Évariste Galois - Part 3 - théorème fondamental de l'algèbre

- J'espère que cette fois sera la bonne; tu en mets du temps à comprendre !

- Désolé, mais quitte à me répéter, mon but n'est pas d'enfiler les équations pour faire des maths comme on fait du tricot, j'ai horreur de ça ! Trop fainéant pour m'y résoudre d'une part, et ensuite vraiment aucun intérêt: j'ai très bien réussi à vivre jusqu'ici avec mon modeste bagage. Non, je veux "comprendre", comme une évidence, et dénicher les ressorts de l'imagination mis en branle pour y arriver. Et si d'aventure on peut les repérer expérimentalement à l'aide d'un électro ou d'un IRM, tant mieux ! C'est vraiment ça qui m'intéresse.

Ceci dit, après notre dernière mise au point, revenons à ce "théorème" fondamental qui s'exprime ainsi (voir ici d'où je repars) :

"Tout polynôme P= a₀ + a₁x + a₂x²...+ a_ixⁱ ...+ a_nxⁿ peut s'écrire à l'aide de ses n racines α_i : P=a_n(x-α₁)(x-α₂)...(x-α_i)...(x-α_n)."

Étant entendu que le polynôme n'est pas constant, et à coefficients dans R. Pour vous faire une idée simple du sujet, je vous laisse le lien d'une vidéo de 7mn, trouvée sur Youtube.

On peut facilement ramener toute la discussion au problème de savoir si P possède au moins une racine α, car à partir de là, en écrivant P = (x-α).Q ; tout le reste en découle assez facilement. Je vous laisse des liens vers des tutos trouvés eux aussi sur Youtube et très simples à suivre afin de vous en convaincre; à savoir:

• Un polynôme de degré n peut s'écrire comme le produit de n polynômes de degré 1 (voir ici);
• S'il existe une racine complexe (a+ib), alors son conjugué (a-ib) est également racine du polynôme (voir ici);
• Si le polynôme est de degré impair, il existe une racine réelle (voir ici).

Ceci étant évacué, le coeur du théorème consiste donc à prouver qu'il existe au moins un nombre complexe α (en IR) qui annule une expression trouvant son expression au niveau I01 de notre Imaginaire.

Or, cette question n'a pas de réponse tant que Im' reste dans la position: I01=Im'<IR, c'est-à-dire en position ex ante par rapport à un principe qui lui échappe. Im' ne pourrait envisager qu'une suite infinie de sauts I01=>IR pour l'approcher, c'est exactement ce qui se passe pour exprimer le nombre π par des fractions. Nous sommes toujours dans l'automaton, le principe de répétition, et l'infinie succession qui nous conduit à concevoir N en I01, à partir de I1.

D'où la nécessité pour Im' de s'élever au moins d'un cran, en IR pour y construire une réponse. Nous avons vu que le concept spécifique différenciant IR de I01, est celui de rotation, par rapport à un Im' dont la position est elle-même définie par Im, à l'aide de concepts de niveau I#, c'est-à-dire un repère cartésien et une norme. Le schéma général étant : I01<IR=Im'<I#≤Im.

Cette situation nous conte une histoire que le mathématicien passe sous silence et qui pourtant conditionne totalement le problème. Dire que Im' peut expliciter sa position en IR, à l'aide d'un repère cartésien, et faire des mesures à l'aide d'une norme, c'est dire qu'au préalable, Im est lui-même passé par là, si je puis dire, puis est monté (au ciel le troisième jour) en I# d'où il peut "comprendre" le concept de surface et définir repère cartésien comme norme, pour léguer à Im' en IR ceux de "repère orthonormé" et de "norme" qui en découlent, tout en le laissant dans l'ignorance de leur signification plus élevée.

- C'est un roman ton histoire, et tout ceci te mène à quoi ?

- Au fait qu'à la suite de cette genèse des concepts, Im' en IR est totalement conditionné par Im, et donc qu'il est situé dans un domaine Imaginaire CLOS.

- Je ne comprends pas.

- En montant ainsi de IR à I# pour définir nos concepts, nous avons changé de problématique : lorsque tu es en position ex ante, typiquement Im<S, tu es dans la répétition infinie, et le but est virtuel, inatteignable en pratique, comme le croyant priant Dieu. C'est cette position que nous avons rationalisée en rapportant un Im' local à un Im global (relativement à Im' ) ayant une vision globale des choses avec Im'< Im.

- Et en quoi cela nous intéresse-t-il ?

