Bouclage Imaginaire

- L'idée qu'un discours "complet" (...)𓂀 concernant un "objet" quelconque, y compris un "Sujet" 𓁝𓁜 s'articule comme un topos_♲, conjoignant "le discret et le continu", recoupe parfaitement ce que nous avons vu par ailleurs, concernant les 3 discours de l'auteur (voir "Principe de relativité"):

- Ton topos_♲, qui s'exprime de façon générique par (𓁝_⇆𓁜)_⇆𓂀, doit articuler entre eux les deux discours (𓁝_⊥𓁜)_⊥𓂀 et (..._⇅𓁜)_⇅𓂀, c.-à-d.: ((..._⇅𓁜)⇆(𓁝_⊥𓁜))_⇆𓂀. Mais si tu as déjà pas mal cogité (voir "Point #9-Symétries") à propos des évolutions du Sujet 𓁝𓁜 de [⚤]𓁜 à [#]𓁜, et de [#] à [♲], en revanche, tu n'as jamais traité d'un saut direct entre [⚤] et [♲] or, en écrivant cette dernière équivalence, que pourrait dire le Sujet/ auteur en [♲] de lui-même en [⚤] dans un discours de cette forme:  ((..._⇅𓁜)⇆...)_⇆𓂀 ?

- Oui, nous sommes ici dans un triangle à sommets [♲][#][⚤] dont il nous faut préciser les 3 côtés, autrement dit, les "sauts diachroniques" nous permettant de passer de l'un à l'autre.

- Jusqu'à présent, tu nous a toujours présenté l'Imaginaire du Sujet sous une forme linéaire : ☯[∃]𓁝⇅𓁜[⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓁝⊥𓁜[♲]𓁝⇆𓁜[∅]☯𓂀. Tu as bien les passages [⚤]-[#] et [#]-[♲], mais il te manque le passage direct [⚤]-[♲]. Cette conception du discours comme topos_♲, bouleverse donc ta façon ordinaire de représenter l'Imaginaire du Sujet.

- Disons plutôt qu'elle m'oblige à reconsidérer le bouclage du Réel sur le Symbolique que j'avais déjà représenté par un ruban de Moebius lors de ma présentation à l'atelier CLE (voir "Schéma de présentation du 01/12/20").

- Encore faudrait-il le justifier.

- Il nous faut parler ici en philosophe, autrement dit à partir de principes généraux de niveau [♲]𓂀 : 

Au fond, la différence Réel/ Symbolique est relative au Sujet 𓁝𓁜, sans qui rien de tout ceci n'existerait. En ce sens, la différence Réel/ Symbolique n'existe pas en soi, et l'on peut donc tout ramener au Réel (positivisme), au Symbolique (à l'image d'un dieu ou d'une raison d'être du monde) ou bien au néant, qui engendrerait tout : c'est l'image même du Yin Yang ☯, que j'ai dédoublé pour les besoins de la cause en bâbord ☯ et tribord ☯ par rapport au point de vue du Sujet: ☯𓁜...𓁝☯. Le pas suivant, à l'intérieur cette fois-ci de l'Imaginaire du Sujet, a consisté à représenter les objets initial et final des mathématiques: ☯[∃]𓁜...𓁝[∅]☯.

Formellement, on pourrait concevoir [∃] et [∅] comme les bornes Imaginaires du discours; autrement dit : ([∃]𓁜...𓁝[∅])𓂀. En reprenant l'écriture avec des crochets, nous pouvons préciser les choses ainsi : 

• ]☯𓁜...𓁝☯[𓂀;
• [[∃]𓁜...𓁝[∅][𓂀.

En ce sens, notre emprunt aux mathématiques, nous permet de véritablement clore tout discours, aussi bien sur l'objet (physique et / ou mathématique) que sur le Sujet.

