De la philosophie comme sport de combat

- Je te trouve d'humeur bien belliqueuse aujourd'hui ?

- Je cherche toujours de quelle façon accrocher le lecteur d'un Livre en gestation, d'où les derniers articles (ici et ici), qui tournent autour de cette Lapalissade : "un bord n'a pas de bord". Et donc, je me suis dit que si cet aphorisme n'a pas été repris par des philosophes, il y a un vide à combler.

- Tu avais déjà parlé de tuer Platon... (voir ici)

- Certes, mais depuis, je le retrouve encore et encore, preuve que mon attaque portait à faux.

- Explique-toi !

- L'objectif de Platon était de contrer les Sophistes, et nous pouvons aujourd'hui représenter l'arène du combat de la même façon que nous l'avons fait pour situer Einstein et Bohr :

- C'est un beau schéma, mais qui n'engage que toi.

- Bien entendu. Il s'agit donc d'une thèse qu'il faut étayer, si je puis dire.

- Et donc ?

- Pour développer sa philosophie, Platon a structuré une arme : la dialectique. Allons vite dans le temps pour la retrouver chez Hegel (j'en parle ici) et Marx (ici).

- C'est le passage de Platon à Marx qui te fait parler de sport de combat.

- Absolument, or, si comme nous l'avons vu, il existe une façon de penser qui ne soit pas réductible à une simple "dialectique", alors tout l'édifice s'écroule de lui-même sans avoir besoin de pousser.

- Et j'imagine que cet aphorisme n'est pas dialectique ?

- C'est ce que je voudrais vérifier avec toi, ici et maintenant. Comme je suis assez fainéant de nature, je tente déjà un petit survol rapide à l'aide de mes IA préférés.

Q : Est-ce l’aphorisme « un bord n’a pas de bord » a été étudié dans une approche dialectique par un philosophe ?

🤖 : L'aphorisme «un bord n’a pas de bord» a été exploré dans divers contextes philosophiques et mathématiques, notamment en lien avec des concepts d'homologie et de topologie. Bien qu'il ne soit pas directement attribué à un philosophe spécifique dans les résultats de recherche, il semble avoir été discuté dans des travaux académiques et des séminaires, notamment en mathématiques.

Approche Mathématique

1. Homologie et Cohomologie: Dans le cadre de la théorie des catégories et de l'homologie, l'expression «un bord n’a pas de bord» est utilisée pour décrire des propriétés topologiques où les bords d'un objet ne sont pas considérés comme ayant leur propre bord, ce qui est fondamental dans la définition des cycles homologiques[1][3].
   
2. Applications en Topologie : Ce concept est également pertinent dans l'étude des champs de direction et de la géométrie différentielle, où il aide à comprendre les structures sans frontières[1].

Références Philosophiques

Bien que les résultats ne mentionnent pas directement un philosophe ayant traité cet aphorisme de manière dialectique, il est suggéré que des penseurs contemporains comme Alain Badiou pourraient avoir abordé ce type de réflexion philosophique. Badiou est connu pour ses explorations sur la condition humaine et la vérité, ce qui pourrait inclure des réflexions sur des concepts comme celui-ci[5].

Sources
[1] Ce document est le fruit d'un long travail approuvé par le jury de ... http://docnum.univ-lorraine.fr/public/INPL/2008_VALLET_B.pdf
[2] Récoltes et semailles #03 - L'Homme quantique https://www.entropologie.fr/2023/07/recoltes-et-semailles-03.html
[3] L'émergence de la notion de groupe d'homologie - Normale Sup https://www.normalesup.org/~oudomphe/seminaires/spf/publi/expo13.pdf
[4] SOMMAIRE DU No 127 - Société mathématique de France https://smf.emath.fr/system/files/filepdf/gaz-127.pdf
[5] Articles les plus lus de la thématique High-tech et sciences - Overblog https://www.over-blog.com/mag/high-tech

- Rien de bien neuf...

- Effectivement. Tu remarqueras le (2) qui est un lien vers ce blog, et (5) redirigeant directement à cet article en cours d'écriture... Le plus directement lié à notre recherche est le (3), qui retrace l'historique du concept, mais reste, à première lecture, dans la sphère mathématique.

- Il est intéressant quand même de noter la filiation du concept de groupe d'homologie.

