identité et équivalence de Morita

- En voyant notre schéma général de l'Imaginaire comme une sorte de tableau de Mandeleiev, j'en étais arrivé à représenter les mouvements du Sujet entre le Réel ☯ et le Symbolique ☯, sous une forme qui rappelle, en théorie des catégories, des "transformations naturelles" :

Immanence ☯↑☯:

Transcendance ☯↓☯: 

La question suivante étant : quels sont les chemins les plus "faciles" pour passer de ☯ à ↑☯ ou à l'inverse de ☯ à ↓☯ ?   

- Je reconnais bien là ta flemme : toujours à rechercher la voie du moindre effort !

- En cela je respecte ma nature profonde d'être vivant. D'ailleurs, ces deux formes :

en se mèlant d'une façon ou de l'autre :

me font penser irrésistiblement à une courbe d'hystérésis :

Et pour tout te dire, cela me renvoie au principe de moindre action de Maupertuis.

- Tu es loin de toute rationalité ce matin !

- Oui, et ça fait du bien de temps en temps. Mais la question demeure : quel est le chemin le plus court pour passer du Réel au Symbolique et vice-versa ? (note 2)

- Est-ce que ceci a quelque chose à voir avec la théorie des topos_♲?

- En fait oui, parce qu'en écoutant Olivia Caramello parler de sa théorie des "ponts" entre théories exprimées par des topos; j'ai l'impression que, non seulement notre tableau est resserré du côté de [∅] et étalé du côté de [∃], comme nous l'avons vu dans l'article précédent, mais qu'en plus, il se resserre en montant de ♧ à ♢, puis à ♡.

- Qu'entends-tu par "il se resserre" ?

- Par exemple, qu'à un certain niveau de l'Imaginaire, la pensée n'est plus que géométrique (ce que j'ai appelé "approche topologique", il faudra clarifier mon vocabuliare).

Dire qu'il se resserre, implique la question suivante : quelle est la limite à notre escalade ♧↑♢↑♡? Y a-t-il un niveau ♤? (note du 29/06/21)

Autrement dit, et pour clarifier le fond de ma pensée: si j'ai l'intuition que la théorie des ponts d'Olivia Caramello est (pour l'heure), la plus générale permettant d'exprimer un principe d'équivalence_♲ entre les objets les plus généraux que l'on puisse imaginier, cela situe évidemment le discours en ([♲]𓁝⇆𓁜[∅])⇆𓂀, mais suis-je au niveau ♡ ou "plus haut" ?

J'ai l'intuition que je reste au niveau [♲]𓂀^♡ de l'Imaginaire; c'est ce que je vais tenter de montrer ici, à partir d'un cours d'Olivia Caramello sur les équivalences de Morita, trouvé ce matin sur Youtube.

--- Break---

Écoute, il fait un temps magnifique et c'est le premier jour d'ouverture des restos en terrasse... Je file à Mornach sur Seudre, pour en profiter. Je ne sais pourquoi, mais aujourd'hui j'ai l'esprit particulièrement léger !

À demain...

Le 20/05/2021 :

- J'ai l'esprit toujours aussi printanier ce matin, pas trop d'humeur à attaquer cette bande vidéo d'Olivia Caramello au burin. J'ai plutôt envie de flâner encore un peu dans cet Imaginaire tout nouveau en forme d'une main d'un bridge à trois couleurs.

- Qu'espères-tu ?

- Qu'en procédant un peu à la façon suggérée par Grothendieck, c'est-à-dire en prenant l'objet du discours comme conséquence qu'une interrogation plus grande, à laquelle je donne une réponse, l'objet finisse par apparaître évident. Il parle des divers façons d'ouvrir une noix : soit tu l'attaques à coups de marteau, soit tu ramollis la coque avec, par exemple, une eau vinaigrée pour qu'elle s'ouvre toute seule, et t'offre un cerneau tout beau tout propre.

- Et par quoi vas-tu commencer ?

- Par la coquille, la fermeture de l'Imaginaire.

