Méta-physique

- Et tes amours, Jacques ? Quand donc reviendras-tu aux maths et ce livre de Sanders Mac Lane "Mathematics form and fonction" abandonné en chemin ?

- Laisse-moi le temps d'émerger de mes dernières cogitations grecques. On peut vouloir ardemment tuer le père et l'aimer d'autant plus que l'on s'en détache... Se reconnaître dans sa passion, tout en se détournant du chemin tracé.

- Si tu allais directement au but ?

- En écrivant mon dernier exercice (voir "La question de l'Un dans la pensée grecque"), je n'arrêtais pas de retrouver, derrière Platon, des idées plus primitives, qu'il aurait mal fagotées selon moi, pour donner un style un peu kitch, que l'on retrouve dans les garde-robes des philosophes les plus modernes. Curieusement tout ceci me ramenait aux rapports du Sujet à l'Objet et ce que l'on peut en dire, et donc à la physique.

- De quoi parles-tu ?

- Des notes 8, 10 et 11 de l'article en question, qui me renvoient à d'autres réminiscences, faisant corps dans mon cerveau.

- Tout ceci reste bien vague, pourrais-tu attraper un fil de la pelote et ordonner ton discours ?

- Figure toi que je ne le souhaite pas. Ce serait adopter une attitude (...)𓂀^♧, quand il s'agit précisément de sortir du mode objectif ♧ de penser, et singulièrement d'une narration_⚤^♧ pour décrire de la façon la plus instinctive possible les rapports entre modes ♢ et ♧.

- Et donc tu vas jeter pêle-mêle le produit de ta pêche sur le carreau ?

- Je cherche, mon ami, je cherche, il ne s'agit pas ici de régurgiter une leçon bien propre sur elle...

- Soit, et qu'as-tu récupéré dans tes filets ?

- Il y a tout d'abord cette métaphore d'Héraclite parlant de la vie comme d'un fleuve s'écoulant entre deux rives, reprise, inconsciemment ou non, par Lacan :

"La vie descend la rivière touchant une rive de temps en temps, s'arrêtant ici ou là, sans rien comprendre à rien... L'idée de l'unité unifiante la condition humaine m'a toujours fait l'effet d'un scandaleux mensonge." Lacan à Baltimore 1966

Idée de mouvement, qui se retrouve au centre de la pensée Orientale, dans les symboles duaux Linga/ Yoni ou Ying/ Yang; et que je rapproche de l'idée de Lagrange de reprendre comme "objet" de la physique la "quantité de mouvement" mv. (Note 1)

- À bien y regarder, le mouvement était déjà dans le principe d'inertie de Galilée et au coeur du principe de moindre action chez Maupertuis...

- C'est exact. Et donc, je repensais à cette façon duale de comprendre la persistance du Sujet dans ses mouvements [α]𓁝/𓁜[ β] ou de l'Objet par rapport au Sujet 𓁝[α]𓁜.

- Ou encore dans le changement de mode ♢↓♧.

((a)- Ah ! Tu as mis le doigt dessus : l'objet serait essentiellement dans l'actualisation en mode objectif ♧ d'une potentialité en mode relationnel ♢. Je te propose de noter (a) ce fil de trame de notre présentation.

Maintenant, dans la note 8, je faisais le lien entre une très ancienne réflexion de Plotin dans ses Ennéades et une discussion très récente d'Alain Connes et René Guitart, situant l'un par rapport à l'autre les concepts de "topos" et de "sites" :

"Le principe d’une chose est toujours plus simple que cette chose" (b).

Remarque courant sous l'idée de l'UN, qui d'un certain sens, ne fait que réifier cette tendance à la simplification. Or, cette pulsion qui nous pousse à simplifier nos représentations est profondément ancrée en nous, dans notre nature animale même. Stanislas Dehaene la pointe déjà dans notre façon de structurer progressivement notre appréhension des signes pour, d'étape en étape, former des lettres, puis des mots et enfin se charger de sens (Note 2).

- J'ai compris : cette recherche de simplicité se retrouve encore dans le principe de Fermat en optique, ou encore de moindre action de Maupertuis.

- Exactement, d'où l'idée qu'il s'agit d'un principe :

• de type syntaxique, en mode ♡,
• qui organise le passage
  • du mode relationnel ♢ où l'on se représente des potentialités, au
  • mode objectif ♧ de l'actualisation d'une potentialité.

Ce sera notre second fil de trame (b)

- Attends un peu. Je te suis mal. Si je comprends bien, tu nous parles ici d'un principe entropique ou de "moindre énergie". D'un côté, une association dans le cerveau s'accompagne d'une moindre dépense énergétique, c'est ce que révèle l'imagerie neurologique, d'autre part le chemin de "moindre temps" chez Fermat, ou de "moindre action" chez Maupertuis, sont eux aussi des principes d'économie; et tout ceci est en lien avec le 3^e principe thermodynamique, selon lequel un système clos a tendance à accroître son entropie, et donc son désordre, au cours du temps, Or, cette pensée de Plotin n'a rien à voir, au contraire, dirais-je : il s'agirait d'aller du compliqué au simple, en sens inverse.

(c) - Oui, et cette dualité simple/ complexe a à voir avec le sens du passage ♢⇅♧. Garde-le en mémoire. Orthogonalement au mouvement précédent, et c'est repérable déjà dans le mode objectif ♧, il y a le triptyque d'Emmy Noether, qui associe la conservation d'une quantité à une symétrie et à une indétermination.

L'indétermination, nous l'avons dès l'origine, dans le retournement du Sujet, comprenant les objets,

• tantôt comme éléments [α]𓁜;
• tantôt comme :
  • parties 𓁝[α]𓁜; d'un
  • tout 𓁝[α]𓁜.

C'est un principe, situé en [♲]𓁜^♧, comme la notion la plus élémentaire du topos (dans la catégorie Ens), que je retrouve dans chaque mode de penser ♢ et ♡. Plus primitif, donc que nos principes d'inertie et de moindre action. On le retrouve chez l'enfant, lorsqu'il prend conscience de la persistance d'un objet hors de sa vue (l'expérience du fort/ da de Freud, ou encore chez Piaget). Je ne développe pas ce que j'ai dit et redit tout au long de ce blog. Ce sera notre 3^e fil (c), disons de lisse, puisqu'il est orthogonal aux deux premiers. 