- Lorsque je redescends, je ne suis plus dans un virtuel indéfini, mais limité au potentiel que je définis à un niveau supérieur (discussion qui nous renvoie à Deleuze).

Nous en avons déjà discuté au niveau  {I1;I01} :

• Dans la théorie des Ensembles avec l'axiome 9 de fondement /régularité (voir "des ensembles et des groupes").
• Le problème est réglé au niveau I01 en définissant le concept d'ordre qui introduit une symétrie avec la notion d'égalité (voir "Les structures algébriques").
• Nous passons du "successeur" à la "symétrie", par une évolution intellectuelle qui pourrait se transcrire avec la forme canonique des mythes (voir "La potière jalouse").

Et bien, nous avons ici une discussion du même type dans l'espace {I01;IR}, et l'évolution porte cette fois-ci du concept de "symétrie" à celui de "rotation". Ce qui nous permet, a posteriori, de faire évoluer notre point de vue. La pure dichotomie entre les deux termes d'une alternative (0;1) était comprise comme une "symétrie". Maintenant, nous comprenons cette "symétrie" elle-même, comme une dégénérescence du concept de rotation. Et là encore nous pourrions écrire l'évolution symétrie =>rotation avec la forme canonique de Lévi-Strauss.

 - Mais concrètement ?

- Puisque j'utilise en IR une "norme" imaginée en I#, pour mesurer la "longueur" d'un nombre complexe, il en découle évidemment que les nombres complexes, conçus en IR sont BORNÉS. En particulier un nombre complexe de module infini est borné.

- C'est un sacré raccourci !

- Tu ne penses tout de même pas que j'ai fait tout ce détour épistémologique sans l'espoir de quelque économie substantielle, non? Personnellement, je trouve ceci plus parlant que tout ce qui peut s'écrire sur le sujet.

Et pour le même prix tu peux comprendre aisément que tout nombre complexe de C (et de ce point de vue, élargir le constat à R,  par la même occasion) est "compact"; c.-à-d. que tu peux recouvrir deux nombres x et y aussi proches que tu veux l'un de autre par des "ouverts", soit O_x et O_y d'une certaine dimension, que tu mesures avec une norme (quelqu'elle soit) et qu'il sera toujours possible de les choisir de telle sorte que O_x∪O_y=∅ (voir note du 10/11/2018).

Tu retrouves là, un principe qui se propage depuis les tout débuts de notre construction Imaginaire, et conduit à la "pixellisation" de nos représentations, je ne vais pas reprendre ici tout le déroulement du film.

- C'est un peu compliqué, tu n'as pas un repère pour mémoriser tout ceci ?

- Très simple : 

1. En position ex ante, tu vises (ton référé ultime est) l'objet initial { } qui t'échappe nécessairement, par sa nature, comme par ta position, et tu construis un nouveau concept à force de répétitions (l'automaton): c'est la construction de N, ou l'argument diagonal de Cantor pour R, ou en général toute preuve par récurrence (comme ici pour ce théorème fondamental). Le processus étant infini et donc jamais effectivement achevé, il n'y a pas de borne à cet infini.
2. En position ex post, tu vises (ton référé ultime est) l'objet final {*}; qui est, sinon atteint effectivement, du moins toujours parfaitement identifiable; d'une part parce qu'à la fin des fins, tu l'as choisi, ou tu en prends conscience (la tuchê du Réel), et d'autre part que ta position te permet une "compréhension" des niveaux qui te sont subordonnés.

Ce qui fait que les points de C (et donc R) assurent une continuité (point de vue 1) mais qu'ils soient réparés (point de vue 2).

Est-ce plus clair ?

- Je crois que c'est une question de familiarité avec ton approche. Mais revenons à notre problème. Je comprends que C, quoique infini avec Cantor, est borné et ses éléments  séparés avec Lebesgue, et ensuite ?

- Eh bien, mais c'est terminé !

- Mai tu n'as rien dit !

- Ni plus ni moins que toutes les démonstrations que l'on en donne et dont aucune n'est effectivement un théorème.

Par nos précédentes considérations élémentaires, nous avons réduit le problème à cette question centrale : est-il possible avec certitude d'établir que l'expression P(x)=(x-a)Q(x) peut toujours être vérifiée, autrement dit que pour un certain x₀ nous ayons : P(x₀)=(x₀-α)Q(x₀)=0; ce qui signifie pour x₀  d'être une racine de P(x).

