Un bord n'a pas de bord — l'essence de [#]♢

Le 27/ 07/ 2025 : Bron

- Je voulais épingler cette idée avant que les brumes de l'éveil ne se dissipent complètement : le concept de "bord" défini par cette propriété qu'"un bord n'a pas de bord", échappe à la distinction covariant/ contravariant. Il est au-delà (ou en deçà ?) de la distinction entre les voies (☯𓁜𓁝☯) et (♧𓁜𓁝♡)...

- Il me semble que ça se remarque sur le cross-cap, que tu nous a habitués à voir en mettant en valeur la ligne de pincement entre niveaux et modes :

Car si tu reprends la vidéo, nous avons ce point particulier où tous les chemins convergent, et c'est bien entendu le point [#]_♢...

... Et j'y pense comme à l'épi de cheveux qui, nécessairement, se trouve sur toute tête normalement chevelue.

- Encore un théorème de Brouwer ?

- Exact, mais plus encore : je repensais hier à la gorge d'Irma (voir cette Note 1) comme au point de régression d'une sorte de fractale, à savoir la démarche indéfinie pour passer du Réel au Symbolique et vice versa; et en son essence la Forme Canonique elle-même qui se laisse appréhender en sa plus pure expression : 

• Le bord à l'étape ∆ⁿ de la construction d'un "objet" de dimension ∆ⁿ⁺¹
• Existe 
• De ne pas avoir de bords de dimension ∆^n-1.

Si tu adoptes le bon point de vue, tu peux voir que c'est la mort d'éléments de ∆^n-1, qui le font exister en ∆ⁿ. Bon, je développerais plus tard, car je dois filer à Fourvière.

Le 29/ 07/ 2025 : Châtenois les Forges

- Après deux jours d'errance entre maths et Lacan, (en Note 1), j'ai tout jeté en me traitant d'idiot...

- Une fois n'est pas coutume... Mais peut-on savoir ?

- Il y aurait mille façons d'y arriver, mais laisse-moi choisir cette présentation, qui aura l'avantage d'agacer tous les grincheux, indécrottables ignorants de la Forme Canonique.

1. Platon choisit la voie des choses (☯𓁜⇆𓁝☯), et la voie des mots (♧𓁜⇅𓁝♡) —celle des Sophistes— est forclose par les philosophes;
2. Il s'appuie sur Parménide pour lequel "ce qui est est, ce qui n'est pas n'est pas" et la logique du 1^er ordre comme "objet discriminant du discours", en [⚤] _♧; avec le tiers exclu;
3. Évariste Galois introduit un élément neutre entre les éléments formant un groupe, en [⚤]_♢; avec le tiers exclu entre un élément "a" et ce qu'il n'est pas : a•a^-1=e;
4. L'objet discriminant en [⚤]_♢ ne respecte plus le principe du tiers exclu, mieux : il le met en avant, et tout tourne dès lors autour de lui. (Par exemple le théorème de Lagrange sur les groupes finis Note 2)

- Oui, j'ai compris : c'est en tuant le principe du tiers exclu qu'est advenu l'élément neutre, qui était forclos par Platon !

- Voilà, mais ceci :

• est un discours que tu tiens ici et maintenant dans la voie des mots (♧𓁜⇅𓁝♡) en introduisant une syntaxe_♢;
• concernant des éléments d'un groupe avec a•a^-1=e, c.-à-d. des objets, dans la voie des choses (☯𓁜⇆𓁝☯). Ensuite, tout se développe rapidement autour de ce germe (ou rhizome pour faire joli voir ici).

- François Jullien nous parlerait de dé-coïncidence d'avec la pensée Platonicienne ?

- Oui, aussi. Maintenant tentons d'élargir notre champ de vision en passant au niveau [#]_♢. il saute aux yeux que notre bord y tient le même rôle central que l'élément neutre, ce fameux "tiers exclu" par les philosophes Grecs...

- Une simple transposition ?

- Non, il faut faire jouer la Forme Canonique : ce qui était dans la voie des choses ⇆, doit être traité dans la voie des mots ⇅.

- On en vient donc à ton "un bord n'a pas de bord", et tout ce détour pour nous en dire quoi ?

