier, mais calme-toi : tu n'es plus chef de projet...

- Si je te disais que ça me manque ? Mais tu as raison, revenons à nos topos :

"A. C. - J'en viens à la portée philosophique de l'idée de topos. Elle peut s'énoncer de la manière suivante : d'ordinaire, lorsque l'on veut étudier un espace, un espace topologique T, par exemple, on regarde cet espace, on regarde ses points, etc., et on essaie de le comprendre. L'idée du topos consiste à considérer l'espace T comme un espace de paramètres dans la théorie des ensembles ordinaires. On va continuer à manipuler des objets qui jouent le rôle des ensembles.

P. G.- L. - Où ? Dans cet espace topologie ?

A. C. - Non, pas du tout, on fait cela dans un ailleurs, celui que nous appellerons la scène et qui n'a rien à voir a priori avec tes espaces T. Dans cette ailleurs, sur la scène, toutes les notions usuelles gardent un sens, celle d'algèbre, de groupe, etc.

P. G.- L. - Dans cet ailleurs, toujours sur la scène donc ?

A. C. - Oui exactement." p. 61

Quand je te dis que ça part en cacahuètes, je suis désolé d'enfoncer le clou mais enfin, il ressort bien de ce bouquet final que :

  1. Alain Connes garde une approche "ensembliste" en écrivant :
    • "...considérer l'espace T comme un espace de paramètres dans la théorie des ensembles ordinaires..."
    • " On va continuer à manipuler des objets qui jouent le rôle des ensembles." ,
      non : il faut voir Ens comme une catégorie particulière, et non pas une catégorie (le topos est une catégorie) comme un ensemble "avec un plus".
  2. Il intervertit la scène et les coulisses :
    • L'espace Topologique est dans les coulisses (points et liens) et non sur scène comme il l'écrit :
      " on fait cela dans un ailleurs, celui que nous appellerons la scène et qui n'a rien à voir a priori avec tes espaces T."
    • L'espace géométrique est sur la scène (points, espace projectif, espace Minkowski, espace affine, espace métré etc.) voir "Aspects de la géométrie".

Bref, il vaut mieux en revenir à Laurent Lafforgue dans sa présentation d'un topos T à partir d'une Catégorie C et d'une topologie J (vue comme collection de parties de C) : T= (C, J).

- On en reste là ?

- Non, cette présentation des topos était juste un préambule au dialogue entre nos deux auteurs, la suite sera sans doute très intéressante, mais il faudra être attentifs aux présupposés de l'un et de l'autre dans l'échange !

- Ça promet d'être sportif !

- Fin du premier round, dit d'observation...

Hari

Note 1 :

Il y a énormément de choses à dire de cette classification. Par exemple on peut partir de Bourdieu et de son "habitus" voir:

Note 2 :

Voir en particulier :

Note 3 :

À l'époque j'avais été obligé de faire un cube en carton, pour me représenter la fig 4, ce qui collait mal avec ma représentation de l'Imaginaire en "niveaux".

Mais avec l'idée de "modes" de penser, alors cela devient beaucoup plus intéressant : l'intuition que j'en ai pour l'heure, c'est qu'en mode ♡, on peut représenter les 3 modes ♡, ♢ et ♧ comme "orthogonaux" entre eux, ce qui conduirait à une représentation "spatiale" évidente.

Autrement dit :

  • en ♢ je vois ♢ et ♧ comme étant "localement" les deux faces d'un ruban de Moébius ;
  • en ♡, l'ensemble ♡, ♢ et ♧ serait plutôt comme un tessarac, je m'étais même fendu d'une petite animation : 

 

Note 4 :

J'ai bien en tête l'approche de Palo-Alto, mais je doute que les praticiens eux-mêmes de cette méthode parlent de "guérir" leurs patients. Au mieux, apprennent-ils à gérer socialement leur mal... La cure brève ne vise pas le Sujet lui-même 𓂀, mais à rendre son Moi présentable pour qu'il rentre dans la bonne case [#]𓁜... Une sorte de Plan d'Assurance Qualité à l'usage des citoyens, qui nous vient d'Amérique. Approche accouchant d'un Plan Qualité en psychiatrie avec le foisonnement récent du DSM (répertoire de 400 maladies)...

C'est dire la prégnance d'une approche anglo-saxonne, enracinée dans une philosophie analytique postulant la possibilité d'une création purement immanente S↑ des concepts. C'est pourquoi j'insiste tant sur les présupposés exprimés par Alain Connes...

Note 5 :

Voir en particulier :

Il est à noter que tous ces articles, faits avant la prise en compte de différents modes de penser ♧ ♢ ♡ ♤, concernent au premier chef le mode ♧, cette "scène" dont il est question ici.

Note 6 :

Voir les 16 articles de commentaires sur le livre d'Alain de Libéra "La querelle des universaux"; dont le premier est ici :

Note 7 :

Voir en particulier :

Note 8 :

Voir en particulier :

Note 9 :

C'est absolument fondamental, et il m'a fallu quelques années avant de le comprendre. Voir en particulier quelques étapes de cette prise de conscience :

Note 10 :

Voir :

Note 11 :

Voir :

Note 12 :

- Il y a différentes façons de présenter un espace topologique (Note 10), dont celle par les voisinages, en construisant une suite de familles d'ouverts, et donc là encore l'idée d'une progression vers les points de l'espace...

- Mais de toute façon, même en progressant vers le but désiré, ta position de départ cerne de toute parts ton point d'arrivée. Comprends ce point fondamental :

Une progression S↑ en mode ♧ correspond à une régression S↓ en mode ♢ et vice versa :
tu es sur les deux "faces" (localement) d'un ruban de Moebius !

Le meilleur exemple de ce fait est sans doute ce que nous avons vu de la formule de Stokes. (Note 11)

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