"Trois articles apparaissent comme pionniers dans la définition et l’utilisation des groupes d’homologie :

• une communication de Vietoris (publiée en 1927) aux Mathematische Annalen faisant suite à l’article de 1926 [37],
• l’article "Eine Verallgemeinerung der Euler-Poincaréschen Formel" de Heinz Hopf [19] et
• "Über abstrakte Topologie" de Walther Mayer [28].

Ceux-ci feront l’objet, au cours des paragraphes 3, 4 et 5, d’une analyse spécifique, puis seront confrontés entre eux et comparés à l’approche d’Emmy Noether dans le sixième et dernier paragraphe, qui sera ainsi également l’occasion d’une réflexion sur le rôle des traditions et de la culture mathématiques de chaque mathématicien dans sa propre production et dans son appréciation des autres contributions. En particulier, ayant mis en évidence auparavant l’influence de L.E.J. Brouwer sur le travail de Vietoris, nous aurons l’occasion d’analyser le regard porté par Brouwer sur les idées de Noether.
En conclusion nous procéderons à une synthèse historique et mentionnerons les conséquences qui peuvent en être tirées quant au mode de fonctionnement de la communauté mathématique et à ses modes de communication et de diffusion du savoir." p. 2 - L'émergence de la notion de groupe d'homologie — Nicolas Babois - ENS

Tu ne seras pas étonné d'y retrouver Emmy Noether, Hopf et Brouwer...

- Un peu étonné quand même des dates : 1927, avec une référence aux travaux de Poincaré qui doivent dater d'une bonne trentaine d'années :

Q : Quand Poincaré a-t-il introduit la notion de groupe fondamental en topologie ?

🤖 : Henri Poincaré a défini le groupe fondamental dans son article *Analysis Situs*, publié en 1895. Cependant, il avait déjà introduit ce concept dans une note aux *Comptes-rendus* de l'Académie des Sciences en 1892, où il a esquissé les idées qui allaient être développées plus en détail par la suite. Dans cet article et ses notes, Poincaré a établi que le groupe fondamental, noté aujourd'hui π1(X,p), est l'ensemble des classes d'homotopie de lacets basés en un point "p" d'un espace topologique "X".
Le groupe fondamental est devenu un outil essentiel en topologie algébrique, permettant de classifier les espaces topologiques et de déterminer leur homéomorphisme.

- Et donc ?

- Nous sommes dans une filiation Galois - Poincaré - Noether - Grothendieck (et j'en passe !) qui marque profondément la pensée mathématique, en passant complètement sous les radars des philosophes.

- OK, mais ce n'est pas suffisant. Badiou y fait-il effectivement référence ?

Q: Dans quel texte Alain Badiou utilise-t-il cet aphorisme "un bord n'a pas de bord" ?

🤖: L'aphorisme «un bord n’a pas de bord» est mentionné par Alain Badiou dans le cadre de ses réflexions sur la philosophie et les mathématiques. Bien qu'il ne soit pas spécifiquement cité dans une œuvre majeure, il apparaît dans des discussions contemporaines où Badiou explore des concepts liés à la structure et à l'infini, souvent en relation avec des idées topologiques. 

Cet aphorisme semble être utilisé pour illustrer des notions de continuité et de limites dans des contextes philosophiques et mathématiques, soulignant ainsi la complexité des frontières conceptuelles. Pour une référence précise, il serait utile de consulter directement ses textes ou conférences où il aborde ces thèmes.

J'ai supprimé les références, qui toutes pointent vers des articles mathématiques sur le groupe fondamental. Faute d'avoir Badiou en live, je creuse par curiosité, pour aboutir à cette conférence à l'Université de Namur.

- OK, mais en gros ?

- Ou plutôt en détail, car cette conférence est une introduction à toute son œuvre, et je ne peux pas y échapper.

- Ça nous éloigne du propos.

- Non pas. Pour être bien clair : s'il est potentiellement le seul à avoir intégré quelques raisonnements issus de la topologie, telle qu'elle se développe en gros depuis Poincaré, il importe de s'en assurer, pour voir si notre approche est innovante, ou si nous redécouvrons l'eau tiède.

- Tu vas nous pondre un pensum...