Je ne sais plus dans quel livre de son séminaire, au sujet de Narcisse je crois, Lacan parle d'une caméra qui serait installée là, quelque part dans un monde devenu subitement, à la suite d'on ne sait quelles circonstances, vide de toute vie. Plus d'homme, plus d'animaux. Question : est-ce que la caméra enregistre des "images" ?

Sa réponse est non. Non pour la simple raison qu'il ne subsiste personne pour donner sens à cet enregistrement. Ce qui nous renvoie à ce tableau de la chute d'Icare :

nous montrant que sans le regard d'un Sujet, un objet ou un "évènement" n'existe pas; ou encore à cette réflexion philosophique très classique que "l'homme est un être de parole". Ce que nous avons écrit sous cette forme : (...)𓂀, où l'Auteur apparaît comme la borne de son discours.

Nous avons dit plus, en décrivant la représentation que l'Auteur 𓂀 se fait de lui-même 𓁝𓁜, coincé dans un monde dont il n'est qu'un élément ☯𓁜 mais dont il fait partie 𓁝☯; c.-à-d. (☯𓁝𓁜☯)𓂀, cette prise de conscience découlant de l'expérience historique_⚤ dans le développement de l'enfant, du stade du miroir: (☯𓁝𓁜☯⏩☯𓁝𓁜☯)_⇅𓂀 (♧).

- Tu nous as déjà dit tout ceci...

- Laisse-moi prendre mon élan. Ensuite, le discours se développe jusqu'à concevoir :

1. d'une part que le Sujet existe par la prise conscience de cette bascule (☯𓁝⇆𓁜☯)_⇆𓂀 (♧);
2. d'autre part que les "objets" ou éléments du monde ☯[∃]_⇅𓁜 qui alimentent son expérience_⚤ et son histoire_⚤, sont fondamentalement liés eux-mêmes à des tranformations_♲  ([∃]𓁝⇆𓁜[∅])_⇆𓂀 (♧).

Cette perspective philosophique peut se résumer par le Yin Yang ☯, symbolisant parfaitement que seule l'impernanence est.

Et j'en étais resté là, en bouclant tout discours là-dessus.

- Or tu n'en étais qu'au premier niveau de l'Imaginaire (♧)...

- Tout juste, et le bouclage entre [♲]𓂀^♧ et [∃]𓂀^♢ passe, comme nous l'avons vu, par un changement :

• d'objet final : de (*)_∃^♧ on passe à •⟲_∃^♢;
• d'objet discriminant : de {{*};{∅}}_⚤^♧, on passe à Ω_⚤^♢.

Nous en avions déduit que le "passage" [∃][⚤]𓂀^♢↓[∃][⚤]𓂀^♧ se traduisait, rétrospectivement, par un carré commutatif :

où l'idée de "vrai" en [⚤]^♢ renvoie à l' "identité" en [⚤]^♧.(note 1)

- Je pensais que tu avais réifié le mouvement diachronique [∃]↑[⚤] par sa "représentation" synchronique → en  [⚤]𓂀^♧, ce qui te permettait de définir la succession et même le "temps logique" ?

- Je refais ici, en [⚤]𓂀^♢ un parcours tracé en [⚤]𓂀^♧ et ma flèche change de nature : à celle_⚤^♧ du morphisme^♧ initial entre objets^♧, s'ajoute une autre_⚤^♢ entre flèches^♢, et cette dernière fait que je ne suis plus limité à une logique cartésienne, avec le principe du tiers exclu !

Par construction, dans ce carré :

• Les flèches ↓ sont toujours plongeantes;
• La brisure de symétrie ⇆ conduit à une distinction: (note 3)
  •  covariant/ contravariant en [⚤]𓂀^♢

Distinction qui n'est pas du domaine de la logique, mais de ce qu'Olivia Caramello (O.C. par la suite) appelle la géométrie.

- Du coup, est-il pertinent de concevoir un tel niveau Imaginaire [⚤]𓂀^♢ purement logique ?

- La question se pose... C'est là, vois-tu que l'on remarque un certain "resserrement" de l'Imaginaire... D'ailleurs, l'écriture même de la théorie des catégories se fait en 2D, comme le montre notre "carré commutatif", avec une nette différence entre principes ↑ et →, d'entée de jeu "orthogonaux" entre eux.