1/ Nous savons que ce n'est pas le cas dans R (par exemple P=x²+1 n'a pas de racines réelles). Impossibilité que je rattache au fait que la construction de R ne demande qu'un seul saut diachronique I01=>IR, juste suffisant pour énoncer l'hypothèse du continu. Mais le constat (fait par Cantor) que R s'établit par une récurrence infinie à partir de N induit les limites du concept R: par la construction,  R n'est pas borné puisque :

• D'une part, tu peux toujours insérer un nouveau nombre entre deux autres;
• D'autre part, l'infini de R est de l'ordre du virtuel, comme dans la construction de N.

Et donc, ces limites induisent l'impossibilité de définir avec certitude un processus "continu" qui m'assure d'atteindre un nombre donné, comme 0 pour P ou α pour x.

2/ Il me faut donc avancer dans la construction jusqu'au concept de "norme"; ce qui demande:

• Une itération du saut I01=IR pour définir un complexe comme un couple (x,y);
• Un saut IR => I# pour définir en IR une base orthonormée et repérer un complexe z= (x,y) par son module |z|, et l'angle tel que y/x=tgθ.

3/ C'est là que je fais le tour de passe-passe suivant: 

En termes de justice on appelle ça une "délocalisation": je vais tenter de trouver une solution dans C, puisque mon cheminement intellectuel me permet de donner un sens à |z|.

- Mais je peux également doter R d'une norme !

- Vu comme sous-ensemble de C, mais pas dans le temps de sa construction par Cantor ! Autrement dit, nous n'y reviendrons qu'après avoir cherché une réponse dans C.

Or donc, nous "délocalisons" notre problème en C et cherchons s'il est toujours possible de trouver z tel que P(z₀)=(z₀-α).

4/ Le raisonnement tient au fait qu'une norme prend sa valeur dans R+, avec 0 comme borne inférieure et +∞ comme borne supérieure.

• Soit f la fonction qui associe à z le module |P| de P. L'image de cette fonction est une partie minorée de R+, soit m; et tu vois comme par magie on passe de z dans C, à l'image de f dans R+ (tu remarqueras que ce retour en arrière est un comorphisme);
• Lorsque |z| tend vers l'infini, il est élémentaire de voir que |P|~a_n|z|ⁿ, et donc qu'à partir d'une valeur de |z| suffisamment grande, disons M, on est sûr que |P| lui-même sera plus grand que m;
• Autrement dit m est un minorant de |P| pour l'ensemble des z de module |z| supérieur à M;

L'ensemble des z de module inférieur à M forme donc un ensemble compact D, à l'intérieur duquel existe un z₀ tel que :  : 

|P(z₀)| = m ≤ |P(0)| = a₀ < |P(z)| ; ∀z ∉ D

- Je te connais, si tu as besoin d'écrire aussi précisément, c'est pour te cacher derrière les mots.

- Je l'avoue: je comprends la proposition, j'ai suivi chacune des étapes qui y mènent, mais je décroche à la phase 4 du raisonnement : je ne vois pas la situation, elle m'échappe ! En particulier, le raisonnement reste de l'ordre de la logique, inscrite en I01, et je n'utilise pas cette idée de rotation que  j'avais pensé mettre en évidence...  Laissons tout ceci décanter cette nuit... En espérant y voir plus clair demain.

______________________________(ron...ron...ron...)__________________________________

J'ai tout d'abord besoin de visualiser ces nombres qui se baladent en C, pour m'y sentir aussi à l'aise que lorsque j'imagine un nombre réel sur une droite. 

- Tu n'as quand même pas besoin de revenir à cette petite vidéo (voir ici) pour te le représenter !

- Non, ça j'y arrive assez bien. J'aurais plutôt besoin de voir comment évolue un nombre z lorsqu'il est élevé à la puissance n: visuellement que donne zⁿ ? Je sais qu'il est plus aisé de le calculer en coordonnées polaires:

si z = ρ (cosθ+i sinθ); alors zⁿ = ρⁿ(cos(nθ)+i sin(nθ)). 

Élever ρ=|z| au carré, c'est une opération déjà acquise en I01, la nouveauté, c'est la rotation qui se définit en IR. Cela mérite que l'on prenne le temps de se familiariser avec cette idée. Par exemple: prends un nombre z de module 1 et considère la fonction f(z) = zⁿ en faisant varier z continûment autour de l'origine, peux-tu visualiser z évoluant sur le cercle unité?

- Oui, c'est très simple.