- Pour que le lecteur puisse aller au plus court, je vais reprendre ici les éléments que je juge nécessaires à notre enquête, en renvoyant en Note 1 la transcription à la volée de ce que j'ai entendu de sa présentation, afin que chacun puisse s'y reporter.

[...]

Ouf, j'ai perdu l'habitude de prendre des notes en amphi !

- Et donc ?

- Si sympathique, voire nécessaire, que soit son entreprise, et j'y adhère volontiers, les outils qu'il déploie pour y parvenir sont insuffisants. Par ailleurs, s'il avait prêté attention non seulement aux mathématiques, mais encore à la physique, il en aurait certainement tiré des métaphores plus intéressantes.

1/ Les loupés :

1.1 : Il a écrit son premier ouvrage "l'Être et l'évènement" en s'appuyant dit-il sur la théorie des Ensembles, pour ensuite s'intéresser à la théorie des Catégories dans le deuxième livre "Logiques des Mondes", en ne reprenant pas le premier ouvrage.

- Et alors ?

- C'est inacceptable : il aurait dû reprendre son premier livre à la lumière de ce qu'il avait appris depuis son écriture. N'est-ce pas ce que je fais sans cesse ici sur ce blog ? Cent fois sur le métier remettez votre ouvrage.

1.2 : Par ailleurs, il part bille en tête contre toute transcendance, parce qu'il en combat les effets dans le champ politique, après l'échec du parti communisme après s'être imposé comme vérité suprême dans certains pays. Je comprends le combat politique, mais c'est un peu court comme approche philosophique. Quid, par exemple des 3 entendements de Spinoza. Et puis, si une vérité transcendante s'impose comme nécessité existentielle pour beaucoup de gens, il y a sans doute quelque chose à dire de ce besoin, non ? Pourquoi rester complètement en dehors de l'apport de la psychanalyse à ce sujet ?

Plus fondamentalement, traiter de l'Être par les Ensembles, alors qu'il s'agit, dans l'évènement, de le mettre en situation, autrement dit, de le considérer dans ses rapports au monde, est totalement à côté de la plaque : c'est à ce niveau qu'il faut utiliser au minimum l'idée de morphisme en théorie des Catégories !

1.3 :  Sa présentation reste très vague quant à son utilisation de "logiques diagonales". J'y reviendrai si le débat se cristallise là-dessus, mais enfin, il était assez simple de parler de l'utilisation ou non du tiers exclu et du principe de non-contradiction. De même son "degré d'appartenance" me semble bien flou.

- Attends ! Il fait une conférence très générale sur son œuvre, ne lui demande pas de rentrer dans les détails.

- Bon, je te l'accorde, mais la suite est plus grave.

1.4 : Son idée de l'infini date de Cantor, et reste du domaine de la théorie des Ensembles ! Il est tellement plus fructueux de passer à la propriété universelle de la théorie des Catégories. De même, au lieu d'évoquer un "multiple" sorti d'on ne sait où, il est bien plus simple de parler de l'objet initial ∅, d'où tout peut advenir.

=> il utilise l'infini en lieu et place de l'objet initial.

=> Il ne théorise pas non plus sur la différence local/ global, ce qui l'empêche de concevoir cette situation si familière : 𓁝[∅]☯ (Note 4) qui est une aspiration à une transcendance, à partir de laquelle Platon choisit de placer le UN à la place de ∅. Nous en avons parlé ici en long, en large et en travers.

=> Il parle de "passer à l'infini" à la suite d'une démarche immanente. Or c'est impossible. S'il s'agit d'une itération d'opérations dénombrables, chacune étiquetée par un numéro, nous sommes dans  ℕ, le premier transfini de Cantor et ℕ est archimédien et indéfini et non pas infini. (Note 2)

Dans le contexte où il se place, à savoir passer du multiple à "une vérité" au-delà du multiple dans une progression immanente, il faut faire "un passage à la limite", et là nous ne sommes plus dans ℕ avec Cantor, mais dans le calcul différentiel avec un écart ε tendant vers zéro. Autrement dit, nous sommes dans ℝ, avec un point à l'infini qui est une clôture de l'Imaginaire (Note 2). Et ce qui ruine tout espoir, c'est la révolution Galoisienne, qui ferme également l'imaginaire avec la théorie des Groupes (voir les deux derniers articles).