- Et donc, on supprime [⚤]^♢ ?

- À la réflexion, non car, même allégé de l'objet "•" (note 1), notre monoïde "⟲" reste malgré tout l'horizon [∃] du Sujet en posture ex post, lorsqu'il manie des foncteurs [⚤] autrement dit : [∃][⚤]𓁜; et le renversement de posture du Sujet 𓁝⊥𓁜, reste toujours pertinent pour distinguer logique et approche topologique. La seule différence, c'est qu'ici notre logique porte sur des "mouvements" et le sens du passage [∃]⇅[⚤] en est profondément modifié. En particulier, puisque nous ne sommes plus dans une logique cartésienne, notre récit en [⚤]^♢ n'est plus d'ordre temporel, ni causal. (note 4)

- Tu penses à l'expérience de "choix retardé" d'Alain Aspect ?

- Évidemment ! Dès la physique analytique de Lagrange, en [#]^♧ nous avons déjà senti que la causalité était branlante; en [♲]𓂀^♧, avec la relativité et la quantique, cela ne faisait plus de doute sur le terrain, mais là en [⚤]𓂀^♢, c'est repris au niveau le plus élémentaire du langage, si je puis dire.

Je trouve absolument fascinant que notre univers intérieur, notre Imaginaire soit ainsi formé par le langage lui-même.

- Comment cela ?

- Nous avons déjà vu avec Étienne Ghys, de quelle façon Poincaré a pris conscience  que l'espace naturel des nombres complexes C est hyperbolique. Il ne s'agissait pas d'une invention du mathématicien, mais d'une découverte au sens où un explorateur découvre un paysage. Ici, le mathématicien ne peut que constater qu'en passant de la catégorie Ens à celle des Graphes, il "quitte" de façon naturelle la logique de nos ancêtres Grecs, comme on quitte le quai en largant les amarres.

- Soit, mais as-tu une idée du pas suivant, portant de [∃][⚤]𓂀^♢ à [∃][⚤]𓂀^♡ ?

- Si l'on part de l'idée que l'élément diachronique [∃]↑[⚤] en [⚤]^♧ devient l'objet final ⟲ en [⚤]^♢, en itérant le processus, on peut dresser le tableau suivant : 

C'est intuitif et très élémentaire, bien entendu, mais cela permet de classer grossièrement les éléments de language mathématique.

- Et y a-t-il lieu de distinguer [⚤] et [#] à ce niveau ?

- Oui, pour la même raison que précédemment, qui tient aux postures du Sujet 𓁝𓁜. 

- Et où nous conduisent toutes ces considérations un peu longuettes ?

- À comprendre le rôle du topos sur cette scène Imaginaire. Bien entendu, il se définit comme le couple d'une catégorie C et d'un site (ou d'une topologie) J, i.e.: (C,J); mais d'un point de vue plus philosophique, je pense qu'il se rattache à la différence de perception de l'auteur 𓂀 entre les deux postures du Sujet 𓁝𓁜; qui se discute initialement en 𓁝_⇅[#]_⊥𓁜 dans une approche topologique, réduite au niveau algébrique à 𓁝_⇅[⚤]_⇅𓁜 où :

• La théorie des ensembles [⚤]_⇅𓁜^♧ implique  [∃][⚤]_⇅𓁜 et
• La théorie des groupes 𓁝^♧_⇅[⚤] implique 𓁝_⇅[⚤][∅].

En fait, en liant ainsi les concepts aux postures du Sujet, ça me permet le penser que le processus est semblable, quelque soit le niveau ♧, ♢ ou ♡ où se situe l'auteur 𓂀 qui en parle, niveaux caractérisés par leur objet final en [∃].

Or toute l'algèbre découle des considérations initiales d'Évariste Galois sur les groupes de symétrie, en particlier, les structures d'anneaux.

- Ce qui t'amène tranquillement à Morita...