- Eh bien lorsque z aura bouclé un tour, le point représentant f(z) sur C aura bouclé n tours. Ça, c'est vraiment une intuition qu'il te faut développer en IR, et qui t'échappe complètement en I01 ! Pour exercer ton imagination, j'ai trouvé cette vidéo qui indique à gauche un balayage de C avec un z de module variable, et l'effet sur une fonction f(z) présentant 4 pôles (voir AMQ 2011).

On visualise très bien comment, lorsque le module ρ de z tend vers 0, les cercles décrits par f(z) se resserrent progressivement autour de la valeur a₀ du polynôme, et comment, lorsque ρ devient suffisamment grand, la fonction f(z) devient de plus en plus semblable à zⁿ, en décrivant quasiment des cercles à une vitesse n fois plus grande que celle de z.

Le point délicat, c'est la zone intermédiaire.

• Nous avons déjà constaté que la figure représentant f(z) fait autant de boucles que le le degré maximum de z dans f(z), dans l'exemple donné, le degré est 4, donc 4 boucles ;
• Maintenant, en faisant varier  le module ρ=|z| depuis 0 jusqu'à une valeur suffisamment grande, tu constates que chacune des 4 boucles coupe à un moment ou un autre le point origine. 

C'est ce constat qui est au coeur du problème. Et quelles que soit les démonstrations que l'on en fasse, fondamentalement, il s'agit de dire qu'il est possible, par une variation continue de z, d'atteindre effectivement la valeur f(z)=0, non pas de l'approcher d'aussi près que l'on veuille, dans un processus indéfini, mais exactement ! Notre approche nous permettait d'aller immédiatement jusqu'à ce coeur, il nous reste juste à  "comprendre" la démarche de Gauss pour y arriver.

- Tu oublies le cas où a₀ =0.

- Pas vraiment, car dans ce cas, tu ramènes P=a₀+a₁x+a₂x²...+a_ixⁱ ...+a_nxⁿ à l'expression : P= x(a₁+a₂x+... +a_ix^i-1... +a_nx^n-1); et même à la limite au cas P=xⁿ; qui ne pose pas de problème. Le coeur du problème reste fondamentalement le même.

Maintenant, comment l'exprimer de la façon la plus simple possible ? En abandonnant la piste de Gauss. Qu'il s'y soit repris à quatre fois au cours de sa vie indique assez que sa propre démarche ne le satisfaisait pas! Il faudrait donc utiliser pleinement les outils à notre disposition en IR, c'est-à-dire la topologie algébrique qui sera développée bien plus tard par Poincaré. En attendant de pouvoir l'exprimer formellement à l'aide du concept de "lacet", nous pouvons déjà nous en faire une idée simple de la façon suivante :

Lorsque le module ρ=|z| devient suffisamment grand, alors la fonction f(z) fait autour du point origine, autant de "lacets" que le degré du polynôme P qui la définie; ce que cette animation montre très clairement.

En conclusion, il faut monter très loin dans l'Imaginaire (en I#) pour exprimer de façon simple une réponse à une question qui se pose en I01 !

Je pense qu'ainsi nous "comprenons" suffisamment les implications de ce "théorème" fondamental de l'algèbre, qui agite les esprits au temps de Gauss, pour avancer d'un pas vers Évariste Galois !

Bonne rumination à tous

Hari.

Note d'écriture du 10/ 11/ 2018

Il faudrait préciser plus rigoureusement l'espace topologique qui se construit progressivement en IR. D'instinct il me semble qu'il réponde primitivement aux axiomes suivants:

• Espace séparé. On peut définir différents axiomes plus ou moins stricts de "séparation". La séparation la plus immédiate me semble répondre à l'axiome T2, définissant un espace de Hausdorff : pour tout couple de points (x,y) il existe deux Ouverts disjoints contenant chacun un point;
• Espace compact : vérifie T0 et la propriété de Borel-Lebesgue i.e.: soit E un espace topologique, pour tout recouvrement ouvert de E, on peut extraire un sous-recouvrement FINI de E.

Cette rencontre entre "tout recouvrement" et un "recouvrement fini" doit à mon sens s'interpréter comme la nécessité de faire converger deux approches:

• Une construction indéfinie, diachronique, à partir de I01<IR<Im' ; 
• Une clôture imaginable après avoir acquis la notion de mesure IR=Im'<I#=Im.

Bien entendu, une fois qu'un axiome est posé, on peut travailler dessus, le transformer ou l'oublier, cependant le concept qu'il caractérise ne cesse pas d'exister dans notre Imaginaire : il reste acquis !