- Il s'agit donc bien d'une clôture narrative, et ton Auteur s'exprime en [⚤]_⇅𓂀 de son propre Imaginaire, d'où cette hiérarchie implicite entre les différents niveaux : [∃]<[⚤]<[#]<[♲]<[∅].

- Effectivement, d'ailleurs j'ai abandonné la notation I1<I01<IR<I#<I0, pour dépasser cette vision des choses, sans y réussir pleinement. Je vais donc préciser la position de l'Auteur de cette description de l'Imaginaire du Sujet : 

• ]☯[∃]𓁝⇅𓁜[⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓁝⊥𓁜[♲]𓁝⇆𓁜[∅]☯[_⇅𓂀
• [[∃]𓁝⇅𓁜[⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓁝⊥𓁜[♲]𓁝⇆𓁜[∅][_⇅𓂀

Maintenant, le principe de relativité générale dont nous sommes partis pour arriver à l'idée de topos_♲, nous conduit à penser comme fondamentalement équivalentes les deux postures élémentaires du Sujet : (𓁝_⇆𓁜)_⇆𓂀. Sur un ruban de Moebius, cela consiste à coller [∃]𓁜 à l'envers de 𓁝[∅], pour voir qu'il s'agit en fait d'une pièce estampée aux deux faces de Janus.

• Le principe de conservation_♲ est ici le Sujet lui-même;
• La symétrie_♲ concerne ses deux postures 𓁝𓁜;
• L'indétermination_♲ est la liberté de choix du Sujet entre 𓁝 et 𓁜.

Ce bouclage étant fait, tu retrouves maintenant un passage direct [♲]-[∅], qu'il nous reste à explorer.

- Il me semble que tu vas quand même un peu vite avec ton bricolage. Comment vas-tu raccorder [∃]𓁜 et 𓁝[∅] concrètement ?

- Tu as raison : pour rendre le discours "circulaire", il faut expliciter la zone de raboutage des objets ∅_∅ en [∅] et (*)_∃ en [∃], dans les deux postures suivantes :

1. ([∅]_⇅𓁜[⚤])_⇆𓂀
2. ([♲]𓁝_⇆[∃])_⇆𓂀

Le premier discours est assez simple, puisqu'en [⚤]𓁜, les deux objets ∅_∅ et (*)_∃ se retrouvent dans l'objet discriminant de la catégorie des Ensembles: {{∅};{*}}_⚤, grâce, véritablement, à un "jeu de mots" de niveau [⚤]: {∅} est la ^𓁝partie_⚤ complémentaire de l'objet_∃ (*) identifié comme élément_⚤ en {*}, puis considéré lui-même comme ^𓁝partie_⚤ de l'ensemble singleton {*}.

Le second demande plus de réflexion. Descartes nous mène à ce principe d'existence [∃], en partant du cogito en [⚤]. Ensuite, cet objet (*) de [∃] est identifié en [⚤]𓁜: (*)↑{*} (note #1). D'un point de vue philosophique, avec le triptyque de Noether en tête en [♲]_⇆𓁜, on peut dire que le Sujet se voit, à partir de ce choc primitif, comme la quantité conservée_♲, au-delà de toutes les vicissitudes de son histoire. Autrement dit l'attente [♲]𓁝_⇆[∃] de Descartes se résout en [♲]_⇆𓁜[∃] par la prise de conscience de son existence, dans la nuit des songes du 10 au 11 novembre 1619 : ([♲]𓁝_⇆[∃]⏩[♲]_⇆𓁜[∃])_⇅𓂀, et tu reboucles sur ce qui vient d'être dit plus haut.

- Ce qui revient à constater son échec !

- Comment cela ?

- N'oublie pas qu'il souhaitait initier une procédure d'acquisition des connaissances purement immanente, en nettoyant tout son Imaginaire pour en revenir à l'expérience pure et immédiate de sa propre existence, or tu le renvoies ici directement au niveau le plus élevé, au contact du Symbolique...

