Saunders Mac Lane - Mathematics form and function - Concepts of calculus - #10

-  À franchement parler, il m'a fallu survoler le chapitre avant de me faire une idée de ce que l'auteur entend par "calcul".

1. Origins
2. Integration
3. Derivatives
4. The fundamental theorem of Integral calculus
5. Kepler's law sand Newton's laws
6. Differential equations
7. Foundations of calculus
8. Approximations and Taylor's series
9. Partial derivatives
10. Differential forms
11. Calculus becomes analysis
12. Interconnections of the concepts

Pour en arriver directement à ce schéma d'ensemble illustrant sa conclusion, que je retranscris in extenso ci-dessous:

12/ Interconnections of the concepts

"Algebra (e.g., group theory) and geometry (e.g., vector spaces) could each be described as the study of models of a simple formal axiomatic system. The calculus is not easily so described; it is rather the development, from intuitive methods of calculation, of a variety of formal concepts (limit, derivatives, integrals, differential forms) all found within one overarching axiomatics (that for the real numbers and sets of reals and sets of func­tions on the reals). Nevertheless it has the same basic character as do alge­bra and geometry: It begins with practical problems and intuitive ideas useful for calculations which turn out to be strictly formalizable — and which have been so formalized, both with ε - δ and with actual infinitesimals. Moreover, the various ideas involved are tightly connected with each other, as suggested in the following diagram." p. 183

- Bon, le plus simple pour organiser notre exploration, c'est de se fier à notre intuition.

- Je m'attends à tout, Et donc ?

- Mac Lane commence par se camper sur ces deux pieds, bien solidement ancrés au sol : algèbre et géométrie. Attitude que je rapporte à nos deux niveaux initiaux : algèbre-[⚤] / [#]-géométrie.

Ensuite, il pose au centre de son schéma le théorème fondamental, qui se résume à ceci :

Theorem : If a function F(t) has a continuous derivative f(t)=F'(t) on the interval a≤t≤b, then 
∫_a^b f(t).dt = F(b)- F(a)       (1)

Théorème qui fait le lien entre le discret (F(b)- F(a)) et le continu (∫_a^b f(t) ), ce que j'associe immédiatement à un concept de niveau [♲].

- Autrement dit, nous nous intéressons à la mesure_♲.

- C'est l'a priori qui me vient à l'esprit, d'autant qu'il abordera les lois de Kepler et de Newton, dont j'ai déjà parlé sur ce blog (Note 1).

- Il trace également une double flèche entre ce théorème central et les formules de Stokes, qui t'avaient donné amplement matière à réflexions (Note 2).

- Oui, j'en étais venu à l'idée d'une description du passage de mode ♢↓♧, plus précisément au niveau [#]:

- Il va falloir élargir le champ pour contextualiser l'objet du discours !

- C'est sans doute ce qui rend si difficile d'en faire une présentation simple : il faudrait prendre conscience d'un double bouclage en mode syntaxique ♡ :

Ce que l'on pourrait représenter ainsi :

Avec un rôle charnière dévolu au niveau topologique [#]^♢, que tu retrouves d'ailleurs au final dans le schéma de Mac Lane.

- Admettons ce point de vue, maintenant, il s'agirait d'entrer dans le vif du sujet.

1/ Origins

- Sans surprise, Mac Lane commence par le calcul d'une surface Euclidienne, pour enchaîner directement sur la question du passage du continu au discret (d'une intégrale à une somme) à l'aide d'une procédure...

- Tu vas vite, mais bon, nous avons bien :

• En [♲] : la notion de volume ou d'aire d'une surface;
• En [#] : la géométrie Euclidienne;
• Entre [⚤] : l'idée de processus de calcul, par une série ou une suite.

- Ensuite, tu peux étendre ta réflexion à la définition d'une tangente, comme limite d'une série de droites séquentes d'une courbe. pas de problème.

2/ Intregration

"It is remarkable that so many different processes of approximating total measured quantities by adding together little bits of these quantities can all be subsumed under one process, that of integration." p. 152

- Nous partons donc de [⚤] (un processus), mais garde ce schéma en tête pour la suite :

Au coeur de l'action répétitive, ce qu'il convient d'additionner, ce sont des petits éléments_⚤ de la surface_♲ entre l'axe des abscisses_# et une courbe_# f(x) de largeur_# dx.

D'où l'intégrale de Riemann d'une fonction f(x) avec x compris entre a et b
  ∫_a^b f(x)dx.

- On peut discuter de la nature de dx.

- Classiquement, nous sommes dans le continu_#, et dx peut-être aussi petit que l'on veut. Cependant, tu peux conduire tout le calcul en [⚤], puisque dx peut être approché d'aussi près que tu veux par une valeur dans ℚ. Le passage du continu au discret tient à la question de la finitude du processus de calcul (en ℚ tu restes dans le dénombrable,).

- Viens alors la question de la convergence du calcul lorsque dx tend vers zéro. Ça me rappelle ma jeunesse de taupin !

