De la profondeur des images plates

- Quelque chose se noue ces temps-ci, sans que j'arrive encore à mettre le doigt sur la ficelle pour terminer le noeud qui emballera le cadeau. Mais de toutes mes cogitations, que tu trouveras dans mes 2 derniers articles, quelques évidences s'en dégagent.

- Tu as bien de la chance qu'y retrouver tes petits, tellement c'est embrouillé, à croire que tu aimes te faire des noeuds au cerveau.

- Rassure-toi, je veux seulement ici attirer ton attention sur ce qui est si évident qu'il ne te pose jamais question. 

Je veux parler des concepts d'égalité et d'élément neutre.

Le signe = :

Par curiosité, j'ai cherché sur le net d'où provient le symbole = pour se référer à l'égalité. Il aurait été inventé par un Gallois, Robert Recorde, et apparut pour la première fois en 1557 dans un traité d'algèbre de Whestone of Whitte. L'auteur cherchait un signe pour éviter de toujours répéter "est égal à", justifiant le choix du symbole "=" ainsi :

"Si j’ai choisi une paire de parallèles, c’est parce qu’elles sont deux lignes jumelles, et que rien n’est plus pareil que des jumeaux."

- Tu fais dans la littérature aujourd'hui...

- Non, mais ça m'amuse de voir comment un auteur a recherché un symbole pour exprimer rapidement sa pensée, tout comme je le fais aujourd'hui avec mes glyphes. La démarche est séculaire, mais les gens l'oublient...

Bref, tout ceci pour te montrer que ce signe "=" très tardif n'a pas l'évidence a-culturelle que l'on pourrait y accorder.

- Soit, et où veux-tu en venir ?

- Il me paraît évident que ce signe banal en algèbre n'est pas du niveau Imaginaire [⚤]𓁜 où on l'attend, mais du niveau [♲]𓁜 où s'expriment les équivalences.

Lorsque j'écris 7x3 = 3x7 les deux expressions (7x3) et (3x7) sont bien de niveau [⚤]𓁜, mais la copule "=" est de niveau [♲]𓁜, c'est bien pourquoi le maître fait manipuler par l'enfant des bâtons pour qu'il les rassemble en paquets et apprenne le calcul. Le maître fait découvrir à l'enfant cette notion d'égalité, comme Socrate apprenait à l'esclave de Menon le calcul d'une surface.

L'évolution de l'enfant est bien : (𓁝⊥𓁜[♲]𓁝⇆𓁜⏩𓁝⊥𓁜[♲]𓁝⇆𓁜)𓂀.

Deux choses étrangères l'une à l'autre (7x3)⊥(3x7) deviennent équivalentes (7x3)⇆(3x7); ou (7x3)=(3x7).

L'élément neutre e :

De même pour le concept d'élément neutre "e" d'un groupe de symétrie.

L'action élémentaire lorsque l'on est en [∃][⚤]𓁜, c'est de dénombrer les sauts entre [∃] et [⚤], ce qui donne la notion de successeur_⚤, puis de nombres entiers_⚤, et d'ordre_⚤ entre ces derniers.

Mais l'idée de pouvoir revenir en arrière, et de définir les groupes à partir de là, date d'Évariste Galois, vers 1830.

- Bon, soit, mais ça te mène où ?

- Dans l'article "Matrice", nous avions établi qu'une matrice est l'objet en [⚤] où se rencontrent deux points de vue du Sujet :

• [∃][⚤]𓁜, avec le 1 comme "élément neutre" du "produit" ;
• 𓁝[⚤][∅], avec le 0 comme "élément neutre" du "coproduit".

D'une certaine manière, tu peux ramener le Sujet au centre de sa description, pour le voir ici flotter entre 0 et 1, comme nous l'avions imaginé être le point de projection dans le plan projectif (voir "Résumé presentation Zoom").

Restait la question : comment le basculement (𓁝[⚤]𓁜⏩𓁝[⚤]𓁜)𓂀 peut-il amener le 0 (de l'addition) à prendre la place du 1 (de la multiplication)?

Cette équivalence 0⇆1 entre deux concepts si évidemment contraires_⚤, ne peut découler que d'un principe de symétrie_♲ de niveau [♲]𓁜, et c'est notre élément neutre_♲ !

Comme tu le vois, si l'écriture d'une matrice se fait "à plat" en [⚤]𓁜, elle nécessite malgré tout de monter en [♲]𓁜 pour percevoir la symétrie des points de vue qui la fonde.