- Nous en avons déjà parlé : Descartes est un moment très particulier de la pensée Occidentale, et il faut attendre la révolution Galoisienne pour commencer à recoller les morceaux, ce que nous achevons de faire ici, grâce à une certaine vision du topos_♲ que nous devons à Grothendieck. Je ne dis pas que le parcours est insignifiant, mais simplement, que nous avons maintenant les outils pour intégrer toute cette évolution comme une évidence.

Évident, à condition de ne pas oublier que le passage entre [∃]-[∅] s'accompagne d'un "twist" sur notre ruban de Moebius : ce qui était vu comme "partie" en 𓁝 devient "élément" en 𓁜 et vis versa.

- Je ne comprends pas la subtilité ?

- Le discours explicite de Descartes est qu'il existe comme élément_⚤; singleton_⚤, en soi, vu et identifié ex post : [∃][⚤]_⇅𓁜. Son discours implicite, que nous mettons ici à jour [♲]𓁝_⇆[∃], c'est qu'il se "conserve_♲" comme ^𓁝partie_♲ d'un tout [∅] d'où tout peut advenir, y compris lui-même. L'équivalence des deux étant précisément (𓁝_⇆𓁜)_⇆𓂀.

- D'accord, je pense que nous en avons fait le tour, et si tu revenais maintenant à ton triangle central dans l'Imaginaire [⚤][#][♲] ?

Le 09/05/2021 :

- Nous venons de préciser 2 des 3 discours que le Sujet peut porter sur lui-même:

Ce qui nous permet de comprendre la distinction entre les deux objets ∅_∅ et (*)_∃ comme un "effet de bord" d'une coupure effectuée dans notre ruban de Moëbius, représentable en [♲]_⇆𓂀, pour "en parler" plus facilement en [⚤]_⇅𓂀.

Dans notre triangle [⚤][#][♲], les deux "sauts" [⚤]⇅[#] et [#]⊥[♲] sont des objets de discours de niveau [⚤]_⇅𓂀, tandis qu'il faut se porter en [♲]_⇆𓂀 pour comprendre le troisième [♲]⇆[⚤], ce qui nous conforte dans l'idée que le topos_♲ ne peut se concevoir qu'à ce niveau de discours.

- Mais comment caractériser le 2^e discours en [#]_⊥𓂀 ?

- Pour moi, c'est véritablement là où la distinction entre les deux postures 𓁝⊥𓁜 prend tout son sens.

Le 10/05/2021 :

- Depuis hier, mes pensées se sont dispersées dans deux directions.

• D'une part, après ce bouclage en [♲]_⇆𓂀 de mon ruban Imaginaire, je me suis dit : "et si je faisais plusieurs tours ?";
• D'autre part, lors d'un colloque Zoom organisé en hommage aux travaux de Christian Lair, que je quitte à l'instant, René Guitart nous a présenté un travail initié par eux deux dans les années 70, à partir des remarques de Hintikka concernant les problèmes qu'induit en logique notre obligation d'écrire linéairement. 

J'avoue que ça tourne dans ma tête, et qu'il va me falloir du temps pour éclaircir tout ceci.

Le 11/05/2021 :

- Jusqu'à présent, en assignant l'objet final (*)_∃ au niveau [∃] et l'objet initial ^𓁝∅_∅ en [∅], j'en suis toujours resté à la catégorie des Ensembles. C'est la plus primitive, et historiquement la première à avoir été formalisée. 

Ça colle très bien avec un Imaginaire sous la forme d'un ruban que le Sujet parcourt de bas en haut ↑ et de haut en bas ↓. Ça permet, en particulier de bien comprendre le rapport entre les deux postures du Sujet 𓁝 et 𓁜 en rapport avec la façon de considérer un "objet" α de niveau [α], tantôt comme élément [α]𓁜 d'un ensemble, tantôt comme partie d'un tout 𓁝[α], avec la grande séparation entre discret et continu qui s'effectue dans le saut  (𓁝_⇅[#]_⊥𓁜⏩𓁝_⇅[#]_⊥𓁜)_⇅𓂀.