- Autrement dit, l'objet n'apparaît pas à la frontière Imaginaire du Réel, en ☯[∃]𓁜^♧, mais beaucoup plus tardivement, comme un "volume" en [♲]𓁜^♧, caché sous sa "surface en [#]𓁜^♧ ?

- Je vois que ça commence à rentrer ! Parfait. Note que cette façon de voir nous démarque des Grecs, qui, dans leur géométrie considéraient plutôt des volumes (tels les solides de Platon, ou l'aire d'une surface plus que son contour.) (Note 3)

Le 28/ 02/ 2023 :

- En me relisant ce matin, j'ai rayé ceci :

C'est un principe, situé en [♲]𓁜^♧, comme la notion la plus élémentaire du topos (dans la catégorie Ens). 

- Tu cites tes erreurs maintenant ?

- Lorsqu'elles donnent matière à réflexion, oui. Nous avons ici un exemple parfait de ce qu'est "la complétion" à l'oeuvre : je complète rétrospectivement ma description du niveau [♲]^♧ (en mode ♧) dans un langage catégorique, alors que je n'ai pas encore défini le morphisme ! C'est un anachronisme, comme d'affubler Jésus d'une paire de lunettes de soleil sur La Croix.

- Tu associes pourtant le mode ♧, avec le singleton (*) en [∃]^♧ avec la catégorie Ens.

- Ce en quoi j'ai tort : c'est la reformulation en mode ♢ d'un mode de penser ♧ basée :

• sur la réification de la flèche du monoïde •⟲ en [∃]^♢ (concept devant de ce fait synchronique) 
  représentant
• le saut élémentaire entre [∃]^♧ et [⚤]^♧ qui est, par définition indicible (i.e. : diachronique) en mode ♧. 

- Et c'est grave docteur ?

- Assez, oui, parce qu'ensuite, je vais parler du "topos classifiant" {{};{*}} en [⚤]^♧ comme "ensemble des parties" de {*}, alors que le Sujet ne peut adopter qu'une posture ex post en [⚤]𓁜^♧, limité à la prise de conscience de la répétition du saut [∃]↑[⚤]𓁜^♧. La construction de N dans cette posture se faisant à partir du dénombrement ex post des sauts (i.e.: repérés comme "éléments"): c'est l'automatisme de répétition freudien, et point barre !

- Conséquences ?

- Il faut que je fasse un retour sur moi-même pour être plus vigilant, car les conséquences pourraient être importantes. Mais tu vois déjà ici l'importance de notre fil (a).

- Oui, j'ai compris : ta réinterprétation à postériori va dans le sens de la simplification, et tu retrouves l'importance de la position de René Guitart, disant que la "complétion" d'un ensemble de sites, représentés par un topos, induit une logique (un topos classifiant) qui en "rajoute", sur la structure desdits sites. Mais je croyais que tu allais nous parler de physique dans cet article?

- Eh bien, nous pouvons rechercher quelles brisures de symétries accompagnent les régressions, soit de mode, de type ♢↓♧, soit de niveau, de type [⚤]←[#] par exemple :

• Régression [∃]^♢↓[∃]^♧ : il y a une différence essentielle entre les "objets" de type (*) et les applications ou flèches de morphismes entre objets : le principe d'exclusion de Pauli.
  1. Les "éléments" sont séparés les uns des autres, et non superposables : on leur applique la statistique de Boltzmann
  2. Les flèches peuvent coexister (i.e.: des actions potentielles) : on leur applique la statistique de Bose-Einstein.
  3. La "brisure de symétrie" tient à ce qu'un "observable", en [⚤] relève seulement de la première statistique.
• Régression [⚤]^♧←[#]^♧ :
  1. En [#]^♧, le Sujet peut adopter deux postures locale- 𓁝/𓁜- globale;
  2. En [⚤]^♧, le Sujet est toujours ex post 𓁜.
  3. La brisure de symétrie tient à l'ouverture sur le Réel :
     • En [⚤]^♧, N en indéfini; à partir du concept de successeur;
     • En [#]^♧la notion d'infini ∞ clôt l'Imaginaire en R, après le premier saut [⚤]𓁝⇅𓁜[#]⏩[⚤]𓁝⇅𓁜¹[#]𓁜.

Il faut bien comprendre que la posture ex ante 𓁝, ou locale, suppose :

• Le continu (la part de tarte "fait partie" d'une tarte, au minimum implicitement dans l'Imaginaire du Sujet);
• L'existence potentielle d'un "tout".
  Le meilleur exemple étant la courbe en cloche chère aux statisticiens : l'espace de définition de la variable x∈R va de  -∞ à +∞, mais l'ensemble des probabilités qui y sont attachées (soit l'intégrale de la courbe) est de 1.

(d) C'est ce qui me vient à l'esprit tout de go, mais nous reviendrons certainement sur cette recherche des "brisures de symétries" au fur et à mesure de nos régressions Imaginaires. Ce sera un fil (d) de plus, trame et lisse à la fois à ajouter à notre toile.

- Soit et donc, si je te suis bien, la quantité de mouvement "mv" prise comme "objet" particulier de la réflexion du physicien, serait l'équivalent du morphisme pour le mathématicien ? La masse pour le singleton (*) et le vecteur vitesse en guise de morphisme ?

- À un détail près, c'est que la masse "m" n'est pas un "objet" élémentaire au sens où l'on peut parler de l'objet final (*) de la catégorie Ens, mais est une "quantité conservée" qui se constitue en [♲]^♧, à partir de conditions géométriques : la relativité générale.

- Nous avions l'idée d'objet bien avant Einstein !

- Sans doute, mais toujours en relation avec un mouvement, en relation avec un "observateur", notre Sujet 𓁝𓁜. Très rigoureusement parlant, je pense aujourd'hui, que :

nous ne pouvons pas parler d'objet avant le niveau [♲]^♧

- N'es-tu pas au même point qu'Aristote ? Avec en [♲]^♧, cette rencontre entre :

• La substance en 𓁝[♲]^♧, au terme d'un processus immanent S↑ ;
• La forme  [♲]^♧𓁜, au terme d'un processus transcendant S↓.

