Penser la physique autrement #2 - Exploration

- J'ai envie de comprendre sans plus attendre cette géométie non-commutative.

- Suffit-il de le vouloir pour la comprendre ?

- Je dois tout du moins essayer, à chaque fois que je fais évoluer ma représentation du Sujet dans son Imaginaire. C'est comme un assemblage de menuiserie japonaise : tant que les pièces ne sont pas parfaitmeent ajustées, le montage ne tient pas.

Or là, j'ai un truc qui coince !

- Peut-on savoir ?

- Dans notre principe de fonctionnement sur deux modes ♧ et  ♢, nous sommes partis sur l'idée qu'au niveau ♢, le cerveau ne se soucie pas trop d'une opposition oui/ non, et que si j'ai consciemment une réticence, voire un interdit, m'empêchant de "penser" à toute l'antipathie que je ressens pour untel, dans le rêve, et afin de restituer un schéma de relations entre lui et moi, je peux jouer avec sa représentation après me l'être restitué sous les traits d'un personnage très sympathique, jusqu'à la caricature. C'est d'ailleurs ce que nous retrouvons dans la structure du mythe.

- Et ?

- Lorsque je lis ce très court texte de vulgarisation du CNRS présentant les travaux d'Alain Connes, il semble a priori que la géométrie non-commutative présente une évolution intellectuelle par rapport à notre géométrie traditionnelle, avec une algèbre où a.b=b.a.

Vois-tu le paradoxe ? Dans mon système de représentation de l'Imaginaire, ce qui est "commutatif" serait plutôt en mode ♢ et le "non-commutatif" en mode ♧...  Pourtant, ça démarrait très bien :

"Les mathématiques fonctionnent sur deux registres complémentaires, le «visuel», qui perçoit instantanément le sens d’un théorème sur une figure géométrique, et l’ «écrit», qui s’appuie sur le langage, sur l’algèbre, et s’inscrit dans le temps. Selon Hermann Weyl, «l’ange de la géométrie et le diable de l’algèbre» se partagent la scène, ce qui illustre bien les difficultés respectives des deux domaines. Les travaux d’Alain Connes s’inscrivent dans la relation entre ces deux registres."

Entre le "visuel" et "l'écrit", nous pouvons parfaitement voir la différence entre les niveaux [#] et [⚤]...

- Et où est-ce que ça s'écroule ?

- Ici : 

"Avec la découverte de la mécanique quantique par Heisenberg, l’espace géométrique des états d’un système microscopique, un atome par exemple, s’est enrichi de nouvelles propriétés de ses coordonnées, comme le moment et la position, qui ne commutent plus. Alain Connes illustre son propos : «ce n’est pas la même chose d’ouvrir une canette de bière et de la boire, et d’essayer de la boire puis de l’ouvrir»."

- Pourtant, dans le rêve en ♢, rien n'interdit de boire avant d'ouvrir la canette, puisque l'on n'a pas de temps logique. Par ailleurs, si j'ai bien compris ce que tu écrivais dans le dernier article, le moment d'une particule est pensé en mode ♢ et sa position en mode ♧...

Est-ce que la non-commutativité ne serait pas plutôt à chercher dans le gap entre deux "modes" de pensée plutôt que dans le passage d'un "niveau" à l'autre, dans un mode donné de pensée ?

- Tu as sans doute mis le doigt dessus, il faut y réfléchir. 

Partons de l'hypothèse que nous gardons toujours cette mécanique élémentaire de la pensée nécessitant un concept dual synchronie/ diachronie pour nous représenter un mouvement. 

• La répétition du saut [∃]^♧↑[⚤]^♧ conduit à la perception du "temps logique" en [⚤]^♧ ;
• Le passage de [∃]^♧↑[∃]^♢ marque un changement de logique (et d'objet discriminant en [⚤]).

Logiquement, si je puis dire, ceci devrait s'accompagner d'un changement du concept de "symétrie" en [♲], ce qui est clairement ce à quoi se réfère notre texte.