- Tout ceci me semble compliquer inutilement les choses...

L'objet discrimant de la catégorie des ensembles :

- Je crois que c'est nécessaire pour éradiquer une idée fausse que j'avais jusqu'à présent.

- Et quelle était-elle ?

- L'idée que le discours du Sujet à un niveau synchronique donné de son Imaginaire est constitué de tautologies; or, il faut prendre à la lettre que :

toute équivalence est de niveau [♲]𓁜.

- D'accord, mais j'ai une question :

Lorsque tu pars de l'écriture (3x7) et (7x3) en [⚤]𓁜 pour constater ((3x7)=(7x3)) en [♲]𓁜, est-ce que tu passes par la case ((3x7)⊥(7x3)) en [#]𓁜 ?

- Je crois que oui.

Galois nous a forcés à expérimenter une posture locale 𓁝_⇅[⚤], tirée de l'approche locale 𓁝_⇅[#] bien plus ancienne en géométrie. D'une certaine façon, depuis le XIX^è siècle en Occident, l'expérience du miroir qui est naturellement située en 𓁝_⇅[#]_⊥𓁜 a régressé culturellement au niveau 𓁝_⇅[⚤]_⇅𓁜.

Je voudrais t'en donner un exemple en revenant à l'objet discriminant_⚤ de la catégorie Ens des ensembles.

Remontons tout d'abord à la définition axiomatique d'un Ensemble...

- Tu nous en as déjà beaucoup parlé il y a plus de 2 ans (voir "Des ensembles et des groupes").

- En survolant aujourd'hui cet article, je m'aperçois qu'il faudrait le reprendre, compte tenu de ma propre évolution, mais passons, ce qui m'intéresse ici, c'est juste la définition de ∅.

J'avais retenu à l'époque celle-ci : ∅ = { x ∈ A | x ≠ x }, qui tu l'avoueras est un peu tarabiscotée. Celle que je retrouve aujourd'hui sur Wikipedia me semble plus intéressante : "il existe un ensemble sans élément". Bien entendu, les mathématiciens tordent du nez dessus, et fondent l'existence de ∅ (bel oxymore) comme  résultant du prédicat précédent, mais l'on a beau se tortiller en tous sens, force est de constater que ce ∅ ne peut être approché par le Sujet qu'en posture ex ante 𓁝.

- Où est l'évidence ?

- Je te rappelle que les éléments_⚤ sont vus lorsque le Sujet, ex post 𓁜, a le regard braqué vers l'objet final_∃, qu'il identifie en [⚤]𓁜 par le saut inaugural (*)_∃↑{1}_⚤.

En position ex ante 𓁝, le regard dirigé vers l'objet initial ^𓁝∅_∅ le Sujet ne peut distinguer que des "parties" d'un "tout" qui lui échappe. Nous avons vu que ceci date de l'expérience du miroir, 𓁝[#], situation que Galois a ramenée à 𓁝[⚤], ce qui nous permet aujurd'hui de parler des ^𓁝parties_⚤ d'un ensemble_⚤.

Historiquement d'ailleurs, je te rappelle que la théorie des groupes de 1830 est antérieure à celle des ensembles dont l'axomatique remonte aux travaux de Zermelo en 1905...

Donc, en résumé, toute l'agitation intellectuelle autour de la définition de ∅ tient à l'impossiblité d'en faire un "élément", alors qu'il est nécessaire dans la définition d'un "ensemble" compris comme "ensemble d'éléments" ! (note 1)

- Pourquoi se compliquer la vie, après tout on peut développer la logique et toute l'informatique à partir d'une simple opposition dialectique 0/1 ?

- Je veux précisément te montrer que les travaux de Galois ont profondément changé notre regard par rapport à cette logique Cartésienne !

Ce qui pollue véritablement l'esprit, c'est qu'un mathématicien veuille à toute force te parler d'une partie d'un ensemble comme d'un sous-ensemble d'éléments...

- Où est le problème ?

- En définissant un ensemble, comme un sous-ensemble, par le dénombrement de leurs éléments, le Sujet garde la même posture [⚤]𓁜 !

On cherche à faire rentrer la théorie des Ensembles dans la logique traditionnelle, comme un tenon rond dans une mortaise carrée !

- Tu nous a pourtant bien dit que la logique élémentaire, Cartésienne, découlait de la définition de l'objet discriminant de la catégorie Ens : {0;1}_⚤.