- Si la posture est la même, la façon d'y arriver diffère totalement ! En l'occurrence, je n'ai besoin ni du concept de "substance" ni d'ontologie : je m'en tiens au constat plus élémentaire de J.P. Changeux d'une rencontre entre :

• Un percept venant du Réel via nos sens,  S↑ pour aboutir en 𓁝[♲]^♧;
• un concept déjà formé dans le cortex, résultant d'un apprentissage (déterminé par l'inné, l'acquis, le social et le personnel) S↓ aboutissant en [♲]𓁜^♧;
• La rencontre S↓↑, si elle à lieu, est une prise de conscience du percept dans un retournement du Sujet 𓁝[♲]𓁜^♧⏩𓁝[♲]𓁜^♧ . C'est le "eurêka" d'Archimède jaillissant de son bain, et cette "rencontre" est observable, par IRM, au niveau du thalamus (de mémoire).

- Dans ce cas, le physicien "oublie" les premiers niveaux Imaginaires ?

- Et non, justement ! J'aurais tendance à y voir ce que Kant appelle "les conditions catégoriques de la perception". Et très précisément l'espace en [#]^♧ et in fine, après régression de R à N, le temps en [⚤]^♧.

- Tu philosophes, ou nous en revenons à la physique ?

- Attends un peu. Il y a chez Kant l'idée d'une "universalité" qui justifie les catégories de l'entendement, et, personnellement, j'y retrouve la notion de "propriété universelle" de la théorie des catégories. 

- Autrement dit une règle syntaxique de mode ♡ ?

(e) - Oui, gardons ce principe d'universalité bien au chaud pour l'instant, car je pense que c'est lié à une brisure de symétrie entre "variance/ covariance" à voir de près... ce sera le fil (e).

- Soit, et donc, si je te suis bien, la masse m est une sorte de coefficient, qui apparaît dans les équations de la relativité générale, et pour fixer les idées rapidement, dans la formule E=mc²; en [♲]^♧, et que l'on associe ensuite au vecteur vitesse au niveau élémentaire [∃]^♢ du mode relationnel ♢ ?

- Je pense que le cheminement Imaginaire de [∃]^♧ à [∃]^♢ est effectivement correctement balisé.

- Allons-nous enfin entrer dans le vif du sujet ?

01/ 03/ 2023 :

- Tu as raison, et d'ailleurs, nous ne nous éloignerons pas tant que ça du camarade Héraclite...

- De quoi parles-tu ?

- C'est sa métaphore d'un fleuve s'écoulant entre deux rives, qui m'a donné envie de revisiter la physique, ou tout du moins, en renversant l'image, d'une chute d'eau tombant d'une falaise jusque dans la vallée.

• La différence d'altitude correspondant à une différence de potentiel, et
• les mouvements de l'eau à son énergie cinétique.

- Tu nous en as déjà beaucoup parlé (Note 4)

(i)- Oui et je me souviens encore du choc ressenti lorsqu'en écoutant Davide Bochetto faire son cours, j'avais pris conscience d'une erreur fondamentale que je faisais depuis que j'avais appris la mécanique !

- Je te sens parti, mais je t'en prie, raconte-nous tes péchés comme à confesse, mon fils !

- Je pensais qu'il y avait une "transformation" entre énergie potentielle et cinétique. Par exemple, j'avais dans l'idée que le pendule "empruntait" de l'énergie potentielle pour accélérer dans son mouvement descendant, augmentant d'autant son énergie cinétique, énergie qu'il restituait dans la montée. Ses allers-retours, marquant ainsi un échange permanent entre les deux formes d'énergie.

- Tu nous en avais déjà fait part, pourquoi y revenir aujourd'hui ?

- J'ai utilisé le langage catégorique pour traiter du passage du mode  ♢ au mode ♧, et je voudrais vérifier que j'en avais bien le droit, sans en "surajouter" en "complétant" hors contexte des concepts plus primitifs.

- Autrement dit, vérifier que tu n'as pas "complété" à ta façon, une théorie physique que tu aurais ainsi dénaturée ?

- Exactement. De la même façon qu'hier je me sens surpris (sous la pulsion de (b)) à écrire un peu rapidement que le topos était déjà de niveau [♲]^♧, alors que la flèche du morphisme n'est réifiée qu'en [∃]^♢: C'est notre fil (a) qu'il faut suivre attentivement.

Et donc, pour en revenir à cette erreur d'interprétation, Davide Bochetto m'avait fait comprendre qu'en fait il s'agissait de faire le lien entre deux façons de décrire un mouvement. Ce que j'ai immédiatement compris comme le passage d'une écriture de mode ♢ à une autre de mode ♧. Dans ma tête c'était l'équivalent du passage d'une catégorie de type Graphe en ♢ à Ens en ♧; avec un foncteur d'oubli ↓ de cette façon : ♢↓♧.

Pour vérifier la pertinence de cette écriture, il nous faut passer en revue l'ensemble des concepts de la physique, depuis les premiers éléments de mécanique dus à Galilée et Newton, et, bien entendu, il faudra également parler du calcul différentiel/ intégral, sans nous prononcer sur sa paternité que se disputèrent Leibniz et Newton.

1/ Première loi de Newton 
Principe d'inertie

«Tout corps persévère dans l'état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n'agisse sur lui, et ne le contraigne à changer d'état.» Wikipédia

Nous sommes ici dans un milieu continu de niveau [#], en mode objectif ♧ (ou [#]^♧). À proprement parler il s'agit d'un axiome...

- Tu plaisantes !

- Non pas. En écrivant qu'un corps laissé à lui-même garde une vitesse constante te permet de rapporter la mesure du temps à une mesure de longueur : c'est dire que le temps entre 2 battements d'un pendule se rapporte à une distance parcourue par un mobile est constant, que les deux battements se produisent ici et maintenant ou dans un siècle. C'est d'ailleurs pour cela que le temps apparaît ici comme continu, et de la même espèce qu'une dimension spatiale. Et nous garderons cette idée d'une dimension temporelle orthogonale aux dimensions spatiales (rappelons que l'orthogonalité est le mode de répétition propre au niveau [#]) , jusque dans l'espace 4D de Hamilton et la mesure de Minkowski.

- Avec Minkowski, tu en viens à la relativité de niveau [♲]...

- Oui, comme en régressant jusqu'au discret en [⚤] tu retrouves l'égalité
temps de Planck X distance de Planck = vitesse C.

- Autrement dit, cette "loi d'inertie" trouve son expression propre à chaque niveau du mode ♧ ?

- Ce qui me fait dire qu'il s'agit d'un axiome, ou d'une loi "universelle" (le fil (e)), exprimée en mode syntaxique ♡.

- Et au passage, tu suis l'approche catégorique de Kant... 