- Mac Lane introduit dans cette recherche d'une convergence, ε et δ, dont il sera beaucoup question par la suite. 

"This formal definition of the Riemann integral of a continuous function replaces the intuitive idea of successive approximations by the use of lim­its and of the standard logical quantifiers (for all ε>0 there exist a δ>0 such that . . .) needed for the exact description of these limits." p.153

(a) Point intéressant : Mac Lane fait le lien entre cette démarche itérative et la linéarité que l'on retrouve dans la théorie des groupes, ce qui renforce l'idée que nous nous trouvons bien au niveau [⚤] de l'Imaginaire.

"Various general properties of the integral also follow directly from this definition.
Linearity is an example :

• the definite integral from a to b of the sum of two continuous functions is the sum of the integrals of these func­tions separately.
• Again, if a<b<c, the integral of a given continuous function from a to c is the sum of the integrals from a to b and from b to c. This property is really using the idea of "composing" a path (of integration) from a to b with a path from b to c — an idea already present in group theory, and one which will recur in more elaborate cases of line integrals." p. 154

- Rétrospectivement, cela rattache le concept de linéarité à un principe primitif de répétition du même en [⚤]^♧...

Le 14/ 06/ 2023 :

3/ Derivatives

"The "instantaneous" aspect might again be formulated by an infinitesimal change dx from x to x+dx. Then if y depends on x by a function y = f(x), the instantane­ous rate of change is the ratio [f(x+dx) - f(x»)/dx or, in an evident extension of the dx notation, dy/dx, the quotient of two infinitesimals." p.154

- Tu ne vas pas nous ressortir tes cours de lycée, non ?

- Désolé, mais je suis le raisonnement de Mac Lane, qui revient au tout début de la démarche mathématique. Avec le recul, cependant, nous pouvons remarquer certaines choses...

- Par exemple ?

- Puisqu'il accorde beaucoup d'importance aux concepts d'infiniment petits ε et δ, il conviendrait de préciser la posture du Sujet s'y référant.

- Facile : il s'agit d'une appréhension locale (ε en x et δ en y) d'une fonction f: y=fx. A priori f est continue, donc nous sommes en 𓁝[#].

- En somme, nous aurions :

• En 𓁝[#] : localement les infiniment petits ε et δ ;
• En [#]𓁜 : globalement la fonction f.

Mais dans quel mode de penser sommes-nous ? En  ♧ ou en ♢ ?

- Tu as raison : je ne suis pas assez attentif à ce qu'écrit Mac Lane. Je me focalise sur ε et δ, quand il attire mon regard sur les quantificateurs ∀ et ∃ (i.e.: "∀ ε>0 / ∃ δ>0 such that ...") Et donc, ce qui nous intéresse, c'est la relation liant ε à δ; et nous sommes en ♢.

- Relation représentée ainsi :

• En [#]^♢𓁜 : la fonction f;
• En [#]^♧𓁜 : la pente δ/ε d'une tangente à f(x);
• En [⚤]^♧𓁜 : le ratio δ/ε.

Ce qui s'écrit de façon explicite par :

- On pourrait chipoter sur le ratio en ℚ...

- Au final, tout se termine par un calcul approché, même si les concepts ε et δ sont a priori des concepts continus...

- Bon, soit, mais ce décorticage t'avance à quoi ?

- C'est lié à une idée qui me trotte dans la tête : "un bord n'a pas de bord" (cf. le point 4/ de #3). Or, ce passage de ε et δ (vus 𓁝[#]) à f (vu [#]𓁜) en mode ♢ me fait penser que ε et δ "bordent" en quelque sorte la relation f qui les lie. Et donc, que ε et δ ne "voient pas" la surface ∫_a^b f(x)dx, appréhendée en mode ♢, c'est-à-dire comme le concept "bordé" par f. J'ai peur de ne pas être très clair, mais c'est en train de décanter dans ma tête.

- Suis le fil...

- Je repense aux groupes d'homologie. On passe des points aux liens entre points, puis aux surfaces entre liens etc... Nous sommes en [#]^♢, avec à chaque étape l'ajout d'une dimension. Pour en revenir à ce que nous avons appris de la démarche de Galois (voir réflexions #9), où le processus itératif utilise le connecteur "ou" ⋃.

Si je repasse le film à l'envers, à partir de ce que nous venons de voir, on passerait de la surface D2 à la courbe D1, pour arriver à... ε et δ en D0. Dans cet aller-retour, je suis amené à remplacer le singleton initial (*) par ce concept d'infinitésimal. Je ne sais pas encore si cela a un sens...

- Ne serait-ce pas le moyen de préciser les choses ?

- De quel point de vue ?

- Avoue qu'il y avait une difficulté à comprendre le singleton, tantôt comme élément vu [⚤]𓁜, tantôt comme partie vue 𓁝[#] ! Là, tu as la possibilité de raccrocher le singleton à un concept purement "topologique".

- Reste à établir l'aspect topologique des infinitésimaux !

