Foncteurs et transformations naturelles

- L'idée que tout discours "complet" sur un objet doit se présenter comme un "topos_♲", nous a conduits à celle d'un bouclage de notre ruban Imaginaire [∃][⚤][#][♲][∅] sous forme d'un ruban de Moebius.

- Ton histoire n'est pas très claire: tu nous parles depuis toujours de cet Imaginaire comme d'un feuilleté, pour passer maintenant à un "ruban"...

- Je te propose une autre métaphore : pense à nos niveaux synchroniques comme aux cartes d'un jeu de bridge. Les cartes du "premier tour" seraient de la couleur ♧, celles du second de la couleur ♢, ensuite ♡ et ♤... Le classement des cartes se fait alors selon deux variables : leur force dans une couleur, et leur couleur (dans l'ordre ♧<♢<♡<♤). Maintenant, pour les ranger dans ta main, tu vas certainement les classer par couleurs. En nous limitant aux trois premiers tours, cela donnerait quelque chose comme : 

• [∃]^♡ [⚤]^♡ [#]^♡ [♲]^♡ [∅]^♡
• [∃]^♢ [⚤]^♢ [#]^♢ [♲]^♢ [∅]^♢
• [∃]^♧ [⚤]^♧ [#]^♧ [♲]^♧ [∅]^♧

Je te propose de garder cette notation en exposant, lorsqu'il faudra expliciter le "degré Imaginaire" d'un concept, d'un niveau synchronique, ou la posture du Sujet. 

Nous en avons déduit qu'au "second tour" Imaginaire, nous quittions la catégorie élémentaire des Ensembles, avec (*)_∃^♧ comme objet final pour envisager à sa place en [∃]^♢ le monoïde (•⟲)_∃^♢ de la catégorie des graphes.

Ceci conduit à changer l'objet discriminant en [⚤]^♢ et ainsi de suite. De cette façon, chaque saut diachronique supplémentaire ([α]↑[β])^♢ doit enrichir les mécanismes acquis au tour précédent ([α]↑[β])^♧, en les utilisant sur des objets plus complexes.

Nous devons donc enrichir nos modes de représentations de l'Imaginaire du Sujet en conséquence. La simple narration se fait en mode "linéaire", quand l'écriture mathématique nécessite souvent de s'exprimer en "tableaux" comme pour écrire une matrice. De Saussure avait depuis longtemps fait la distinction entre "synchronie" et "diachronie", comme deux développements orthogonaux du discours, et tout ceci est correctement repris dans notre jeu Imaginaire de couleur ♧. 

Mais ce bouclage Imaginaire, en nous forçant à distinguer chaque "tour de piste" nous conduit à une représentation en 3 dimensions car, à la superposition diachronique de nos niveaux synchroniques élémentaires, se rajoute une distinction entre niveaux semblables, que nous représentons par une couleur différente.

- Ton écriture devient compliquée ! 

- Effectivement, mais je pense que c'est nécessaire pour bien situer la place du Sujet dans son discours... Nous verrons à l'usage si cette complexité s'impose ou pas. En attendant, je te propose d'avancer sur le fond.

1/ Foncteur :

Tout d'abord, il nous faut passer du morphisme au foncteur.

- Tu en avais déjà parlé à plusieurs reprises sur ton blog.

- Il faut tout reprendre, car je m'aperçois rétrospectivement, que j'ai grignoté dans la théorie des catégories, ce qui tenait à celle des ensembles, en laissant de côté tout le reste, qui fait l'essentiel !

Or, si l'on représente bien le passage de l'objet (*)_∃ en [∃]^♧ au singleton {*}_⚤ en [⚤]^♧ par une simple flèche ↑: (*)_∃↑{*}_⚤, représentable ex post en [⚤]^♧𓁜 par une image synchronique ((*)→{*})_⇅𓁜^♧, qui est à proprement parler ce que les mathématiciens appellent "la flèche d'un morphisme", en l'occurrence celle du morphisme identité de la catégorie des Ensembles, au tour suivant, pour passer de l'objet •⟲_∃ à l'objet discriminant Ω_⚤, il faut que l'application définisse la façon de traiter à la fois les objets du domaine et codomaine du morphisme et la flèche du morphisme elle-même, c'est ce que l'on appelle un foncteur.