- Effectivement : ce principe d'inertie organise le repérage spatiotemporel de toutes nos expériences du Réel, que ce soit au niveau discret [⚤], continu [#] ou relatif [♲].

(f)- Mais là, dans cette présentation, tu passes de ♡ à ♧, sans passer par le mode ♢  !

- C'est exactement ce que je craignais. J'ai peur que notre représentation de l'Imaginaire par un ruban de Moebius dont les modes ♢ et ♧ seraient "localement" les deux faces ait fait long feu : il faudra certainement passer à un modèle à 3 faces, permettant le passage direct de ♡ à ♧... Notre fil (f)

- Tu en reviens à la discussion entre René Guitart et Alain Connes ?

- Effectivement. 

- OK, tu as bien attaché ceinture et bretelles, et si nous avancions ?

2/ Deuxième loi de Newton ou
Principe fondamental de la physique

«Les changements qui arrivent dans le mouvement sont proportionnels à la force motrice ; et se font dans la ligne droite dans laquelle cette force a été imprimée.» Wikipédia

- Newton introduit le concept de "force motrice", qui se représente par un "vecteur".

• La "mesure" du vecteur F donne l'intensité de la force;
• La direction du vecteur F détermine celle de l'action qu'elle détermine.

Et là il nous faut bien caractériser l'espace Imaginaire où situer notre vecteur.

- Il s'inscrit dans un "espace" au niveau [#]^♧ vu précédemment où "la ligne droite" est représentable...

- Oui, certes, mais il y a une notion de "mesure" de niveau [♲] (l'équivalent de la mesure de "l'aire" d'une surface, avec un carré, comme d²). De plus, le concept de "masse", également en  [♲], ne va pas tarder à se pointer dans le paysage...

- On pourrait dire que l'idée de "changement" implique un rapport entre :

• l'objet en question, sur quoi s'appuie la "force";
• l'espace dans lequel il évolue.

Et donc que cette "relation" implique un minimum de prise de conscience en mode ♢, non ?

- Laissons la discussion en stand-by, je te propose d'y revenir avec la dernière loi.

3/ Troisième loi d'action-réaction

«L'action est toujours égale à la réaction ; c'est-à-dire que les actions de deux corps l'un sur l'autre sont toujours égales et de sens contraires.»  Wikipédia

- Là, sans conteste, nous sommes bien en mode relationnel ♢, entre deux "objets".

- Ce qui pose la question du statut du concept de vecteur, n'est-ce pas ?

- Effectivement :

• lorsque je parle d'une relation entre deux objets A⇆B, je n'ai aucun mal à faire un parallèle entre
  • le "morphisme" du mathématicien et
  • le "vecteur" du physicien,
    quoique le vecteur (avec direction et mesure), soit plus riche qu'un lien de nature purement "topologique" réifié en [∃]^♢;
• lorsque je situe l'objet dans un "espace-temps", j'ai tendance à penser passage ♢↓♧.
  Le "vecteur" en ♢ étant "représenté" en ♧ par un "segment de droite" entre les "positions" des objets A et B repérées en ♧.

- Tu nous a montré différentes interprétations de l'espace/ temps en mode ♧, ne dois-tu pas, de la même façon, enrichir le concept de "morphisme" repéré en [∃]^♢ et identifié en [⚤]^♢, avec en particulier le topos classifiant au même niveau, pour passer au continu  [#]^♢ et, ce coup-ci pour de bon, au topos en  [♲]^♢ ?

(g)- Je te propose de laisser cette question en suspend, ce sera notre fil (g), et d'avancer avec Lagrange, en reprenant tout ce que nous avons pu en dire jusqu'à présent (Note 1); en espérant que cela puisse nous éclairer sur la question.

Le 02/ 03/ 2023 :

4/ L'équation fondamentale de Lagrange

- Je reprends la présentation de Davide Bochetto :

1. L'utilisation de l'équation de Newton F=m.dv⃗(t)/dt est difficile à manier; précisément à cause de l'écriture vectorielle de la vitesse v⃗;
2. On commence par une nouvelle écriture : v(t)= dx(t)/dt= ẋ(t) (ici sur une dimension);
3. Lagrange fait l'hypothèse qu'il pourrait y avoir une fonction V dépendant uniquement de sa position, telle que sa dérivée par rapport à la position est égale à la force totale agissant sur la particule; ce qui donnerait : m.dv⃗(t)/dt = F = -dV(x)/dx.
   • On vérifie que cette grandeur V a les dimensions d'une énergie (i.e.: M.L².T^-2)
     => V est l'énergie potentielle introduite par Lagrange;
   • m.dv⃗(t)/dt =d(mv)/dt=d[d(1/2mv²)dv]dt=d[dT(v)/dv]dt
     => T=1/mv² est l'énergie cinétique classique
4. Ce qui donne : -dV(x)/dx = F = d[dT(v)/dv]dt ou encore :
   d[dT(v)/dv]dt + dV(x)/dx =0
5. Vu que l'énergie cinétique ne dépend pas explicitement de la position x, et que l'énergie potentielle ne dépend pas de la vitesse, nous avons : dT(v)/dx=0 et dV(x)/dv=0, on peut introduire une fonction L=T-V appelée "Lagrangien", pour réécrire l'équation (4) sous une forme plus compacte: 
   d[dT(v)/dv]dt + dV(x)/dx =0 <=> d[dL/dv]/dt-dL/dx=0

J'ai beau connaître cette séquence de calcul à peu près par coeur, j'ai toujours cette impression d'un tour de passe-passe ! Il y a déjà une complétion (b) en passant de :

• dT(v)/dv à dL/dv
• dV(x) à - dL/dx

tenant à l'ajout de dT(v)/dx=0 et dV(x)/dv=0 dans l'écriture.

- Cependant, le vecteur vitesse ne dépend pas explicitement de la position du mobile, quand l'énergie potentielle à cette position ne dépend pas de sa vitesse... Comme si vitesse et position étaient "orthogonales" entre elles.

- C'est ce que j'ai d'abord pensé, en situant les deux en [#]^♧. Mais ce n'est pas convainquant: en [#]^♧, l'orthogonalité tient à la répétition du même, comme lorsque l'on passe de la droite  R au plan R², ou à l'espace R³ etc... Ce qui n'est pas le cas en l'occurrence.

- Il faudrait donc en revenir à un saut de mode ♢↓♧.