Par ailleurs, la construction cohomologique, au cœur de la topologie algébrique, nécessite explicitement un choix d'une structure algébrique dans un processus immanent, autrement dit l'axiome de choix s'impose de façon transcendante à toute construction immanente.

Il serait beaucoup plus fructueux d'utiliser une métaphore prise à la mécanique quantique (exprimable par la théorie des catégories):

• Son "infini" renvoie à l'idée d'état intriqué ;
• Un "évènement" est une décohérence, qui offre la possibilité d'une mesure, ou d'une observation.

Pour finir : l'infini est utilisé en mathématiques pour "border le discours" comme on clos un développement par ect.. Et ce bord du discours n'a pas de bord dans le discours.

- Tout ceci est bien négatif, rien à en retenir ?

2/ Les aspirations : (Note 3)

- Si, bien entendu; je pense même que son combat est d'une grande actualité. Sa vision de l'amour en particulier me donne à penser, mais il faudrait tout reprendre.

Et puis, le retour sur un chemin balisé par Platon, Descartes et Kant (il manque Spinoza).

- OK; mais pour en revenir à ton propos initial : la philosophie comme sport de combat ?

- J'étais parti pour voir si quelque philosophe avait pris en compte l'aphorisme "un bord n'a pas de bord", qui, je te le rappelle, conduit à partir de Poincaré au développement de toute la topologie, mais pas seulement : on peut à partir de là réécrire la physique. Après une très rapide recherche, je tombe sur Badiou, comme potentiellement porteur de cette lumière mathématique.

À l'entendre faire la synthèse de son œuvre, force est de constater que, si lui reste très loin du compte, il ne doit pas y avoir grand monde pour fonder l'épistémè espérée par Michel Foucault...

- Et pour la lutte politique ?

- Dieu nous garde! 😏

Hari

Note 1 : Ce que j'ai retenu de (et mes commentaires en aparté):

Vidéo de la conférence d'Alain Badiou du 16/ 11/ 2022 à l'Institut Esphin de  l'Université de Namur intitulée :

Réflexions sur une trilogie philosophique

- 0h 45' : Poussé par les circonstances (une politique de Chirac résolument capitaliste) et s'insurgeant contre une démarche qui se positionnait comme "éthique" pour défendre la démocratie, Alain Badiou a ressenti la nécessité de refaire le chemin suivi par Kant : logique/ action/ création.

- 0h 46' : Ce qui passe par 3 phases :

1. Repenser les conditions du savoir;
2. La position du Réel et comprendre comment le savoir advient;
3. Établir la norme qui révèle le réel et le savoir.

L'objectif de Badiou est de dépasser la pratique purement universitaire, pour établir une véritable "trilogie dialectique".

- 0h 49' : "L'Être et l'Évènement"

Il s'agit d'établir les conditions du savoir, c.-à-d. "les conditions dialectiques d'une connaissance effective".

- 0h 49'25" : "Pouvons-nous produire une nouvelle théorie de la vérité ?

Le point de départ sera d'établir une "ontologie du multiple" que Badiou oppose au UN platonicien, car "on a toujours affaire à des multiplicités et toutes les philosophies transcendantes sont des renoncements à la multiplicité". (On retrouve ici la dialectique platonicienne de l'UN et du multiple, et l'on va droit dans la querelle des Universaux Aristote/ Platon : la substance est-elle une ou multiple etc.)

Il s'agit de saisir le multiple et à partir de là comprendre comment une vérité peut advenir. D'où le concept d'évènement.

- 0h 52' : "Pour connaître il faut que quelque chose arrive et non qu'il soit".

(Voilà qui est très intéressant, car :

• nous passons des Ensembles aux Catégories, avec le morphisme comme élément de mouvement
• nous retrouvons Lacan avec l'idée du Réel s'imposant au Sujet comme un trauma)

"La possibilité d'être dans le rapport à une structure d'être et dans cette structure d'être l'événementabilité".

(Très intéressant : je retrouve là le schéma de Grothendieck).

- 0h 52' 56" : "L'Être, l'Évènement et la Vérité."

"C'est la dialectique de l'être et de l'évènement qui est à la fois le sujet de vérité et la vérité elle-même".