Laissons filer notre imagination... 

En mode ♧ et à partir de notre duo temps/ espace, comme représentant d'un duo fondamental, neurologique, "synaptique" diachronie/ synchronie, nous avons suivi, tout au fil de ce blog, une évolution du concept de "temps":

• En [⚤]^♧ : Temps logique, dans le saut diachronique initial [∃]^♧↑[⚤]^♧;
• En [#]^♧: Temps du physicien, vu comme une "dimension" ⊥ "espace", cf. le Hamiltonien, et l'espace de Minkowski;
• En [♲]^♧: Espace/ Temps relativiste : la vitesse propre d'un objet est constante v̅.v=c².

Tout ceci conduisant à la "conservation" E=mc²; et donc, dans la vie quotidienne à celle de "masse". 

En bref, nous retrouvons en mode ♧ ce que Hermann Weyl appelle la bataille entre «l’ange de la géométrie et le diable de l’algèbre», ainsi que la relativité d'Einstein, et un lien entre masse et géométrie.

Tu remarqueras au passage l'évolution concomitante de notre représentation du "temps" : d'abord discret en [⚤]^♧, ensuite continu en [#]^♧, et perdu dans la "mesure" d'une surface (liant espace et temps) en [♲]^♧, associant l'algèbre (l'aire d'une surface) à une figure gémétrique; avec la perspective d'y trouver un topos (i.e.: liant continu et discontinu.)

- Soit, la relativité serait une pensée de mode ♧, et alors ?

- Reviens aux axiomes de Bachmann concernant la géométrie (voir "aspects de la géométrie"): les principes de symétrie auxquels se rapporte cette axiomatique répondent à une logique de premier ordre. ll s'ensuit que dans la régression Imaginaire [♲]→[#]→[⚤]→[∃], les symétries utilisées en [♲] correspondant à la géométrie de Minkowski en [#] s'expriment par la logique du premier ordre en [⚤] et renvoient à l'objet final (*) en [∃].

- Oui, tout ceci me semble cohérent, et ?

- Lorsque tu passes en mode ♢, en changeant d'objet final [∃]^♧↑[∃]^♢ comme nous l'avons déjà vu; bien entendu, tu ne t'intéresses plus tant à l'objet singleton (*) qu'à ses liens, à partir du monoïde •⟲, mais corrélativement, tu changes de logique, et donc ta conception des "symétries" en [♲]^♢.

- Avec la nécessité de retomber sur tes pattes dans la descente [♲]^♢↓[♲]^♧, j'espère?

- Oui, c'est d'ailleurs ce que j'avais écrit de façon automatique, sans penser aux implications de mon écriture dans l'article précédent :

 - Je vois où cela te conduit : apès avoir parlé hier de [⚤]^♢↓[⚤]^♧ et maintenant de  [♲]^♢↓[♲]^♧, le coeur du problème se trouve en  [#]^♢↓[#]^♧, c'est-à-dire au coeur de la géométrie elle-même, n'est-ce pas ?

- Oui, mais en retenant la leçon de Bachmann : la géométrie en [#], est définie par l'idée que l'on se fait des symétries en [♲], dans une pensée transcendante, et non immanente.

Et ceci nous conduit tout droit à la théorie de Jauge : une quantité conservée, observable, correspond à une symétrie (toujours dans la ligne de Noether); répondant à une autre logique que celle du premier ordre (voir ce texte de présentation de M. Fabien Besnard, que je remercie au passage).

Certains de ces groupes définissables de façon très générale en [♲]^♢, ont une correspondace assez simple en mode ♧ : soit en [⚤]^♧ pour les deux premiers, soit en [#]^♧ pour les suivants :

• O(1) = {1, -1};
• SO(1) = {1};
• U(1) est le cercle unité complexe;
• SO(2) est isomorphe à U(1) : c'est l'ensemble des rotations (vectorielles) du plan;
• SO(3) est l'ensemble des rotations de l'espace à 3 dimensions.