- Oui, mais il faut revenir sur ce que j'ai déjà écrit, (Note 1) et me paraît partiellement faux aujourd'hui.

- C'est-à-dire ?

- Il faut revenir sur notre conception du temps.

• Nous l'avons, me semble-t-il, correctement situé en mode ♧, selon ses différents avatars : discret en [⚤], puis continu [#], comme orthogonal à l'espace et enfin, intimement lié à l'espace en [♲];
• Maintenant, reprenant la métaphore d'Alain Connes, ce mode ♧ serait la scène de notre représentation, quand tout s'organise en coulisses, c.-à-d. en mode ♢. Or, et c'est là la nouveauté pour moi, Alain Connes nous dit que le temps apparaît lorsque l'on passe des coulisses sur la scène.

Comme sur notre conception de la vitesse.

• À partir du niveau [♲]^♧, nous savons déjà que la "vitesse propre" d'une particule est une quantité conservée avec v̅.v=c².
• D'où la tentation de réifier v, comme nous avions réifié la flèche d'un morphisme et de voir l'objet "mv" comme élément du discours en mode ♢, avatar physique du monoïde •⟲.
• Dans cette optique, nous pourrions nous représenter, en physiciens, le niveau Imaginaire [#]^♢ comme un "espace vectoriel", dans lequel nos "représentations" ne dépendraient ni du temps, ni de l'espace physique, mais d'un rapport entre les deux.

Et notre représentation de l'énergie.

• En [♲]^♢ l'énergie cinétique serait associée à la "mesure" de la vitesse (un carré) par la "masse".

- Mais que fais-tu de l'énergie potentielle ? Si mes souvenirs sont bons, tu avais placé l'énergie potentielle en ♢ et l'énergie cinétique en ♧.

- Laisse-moi continuer l'exercice jusqu'au bout, nous en jugerons ensuite.

(α) Essayons ceci : 

• En [♲]𓁜^♢ , nous avons une expression du Lagrangien L;
• En [#]^♢  nous situons notre Lagrangien :
  • Globalement [#]𓁜^♢ : L
  • Localement 𓁝[#]^♢, sous forme différentielle dL/dv.

La persistance de l'objet tient à sa conservation dans le retournement de posture 𓁝/𓁜 autour de lui.

Maintenant, l'observation de l'objet tient au passage d'un mode "relationnel" ♢ au mode "objectif" ♧. Et cette "observation" se manifeste par une rupture de symétrie entre "espace" et "temps".

- Dans ton histoire, il y a un terme covariant et l'autre contravariant, non ?

(h) - Oui; en l'occurrence, la dérivation temporelle serait covariante et la dérivation spatiale contravariante. La différence entre dimension de temps et d'espace, tiendrait à cette différence covariance/ contravariance, cela reste à vérifier. Je laisse l'étiquette (h) pour nous en souvenir.

- Et l'espace lui-même apparaîtrait dans le mouvement ♢ ♧ ?

- Oui, ce qui rendrait plus aisée la compréhension du phénomène de décohérence dans le passage ♢↓♧.

Ensuite, Davide Bochetto introduit les contraintes et "variables indépendantes" q_k, ce qui n'offre pas de difficulté théorique (Note 1) pour aboutir à l'écriture classique : d(∂L/∂q̇_k)/dt - ∂L/∂q_k = 0 pour k∈[1,l] où l est le nombre de degrés de liberté du système.

Principe de moindre action :

Lagrange définit l'action S comme l'intégrale de L entre le début et la fin de l'action, 

 et le principe de moindre action s'écrit : δS=0, correspondant à un extremum de la fonction S.

Le 03/ 03/ 2023 :

- Hier, jour pluvieux, j'en ai profité pour revoir d'une traite l'ensemble du cours de Davide Bochetto, ce qui m'a déprimé !

- À ce point ?

- J'ai l'impression d'être à côté de la plaque, avec ma petite représentation de l'imaginaire, je ferais mieux de faire autre chose...

- Oui, mais quoi ? Tu es câblé comme ça mon pauvre ami, tu ne vas pas te mettre à l'escalade ou au trombone à ton âge ! Sois positif, dans ce flot qui t'as submergé, tu as bien trouvé quelques planches auxquelles te raccrocher, non ?

- Pour tout de dire, c'est l'écriture, depuis le Hamiltonien, jusqu'aux crochets de Poisson qui me gonfle. C'est de la tambouille de matheux. J'ai malgré tout relevé au passage :

1. En passant du Lagrangien L= T-V, au Hamiltonien H= T+V, on change de point de vue :
   • Avec L= T-V; on s'intéresse à l'écart entre T et V d'où le principe de "moindre action";
   • Avec H = T+V : on définit "l'énergie totale" du système, et l'on en revient à l'interprétation naïve que je me faisais d'un échange entre deux types d'énergie. (voir (i))
2. L'écriture du Hamiltonien, à partir du Lagrangien, passe par des ajouts pour "symétriser" les équations, et remplacer chaque dérivée du second ordre par deux du premier ordre. Dans la foulée, le passage par les crochets de Poisson, est également une "symétrisation" de l'écriture.

- Autrement dit, cette évolution de l'écriture répond à notre pulsion (a) ?

- Oui, avec une attention de plus en plus porté sur la l'écriture elle-même, ce qui nous ramène à la réflexion (f) : le principe de moindre action de nature syntaxique en ♡ s'exprime dès le début de l'écriture de L, sans passer par toute la "mise en forme" qui suit.

Voilà pour ce que j'ai retenu de la mécanique classique. Ensuite, il y a le passage à la mécanique quantique, comme suite de l'écriture de Lagrange. J'avoue que je n'ai pas accroché, jusqu'à ce que l'on change complètement de registre avec l'approche de Dirac (Note 7).

Le 04/ 03/ 2023 :

4/ L'approche de Dirac

- Je retiens en tout premier que l'espace où s'exprime l'état d'un système est un espace de Hilbert E_H; autrement dit qu'il faut adopter une écriture vectorielle : ce qui vient confirmer la nature du niveau [#]^♢, telle que nous l'avions imaginé à partir de la mécanique classique.

Ou pour être plus précis : "l'interprétation physique" que je peux me donner du niveau [#]^♢ est un espace de Hilbert.

Dans le même ordre d'idées, "l'interprétation physique" que je peux me faire du niveau [⚤]^♢ serait C, l'espace des nombres complexes.

- Je croyais que le niveau [⚤] était celui du discret ?