- On ne peut rien te cacher, oui : tu trouves dès [⚤]^♧ ce principe d'équivalence qui reste la pierre angulaire de la réflexion d'O.C., en tant qu'expression algébrique en [⚤]^♡ de ses "ponts" entre théories mathématiques en [♲]^♡...

Le 23/05/2021 :

- Je pense que notre petite virée dans cette carte Imaginaire que je découvre comme toi, ces temps-ci, n'était pas inutile. Je ne sais pas ce qu'il en est pour toi, mais j'ai l'impression que les choses se mettent doucement en place.

- Mais tu n'es pas revenu aux vidéos d'O.C., franchement tu n'arrives jamais au bout des choses, c'est un peu frustrant.

- Parce que l'objet final de son discours est difficile à cerner.

A priori, comme nous sommes ici au plan le plus élevé de l'Imaginaire, il est peut-être plus simple de partir de la fin, au contact du Symbolique et de l'objet initial 𓁝⇆[∅]☯. Le retournement (([♲]𓁝⇆𓁜[∅])^♡⏩([♲]𓁝⇆𓁜[∅])^♡)_⇅𓂀^♧ serait le choix (extérieur à U) de ce que O.C. appelle un "Univers mathématique" U.

- Pourquoi cet embarras pour nous parler de l'objet final en premier comme tu l'as fait en ♧ et ♢?

- Parce que celui-ci n'est plus déterminé dans une démarche immanente ♧↑♢, mais de façon transcendente [♲]↓[#]↓[⚤]↓[∃] à partir de cet Univers U_♲^♡.

Pour plus de clareté, je reprends ceci dans mon schéma des mouvements Imaginaires : 

(α) Si je m'en réfère à cette présentation d'O.C. "les topos de Grothendieck comme "ponts" unifiants en mathématiques", la notion de "topos de Grotehndieck" sature complètement le niveau ♡ du discours :

"Les topos sont des objets particulièrement multiformes, qui peuvent être étudiés avec profit de plusieurs points de vue différents. En fait, un topos de Grothendieck peut être vu comme :

• un espace généralisé
• un univers mathématique
• une théorie modulo ‘Morita-équivalence’ "

Avec cette précision :

• À toute théorie (géométrique du premier ordre) T on peut associer canoniquement un topos E_T, appelé son topos classifiant, qui représente son ‘cœur sémantique’.
• Le topos E_T est caractérisé par la propriété universelle suivante : pour tout topos de Grothendieck E on a une équivalence de catégories Geom(E ,E_T) ≃ T-mod(E) naturelle en E , où
  • Geom(E ,E_T) est la catégorie des morphismes géométriques E → E_T et
  • T-mod(E) est la catégorie des modèles de T dans E ."

Et ce schéma général de son univers U :

Sans aller dans le détail, on voit tout de suite que le topos est l'outil standart à chaque niveau :

• En [♲]𓁜 : un univers mathématique "U";
• En 𓁝[#]𓁜 : un espace généralisé;
• En 𓁝[⚤] : une théorie modulo ‘Morita-équivalence’ ".

Ceci mis en place, il faut en revenir à la définition que Grothendieck donne primitivement de son topos :

• " La notion de topos a été introduite par A. Grothendieck au début des années soixante dans le but d’exporter des notions et constructions topologiques ou géométriques dans des contextes où il n’y avait pas d’espaces topologiques au sens strict.
• Grothendieck a réalisé que beaucoup de propriétés importantes des espaces topologiques X peuvent se reformuler naturellement comme des propriétés (invariantes) des catégories Sh(X) des faisceaux d’ensembles sur les espaces.
• Il définit donc les topos comme des catégories de faisceaux d’ensembles plus générales, en remplaçant l’espace topologique X par une paire (C,J) consistant en une (petite) catégorie C et une ‘notion générale de recouvrement’ J sur elle, et en considérant les faisceaux (dans un sens généralisé) sur cette paire :

Sous réserve d'inventaire, j'aurais tendence à situer ainsi ce schéma :

Il me reste à faire le lien entre ce schéma et l'objet final "?" en [∃]^♡ de mon tableau, que je n'ai pu définir simplement de façon immanente.