Sur ce dessin tiré de Conceptual Mathematics, le foncteur "vrai" applique :

• L'élément • domaine/ codomaine de •⟲_∃ sur l'un des deux • de Ω_⚤;
• La flèche du morphisme •⟲_∃ sur l'une des flèches de Ω_⚤.

De l'identité au premier tour, on passe à la notion de "vrai" au second.

Je peux tenter de comprendre cette évolution Imaginaire à partir de ce schéma:

- Mais dans quelle posture se trouve l'Auteur pour tenir ce discours? Car je vois ici deux Auteurs 𓂀^♧ et 𓂀^♢!

- Tu as raison, il faut y réfléchir.

Je suis ici en train de traiter d'une différence de nature entre "morphisme" et "foncteur", et si tu te souviens de ma présentation du 12 juin au CLE, tu dois te rappeler qu'à l'époque, j'avais été obligé d'utiliser les arêtes d'un cube de papier pour représenter "morphismes", "foncteurs" et "transformations naturelles" comme orthogonaux entre eux, ce qui me mettait mal à l'aise quand, par ailleurs, la différence synchronie/ diachronie ne m'offrait qu'un espace de discours en 2D... Nous retrouvons ici cette même problématique.

Toutefois, deux choses sont sûres :

• Pour parler de ce schéma, l'Auteur doit au minimum avoir fait l'ensemble du parcours, il s'agit donc de 𓂀^♢, ex post par rapport à 𓁜^♧ ;
• Pour comprendre un "morphisme" comme "orthogonal" à un "foncteur", il doit être au minimum en [#]^♢𓂀.

De ce point de vue global, et ayant acquis le concept de foncteur, l'Auteur explique le morphisme a posteriori, comme une dégénérescence d'un foncteur, selon le schéma de niveau  [#]^♢𓂀 :

• Le passage •⟲_∃↓(*)_∃ est un morphisme appliquant • de •⟲_∃ sur (*), i.e.: •↓(*);
• Ω_⚤↓{{*};{∅}}_⚤, est un foncteur d'oubli;
• Le morphisme Identité (*)_∃↑{{*};{∅}}_⚤ est alors le vestige ou la trace du foncteur vrai •⟲_∃↑Ω_⚤.

Ce que je peux tenter de représenter ainsi :

Si ce carré est commutatif, nous retrouvons, fort heureusement, que l'idée de "vrai" en [⚤]^♢ renvoie à celle d' "identité" en [⚤]^♧.

- D'accord, mais pourquoi commencer ton exploration de ce nouveau domaine Imaginaire, façon Moëbius, par le concept de foncteur ?

- Parce que, comme nous venons de le voir, il vient immédiatement, dès le plus élémentaire des sauts Imaginaire en ♢ qui te fait passer de  •⟲_∃ à Ω_⚤, me permettant de concevoir "correctement" ce qui ne pouvait que m'échapper précédemment...

- À savoir ?

- La notion de Propriété universelle.

2/ Propriété universelle :

Une "propriété universelle", se définit comme "la propriété des objets qui sont la solution d'un problème universel posé par un foncteur. De très nombreux objets classiques des mathématiques, comme la notion de produit cartésien, de groupe quotient, ou de compactifié, peuvent être définis comme des solutions de problèmes universels".

Soit F un foncteur d'une catégorie C dans la catégorie des ensembles ; un couple (A, θ) où A est un objet de C et θ∈F(A) est « solution du problème universel posé par F» si la propriété suivante, dite universelle, est vérifiée :

• pour tout objet X de C,
• pour tout élément f de F( X ),
• il existe un unique morphisme g : A → X tel que : F(g)(θ) = f.

Le foncteur F est le foncteur associé à la propriété universelle.

Tu remarqueras immédiatement l'idée de rabattre une caractéristique d'une catégorie C sur Ens (i.e.: catégorie des Ensembles), autrement dit, il s'agit d'une régression Imaginaire pour revenir au niveau [⚤]^♧ de celui-ci. Nous pouvons tenter de préciser la position du Sujet dans cette énonciation de la façon suivante:

- Avoue que l'énoncé n'est pas très simple à visualiser !