- Je pense que nous avons ici l'exemple de ce que j'avais pressenti d'une évolution de nos représentations, en fonction du mode dans lequel on évolue (voir Ikebana):

"C'est comme si notre expression elle-même évoluait en passant de la narration (i.e.: temporelle) d'une pensée limitée à la logique du 1^er ordre :

à la représentation graphique (i.e.: spatiale) dans le même temps qu'elle se déploie sur deux niveaux (discret_⚤ et continu_#)  ET deux modes (objectif^♧ et topologique^♢):"

Par ailleurs, ceci reste cohérent avec la "métaphore" catégorique, qui nous sert de fil rouge dans notre démarche. Dans une "représentation mathématique" nous repérons deux grandes structures mathématiques élémentaires :

1. L'ordre avec la notion de successeur, et la construction de N en [⚤]^♧; et l'opposition oui/ non;
2. La structure de groupe en [⚤]^♢ et la circularité et les symétries. Or, l'idée d'un générateur de groupe s'exprime particulièrement bien en C par l'écriture :  e^iθ.

- Bon, soit, nous avons un espace [#]^♢, et une écriture élémentaire [⚤]^♢, mais de quoi parle-t-on, autrement dit, quel est l'objet final du discours ?

- Pas si vite, je te propose de reprendre l'exposé de  Davide Bochetto à la leçon 4, en suivant pas à pas sa présentation de l'écriture de Dirac.

En mécanique quantique, l'état d'un système est représenté par une "fonction d'onde" décrivant la probabilité qu'a le système d'être dans l'un des états qui lui sont accessibles. 

• L'espace des états accessibles est un espace de Hilbert E_H (avec l'hypothèse qu'il est complet et séparable);
• Une "fonction d'onde" peut être vu comme un vecteur de cet espace, que l'on note  |Ψ⟩ 
• Plus généralement, |Ψ⟩ est un "vecteur d'état" du système dans l'espace E_H.

J'attire ici ton attention sur cette "réification" sous forme de vecteur d'une "fonction", de même qu'en mathématique, nous avons compris qu'en mode ♢, nous avions réifié sous la forme de la flèche d'un morphisme, la notion d'application en mode ♧ (i.e.: dans l'ensemble Ens, l'application n'est pas un "objet" de type synchronique du discours sur l'ensemble considéré, mais de nature diachronique, comme dans le saut élémentaire [∃]↑[⚤]).

Superposition des états :

Une fois réifié sous forme de "vecteur", il découle de sa nature tout ce que nous savons des vecteurs, autrement dit : ∀λ₁, λ₂∈C et ∀ |Ψ₁⟩, |Ψ₂⟩ ∈ E_H , alors  |λ₁Ψ₁+ λ₂Ψ₂⟩ = λ₁|Ψ₁⟩ + λ₂|Ψ₂⟩ ∈ E_H , ce qui résume la propriété quantique de superposition des états.

Rupture de symétrie :

La nature même de cet espace E_H, introduit une antisymétrique visible dans la définition d'un "produit scalaire" entre vecteurs d'états. Soit  |ϕ⟩, |Ψ⟩ ∈ E_H , on définit un produit scalaire ⟨ϕ|Ψ⟩ avec une symétrie hermicienne : ⟨ϕ|Ψ⟩ = (⟨Ψ|ϕ⟩)^*; ce qui donne :

•  |Ψ⟩ =  |λ₁Ψ₁+ λ₂Ψ₂⟩ => ⟨ϕ|Ψ⟩ =  ⟨ϕ|λ₁Ψ₁+ λ₂Ψ₂⟩ =  λ₁⟨ϕ|Ψ₁⟩+ λ₂⟨ϕ|Ψ₂⟩ linéaire à droite
• |ϕ⟩ =  |λ₁ϕ₁+ λ₂ϕ₂⟩ => ⟨ϕ|Ψ⟩ = ⟨λ₁ϕ₁+ λ₂ϕ₂|Ψ⟩ = λ₁^*⟨ϕ₁|Ψ⟩+ λ₂^*⟨ϕ₂|Ψ⟩ antilinéaire à gauche

- Je te vois venir avec tes gros sabots : tu veux rapprocher cette antisymétrie d'une différence de postures du Sujet 𓁝/𓁜 !

(j) C'est effectivement très tentant, et du même coup, cela enrichirait l'opposition 𓁝/𓁜, dans le changement de mode ♧ ♢ ! Non seulement les niveaux, mais également les postures mêmes du Sujet évolueraient en fonction du mode Imaginaire où nous nous tenons. Nous en avions déjà eu l'intuition, en pensant que nos types de représentation devaient évoluer, d'une narration en mode  ♧ à une représentation graphique en mode ♢ (voir ci-dessus ou Ikebana), et imaginé que l'opposition avant/après se transformait en opposition gauche/ droite. Mais comme en [⚤]^♢𓁜, nous ne sommes plus dans la linéarité, avec une opposition simplement dialectique, tel qu'en [⚤]^♧𓁜 dans une logique du 1^er ordre, il semble évident, a posteriori, (toujours a posteriori !), que l'opposition  𓁝/𓁜 de notre Sujet n'évolue plus sur une droite 𓁝𑁋𑁋𓁜, mais sur une surface :

en l'occurrence, pour le physicien, cette "surface" est celle de C. C'est une hypothèse que je vais baliser (j). Continuons à suivre Davide Bochetto.

Orthogonalité :

Deux vecteurs d'états |ϕ⟩, |Ψ⟩ ∈ E_H sont orthogonaux ou indépendants, si leur produit scalaire est nul : ⟨ϕ|Ψ⟩ = 0 =>  |ϕ⟩ ⊥ |Ψ⟩.

Tu vois très simplement, j'imagine, comment l'expression de l'orthogonalité en [#]^♢ s'exprime en [⚤]^♢, d'une façon analogue à ce qu'il en est en mode ♧... (Note 8)

Norme :

La norme d'un vecteur d'état s'exprime évidemment par ∥|Ψ⟩∥ = √⟨̅Ψ|Ψ⟩ et donc, comme en mode ♧, nous retrouvons ici, l'étagement :

• En[#] : l'objet (ici un vecteur |Ψ⟩;
• En [♲] : le concept de norme ∥|Ψ⟩∥ à partir du calcul d'une aire ⟨Ψ|Ψ⟩
• En [⚤] : l'expression chiffrée de cette norme (en l'espèce un nombre Réel).