Comme tu le vois, mon schéma de compréhension est ici beaucoup plus lâche, faute des connaissances suffisantes pour être sûr de moi.

L'hypothèse que je peux avancer intuitivement, faute de mieux pour l'instant, est la suivante :

Geom(E ,E_T) ≃ T-mod(E) établirait une équivalence en [⚤]^♡ entre :

• Un point de vue ex ante 𓁝[⚤] sur E : Geom(E ,E_T);
• Un point de vue ex post [⚤]𓁜 sur une collection de modèles T.

qui serait en [⚤]^♡ semblable à ce qui se discute en [⚤]^♧ entre :

• groupes de symétrie 𓁝[⚤];
• catégorie Ens [⚤]𓁜.

En ce sens, tout modèle T de T-mod(E) pourrait alors servir d'objet final en [∃]^♡.

Mais là, franchement, il s'agit pour moi d'une piste à débrousailler : je suis très loin d'avoir aucune certitude en la matière, et j'attends beaucoup du prochain séminaire.

- Tu pourrais au moins boucler ton article en explicitant le titre, non ?

- Il me semble que cette articulation du Sujet autour de 𓁝[⚤]𓁜 exprime très généralement :

• un désir d'identification de l'objet en posture ex post ☯[∃][⚤]𓁜;
• un questionnement ex ante 𓁝[⚤][∅]☯ en termes de symétries. et d'équivalence.

- Ce qui nous ramène à Galois ?

- Bien entendu, et à Noether également, car équivalence ne vaut pas identité! Il y a entre les deux, place à une certaine indétermination, n'en déplaise aux matheux...

Le 25/05/2021 :

- Jusqu'à présent, et depuis que je m'intéresse au langage mathématique, pour y retrouver la trace d'une valse du Sujet à l'intérieur de son cerveau, je m'y suis baladé le nez au vent, genre Pied Nicklé.

Je ne récuse pas ma légèreté, parce que dans cette marche à l'aveugle, chaque difficulté s'imposait comme un trauma du Réel. Et faute de culture mathématique, je m'en suis sorti à chaque fois par une intuition. La dernière en date, qui a surgi en écrivant l'article "bouclage Imaginaire", s'est produite le 10/05 dernier, lorsque j'ai articulé : "et si je faisais plusieurs tours dans mon Imaginaire" ?

Les fragments disparates de ma réflexion se sont alors ordonnés rapidement dans ce tableau, style Mandéléïev.

Si j'avais eu une culture mathématique académique, je n'aurais sans doute pas trébuché sur ces obstacles, ni recouvré d'instinct mon équilibre, or c'est bien cet instinct qui m'intéresse au premier chef, lui qui façonne mon Imaginaire lorsque je suis livré à moi-même...

- Où veux-tu en venir ?

- Au fait que cette pierre élémentaire sur laquelle je trébuche actuellement au niveau [#]^♡ appelle des notions de "théorie du premier ordre" et de "modèle" que je ne connais pas, au moment où mon esquisse de l'Imaginaire me semble, par contre, assez cohérente.

- Et ?

- Pour avoir une vision correcte de la partie gauche de notre tableau,

je peux maintenant apprendre ce que l'on appelle "logique catégorique", en commençant par la base.

- Tu deviens raisonnable?

- Je dirais plutôt que mon modèle est assez bien construit pour passer des points de bâti à la couture finale. Au jeu de go, on parlerait des dernières batailles de rue avant de clore la partie.

Pour avancer dans cette voie, je suis tombé sur deux présentations qui me semblent accessibles :

• "Logique mathématique : Calcul des prédicats du premier ordre". de Arnaud Durand & Paul Rozière;
• "Introduction à la logique catégorique" de Alain Prouté.

Je pense que ce serait utile avant le colloque sur les topos de fin juin.

- Ça y est, l'aventure touche à sa fin, tu rentres dans le rang ?

- Pas tout à fait, car il me reste au moins deux ouvertures pour vivre sur notre go-ban, ou plutôt notre "math-ban". Par exemple quel est le rapport entre la forme d'une transformation naturelle, avec 4 pôles, les 4 pôles de la structure en L de Lacan, et les 4 pôles de la forme canonique de Lévi-Strauss...