- Pour t'y habituer, je t'invite à y voir une façon générique de représenter notre carré commutatif élémentaire qui faisait correspondre les codomaines du foncteur "vrai" et du morphisme "identité" en {*}.

L'universalité tient ici à ce qu'une fois trouvé le couple (A,θ), la propriété soit vraie pour chacun des éléments X de C. En ce sens, C est l'univers des X.

Résoudre un "problème posé par un foncteur F", consiste à rendre les carrés commutatifs, pour tout X de C.

Du point de vue Imaginaire qui est le nôtre, il s'agit pour le Sujet de se représenter au niveau le plus élémentaire [⚤]^♧, des constructions d'ordre supérieur.

- Pourquoi cette recherche ?

- Tout simplement parce que la prise de conscience Imaginaire du Réel ☯ se fait en [∃]^♧𓁜, et est identifiée en [⚤]^♧𓁜. C'est en particulier à ce niveau que le physicien pourra tester une théorie, d'où l'importance pour lui de la notion d'observable, nous y reviendrons.

Poursuivons :

Lorsqu'il existe une solution (A,θ) au problème universel posé par F, la propriété universelle établit:

• pour tout objet X, que
• ηX : g∈Hom(A,X)→f=F(g)(θ)∈F(X) est une bijection entre l'ensemble Hom(A,X) des morphismes de A vers X, et F(X).
• η est un isomorphisme naturel entre le foncteur représenté par A et le foncteur F. La relation entre l'élément θ de F(A) et cet isomorphisme naturel n'est autre que celle qui est donnée par le lemme de Yoneda.

Et nous voici ramenés à ce lemme de Yoneda par lequel j'introduisais mon exposé du 12/06/2019 à l'atelier CLE.

- Pratiquement deux années pleines pour revenir au point de départ... On peut dire que tu n'avances pas très vite...

- Nous sommes en train de mettre à jour un nouveau paradigme, sans pratiquement personne avec qui échanger pour évoluer, seul dans mon coin. Je n'avance pas très vite, c'est tout à fait vrai, mais je n'ai plus un cerveau de 15 ans, et il me faut du temps pour comprendre les choses !

Bref, à l'époque, ce lemme m'avait semblé assez simple à comprendre, quoique j'eusse quelque difficulté à le "représenter" dans un Imaginaire limité à ♧. Je te propose de reprendre ici ce que j'avais dit alors des foncteurs représentables.

3/ Foncteurs représentables :

La notion est simple à comprendre: un foncteur F tel que défini précédemment entre C et Ens, est "représentable" par un morphisme h,  si nous avons réussi à rattacher à son domaine A chacun des objets de C, et si toutes les transformations naturelles ainsi définies commutent.

Avec les théorèmes de Brouwer en tête, la représentation qui me vient, c'est qu'il est équivalent de dire qu'un foncteur est représentable, ou bien que la "carte de C" en Ens coïncide en F(A) avec le point A en C qu'elle "représente".

Foncteurs covariants et contravariants

Maintenant, il faut distinguer entre deux façons symétriques de faire ce rattachement. Notre objet A étant un élément du domaine de F, alors :

• F est dit covariant : lorsque A est le domaine commun de Â;
• F est dit contravariant : A est le codomaine commun de Â.

 =Hom (- ;A) : X⟼Hom (X ; A)	 =Hom (A; -) : X⟼Hom (A ; X)
F contravariant	F covariant

fig. 1

À l'époque, j'utilisais la notation R<I1<I01<IR<I#<I0<S pour représenter les différents niveaux Imaginaires, et mes schémas représentaient un saut Imaginaire ([#]𓁜⏩[⚤]𓁜)_⇅𓂀^♧ ou, de façon plus concise : [#]↓[⚤], (i.e.: IR↓I01).

Mais c'était un peu tordu parce que la différence [#]/[⚤] tient essentiellement au passage d'une pensée rationnelle logique à une approche topologique, or ce n'est pas l'objet du discours.