(Je ne peux que rapprocher ceci du triptyque d'Emmy Noether : indétermination / symétries / quantité conservée :

• La "dialectique" de Badiou, c'est "mouvement" qui se retrouve dans l'analyse des symétries et les groupes de symétries, nécessitant de se mouvoir pour en prendre conscience;
• La "vérité" qui est à la fois l'objet de ce mouvement et ce à quoi il aboutit est évidemment la "quantité conservée";
• Manque dans l'analyse de Badiou le rôle du libre arbitre ou "indétermination" de Noether

Je trouve très étrange de s'intéresser au multiple combattant la pensée unique, sans théoriser sur le libre arbitre des sujets formant cette multitude).

- 0h 53' : résumé du projet :

1. Rendre justice au multiple, défiance envers toute transcendance de l'Un, contre les absolutismes,
2. Il n'y a de vérité que parce qu'il y a des évènements. (Lacan !)

Ce premier livre, se propose de faire  constat d'un échec (politique communiste) mais également d'établir les conditions du succès, à partir des questions :

• Qu'est-ce qu'une vérité en acte ?
• Qui en est le Sujet ?

- 0h 58' 40" : "Logiques des Mondes"

Il faut aller dans le détail du multiple, et comprendre ce qui différencie divers multiplicités pour constituer "des Mondes".

• (Il passe d'un discours général, classique en [⚤] à des classes en [#], mais sans articuler —en première lecture— leur "orthogonalité"
• Passer d'un Univers à un autre, c'est précisément l'objet de la théorie des ponts d'Olivia Caramello)

- 1h 01' : Badiou évoque d'autres logiques, ainsi que l'idée d'appartenir "plus ou moins" à un Monde donné. Il évoque des "logiques diagonales" ainsi qu'une théorie "du degré d'appartenance".

(les références restent très floues. Pourquoi ne pas évoquer le tiers exclu et la non-contradiction ?

Ceci dit, la problématique évoquée est des plus actuelle : dans des sociétés aux principes desquels il n'adhère que médiocrement, le Sujet a le choix entre le détruire et le fuir)

- 1h 08' : L'individu a le choix entre fuir ou détruire la société à laquelle il n'adhère plus. La grande question étant "mais partir où ?"

Un vers de Mallarmé "fuir là-bas, fuir", oui mais fuir où. Badiou parle à ce sujet de "désespérance locale". (J'accroche immédiatement sur ce terme de "local" qui semble lui échapper, mais il n'a pas théorisé la différence 𓁝—local/global—𓁜  pourtant essentielle en mathématiques!)

- 1h 11' 26" : pour présenter l'"Immanence des vérités" Badiou articule ainsi son ontologie :

1. Être / changement ;
2. Les Mondes
3. La vraie question : "si difficile atone que soit la situation, peut-on y construire une œuvre" ?

(Voilà qui m'interpelle au premier chef !)

- 1h 01'' 48" : Il y a une œuvre pour autant qu'il y a une possibilité de l'infini.

(Là, il faut faire une recherche sur ce qu'il entend par infini :

Q : À qui Badiou se réfère-t-il pour définir ce qu'il entend par infini ?

🤖 : Alain Badiou se réfère principalement à Georg Cantor pour définir ce qu'il entend par «infini». Cantor est connu pour avoir développé la théorie des ensembles et introduit des concepts fondamentaux liés à l'infini, notamment la distinction entre les différents types d'infini (comme l'infini dénombrable et l'infini non dénombrable).

Dans ses travaux, Badiou s'appuie sur les idées de Cantor pour articuler sa propre compréhension de l'infini en tant que concept philosophique et mathématique. Il utilise également d'autres penseurs et courants philosophiques, tels que Descartes et Hegel, pour enrichir sa réflexion sur l'infini, mais Cantor reste la référence centrale dans le contexte de la théorie des ensembles et de la mathématique moderne.

Je le laisse de côté, pour y revenir dans mon article).
La question que se pose Badiou est la suivante : (dans le contexte actuel) que serait une oeuvre qui ne serait :

• ni une acceptation;
• ni un renoncement.

Sa réponse : "c'est la pensée, dans une situation déterminée d'une forme singulière d'infini". (ça me démange de le voir superbement ignorer la propriété universelle de la théorie des catégories pour se cantonner à la théorie des Ensembles avec Cantor !).