Notre schéma est alors "stable" (i.e.: les carrés  ↓̅↓̅ commutent) pour ces groupes de symétries. Et donc, aux côtés de la "masse", déjà acquise au tour précédent, le physicien pondère le singleton  "•" du monoïde •⟲ final en [∃]^♢, en fonction des groupes de symétries qu'il envisage en [♲]^♢.

Nous voyons alors s'inscrire, comme à la parade, les représentations que le physicien se fait du monde "réel" dans notre schéma général de l'Imaginaire :

• la théorie de jauge classique U(1), qui s'identifie à la théorie électromagnétique de Maxwell. C'est une théorie abélienne,
• qui admet des extensions non abéliennes intéressantes appelées théories de Yang-Mills, basées sur les groupes non abéliens SU(n). Après quantification, deux des théories de Yang-Mills constituent l'actuel « modèle standard » de la physique des particules :
  • le modèle électro-faible de Glashow, Salam et Weinberg est basé sur le groupe U(1) x SU(2) et décrit de façon unifiée l'électromagnétisme et l'interaction nucléaire faible;
  • la chromodynamique quantique est basée sur le groupe SU(3), et décrit l'interaction nucléaire forte entre les quarks et les gluons. (wikipedia)

Et tu vois revenir sur le tapis cette idée de "groupe non abélien", et de non-commutativité...

- Ce qui remet en cause ton idée de départ d'un "gap" à franchir entre ♧ et  ♢?

- Tout au moins l'idée que je m'en faisais a priori.

J'étais parti de mon désir de "retrouver" dans le saut ♧↑♢ quelque chose de semblable au saut primitif [∃]^♧↑[⚤]^♧ or, nous avons vu que la nature du saut diffère déjà en passant d'un niveau à l'autre dans le mode Imaginaire ♧:

• de la succession (symbolisée par ⇅) en [⚤]^♧;
• on passe à l'orthogonalité (symbolisée par ⊥) en [#]^♧;
• et à l'équivalence (symbolisée par ⇆) en [♲]^♧.

Il n'y a donc pas de raison fondamentale pour retrouver l'un de ces gaps déjà là (i.e.: ⇅, ⊥ ou ⇆) dans le saut ♧↑♢.

Non, il faut revenir à l'idée que le passage ♧↑♢ marque un "bouclage" de [∅]^♧ sur [∃]^♢ : nous tournons dans une cage d'écureil. Or ce ruban de Moebius implique un retournement du Sujet: s'il se déplace en position 𓁝 en mode ♧, après le premier tour, il se retrouve en 𓁜. C'est d'ailleurs ce que nous avions déjà vu en notant: 

Et ce changement de perspecive du Sujet (i.e.: local/ global) conduit à nous questionner sur la différence entre "symétries globales" et "symétries locales", pour comprendre comment à un point de l'espace "physique" (en [#]^♧) on pourrait associer une symétrie "globale" ET une symétrie "locale", ou nous retrouvons notre ruban de Moebius comme la feuille de papier dont se sert Alain Connes pour illustrer sa présentation (note 1.)

Je pense que c'est ici la jointure de la noix que nous cherchons à ouvrir...

- Vaste champ à défricher !

- Certes, mais je pense être dans la bonne perspective pour aborder le sujet.

L'autre point qui me bloque est de comprendre cette "mesure" dont nous venons de parler à propos de la relativité générale.

- Je te propose de prendre le temps de méditer un peu sur les perspectives ouvertes aujourd'hui...

- Soit, la suite à demain, ou pas...

Hari

Note 1 :

Ça nous ramène également à de vieilles réflexions autour des questions de symétries, voir "le point #9" et de spin, voir  "spin et temporalité").

Pour la présentation d'Alain Connes, j'y reviens dans "abstract nonsense".