- Tu rabâches...

- Oui, oui, mais je passais allègrement sur les autres types de catégories, par exemple, celle des graphes. Dans celle-ci, l'objet final est le graphe élémentaire •→•, comprenant domaine, codomaine et flèche d'un morphisme...

- Tu t'en tires en disant que les points sont identifiés en [⚤]_⇅𓁜 et que la flèche du morphisme identité, qui est initialement la marque d'un saut diachronique [∃]↑[⚤] pour passer de  (*)_∃ à {*}_⚤ est réifiée en [⚤]_⇅𓁜. À partir de là, tout le reste est de niveau [⚤]_⇅𓁜.

- Je crois qu'en me limitant à cette explication, je loupe l'essentiel, et que ça me bloque pour comprendre véritablement les niveaux supérieurs de la théorie des catégories. Et puis toute différence entre saut diachronique ↑↓ et simple représentation synchronique →← disparaît.

Non : il faut comprendre •→• comme un objet_♲ de niveau [♲]_⇆𓁜, qui ne se résume pas à la collection de 3 éléments. De façon générale, quelque objet de discours que ce soit, doit être vu à 3 niveaux de discours de l'auteur 𓂀. Nous l'avons vu du Sujet, nous l'avons vu du simple élément (*) (note #2).

La flèche du morphisme représente fondamentalement une action, or, c'est bien en [♲]_⇆𓁜 que le Sujet peut comprendre le sens de la "conservation d'une action", et donc, le sens du symbole "•→•" comme une action du Sujet faisant le rapport entre l'élément "•" du domaine et l'élément "•" du codomaine. C'est bel et bien une prise de conscience de ce schéma au niveau [♲] de l'Imaginaire. L'action est encore mise en valeur lorsque l'on simplifie en considérant un seul point de départ et d'arrivée de la flèche (un morphisme bouclé sur un seul objet), voire la flèche seule se bouclant sur elle-même.

- Si je te suis bien, en raboutant ce ruban Imaginaire de niveau [∃]_⇅𓂀 par des considérations de niveau [♲_]⇆𓂀, tu te dis que tu peux très bien "refaire un tour" avec cette fois-ci l'action du Sujet, représentable sous forme de graphe élémentaire "•→•", voire un monoïde "•⟲" comme objet final en [∃]?

- Oui, et cela garde un sens, car lorsque tu as compris, lors du premier passage, que ce que le Sujet comprend de tout "objet" c'est la conservation_♲ d'un certain "mouvement" qui le lie à l'objet, il est tout à fait raisonnable de remplacer cet "objet" statique (*)_∃ de la théorie des Ensembles, par une "fonction" (•→•)_∃, (repéré par "1" sur le schéma ci-dessous), pour parcourir à nouveau le chemin à partir de là. Ce qui te donne ensuite un nouvel objet discriminant Ω en [⚤]_⇅𓁜:

La logique que l'on déploie à partir de Ω est de second ordre, c.-à-d. qu'elle s'applique non plus à des objets statiques, mais à des variables, ou fonctions.

Tout ceci est très cohérent avec l'idée d'un second tour sur notre ruban de Moebius !

- J'imagine que si l'on peut faire un 2^e tour, nous pouvons imaginer le suivant?

- Certainement, il y a par exemple la "catégorie des catégories"...  Mais cette perspective reste un récit de type  (...⏩...)_⇅𓂀, qu'il faudra revisiter en [#]_⊥𓂀 et boucler en [♲]_⇆𓂀 pour rester cohérent avec notre idée du discours comme topos_♲. Adapter ma vue à cette nouvelle perspective va me demander un gros travail d'ajustement personnel !