- Ce que nous venons de réfuter de Parménide, dans la voie des choses ⇆, doit maintenant être réfuté dans la voie des mots ⇅. Ce qui nous conduit à ceci: "nous ne pouvons parler que de la frontière entre ce qui est et ce qui n'est pas".

S'il te faut une image pour fixer tes idées, pense à un trou noir : il existe, et tout ce que nous pouvons en dire se situe sur "l'horizon des évènements" de Schwarzschild.

- Et ça ne pouvait pas être exprimé par Platon ?

- En aucune façon :

• Il est dans la voie des choses ⇆ => nous sommes ici dans la voie des mots ⇅
• Il adopte un principe Unitaire  [1] 𓁜 => nous adoptons un principe dual [∃]𓁜𓁝[∅];
• Il utilise la logique du 1^er ordre => nous adoptons des logiques différentes selon les niveaux :
  • en [⚤]_♢ le tiers exclu n'est pas respecté (e est le tiers exclu de Platon);
  • en [#]_♢ le principe de contradiction n'est pas respecté (le bord ⊂ "ce qui est" et ⊂ "ce qui n'est pas").

Et tu remarqueras qu'à chaque étage de la construction, tu peux faire jouer la Forme Canonique.

- Mais ton intuition ne portait-elle pas sur la différence covariance/ contravariance ?

- Hum... Ça c'est plus complexe, et je situerais l'idée en [♻]_♡.

- Précise ?

- Le niveau [♻] est celui de "la quantité conservée", et en mode ♡, cette "conservation" doit avoir le caractère le plus général qui soit, en particulier, l'objet de l'attention du Sujet ne doit pas dépendre de la façon de le "concevoir", que ce soit par la voie ⇆ ou  ⇅. (la première contravariante, la seconde covariante). L'expression la plus claire de cet dualité se retrouve dans l'expression de "l'observable" en méca Q, si limpide dans l'écriture de Dirac, avec le "bra" ⟨ | et le "ket" | ⟩.(voir "Métaphysique quantique de Dirac")

- Nous en étions au niveau [#]_♢...

- Oui, je sais, et la quantité conservée en mode ♢, l'objet de niveau [♻]_♢, résulte d'une transposition entre nos voies ⇆  et ⇅.en [#]_♢. Pour le dire vulgairement, c'est le déterminant d'une matrice qui s'exprime par un nombre en [⚤]_♢, avec derrière ça, l'idée de sa transposition^#_♢ (i.e.: les formes linéaires ⇆ deviennent des vecteurs ⇅ et vice versa).

Je sais que beaucoup de matheux n'aiment pas les matrices, et pourtant, c'est le coeur de toute représentation en [#]_♢.

- OK, ça a l'air d'être cohérent ton histoire, mais pour en revenir à ce rapport que tu établissais entre la Forme Canonique et cette définition du bord ?

- J'ai dans l'idée que la Forme Canonique est une projection en [⚤]_♢ d'une représentation mentale de niveau [#]_♢ qui est, par nature, "indicible" : [⚤]_♢←[#]_♢, et ne peut s'approcher que dans la répétition. Un mythe ne dénote 𓁜 pas le Symbole dont il parle mais le connote 𓁝.

- Et notre potière jalouse ?

- On peut dire :

• En [#]_♢, le principe de non-contradiction n'est pas opérant, et la femme, peut être décrite comme la "frontière" en ♢ entre :
  • Ce qui donne sens à son action en ♡: elle est potière;
  • Ce qui la caractérise au quotidien en ♧ : elle est comme l'engoulevent;
• En [⚤]_♢, elle est le tiers non-exclu, entre Engoulevent et Fournier (son complément, repéré par Lévi-Strauss).
• Le passage [⚤]_♢←[#]_♢  s'accompagne d'un changement de logique déjà discuté sur ce blog (voir en particulier "Le schéma L de Lacan comme "schéma" de Grothendieck").

Il est tentant de voir la Forme Canonique comme la mise en oeuvre d'un changement de logique...

- Passant par la "mise à mort" de la logique du 1^er ordre ?

- Ça se tente...