- Ouf ! Voilà qui me rassure ! 😉

Hari

Note 1 :

À bien y réfléchir, on pourrait sans doute avancer qu'au niveau ♢, nous ne nous occupons que de "mouvement", et que j'écris abusivement "•⟲_∃^♢" car:

• La flèche ⟲ du morphisme monoïde serait le pur "objet" de niveau ♢;
• L'objet • domaine/ codomaine du morphisme •⟲ resterait de niveau ♧.

Alors "•⟲" serait comme vu ex post en ♢ : 

• le • au niveau ♧ par transparence, sous le niveau ♢ où se trouve ⟲;
• de même, Ω serait constitué
  • de flèches ⟲ ou ⇅ en ♢;
  • et les deux objets • seraient situés en ♧, le tout vu ex post depuis ♢.

Ce serait un peu plus cohérent, mais je pense que ce sont pour l'heure des remarques de second ordre...

Note 2 :

Pour amuser les Lacaniens :

En bouclant Réel et Symbolique après avoir fait 3 tours dans notre Imaginaire, nous retrouvons tout naturellement cette image du noeud borroméen, qui l'avait tant intéressé dans ses derniers travaux ! 

À ceci près, bien entendu, que le nôtre n'est pas formé des 3 anses Réel/ Imaginaire/ Symbolique, mais boucle l'Imaginaire sur lui-même, après avoir "raboutés" entres elles les 2 extrémités Réel sur Symbolique.

Il ne s'agit donc plus que de la seule structure générale de notre Imaginaire, avec 3 anses ♧, ♢, ♡.

Au demeurant, donner une "forme" imaginaire, forcément imaginaire, au Réel ou au Symbolique, est un peu une contradiction dans les termes, non ? 😉

Note 3 :

Pour mémoire, en  [⚤]𓂀^♧ la même brisure de symétrie  ⇆  conduit à la différence:

• identité (*)_∃^♧↑{{*};{∅}}_⚤^♧
•  propriété universelle  {{*};{∅}}_⚤^♧↓(*)_∃^♧, et idempotence.

Note 4 :

Dans sa vidéo, O.C. insiste sur le fait que dans sa théorie des ponts, il faut abandonner l'axiome de choix AC. (note : Alain Prouté distingue entre choix "interne" et "externe" en logique catégorique, il faudra y revenir en détail).

Il y a une réflexion philosophique à mener à ce sujet, sans doute est-ce à articuler avec cet abandon de la logique du 1^er ordre, autrement dit dès [∃][⚤]𓂀^♢ ?

En ce sens, l'expérience d'Alain Aspect, introduisant une "brisure de symétrie" avec un "choix" apparaîtrait dans le passage de [∃]𓁜^♢ ↓ 𓁝^♧[∅] ?

On pourrait prolonger la réflexion ainsi : 

• La décohérence serait un processus régressif du Sujet, de niveau ♧qui s'amorce ainsi : ([♲]𓁝^♧⇆𓁜[∅]⏩[♲]𓁝⇆𓁜^♧[∅])_⇅𓂀^♧ 
• L'intrication s'exprimerait dans une approche de niveau ♢, après cette évolution du Sujet : (𓁝^♧[∅]⏩[∃]𓁜^♢)_⇅𓂀^♧

Ce dernier changement de point de vue impliquant, dans le discours de l'auteur 𓂀^♢, à la suite de cette évolution de lui-même 𓁜^♢: la perte 

• de temporalité,
• de causalité,
• de choix.

Qui apparaissent alors, rétrospectivement, comme les expressions d'une brisure de symétrie_♲ dans le saut  [∃]𓁜^♢ ↓ 𓁝^♧[∅]. (note 5)

- Et ça t'avance à quoi ?

- Peut-être à comprendre que le choix, qui signe la volonté du Sujet de régresser, jusqu'à l'observation de l'objet (i.e.: nous en revenons à nos "observables"), soit également cause du registre temporel dans lequel l'observation va pouvoir s'exprimer. 