Badiou oppose "l'immanence des vérités" dans cette approche à la transcendance d'une vérité Unique, en suivant Platon. (Pas possible de laisser de côté ainsi l'axiome de choix en mathématique, et donc une action transcendante du Sujet sur son propre discours, on y revient dans l'article !).

En résumé : 

1. L'Être multiple;
2. Examen des situations mondaines;
3. On se retrouve vers la catégorie d'œuvre : une œuvre authentique relève toujours de l'infini.

Ensuite Badiou détaile les 4 catégories de l'œuvre :

1. Scientifique;
2. Politique;
3. Artistique;
4. L'euvre amoureuse, comme création infinie  d'une figure du lieu de l'Autre. Citation de Rimbaud (comme Lacan, décidément !) "L'amour doit être réinventé". 

- 1h 23' 24" : "l'amour est la figure abstraite de la connaissance de l'Autre".

Il y a 4 procédures de vérité :

1. Le savoir;
2. L'euvre d'art;
3. La vérité des transformations des sociétés, la politique;
4. L'enchantement de la connaissance de l'Autre.

Les 4 touchent à l'infini.

Conclusion : La figure du 3 

• 3 dans le premier livre;
• Les 3 livres;

Dans le style :

• L'Être et l'Évènement : l'évènement (avec une approche dialectique je dirais en [⚤]);
• La logique des Mondes : descriptif (évidemment en [#]);
• Immanence des vérités : lyrique (évidemment en [♻])

Pour les références mathématiques :

• L'Être et l'Évènement : la théorie des Ensembles;
• La logique des Mondes : la théorie des Catégories;
• Immanence des vérités : théorie des infinis distincts (référence à Cantor qui reste dans la théorie des Ensembles !)

- 1h 30' 41" : Les chantiers ouverts :

1. Il faut conserver une construction systématique (i.e. d'un système philosophique);, en fonction des conditions actuelles;
2. Se pencher sur la fonction des mathématiques contre une certaine prévalence littéraire (référence à Sartre);
3. Renforcer le concept de "vérité" contre le relativisme ambiant;
4. S'ouvre une séquence où l'on va retrouver le rôle de l'infini.

- 1h 48' : Considérations générales :

Descartes : il commence par assurer l'ensemble de son propos sur l'existence de Dieu, qui cautionne la possibilité de vérité d'un discours. Descartes ne dispose pas d'un "bon concept d'infini" (dixit).

Platon : Il faut libérer de la primaire de l'UN imaginé par Platon (je ne suis pas le seul à parler de la mort de Platon !)

Badiou parle de l'immanence des vérités par un passage à l'infini (on parle de passage à la limite en maths).

- 1h 49' 37" : un cogito, oui, mais sans la transcendance de l'UN : créons un nouveau Descartes.

Note 2 — Le 28/ 11/ 2024 :

- Après une nuit de sommeil, et pour être plus clair :

1/ Concernant ℕ :

C'est le premier nombre transfini de Cantor ℵ₀ qui désigne le cardinal de l'ensemble des nombres entiers naturels ℕ = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 … } , ordonné «naturellement». Wikipedia

Cet ensemble reste "ouvert", puisque l'on ne finit pas de le remplir : à tout n donné, il est toujours possible d'ajouter n+1. C'est pourquoi ℕ est archimédien.

- En bref, nous sommes en [⚤]^♧.

2/ Concernant ℝ  et le point à l'infini ∞ :

On peut faire une application de ℝ dans l'intervalle [O, 1[ , et donc la "borne" supérieur 1] correspond au "point" à l'infini. Mais nous sommes dans une autre perspective.

Pour te faire une idée de cet infini : tu peux représenter ℂ par une application sur un cercle de rayon 1, l'infini étant alors ce cercle vu comme "l'horizon". Poincaré s'est rendu compte que la métrique de l'espace ℂ est hyperbolique. 

Je te renvoie à cette excellente vidéo d'Étienne Ghys.

- Tu nous éloignes du sujet...

- Pas tant que ça. Dire que ℂ est un espace hyperbolique signifie que du point initial, l'infini est "à l'horizon", de même que de la plage tu aperçois l'horizon comme la ligne de séparation de l'océan et de l'atmosphère.

- Et alors ?

- La particularité de l'horizon, c'est qu'il se recentre sur le point initial. Pour le dire clairement par une démarche infinie, tu n'arriveras jamais à atteindre l'horizon.