• Dans la voie ⇆ en [⚤]_♢ : Notre "potière jalouse" existe : c'est l'élément neutre entre engoulevent et engoulevent^-1.
  • c'est le tiers non exclu;
  • de deux principes dichotomiques (non-contradiction);
• Dans la voie ⇅ en [#]_♢ : Notre "potière jalouse" ⊂ "à l'ordre" & ⊂ "au désordre",
  • c'est contradictoire, mais
  • "irreprésentable" (tiers exclu).

- Ça a l'air de fonctionner, mais comment le dire de façon évidente, en termes de Forme canonique ?

- Laissons tout ceci mijoter un peu : j'ai promis à Midori d'aller visiter la chapelle de Ronchamp.
[...]
À la réflexion, il me semble que, comme souvent, je prends les choses à l'envers, en croyant que la révolution galoisienne est une nouveauté par rapport à la démarche platonicienne, et je tente de faire fonctionner la Forme Canonique à l'envers.

- N'est-ce pas le cas ?

- En un sens, oui, mais si tu te situes dans la perspective de Platon, qui voulait introduire de la rigueur dans le discours pour en finir avec la pensée mythique et tout l'Olympe, c'est lui qui opère une révolution.

- Autrement dit, si la pensée mythique est une valse-hésitation entre deux logiques  [⚤]_♢⇆[#]_♢, alors Platon :

• Rejette le mouvement ⇆ en mode syntaxique => suppression du mode ♢, lien direct de l'objet en ♧ au sens en ♡;
• Réifie la logique en [⚤]_♧, avec le tiers exclu et le principe de non-contradiction.

Et donc, en tuant les mutations logiques qui soutiennent le récit mythique, il fait advenir la logique du 1^er ordre, et tout le développement de l'Occident, jusqu'à ce que nous en sentions les limites, en gros au cours du XIX^è siècle ?

- Oui, ce qui fait ressentir la révolution épistémologique en cours, comme une redécouverte des mécanismes mis en oeuvre par l'Humanité pour appréhender son environnement, depuis la nuit des temps, et qui s'exprime particulièrement bien dans la pensée mythique. C'est en ce sens, une archéologie du savoir, merci Foucault.

- Je crois que pour aujourd'hui nous avons fait le tour ! Et c'est l'heure de l'apéro... 😊

- Amen

Hari

Notes 1 :

Le 29/ 07/ 2025 : Châtenois les Forges

- Avant de continuer nos cogitations, il me semble nécessaire d'avoir une idée un peu visuelle de ce à quoi renvoie cette idée en langage mathématique (voir ici dans "Schéma de présentation du 22/ 05/ 2024")

Processus topologique en [#]♢; On déconstruit l'objet en partant des volumes en 3D, dont la surface 2D est la frontière, ensuite on passe aux arêtes 1D délimitant ces surfaces, pour finir par les points 0D délimitant les arêtes.  On définit une application "bord" ∂n => Im∂n+1 ⊂ Ker∂n

Cette "application bord" notée ∂, fait correspondre à un "objet" de dimension n+1, son "bord" de dimension n. Autre élément de langage : le "noyau" ou "kernel d'une application est l'ensemble des éléments de l'espace de départ, qui s'appliquent sur l'élément vide de l'espace d'arrivée. D'où cette expression très simple : Im∂_n+1 ⊂ Ker∂_n. 

La subtilité tient à ce que cette expression, d'ordre purement topologique de niveau [#]_♢, s'exprime algébriquement en [⚤]_♢ grâce à la notion de groupe introduite par Évariste Galois. Si les éléments de l'objet à décrire, en chacune de ses dimensions n, forment des "groupes", alors Im∂_n+1 , est un sous-groupe distingué de Ker∂_n, permettant de définir les groupes d'homologie H_n d'un objet comme groupes quotients H_n=Ker∂_n/Im∂_n+1 . Ce qui renvoie à une notion très générale d'orthogonalité...

- Tu révises tes cours de maths ?

- Oui, il faut bien l'avouer. Mais avec ce rappel, j'avais une autre pensée en tête : est-ce que la Forme Canonique ne serait pas une projection en [⚤]_♢, d'un processus primitivement de niveau [#]_♢?

- Je ne comprends pas ?

- Le mythe est un récit, une histoire, qui se transmet de bouche-à-oreille. La pensée mythique passe essentiellement par la parole, mais le problème évoqué n'est-il pas d'un autre ordre de complexité, peut-être nativement topologique en [#]_♢?

