Mettre un peu d'ordre dans sa tête

Suite de l'article "Foncteurs et transformations naturelles".

- Je voudrais revenir à cette idée que notre carte, non pas du tendre, mais de l'Imaginaire, nous permet de nous repérer dans nos idées, un peu comme le tableau de Mandeleïev nous aide à nous y retrouver dans tous les matériaux qui nous entourent.

- Vu le temps que tu as passé sur la première ligne ♧, j'ai peur de la tâche qu'il te reste à accomplir !

- C'est justement pour m'aider à m'y retrouver que ce tableau peut être de quelque utilité.

Nous avons déjà une idée précise du passage horizontal de [⚤] à [#] puis à [♲]: 

• [⚤] traite originellement de la pensée "rationnelle logique", le Sujet en posture 𓁜 tourné vers l'objet final en [∃], pour faire rapide : les objets sont vus comme "constitués d'éléments discrets";
• [#] traite de l'approche topologique, tantôt 𓁜, tantôt 𓁝, l'objet étant alors appréhendé localement par les "parties d'un milieu continu";
• [♲] réconcilie les deux points de vue : discret en [⚤] et continu en [#], d'où l'idée qu'un discours complet est un topos_♲.

Maintenant il nous faut une idée générale pour comprendre la nécessité de passer de ♧ à ♢ puis à ♡.

Je vais avancer l'hypothèse suivante : le passage d'un niveau au suivant consiste à généraliser la notion de "mouvement", ou plutôt, en partant de ♡: la dégénérescence Imaginaire consiste à "oublier" progressivement les mouvements Imaginaires, jusqu'au trauma final au contact du Réel ☯[∃]^♧𓁜 où le Sujet se "fige" de stupeur.

- Je croyais que le mouvement se définissait par un couple de concepts, l'un synchronique, et l'autre diachronique ?

- Il suffit de généraliser l'idée :

• En ♧, le mouvement porte sur des objets, le plus primitif étant (*) en [∃]. Le mouvement diachronique s'exprime par la flèche d'un morphisme ↑;
• En ♢, le mouvement porte sur les morphismes, idéalement un monoïde •⟲_∃ et le mouvement, qui intéresse les objets (*) et les flèches ⟲ est un foncteur.
• En♡, le mouvement porte sur les foncteurs et le mouvement est une transformation naturelle.

Bien entendu ce qui est diachronique ↑↓ dans le passage de [∃] à [⚤], se réifie et s'aplatit ←→ ex post en [⚤] en concept synchronique. C'est vrai pour le morphisme f, le foncteur F et la transformation naturelle η; et il y a toute une étude à mener pour comprendre les passages η↓F↓f en termes de brisure de symétries_♲, du point de vue de [♲]^♡𓂀.

- D'après ce que tu dis, je comprends que tu as un canevas assez général de ton organisation Imaginaire, et qu'en t'appuyant essentiellement sur tes modestes connaissances de Conceptual Mathematics de Lawvere, tu te sens capable d'expliciter la partie surlignée du tableau :

Que peux-tu dire d'autre ?

- Ma seconde hypothèse est que le concept ∅ est l'objet initial le plus général que l'on puisse trouver à chaque étage de notre Imaginaire. Il y en a peut-être de plus "structurés", je ne le sais pas encore n'ayant qu'une compréhension limitée de la théorie des catégories, mais je doute qu'il puisse en exister de plus général.

Ma troisième hypothèse est que les principes de niveau [♲] doivent aller en se "simplifiant".

- De quelle façon ?

- J'ai commencé mon exploration de [♲]^♧ avec en tête le triptyque d'Emmy Noether (conservation d'une quantité/ symétrie/ indétermination).

Lorsque l'on se focalise sur les foncteurs, l'idée omniprésente est celle de "propriété universelle". Je ne doute pas (encore faudra-t-il le vérifier !) d'une convergence au niveau [♲]^♢.

Par ailleurs j'ai repris cette idée de Grothendieck qu'un topos_♲ est le lit commun du discret et du continu, dès le niveau ♧, alors que sa pensée était d'un niveau très supérieur à la mienne. Autrement dit, je ne peux, personnellement, qu'avoir une appréhension dégénérée d'un concept situé au plus haut de l'Imaginaire, dans notre tableau (et en attendant de voir la suite) je le situe d'office en [♲]^♡.

Enfin, j'ai l'idée très générale, que le mouvement, portant de [♲]^♧ à [♲]^♢, puis à [♲]^♡, doit être comme une "décantation des idées", pour nous rapprocher de considérations philosophes très basiques, voir in fine d'ordre spirituel, avec une ouverture finale sur le symbolique 𓁝[∅]☯.

En ce sens, notre "tableau" devrait plutôt avoir l'aspect d'un éventail, resserré du côté [∅], et bien étalé du côté [∃]. Faute de savoir le faire en html, nous nous contenterons de notre tableau un peu trop régulier pour l'instant...

- Si je te suis bien, tu as déjà une petite idée concernant la partie droite du tableau ?

- Oui, mais comme tu le vois, le gros du travail consiste à m'attaquer à la partie centrale [#]^♢ et [#]^♡ , la plus complexe. Et là, très franchement, j'ai peur de ne jamais y arriver !

- Essaie déjà de consolider ce que tu n'as qu'entre-vu jusqu'à maintenant. Et si tu pouvais le faire studieusement au lieu de brasser des généralités, peut-être seras-tu plus apte à suivre le prochain colloque "Toposes on line" d'Olivia Caramello, Laurent Lafforgue et Charles Rezk, fin juin sur Zoom...

Just do it !

Le 18/05/2021 : Retour à Spinoza

- Avant de rentrer dans le détail de la technique catégorique, j'ai une dernière remarque d'ordre général concernant la circulation du Sujet au sein de son Imaginaire, qui nous renvoit à Spinoza et ses deux premiers modes de pensée : immanent (☯↑☯)_⇅^♧𓂀 et transcendant (☯↓☯)_⇅^♧𓂀, dont nous avons déjà abondamment parlé tout au long de ce blog. Compte tenu de ce que nous venons de voir, il est aisé de situer les ouvertures de l'Imaginaire sur le Réel ☯ et le Symbolique ☯ de cette façon : 

Ce qui te permet de comprendre les cheminements de ☯ à ☯ sont forme de "transformations naturelles" : 

Immanence :

Transcendance : 

Mêler dans un même schéma Grothendieck, Lacan et Spinoza, avoue que ça le fait, non ?

Hari