- Autrement dit, tu retrouves exactement le même étagement par niveaux [⚤], [#] et [♲] en modes ♢ et ♧, avec, simplement, une évolution des concepts comme des relations entre eux ?

- Oui, et cette similitude d'un mode à l'autre, que nous voyons ici concrètement dans le champ de la physique, me conforte dans ma représentation générale de l'Imaginaire : nous jonglons avec des objets de plus en plus sophistiqués, mais, in fine, la mécanique intellectuelle à l'oeuvre est toujours la même.

Par ailleurs, la fermeture de l'Imaginaire se traduit ici très simplement par le fait que |Ψ⟩ étant une fonction "probabiliste", sa norme est 1 :
∥|Ψ⟩∥ = √⟨̅Ψ|Ψ⟩ = 1.

Base d'un espace vectoriel : (Note 9)

Si nous dotons notre espace vectoriel E_H d'une base, alors un vecteur |Ψ⟩ (Dirac parle de "Ket") s'écrit comme un vecteur colonne (désolé : pas facile à écrire sur le blog), avec les coordonnées β_i dans cette base et un vecteur ⟨ϕ| (On parle alors de "Bra") comme vecteur ligne, avec les coordonnées conjuguées α_i^* du Ket associé |ϕ⟩; ce qui s'écrit : ⟨ϕ|Ψ⟩ = ∑α_i^*.β_i.

Espace des formes linéaires E_H^* dual de E_H :

On peut donc voir les vecteurs Bra ⟨ϕ| comme appartenant à E_H^*, espace dual de l'espace E_H.

- Cette histoire de "forme linéaires" nous ramène à l'idée de matrice en théorie des catégories, non ? (Note 10)

- Exactement, où nous voyons se repointer la différence de posture du Sujet 𓁝/𓁜, tourné soit voir l'objet initial, soit vers l'objet final.

(k) Lorsque Dirac écrit qu'à tout Bra ⟨Ψ|∈E_H^* correspond un Ket |Ψ⟩∈E_H et vice versa et en rapportant ceci au langage catégorique, cela commence à prendre l'allure d'un changement de posture du Sujet 𓁝/𓁜. C'est une hypothèse qu'il nous faudra vérifier (fil (k)).

Le 05/ 03/ 2023 :

Opérateur linéaire  dans l'espace E_H :

- Nous assistons ici encore à un désir de simplification par une montée dans les concepts...

- Je ne te suis pas ?

- Nous partons de la représentation d'un état du système par un vecteur  |Ψ⟩; ensuite nous jouons sur la définition mathématique (ou de langage pur), pour définir l'espace E_H, de là, nous introduisons la différence bra |Ψ⟩ / ket ⟨Ψ|, qui est une simple transposition vecteur colonne/ vecteur ligne...

- En prenant malgré tous les coordonnées conjuguées... 

- Oui, et c'est ce que je comprends comme un besoin de cohérence dans nos représentations.

- De quoi parles-tu ?

- Nous avons toujours notre Sujet 𓁝/𓁜 qui se balade entre [⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓁝⊥𓁜[♲]𓁜, et j'interprète cet aspect "hermitien" du calcul d'un produit scalaire, comme la congruence entre les postures du Sujet en [#] et [⚤], qui doit prendre sens au niveau fédérateur [♲]𓁜 (là où se forme le concept de "mesure".

Autrement dit, tout devient simple avec cette interprétation des postures :

Maintenant, et c'est là que s'applique la "pulsion" unaire (b),

• d'une représentation d'un état par un vecteur |Ψ⟩, on passe à  |Ψ⟩ ∈ E_H;
• d'une représentation "colonne" en [#]𓁜, on passe à la posture complémentaire 𓁝[#] pour définir ⟨Ψ|;
• de  ⟨Ψ| on généralise à l'espace dual E_H^*;
• ENSUITE, pour retrouver nos petits, on stipule qu'à chaque  |Ψ⟩ ∈ E_H; on associe un ⟨Ψ|∈ E_H^*.

Bel trouvaille, en vérité, puisqu'à l'origine, nous n'avions que |Ψ⟩. Autrement dit, on noie le poisson dans la mer, pour dire ensuite : "tient, j'ai un poisson dans mon filet !" (Note du 08/ 03)

- Ce qui permet cependant de définir un "opérateur linéaire" Â...

- Exactement : Nous allons maintenant définir de façon très générale une matrice  de coefficients dans un Espace E_H, en choisissant une base (notre filet, et il s'agit bien d'un choix du Sujet), pour ensuite la "contraindre" jusqu'à ce que l'action résultante soit "représentable".

L'idée directrice, c'est de trouver un ensemble de "vecteurs propres" comme base de E_H pour que les "valeurs propres" associées de notre opérateur  forment une matrice diagonale. 

Et tu retombes comme une fleur sur une mesure "réelle".- C'est un peu court, non ?

Le 07/ 03/ 2023 :

- Court, oui, et plein d'à-peu-près, bien sûr, mais je pense tenir une piste.

Tout ce qui je traite depuis 3 jours, consiste à naviguer entre les niveaux [⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓁝⊥𓁜[♲]𓁜 en mode ♢. Pour reprendre la métaphore d'Héraclite, ce serait comme traiter du passage d'une rive à l'autre du fleuve; quand, avec l'équation de Lagrange, nous nous intéressions plutôt au sens du courant passant du mode ♢ en amont à l'aval en mode ♧.

Et dans ce passage amont/ aval, les "outils" développés par Newton et Leibniz répondent à la très ancienne dyade Platonicienne du grand et du petit (vite note 8 de "La question de l'Un chez les Grecs").

- Passage sur lequel tu t'étais déjà passablement excité en parlant des formules de Stoke (voir "Notes de lecture de Scientia Egregia")...

- Oui, et à partir de là nous sommes partis sur la différence variance/ covariance.

- Bref, la sauce commence à prendre ?

- J'en ai l'impression et j'ai besoin d'un peu de temps pour décanter tout ceci; avec deux autres ingrédients qui me semblent indispensables : 

1/ Avec le lemme de Yoshida (voir "Présentation du 12/06/19") en tête, j'ai dans l'idée qu'un "observable" doit avoir un rapport simple (à établir) avec, en langage catégorique, un "foncteur représentable"; à lier avec les notions de mesure en mécanique classique et quantique.