Il faut "tourner notre discours" de façon à comprendre que nous parlons ici de rabattre la description d'une catégorie C d'une couleur supérieure à ♧, sans préciser son niveau [⚤]^♢, [#]^♢ ou autre, sur la catégorie des Ensembles en [⚤]^♧.

 =Hom (- ;A) : X⟼Hom (X ; A)	 =Hom (A; -) : X⟼Hom (A ; X)
F contravariant	F covariant

fig. 2

Nous complétons alors notre "carré" précédant (i.e.: covariant), par un second qui sera dit contravariant :

- D'accord; maintenant, qu'entend-on précisément par "carré commutatif" ?

- Il faut s'habituer à penser en termes de "propriété universelle".

• Le problème est posé par le foncteur F : C↓Ens;
• "Résoudre" ce problème consiste à trouver un couple (A,h) unique tel que
  • pour tout X de C,
  • le codomaine d'un unique morphisme f de F(X) soit celui d'un morphisme issu de h(A).

- Vois-tu comme moi que la régression Imaginaire, de ♢ à ♧ correspond à une rupture de symétrie ?

- C'est une réflexion de niveau [♲]^♢𓂀, je te propose d'y revenir ultérieurement. Pour l'instant contentons-nous d'explorer le niveau [#]^♢𓂀 !

À partir de ces premières réflexions concernant le passage de [⚤]^♢ à [⚤]^♧ exprimé en [#]^♢𓂀, je pense que nous pourrons facilement comprendre la suite.

4/ Catégorie de foncteurs : (voir Wikipedia)

"Soient C et D deux catégories. On définit la catégorie de foncteurs de C dans D , notée D^C, ou parfois [C, D] ou Fun(C, D) :

• Les objets de D^C sont les foncteurs de C dans D"

C'est assez simple à comprendre : soit #C et #D le nombre d'éléments respectifs de C et D. Il y a #D^#C façons d'associer les éléments de C à ceux de D, autrement dit le nombre maximal de morphismes de C vers D est de #D^#C d'où l'écriture D^C.

Maintenant, dans cette catégorie D^C, il est possible de regouper entre eux certains morphismes: ce seront nos "objets". Chacune de ces collections de morphismes forme donc un "objet foncteur".

- Mais à quel niveau Imaginaire correspond cet objet F ?

- J'avoue que c'est un peu déroutant de prime abord. Je te propose de revenir au saut le plus élémentaire qui soit: le morphisme identité du singleton de la catégorie Ens : (*)_∃↑{1}_⚤. Nous y avons vu un "principe diachronique", faisant le lien entre [∃]^♧et [⚤]^♧. Ensuite, ex post, le Sujet peut réifier ce principe diachronique, pour le "représenter" au "niveau synchronique" [⚤]^♧𓁜 comme le lien entre deux éléments de la catégorie Ens_⚤ : a→b.

Nous avons ici un phénomène du même ordre :

En [⚤]^♢ tout comme en [⚤]^♧ je peux imaginer deux catégories C et D de même "niveau" ainsi que D^C et des foncteurs "horizontaux" →, de niveau  [⚤]^♢ ou [⚤]^♧.

Mais, et c'est là notre grande avancée par rapport à ma présentation du 12 juin au CLE, je peux également rabattre une catégoire C de niveau [⚤]^♢ sur une autre D de niveau [⚤]^♧ ; soit C_⚤^♢↓D_⚤^♧, qui s'apparente à {1}_⚤^♧↓(*)_∃^♧.

Je n'ai malheureusement pas de terme spécifique pour qualifier ce passage d'un niveau Imaginaire à l'autre, sauf à dire qu'il s'agit d'un saut diachronique de niveau supérieur.

- Ce n'est quand même pas une découverte absolue. En position [#]^♧𓁜, le Sujet était déjà capable de se représenter les morphismes ↓ et → comme orthogonaux_#, de la même façon que le physicien se représente un mouvement dans un repère (x,t) avec les axes x et t orthogonaux_# entre eux... Par ailleurs l'idée de "recouvrement" en topologie passe par une certaine compréhension de la différence entre ↑ et ↓.