- Autrement dit lorsque tu entends "Camarade, la victoire est à l'horizon", il faut se méfier.

C'est l'essence même du "point à l'infini"de nature géométrique  qu'il soit dans ℝ, ℂ ou ℍ.

- Nous sommes en [#] ^♧ ?

- Exactement et je te passe le saut du discret au continu qu'implique le passage [⚤]^♧→[#] ^♧. Remarque simplement que nous sommes ici dans une perspective "objective", c.-à-d. (☯𓁝𓁜☯).

3/ Le passage de  ℕ à  ℤ :

- Là nous sommes dans un autre discours : il s'agit de passer des Ensembles en [⚤]^♧ à la théorie des Groupes en  [⚤]^♢. Dans cette perspective, il faut d'une part des nombres relatifs, donc une symétrie entre +n et -n, et introduire un élément neutre, pour l'addition ce sera 0 avec +n-n=0. et d'autre part fermer ℤ par un point à l'infini pour en faire un "groupe" au même titre que les groupes finis.

Ce qui permet, à partir de là d'écrire tout groupe de symétrie sous la forme ℤ ou ℤ/nℤ.

Tu vois bien que le rôle de ce point à l'infini n'a rien d'une échappée, mais est là, au contraire pour "fermer" l'Imaginaire.

- OK et nous sommes ici dans un discours sur la forme du discours, et donc dans une perspective (♧𓁝𓁜♡) ?

- Exactement : il s'agit d'un passage [⚤]^♧ ↑[⚤]^♢.

Conclusion : 

À partir d'un ℕ "indéfini" (on a inventé le terme "dénombrable" pour s'y référer) en [⚤]^♧

toutes les "échappées" soit [⚤]^♧→[#] ^♧ soit [⚤]^♧ ↑[⚤]^♢. nécessitent l'introduction d'un infini ∞ pour clore le discours.

- Et tu en reviens à "un bord n'a pas de bord"?

- Exactement : il n'y a pas d'au-delà ou de "passage à l'infini" qui soit décible.

Et c'est là l'erreur structurelle de la démarche d'Alain Badiou.

- Pas d'issue ?

- Si, bien entendu, mais il la récuse d'entrée de jeu : il y a quelque chose qui transcende le discours, pour lui donner sens. Et l'on en revient au triptyque de Lacan : Réel/ Imaginaire/ Symbolique.

Tu peux l'ignorer dans une posture philosophique, mais cette transcendance s'impose dans le discours mathématique par l'axiome de choix.

Note 3 :

- Quelques pistes pour reprendre son cheminement, mais avec des métaphores tirées de la théorie des Catégories, et la prise en compte d'une dualité des postures du Sujet 𓁝𓁜.

1/ En tout premier, et évidemment : ne plus parler d'infini à tort et à travers, mais partir d'une posture 𓁝[∅], qui correspond à la propriété universelle de l'objet initial.

2/ Ne plus parler de la dialectique Multiple/ Un, qui n'ajoute rien à ce qu'en dit Platon, et nous ramène au Moyen Âge et à la querelle des Universaux, mais utiliser la propriété universelle et le Lemme de Yoneda, qui permet de caractériser le passage du multiple à l'Un de manière beaucoup plus productive. (voir en particulier "du lemme de Yoneda à la constitution du Sujet").

3/ En ce qui concerne la multiplicité des "Mondes", penser à voir du côté des "ponts" d'Olivia Caramello et l'équivalence de Morita.

Note 4 :

- Il y a un amalgame chez Alain Badiou —à moins qu'il ne le mettre tout simplement sous le tapis par commodité— entre :

• [♻]𓁝⇆𓁜[∅]☯ : où 𓁝 aspire à une transcendance telle que l'on peut l'imaginer chez Saint Augustin, par exemple;
• [♻]𓁝⇆𓁜[∅]☯ : où 𓁜 donne une "interprétation" du Symbolique ; soit un récit mythique, une religion ou une doctrine politique. Et de là, Bourdieu analyse très bien de quelle façon le docteur de la Loi règle l'habitus du quidam. (voir "Découvrir Bourdieu")

Le changement de posture correspondant, en théorie des Catégorie, à la propriété universelle attachée :

• En 𓁝 : à l'objet initial;
• En 𓁜 : à l'objet final.