- Oui, mais je me rends compte aujourd'hui que cet objet ne se réduit pas à la pure logique : il a été construit dans une approche topologique, développée par Évariste Galois, qui la transcende irrémédiablement !

Il faut y être très attentif :

• Dans un 1^er mouvement le Sujet en [⚤]𓁜 identifie_⚤ l'objet final (*)_∃↑{1}_⚤
• Ensuite seulement, en se retournant 𓁝[⚤], il peut considérer les ^𓁝parties_⚤ P du singleton {1}_⚤, soit : {1}_⚤ et ^𓁝∅_∅.
• Ensuite, en repassant ex post [⚤]𓁜, il peut comprendre ces "parties" comme "éléments" d'un ensemble de parties : P{{1}_⚤}={0;1}_⚤. La maneuvre te fait passer de ^𓁝∅_∅ à  {∅}_⚤ , la partie vide ^𓁝∅_∅ devient l'ensemble 0_⚤,(i.e.: identifiable comme élément)  et ni vu ni connu, je t'embrouille...

En résumé:

• Je décris une procédure (𓁝[⚤]𓁜 ⏩𓁝[⚤]𓁜⏩𓁝[⚤]𓁜)𓂀;
• alors qu'au niveau [#]𓂀, les deux postures du Sujet sont historiquement orthogonales : 𓁝⊥𓁜;
• ce qui m'oblige à les déclarer en [♲]𓂀 comme équivalentes.

Je peux retranscrire formellement ces trois instances concomitantes de mon discours dans ce tableau :

Comme tu le vois, cet objet discrimnant de la catégorie Ens {0;1}_⚤, qui est le plus élémentaire des objets, nécessite néanmoins que l'on passe par l'étape [#]𓂀 et une réflexion de niveau [♲]𓂀 pour établir cette égalité si plate à première vue: P{{1}_⚤}={0;1}_⚤.

Je ne dis pas que cette démarche soit "naturelle", elle me semble au contraire culturellement déterminée par une façon de pensée que l'on peut faire remonter aux débuts du XIX^è siècle, ce qui est somme toute très récent.

Si récent sans doute, que nombre d'entre nous reste encore persuadé de pouvoir tout ramener à la logique Cartésienne...

Très sincèrement, avec tout ce qui nous tombe sur la tête en ce moment, il serait peut-être temps de se bouger; et pour nous adapter à un monde qui bouge à la vitesse V, il me semble de la première urgence de prendre un peu de recul afin de mieux comprendre notre rapport au monde et aux hommes, non ? 

- Amen ! 😉

Hari

Nota :  Au sujet de cette image de Tintin. 

L'ouvrage de Pierre Fresnault-Deruelle, "Hergé ou la profondeur des images plates", paru aux Éditions Moulinsart (tout un poème ce nom), m'avait beaucoup marqué, et ce n'est pas la première fois que je pique une image commentée par un Tintinophile de cette collection (voir "Lacan et la mécanique quantique") du 07/11/2006, déjà...

Cette image s'est imposée comme une évidence lorsque j'ai cherché une illustration pour cet article.

Tout d'abord ce regard de Tintin à travers une vitre à petits carreaux m'a fait penser à Descartes lorsqu'il s'est dit qu'il pouvait repérer une mouche sur une vitre en désignant la partie de la vitre où elle se situe grâce au quadrillage des croisillons... Il en faut peu pour que naisse une grande idée !

Ensuite Tintin s'interroge sur la signification de ce qu'il voit à travers ce quadrillage, ce qui est une métaphore rêvée pour représenter la place ex ante ou locale d'un Sujet, 𓁝[#] dans une approche topologique. Analogie qui se retrouve même dans les symboles que j'utilise pour l'exprimer !

Enfin, le dessin lui-même est "plat", c'est la fameuse "ligne claire" chère à Hergé, comme si la situation était "objectivée" par le dessinateur en  [#]𓂀.

Et donc, cette image est une très belle illustration d'un récit (𓁝[#])_⊥𓂀...

Note 1 :

Je vais un peu vite et m'en excuse: on peut tenter de définir un ensemble par ses parties, avec les notions d'exclusion et d'inclusion, mais alors c'est la notion d'élément qui pose problème, ce qui ramène à notre discussion... Il n'y a pas d'échappatoire. Voir "Le point #8 - Logique- topologie".