- Certainement, mais le second passage en [⚤]^♢𓁜, après les acquis précédents en [#]^♧𓁜, permet d'utiliser des outils de topologie sur des objets constitués d'éléments discrets. En ce sens, l'évolution Imaginaire du Sujet, lui permet d'explorer le discret avec certains outils pensés originellement localement à partir des parties d'un objet continu...

- Si tu en arrivais à l'essentiel de ce que tu veux dire ?

- Pour le physicien que je suis au fond, ce qui m'intéresse, c'est la régression Imaginaire, du plus haut atteignable, jusqu'au Réel. Dans cette optique, le pas le plus significatif est celui permettant de passer de [α]^♢ à [⚤]^♧, que l'on peut représenter sur un "plan" en posture [#]^♢𓂀, comme nous avons commencé de le voir !

- Mais concrètement, pour en revenir à ma question : à quel niveau Imaginaire correspond cet objet F ?

- Pour moi, la notion de "foncteur", comme celle de "morphisme", est liée à une notion de "mouvement" du Sujet, entre deux niveaux Imaginaires.

• Le morphisme est initialement un concept diachronique ↑ : [∃]^♧ ↑ [⚤]^♧;
• Le foncteur est initialement un concept diachronique ↓:  [α]^♢↓[α]^♧.

Maintenant, il est bien évident que ces concepts sont réifiés ex post en concepts synchroniques ← ou →,  et ce, dès [⚤]^♧𓁜.

- Pourquoi passer de ↑ à ↓ ?

- Historiquement, la première expérience du Sujet, c'est l'identification de l'objet, à partir du Réel. Après réflexion, si je puis dire, chaque objet C_⚤ de Ens_⚤, admet un unique foncteur C_⚤↓(*)_∃: c'est une propriété universelle, la plus élémentaire. En ce sens, nous parlons bien de la même chose, en termes de "propriétés universelles".

5/ Transformations naturelles :

Dans la catégorie des foncteurs :

• Les morphismes sont les "transformations naturelles."

Je reprends ici l'article de Wikipedia :

• "Soient C et D  deux catégories;
• F et G deux foncteurs covariants de C  dans D;
• Une transformation naturelle η de F vers G est la donnée, pour tout objet X de C , d'un morphisme de D: ηX : F(X)→G(X), tel que pour tous objets X et Y de C et tout morphisme f de X dans Y, le diagramme suivant soit commutatif:

On peut de même définir la notion de transformation naturelle entre deux foncteurs contravariants en inversant uniquement le sens des flèches horizontales du diagramme ci-dessus.

Si pour tout objet X de C , ηX est un isomorphisme, on dit que η est une «équivalence naturelle» ou un «isomorphisme naturel»."

Le 16/05/2021 :

 - Hier, j'ai quitté mon clavier avec un profond sentiment de malaise, car les foncteurs F et G de C dans D, sur lesquelles je venais de gloser pendant une heure pour expliquer qu'ils sont originellement plongeants ↓, se retrouvent ici à l'horizontale →.

- C'est peut-être une simple convention d'écriture ?

- Non, parce que la différence entre transformation naturelle covariante et cotravariante porte sur le sens des flèches horizontales ←→, quand, dans les carrés commutatifs précédents, le sens des foncteurs ↓ était conservé.

Il faut donc constater ici que η ↓ joue le rôle précédemment dévolu à F ↓.

- Tu as fait une erreur dans ta présentation ?

- Non, tout s'enchaînait très bien jusque-là.

- Alors ton approche est fausse et il faut abandonner.

- Homme de peu de foi ! Non, il s'agit plus simplement de comprendre que nous sommes au tour Imaginaire suivant, en [⚤]^♡ et que ce schéma est une représentation en [#]^♡.

- C'est tout ce que tu as trouvé comme échappatoire ?

- Écoute, ça s'est tranquillement décanté cette nuit pendant mon sommeil, et il ne s'agit pas d'un artifice pour retomber ses mes pattes, mais d'une prise de conscience.