N'allons pas trop vite en besogne, déjà, il me semble que ce 2^e tour de piste devrait me permettre une relecture plus aisée de Conceptual mathematics de Lawvere... Ce qui ne sera pas de trop pour aborder le prochain colloque d'Olivia Caramello sur les topos du 24 au 30 juin !

- Et cette logique de Hintikka qui t'avait tant frappé hier ?

- J'avais justement cette idée d'un second tour en tête, en écoutant René Guitart, et je me suis dit que le biais logique relevé par Hintikka, lié à la nécessité d'écrire (en Occident) de gauche à droite, découlait d'une conception très restrictive du temps logique, dans le premier tour entre [∃]⇅[⚤].

Au second tour, il serait maladroit de continuer d'utiliser cette conception temporelle, cependant, puisque nous gardons la structure générale de notre ruban [∃][⚤][#][♲][∅], l'approche de René Guitart, par une écriture catégorique (avec objet initial et final, ainsi que la propriété universelle) permet très certainement de reprendre tout ceci de façon très "simple" et d'en avoir une compréhension philosophique assez profonde.

Comme tu le vois, beaucoup de cogitations en perspective... Et ce perpétuel retour sur soi me fait penser à la roue du Dharma, qui me hante depuis longtemps. Voir déjà en 2009 cet article "Bouddhisme et stabilité" que j'illustrais par cette image :

Ce qui porte à méditer cette idée que le sens du discours de Bouddha s'approfondit à chaque fois qu'il fait tourner la roue du Dharma...

Bonne rumination !

Hari

⟲

Note 1 du 10/05/2021 :

Pendant la conférence Zoom de ce jour, sur les travaux de Christian Lair concernant les "schémas", René Guitart est intervenu pour reprendre la logique développée par Hintikka.

Les critiques apportées par Hintikka à l'écriture linéaire des expressions logiques, de gauche à droite, et donc dans un discours de forme (...⏩...)_⇅𓂀 arrivent à point nommé, tandis que je suis en pleine rédaction de cet article.

Or, en lisant "Identification d'une pensée : le cogito de Hintikka", je tombe sur ces citations de lui, concernant Descartes , tiré de "M. Hooker éd., Descartes, Critical and Interpretive Essays, Baltimore, The Johns Hopkins University Press, 1978":

« Descartes was far from being clear about the logic of his own method… Descartes’s ideas of the relation between analysis and synthesis are obviously very unclear » p. 78

« Descartes n’infère pas sum de cogito, mais se démontre à lui-même sa propre existence en performant un certain acte de pensée. L’expression cogito ne correspond pas à la prémisse dont sum est inféré, mais à un acte de pensée qui, aussi longtemps qu’il dure, révèle à Descartes l’entité qu’il est. »  p. 113 - traduction.

Après ceci, il est évident que je dois reprendre mon développement sur Descartes, pour mieux mettre en évidence le double effet des va-et-vient du Sujet Descartes ([∃]𓁝⇅𓁜[⚤]_⇅𓁜⏩[∃]𓁝⇅𓁜[⚤])_⇅𓂀 entre:

1. Cogito : 𓁝⇅[⚤]
2. Sum : [∃]𓁝_⇅𓁜

En effet, l'énonciation n'est pas séparable de la performance : Descartes se "comprend" dans le mouvement qui le fait passer de 1/ à 2/ et de 2/ à 1/.

Mouvement qui se fige lors de sa prise de conscience, et qu'il en "reparle" ou se remémore l'instant, ou s'identifie dans le mouvement:
(𓁝[⚤]𓁜⏩𓁝[⚤]𓁜)_⇅𓂀.

Il faut que je reprenne tout ceci, en suivant la démarche de Guitart.

Note  2 :

Je n'y reviens pas ici, mais nous en avons parlé à propos de la géométrie de Bachmann voir "Point #9 - Symétries".

La constitution du point géométrique en [#] se fait à partir de symétries, et nous avons vu, plus haut que qu'il peut se faire directement en  [♲] à partir de  [∃].