Comment aborder la géométrie non commutative #1?

- Je ne vais pas tout de suite ouvrir un livre sur le sujet, pour cueillir en pleine conscience les idées qui me viennent au réveil. Je te rappelle que mon objectif n'est pas de "faire des maths", mais de comprendre en quoi ce langage est la trace consciente de mécanismes bien antérieurs à toute prise de conscience. De même que nous apprenons à parler de ce que nous voyons très largement après avoir appris à voir. Le principe général, c'est de suivre la voie de moindre résistance.

- Ça te va bien, flemmard comme tu l'es !

- C'est ce que je dis: il faut être à l'écoute de sa nature profonde. Or, ce qui me vient à l'esprit en premier, lorsque je repense à cette vidéo d'Alain Connes c'est sa présentation d'un espace comme produit de notre espace classique, usuel, et d'un espace fini.

La notion de produit nous est déjà familière, et possède un sens précis en théorie des catégories. À ce produit d'espaces est associé un produit d'algèbres (il faudra vérifier l'expression).

• À la partie "géométrique" au sens classique, c.-à-d. l'espace physique infini dans lequel nous nous mouvons, est associée une algèbre qui le décrit à l'aide de variables complexes et de quaternions.
• À la partie finie est associée une algèbre finie, dont les symétries SU1⊗SU2⊗SU3 reprennent les lois de la physique (théorie des jauges).

L'espace infini est commutatif, quand l'espace fini ne l'est pas. Voilà ce que je retiens en première lecture, la première couche d'impression sur mon cerveau.

- Et cela t'aide-t-il ?

- Oui, parce que je me raccroche à ce que j'ai déjà survolé. Je repense à la présentation d'Étienne Ghys concernant les recouvrements (voir "Identité et idempotence") qui nous disait qu'il y a deux et seulement deux types de recouvrements :

Comme ce que nous venons de voir au sujet des groupes d'homologie avec NJ Wildberger, lorsqu'il conclut son cours en présentant les nombres de Betti et les torsions.

Tu retrouves cette séparation entre :

• d'une part la partie "infinie" du groupe d'homologie H_n : R⊕R⊕...⊕R dont le rang est le nombre de Betti b_n,
• d'autre part la partie finie du type R_n1⊕R_n2⊕...⊕_Rnx.

Ce que je comprends pour l'instant, mon préjugé de départ, avant d'entrer dans la théorie d'Alain Connes, c'est que :

• le groupe d'homologie de notre espace de description de la physique aurait un nombre de Betti=4 (3 dimensions d'espace et 1 de temps), descriptible par une algèbre utilisant nombres complexes et quaternions.
• la partie cyclique de ce groupe d'homologie serait trois torsions correspondant à SU1⊗SU2⊗SU3, représentables par des matrices 3X3.

L'impression proprement naïve que j'en retire serait que toute la physique correspondrait à des "torsions" de l'espace, du type "cross-cap" ou bouteille de Klein, ce qui me semble paradoxal.

- En quel sens ?

- Lorsque tu parles de "torsion", tu penses à une bande de Moëbius, qui est "tordue", cependant, en y réfléchissant bien, cette torsion conduit d'une certaine façon à redresser l'espace, en ce sens qu'en imprimant une torsion à l'espace, les surfaces ne sont plus orientées: tu peux passer continûment d'une face à l'autre de la feuille de papier en faisant un tour complet, quand, dans l'espace Euclidien cette gymnastique t'est impossible. N'y a-t-il pas un paradoxe à penser qu'une torsion puisse rendre l'espace plus "homogène" ?

Et puis il doit y avoir une correspondance ou un couplage entre la courbure de l'espace infini et ses torsions de l'espace fini. Tout ceci me donne mal à la tête !

- Je pense qu'il faut laisser décanter...

- Oui, bonne méditation !

Le 09/09/2020 au matin

- Je baigne dans cette évidence que l'espace est un produit au sens qu'il a en théorie des catégories, et je me souviens du mal de chien que j'avais eu à l'époque à comprendre le concept dans la perspective que Lawvere adoptait dans "Conceptuel mathematics" .

J'avais buté sur l'exemple qu'il présentait (voir "Chapitre 4 -Entropologie des mathématiques" et le texte sur le site ISSUU page 22), parce qu'à l'époque, je n'avais pas encore compris la différence entre rationalité logique et approche topologique, ni que le temps de la narration n'est pas celui dont on fait la théorie (voir "entropologie et sciences du langage et de la narration").

C'est dire que mon sentiment d'évidence peut ne pas être le tien, compte tenu de ces racines profondes !

- Arrête de tourner autour du pot et accouche !

- Je voulais juste insister sur le fait que mon évidence s'inscrit parfaitement dans la théorie des catégories.

- D'accord, mais si tu nous expliquais ?

- L'espace dont nous parle Alain Connes est un produit de deux objets étrangers l'un à l'autre : d'une part notre Espace ordinaire E, infini ou indéfini, c'est à discuter, de la forme E=R⊕R⊕...⊕R, et d'autre part un autre espace représentant les données physiques P, fini de la forme P=R_n1⊕R_n2⊕...⊕_Rnx. Ceci nous donne une expression très générale de notre univers comme le produit cartésien E⊗P.

Tu peux t'en faire une idée en faisant une analogie avec la façon que nous avons de renseigner les éléments d'une photo sous forme digitale. En chaque point de la surface sensible (le E), tu associes un "paquet" d'information (le P), telles que le rapport entre les trois couleurs fondamentales (magenta, jaune, cyan ou rouge, vert, bleu selon le système choisi), l'intensité lumineuse etc.

Eh bien cette analogie me rend évidente la présentation qu'Alain Connes fait des lois de la physiques en termes de géométrie. On peut même s'imaginer chaque force étudiée en physique (i.e.: électromagnétique, interaction faible et forte) comme la donnée d'une couleur dans notre analogie avec la photographie, ce qui nous ramène au tout début de sa présentation, lorsqu'il parle de "l'action" de la physique comme d'une somme de termes.

- Tu évites de parler de la gravité dans la partie P de ton Univers ?

- Ah ! Grande question ! Instinctivement, j'aurais tendance à dire que la gravité s'exprime par la courbure de l'espace E, ce qui, pour équilibrer la balance, renvoie les autres forces de la physique à des torsions de l'espace P.

Je ne sais absolument pas, à ce stade de ma connaissance de la théorie d'Alain Connes, si c'est son approche ou pas, mais pour reprendre Geneviève Tabouis, c'est ce que je m'attends à savoir, parce que cette image est pour moi dune extrême élégance !

Hari

Eh bien