Le 30/ 07/ 2025 :

- Depuis hier, je ressens une très grande frustration, car je n'arrive à rien...

- D'où vient ce sentiment ?

- En faisant un rapprochement entre la notion de "bord", comme celui d'un gouffre par exemple, et la mort, apparaissant comme un vide dans la Forme canonique, j'avais l'intuition d'un rapprochement possible, avec l'idée que la Forme canonique pouvait être comprise comme une projection en [⚤]_♢d'un concept topologique plus fondamental encore, i.e.: [⚤]_♢←[#]_♢. Mais je n'arrive à rien.

- Pourquoi ne pas revenir à Lacan ? J'aimerais entendre de quelle façon il en est venu à penser au cross cap par exemple.

- Tu as raison : revenons à la base de tout ceci, c.-à-d. au séminaire "Encore" de 1972-1973, et en particulier, à la séance du 20 mars. (lien ici)

"...j’avais énoncé de ce dernier paragraphe qu’il y avait un nommé Empédocle, et j’avais fait remarquer que ce n’est pas pour rien que Freud s’en arme : que pour Empédocle Dieu devait être le plus ignorant de tous les êtres - ce qui nous conjoint à la question du savoir - et ceci très précisément disais-je, de ne point connaître la haine. J’y ajoutais que les chrétiens plus tard ont transformé cette « non-haine » de Dieu en une marque d’amour. C’est là que l’analyse du corrélat qu’elle établit entre haine et amour nous incite, nous incite à ce quelque chose d’un rappel, où je reviendrai tout à l’heure et qui est exactement celui-ci : qu’on ne connaît point d’amour sans haine.
C’est-à-dire que s’il y a connaissance de quelque chose, si cette connaissance nous déçoit... qui a été fomentée au cours des siècles, et qui fait qu’il nous faut rénover la fonction du savoir ...c’est bien peut-être que la haine n’y a point été mise à sa place.
[...]
Je n’étais pas très heureux d’avoir terminé là-dessus, qui est pourtant une vérité. C’est bien ce qui me fera aujourd’hui m’interroger une fois de plus sur ce qui se confond apparemment du vrai et du réel, tel que j’en ai apporté la notion, telle qu’elle s’esquisse dans l’expérience analytique, et ce qu’il y a bien, en effet, à ne pas confondre. Bien sûr que le vrai s’affirme comme visant le réel. Mais ce n’est là énoncé que comme fruit d’une longue élaboration, et je dirai plus : d’une réduction des prétentions à la vérité."

- Nous connaissons la suite : c'est le discours de l'analyste (dans "Les 4 discours et le cross-cap de Lacan"), avec en arrière plan de carré sémiotique (voir "Le carré sémiotique — suite"), tu tournes en rond mon cher...

- Revenons sur nos pas à la recherche des traces d'un énoncé à couleurs topologiques.

- Par exemple ?

- Et bien, lorsqu'il écrit ceci :

"Est-ce qu’il ne se voit pas, rien qu’à ce problème évoqué, que s’il est quelque chose qui assurément nous inspire toute la réserve - qui est bien celle que nous avons toutes, que nous avons tous - c’est que «toute la vérité» c’est ce qui ne peut pas se dire. C’est ce qui ne peut se dire qu’à condition de... de ne la pas pousser jusqu’au bout, de ne faire que la mi-dire. Il y a autre chose qui nous ligote quant à ce qui en est de la vérité, c’est que la jouissance c’est une limite."

Tu peux très bien comprendre que :

• "Toute la vérité" est en [♻]𓁜;
• Ne pas pousser jusqu'au bout : tu restes en 𓁝[♻], avec un automatisme de répétition à la clef;
• La jouissance est dans le passage 𓁝[♻]→[♻]𓁜

Bien entendu, être en 𓁝[♻], sous-entend que tu oscilles dans le champ [#]𓁜⊥𓁝[♻], c.-à-d. le domaine de la topologie, et qu'en [#]𓁜 tu "habilles" la "vérité" considérée comme substantielle en  [♻]𓁜.

"C’est quelque chose qui tient à la structure même qu’évoquaient - au temps où je les ai construits pour vous - mes quadripodes : c’est que la jouissance ne s’interpelle, ne s’évoque, ne se traque, ne s’élabore qu’à partir d’un semblant."