2/ Les crochets de Poisson, comme les commutateurs de forme | ⟩⟨ | me font penser au passage du Sujet de 𓁝⊥𓁜⏩𓁝⊥𓁜 (i.e.: [#]𓁝⊥𓁜[♲]⏩[#]𓁝⊥𓁜[♲]⏩[♲]𓁜). Ça tourne autour du degré de dépendance entre vecteurs, et s'exprime en [♲]𓁜 sous la forme antisymétrique d'une "aire" comprise entre ces vecteurs, dont la mesure ⟨Ψ|Ψ⟩ ou l'orthogonalité ⟨ϕ|Ψ⟩=0 seraient les formes extrêmes. (Note 11)

- Tu penses à Newton (voir "De Descartes à Leibniz et Newton")?

- Exactement : le travail de Newton sur les lois de Képler était géométrique et basé sur la conservation de l'aire d'un triangle. Et je crois que nous en sommes toujours là.

Maintenant, il faut que je dorme un peu là-dessus, pour que ça décante et me paraisse ensuite (je l'espère) évident. À suivre, donc, après retour dès demain au camp de base !

Hari

Note 1 :

Voir en particulier :

• newton-lagrange-legendre-hamilton-poisson-et-les-autres
• penser-la-physique-autrement
• penser-la-physique-autrement-5-mecanique-analytique

Note 2 :

Voir les articles sur la lecture et le calcul où je commente Stanislas Dehaene :

• "Les neurones de la lecture #1,", #2, #3 & #4;
• "La bosse des maths"

Note 3 :

Voir en particulier :

• "L'ontologie cul par-dessus tête".

Note 4 :

Voir le dernier point sur la question :

• "Penser la physique autrement #1",
  • avec. un récapitulatif de mes articles antérieurs
  • L'introduction d'une pensée sur deux modes ♢ ♧ en physique
• "Penser la physique autrement #5"
  • Avec le lien vers les cours de Davide Bochetto.

Note 5 :

Voir :

• "2e colloque Lysimaque - Mathématique et psychanalyse #1 - Le trois"

Note 6 :

J'en parle dans "L'Homme Quantique". Un excellent livre au demeurant ! 

Note 7 :

Voir les articles :

• "Métaphysique quantique de Dirac"
• "Principe de superposition des états quantiques"

J'avais entamé le livre de Dirac "The principes of Quantum Mechanics", bien avant d'avoir pensé à différencier entre "niveaux" et "modes" Imaginaires, il me faudrait tout reprendre à partir de cette nouvelle représentation !

Note 8 :

- Sauf qu'en [⚤]𓁜 nous abandonnons le continu pour le discret... 

- Effectivement, disons que l'orthogonalité en [#]^♧ si ramène à 0 en R situé dans le premier saut [⚤]↑[#]^♧ ; Mais tu chipotes.

Note 9 :

Je laisse provisoirement de côté la distinction entre espace fini, dénombrable ou infini, pour y revenir plus tard.

Note 10 :

Voir en particulier :

• "Matrice"

Note du 08/ 03 :

J'avais attendu de finir cet article pour lire le dernier message du 04/ 03 de René Guitart. Je note la date parce que la coïncidence fait sens :

"Pour reprendre la conversation presque à zéro, voici un détail crucial. La question du modelage premier. Si donc on dit, dans beaucoup de modélisations mathématiques, eh bien cela correspond à un espace vectoriel, encore faut-il dire lequel ! L’espace vectoriel est le type de structure en jeu, mais celui-ci, nommément, doit être donné, ou bien par un mode de génération, ou bien par une propriété caractéristique. Et là, c’est bien cette donation qui est première. Par exemple on dira, l’espace vectoriel ayant pour base ceci ou cela. En effet, ensuite, mais ensuite seulement, on pourra bien s’autoriser la manipulation, ô combien fructueuse pour conduire des démonstrations, d’autres bases engendrant le même espace. Donc ce que l’on donne à entendre, c’est, dans ce cas une base, et l’entente du sens et de l’efficacité de cette donation est au titre de l’espace engendré. De plus, quand on dit l’espace engendré par telle base, on veut dire que ces éléments de bases constituent l’observation réaliste de la situation, au travers d’un certain système d’opérateurs compris par ladite observation, qui constituent ce que je nommerai un modelage premier de la situation. Ce que je veux, c’est qu’on ne confonde pas le modelage premier ou originel (affaire du praticien) et le fond théorique où l’on peut le manipuler, voire le métamorphoser, pour établir des propriétés. Affaire à suivre."

J'avais entrepris cette revisite de la physique avec sa préoccupation en tête, et je pense qu'elle m'a profondément marqué, puisque j'y reviens encore à ce moment de l'article, le jour où il m'envoie ce message...

Note 11 :

En relisant ce passage, je me dis que c'est n'importe quoi : comment la même forme ⟨ | ⟩ pourrait-elle à la fois signifier :

• La mesure de ⟨Ψ|Ψ⟩ = 1
• L'orthogonalité de ⟨ϕ|Ψ⟩ = 0

J'avais en tête l'idée que |Ψ⟩ et ⟨Ψ| sont "orthogonaux" au sens où nous avons:

• un vecteur ligne |Ψ⟩
• un vecteur colonne ⟨Ψ|

Et j'imaginais ⟨Ψ|Ψ⟩ comme racine carré de l'aire (=1) d'un carré de côtés |Ψ⟩ et ⟨Ψ|.

- Mais la même formule = 0 pour deux vecteurs orthogonaux...

- C'est là que je me suis dit que le sens de l'orthogonalité différait entre les deux cas.

1/ La mesure de |Ψ⟩ :

Ici, c'est le Sujet qui change de perspective pour envisager l'objet Ψ, de niveau [#] :

•  |Ψ⟩ vu [#]𓁜
• ⟨Ψ| vu 𓁝[#]
• L'équivalence entre les deux perspectives 𓁝/𓁜 s'exprime par une mesure (de volume) en [♲]𓁜.

2/ L'orthogonalité entre deux vecteurs |Ψ⟩ et |ϕ⟩:

Ici, les deux objets sont dans un même espace, et le regard du Sujet portant sur les deux est commun:

•  |Ψ⟩ et  |ϕ⟩ en E_H vus [#]𓁜
  ou
• ⟨Ψ| et ⟨ϕ| en E_H^* vus 𓁝[#]
• L'orthogonalité s'exprime au niveau [⚤]𓁜, par une relation entre les coordonnées des vecteurs.