Matrice

Le vent se lève, annonçant un orage au lieu de la canicule attendue, mais je ne me résous pas à commuter en mode ménage. Tout doit être prêt pour l'arrivée de V. la semaine prochaine, et je procastine d'autant plus que le temps est court, avec la perspective d'un dernier saut à Paris pour la finale de l'atelier CLE d'Anatole Khélif mercredi prochain...

Et puis j'ai dévoilé mes batteries dans mon dernier billet en parlant de bosons et de quarks, or je ne suis pas prêt!

- Prêt à quoi ?

- Tu connais mon blocage sur les matrices, depuis l'hypotaupe. Et bien, je ne peux pas avancer avant de me colleter au problème, puisque c'est l'outil de la mécanique quantique, depuis la nuit d'Heisenberg à Heligoland.

Je replonge donc dans "Conceptual mathematics" de Lawvere en attendant que le ciel s'éclaircisse, page 276 précisément à "Distributive categories and linear categories" où il introduit le concept de matrice et là, je m'écris pour la première fois depuis une éternité "Oh mon Dieu !".

- Tu retombes en croyance ?

- Non, c'est le choc.

- Pourtant tu as déjà lu tout ceci il y a bien un an ou deux?

- Oui, mais je n'en avais pas compris l'évidence !

- Mais de quelle évidence parles-tu ?

- La matrice, concevable dès I01, transforme une vision globale du Sujet (I.e.: en Im dirigée vers l'objet final) en une vision locale (i.e.: en I'm, dirigée vers l'objet initial) et vis versa (note 1); Alice traverse le miroir à sa guise !

Je ne vais pas recopier le texte de Lawvere, qui est d'une totale limpidité, il suffit de s'y reporter.

- Guide-moi un peu quand même, que dois-je voir qui m'aurait échappé?

- Et bien, pour les catégories où l'on peut définir produit et coproduit, et donc objet initial et final, qui intéressent l'objet de la physique comme le Sujet lui-même:

Un morphisme entre le coproduit de deux objets vers le produit de deux autres objets est équivalent à quatre morphismes entre les deux opérandes du coproduit vers les deux facteurs du produit.

Je suis désolé de plaquer ainsi le texte même de Lawvere, mais il me semble difficile de faire plus simple !

Fondamentalement, lorsque je définis f: C₁+C₂+...+C_m→A₁xA₂x...xA_n, en gardant en tête ce que nous avons dit du produit et du coproduit, tu vois bien que cette flèche marque la convergence possible dès I01, entre un point de vue "topologique", contextuel (i.e.: C₁+C₂+...+C_m) et un point de vue "logique", objectivant (i.e.: A₁xA₂x...xA_n) sur l'objet que l'on décrit.

Cette "prise de conscience" de l'objet au sens que nous avons défini, s'exprime donc de la plus élémentaire manière qui soit sous forme de matrice.

Comprends-tu que je me sois exclamé "Oh mon Dieu !" ce matin ?
Comprends-tu à quel point ce terme de "matrice" est judicieux ?
Comprends-tu ce choix de l'Incal pour illustrer ma prise de conscience ?

Les nuages s'éloignent, et je pense que je vais ruminer tout ceci en faisant un peu de jardinage, finalement...

Hari

note 1

Ce dont je parle ici n'a de sens que si vous avez lu "Produit et coproduit", et la mise en perspective que j'indique dans "pause-philo".