- Ce "semblant" pourrait entre de l'ordre de la parole en [⚤]...

- Bien entendu, mais c'est précisément ce point de vue qu'il s'agit de dépasser, en passant par [#] en mode ♢.

- D'après tout ce que nous avons vu, il s'agirait également d'abandonner la voie des choses (☯𓁜⇆𓁝☯), pour en parler dans la voie des mots (♧𓁜⇅𓁝♡), et là tu retrouves la dé-coïncidence chère à François Jullien...

- Bien entendu, mais avançons. Nous en étions au "semblant d'être" en [#] et l'Être, comme toujours en [♻]𓁜 :

"Cette affinité du (a) à cette enveloppe, c’est là le joint - il faut le dire - un de ces joints majeurs à avoir été avancés par la psychanalyse et qui pour nous est le point, le point de suspicion qu’elle introduit essentiellement. C’est là que ce qui peut nous venir à dire du réel, se distingue, car le réel [l’impossible»], si vous le prenez tel que j’ai cru, au cours des temps, temps qui sont ceux de mon expérience, le réel ne saurait s’inscrire que d’une impasse de la formalisation..
[...]
Et s’il m’était permis d’en donner une image, je la prendrais aisément de ce qui dans la nature paraisse le plus se rapprocher, de ce qui fait que l’écrit exige en quelque sorte cette réduction aux dimensions - dimensions 2 - de la surface, et qui d’une certaine façon se trouve supporté, dirais-je, dans la nature de ce quelque chose dont déjà s’émerveillait Spinoza, c’est à savoir le travail de texte qui sort du ventre de l’araignée.​​​​​​​"

- Il était à un cheveu de définir les deux dimensions de cette surface en 2D qui vient là dans le flot de son discours (car Lacan n'écrit pas : il parle).

- Oui et je vois bien ce fil que l'araignée tisse, lorsque je décris le chemin du Sujet sur la topologie du cross cap (voir "Un GPS pour circuler sur le cross-cap").

Ensuite, il faut reconnaître que la lecture de ce qui dû être une forte expérience pour les participants à ce séminaire, m'endort...

- Tu baisses les bras ?

- Je ne trouve pas ce que je suis venu chercher...

- Mais que cherches-tu ?

- Quelque chose qui me fasse penser au noyau d'une application, pour penser au bord, celui d'un trou...

- Pose la question directement.

- Chat GPS propose ce lapsus que Lacan a repéré lui-même :

«🤖 C’est dans ce “ne cesse pas de s’écrire” que réside la pointe de ce que j’ai appelé contingence. … c’est nécessaire qui ici nous introduit ce “ne cesse pas”, mais le “ne cesse pas” du nécessaire, c’est le “ne cesse pas de s’écrire”. Or, c’est bien là l’apparente nécessité à quoi nous mène l’analyse de la référence au phallus. Le “ne cesse pas de ne pas s’écrire” que j’ai dit par lapsus à l’instant c’est l’impossible, l’impossible tel que je le définis de ce qu’il ne puisse en aucun cas s’écrire. » (lien)

- On peut y voir la prolifération des versions d'un mythe, toujours ^𓁝connoté et jamais dénoté^𓁜 selon Lévi-Strauss.

- Oui, mais c'est léger... Nous ne sommes pas dans la même recherche : il pense à l'impossible de dire le Réel, et l'idée du cross cap permet de relier Réel et Symbolique en dehors de la surface Imaginaire, de cela nous avons déjà tenu compte, mais là, je cherche un rapport entre la création et la mort, dans la double inversion d'un concept, que ce soit chez Lévi-Strauss ou Derrida, qui ramène à l'idée de "bord".

- Encore une fois: tu tournes en rond. Tu nous parlais déjà de tout ceci dans "Si cher Thanatos", et en relation avec le carré sémiotique, qui plus est !

- Oui, comme tu le dis "je tourne autour", et c'est pour simplifier tout ça qu'il faudrait passer en [#]!

Note 2 :

Il semble y avoir un paradoxe temporel : exprimer le théorème de Lagrange en termes de groupes est une interprétation moderne de ses travaux (voir lien 🤖 ici).