En parallèle, le mouvement ⟲_∃^♢ pris comme objet de réflexion en ♢, se délite progressivement dans la régression Imaginaire conduisant de [♲]𓁜^♧ à [∃]𓁜^♧; jusqu'à l'objet final (*)_∃^♧.

Ainsi, ce que le langage mathématique révèle en ♢, devient observable en ♧.

- Ça me fait penser au roman Ubik de Philip K. Dick, dans lequel les objets se délitent en même temps que l'espace dans lequel ils évoluent...

- Nous y sommes mon ami, nous y sommes... 😉

Note 5 :

Comme quoi les choses n'arrivent jamais par hasard : au moment de lire le document d'Alain Prouté, "Introduction à la logique catégorique", je gambade un peu sur le web pour voir de qui il s'agit, et je tombe sur une vido très intéressante de lui "Séminaire Math-Philo 2018 (ENS Ulm)" où il parle en particulier des langages mathématiques qui se différencient selon 3 et seulement 3 critères: (vidéo à 1h25mn)

• des ensembles infinis;
• le principe du tiers exclu;
• le constructivisme.

Et il démontre qu'il n'y a pas de théorie mathématique qui puisse satisfaire à ces 3 critères, il faut en choisir 2 parmi 3.

Or, ce que je viens de dire du passage de  𓁝^♧[∅] à [∃]𓁜, c'est qu'il se caractérise par l'abandon du tiers exclu au profit du constructivisme (et là nous retrouvons O.C.), franchement, je ne pouvais rêver mieux !

Petit bémol cependant, mais Prouté est avant tout informaticien, et non géomètre: 

1/ Il ne fait aucune référence à l'hypothèse du continu;

2/ En conséquence, il ne fait aucune différence entre:

• l'introduction du point à l'infini sur R, qui se fait en [#]𓁜 pour des raisons de géométrie, liées à la posture locale 𓁝[#];
• l'indéfini en N, qui s'exprime en [⚤]𓁜 à partir du concept de successeur.

Note du 29/06/21 :

- En fait, oui, il y a un 4^ème niveau ♤ !

- Qu'est-ce qui t'y amène ?

- Le colloque "Topos on line" qui se déroule en ce moment. J'y reviendrai en détail, après l'avoir mieux digéré, mais je peux déjà entrevoir le pas suivant, et c'est assez évident a posteriori.

- En deux mots ?

- Au niveau ♡, l'élément de base, c'est une "théorie du premier ordre", représentable sous forme d'un "objet - topos". Topos qui ne serait pas sous forme exponentielle, elle est là la limite du niveau ♡.

Au-dessus, tu peux donc imaginer des faisceaux ↓ dont le domaine serait en ♤, ayant pour codomaine commun un tel topos de premier ordre en ♡...

C'est la même construction qu'entre les niveaux ♧ et ♢ : tu as un "singleton" en ♧ et des "mouvements" ↓, ou flêches ou foncteurs de niveau ♢ aterrissant tous sur cet objet comme codomaine.

C'est dire que "l'objet" référe au niveau ♤ t'échappe à jamais, mais que tu peux t'en faire une "représentation", ou des "modèles", dans une descente Imaginaire, et finalement, en revenir, comme toujours, concrêtement à une application finale sur la catégorie Ens (ou Set) des Ensembles...

Comme tu le vois, ce 4^ème niveau ♤ donne plus de cohérence à notre représentation Imaginaire...

- Comment cela ?

- Parce qu'en renvoyant le Symbolique 𓁝☯ à ce niveau ♤, j'ai bien l'idée que la posture final du Sujet doit rester ex ante : 𓁝, puisque de l'objet initial [∃]^♤ à ce niveau, je ne pourrais percevoir, ex post, que des projections de niveau [∃]𓁜^♡, de même que je ne "vois" le mouvement, repéré en [∃]^♢ par •⟲, qu'en passant par les points fixes (*) en [∃]^♧.

- Et l'aventure s'arrête là ?

- De l'aveu même d'Olivia Caramello, elle ne voit pas d'extension plus développée, mais tout ceci sera très certainement remis en question un jour ou l'autre... 😀. α