Lorsque je veux me représente l'ensemble D^C des foncteurs de C dans  D, avec D dans Ens, j'ai cette image en tête :

Avec, dans D^C tous les liens possibles entre chacun des éléments de C vers ceux de D, comme un "faisceau". F étant une collection particulière de flèches de ce faisceau. Je "vois" très bien ces flèches comme des éléments diachroniques entre les deux couches Imaginaires ♧ et ♢, mais je ne "vois" pas  D^C comme "objet" de discours. Comprends-tu ce que cela signifie ?

- Que le concept est réifié, ex post en [⚤]^♢𓁜 ?

- Oui, cela semble évident.

- Mais alors quel est le niveau Imaginaire du schéma de Wikipedia?

- Il faut considérer les 4 objets F(X), F(Y), G(X), G(Y) sur un même plan à la même "altitude" [⚤]^♢𓁜 de l'Imaginaire, et que ce plan se déploie, orthogonalement à l'axe "vertical" [⚤]^♧-[⚤]^♢.

Vois-tu maintenant se dessiner peu à peu cet Imaginaire se repliant sur lui-même en tournant encore et encore sur un ruban de Moëbius sans fin ?

Chaque "bouclage" se traduit par une orthogonalité entre concepts. Nous avions repéré l'orthogonalité entre morphisme et foncteur, nous arrivons maintenant à l'orthogonalité entre foncteur et transformation naturelle.

- Certes, mais comment fais-tu la différence entre la répétition des sauts dans un discours élémentaire (𓁝_⇅[#]_⊥𓁜)^♧𓂀 et les orthogonalités dont tu nous parles ici?

- Dans les mouvements qui portent de [⚤]^♧𓁜 à [⚤]^♢𓁜 puis à [⚤]^♡𓁜, tu peux ne t'intéresser in fine qu'à la catégorie des Ensembles, avec des objets définis comme éléments_⚤ d'un ensemble (tout ce dont nous parlons concerne les "petites catégories") sans, parler de topologie_#. Les outils que tu utilises sont bien entendu issus de la topologie, puisque tu passes par [#]^♧𓁜 pour arriver à [⚤]^♢𓁜, mais, les objets de la catégorie Ens restent toujours aussi élémentaires.

C'est pourquoi je me suis perdu dans ma présentation du 12 juin au CLE car, si j'avais bien repéré cette orthogonalité en présentant morphisme, foncteur et transformation naturelle à l'aide d'un cube, je ne savais pas comment situer correctement le Sujet dans son Imaginaire pour tenir un tel discours !

Après cette prise de conscience matinale, la définition d'une transformation naturelle n'offre plus de difficulté, et j'ai pu la reprendre dans un schéma synchronique du niveau [#]^♡𓂀.

- Je pense qu'il va te falloir encore travailler pour que tout ceci soit aussi "évident" que tu l'espères. Je vois mal en effet comment ce que tu nous as présenté à l'origine comme un recollement de l'objet initial ∅_∅^♧ "à l'envers" de l'objet final (*)_∃^♧, pourrait ensuite se traiter en termes d'orthogonalité, qui, somme toute, reste un concept de niveau [#]^♧𓁜.

- J'en suis conscient : il faut tout reprendre à partir du concept de "propriété universelle". Premier exemple : 

• ∅_∅^♧ est à la fois objet initial et final, contrairement à
• (*)_∃^♧ qui n'est qu'objet final.

Rabouter l'Imaginaire en rapprochant ∅_∅^♧ de (*)_∃^♧ peut alors se concevoir en termes de symétries ou rupture de symétrie... 

- Je pense qu'il faut prendre du temps pour t'y retrouver, mais en attendant, sais-tu à quoi me fait penser ton tableau ?

• [∃]^♡ [⚤]^♡ [#]^♡ [♲]^♡ [∅]^♡
• [∃]^♢ [⚤]^♢ [#]^♢ [♲]^♢ [∅]^♢
• [∃]^♧ [⚤]^♧ [#]^♧ [♲]^♧ [∅]^♧

- Non ?

- À celui de Mandeleïev ! Cette façon de revenir à la même place au tour suivant, mais pas tout à fait, me rappelle la circulation entre les éléments de son tableau...

Bonne rumination !

Hari

Il faut