(b)- Oui, il y a ici un point à développer. Nous pourrions lier cet ε à l'idée d'une suite convergeant vers une limite, en nous souvenant de l'approche de Dedekind, définissant les points de ℝ par des coupures (voir (ε) de #6). En ce sens, un "point" ou singleton, vu comme élément en [⚤]𓁜, serait vu localement 𓁝[#] comme une coupure ...][... "comprise" dans un ouvert ε en [#]𓁜, ce qui permettrait de donner sens à toute la construction en mode ♢: 

- Tu as escamoté le changement de mode. Par ailleurs, le singleton réduit à l'objet (*) est en [∃]^♧.

- Oui, ce n'est qu'un esquisse à compléter. Nous pouvons déjà préciser que le singleton est considéré ici en fonction de ses relations avec son environnement ε, ce qui devrait nous conduire à l'idée de monoïde •⟲ sans trop de difficulté.

Quant au passage du mode ♢ au mode ♧, il faudra le lier à un changement de modalité de l'automatisme de répétition :

• En [#]^♢ la répétition porte sur le connecteur ou ⋃;
• En [#]^♧ la répétition porte sur le nombre de dimensions ⊥.

- Il faudrait aussi compléter le schéma en précisant sur quoi porte le connecteur complémentaire "et" ⋂ attaché au niveau [⚤]^♢.

- Compte tenu de ce que nous avons déjà compris des travaux de Galois, la répétition du duo ⋂/⋃ doit conduire à une relation d'ordre en [⚤]^♧.

Je suis bien conscient du chemin qu'il reste à parcourir, mais nous ne sommes qu'au tout début de notre exploration. Il s'agissait juste ici de contextualiser les concepts d'infinitésimaux ε et δ.

- D'accord, je retiens juste comme base de travail que :

• En ☯[∃][⚤]𓁜; l'élément_⚤ singleton (*) est identifiable;
• En 𓁝[#]...[∅]☯, ce singleton (*) fait partie_# d'un environnement infinitesimal.

- Après réflexion, c'est même nécessaire pour passer de la topologie à la topologie algébrique. De ce point de vue, nos ε et δ, font charnière entre les deux mondes.

Le 15/ 06/ 2023

- La fin de l'article insiste sur la complexité du concept d'infinitésimal :

"But what are these infinitesimals? The archimedean law for the real numbers (§IV.4) says that a positive number, no matter how small, has arbitrarily large multiples — in effect, that a positive number cannot be infinitesimal. With Bishop Berkeley, one may conclude that "infinitesimals are the ghosts of departed quantities.
What remains are limits. For each value x = a and each actual finite increment x = a+h with h≠0 one may form from a given function y = f(x) the very same ratio [f(a+h) - f(a)]lh as before. The deriva­tive, when it exists, is then defined to be the limit of this ratio as  ≠0 approaches 0; with either standard notation dy/dx or f'(x), this means

The necessary meticulous ε — δ definition of the limit in this description must again use the quantifiers (for all ε ( there exists a δ) to achieve preci­ sion. With this precision (as careful students of the calculus know) one can then prove that the derivatives of x² and of xⁿ are what they should be and that the desired rule (2) for the derivative of a composite function does hold for suitable differentiable functions-not by simple cancellation of infinitesimals, but by limits taken after cancellation." p. 155

Tu remarqueras combien cette citation de Berkeley  "les infinitésimaux sont les fantômes des quantités disparues" colle avec la posture 𓁝[#]...[∅]☯, qui m'avait semblé la plus appropriée pour comprendre le concept d'infinitésimal; ainsi que le lien fait avec les limites d'un processus ☯[∃][⚤]𓁜.

- C'est dire que nous nous tenons dans l'entre deux : [⚤]𓁝/𓁜[#]...

- Exactement, avec cette idée, neuve pour moi, cf. (a), que la linéarité est liée au niveau [⚤]^♧, tout comme la notion d'ordre. Tu relèveras également qu'il revient sur l'usage des quantificateurs ∀ et ∃, ce qui nous renvoie au mode relationnel ♢ (i.e. ∀ et ∃ marquant le lien entre ε et δ).

- J'ai cependant l'impression que la recherche n'est pas close, car Mac Lane indique des ouvrages très récents sur le sujet : 

"This is not yet a complete formalization, which was first provided in the 19th century by the rigorous ε — δ treatment by limits.
Another thesis asserts that the same intuitive idea can be variously for­malized. For the calculus, we now know that this is the case. Indeed, the earlier and originally wholly speculative use of infinitesimals can be rigorously formalized in at least two different ways: By using Abraham Robinson's non-standard model of the reals, as presented for example in Keisler's text [1976] on calculus, or by using Lawvere's proposals to use "elementary topoi" in which the real line ℝ is presented not as a field but as a ring in which there is a suitable infinitesimal neighborhood of 0 (see Kock [1981])." p. 155

- C'est peut-être la meilleure indication de l'existence d'une coupure entre les deux niveaux [⚤] et [#]. D'ailleurs, et je terminerais là-dessus, le concept d'infinitesimal est étroitement lié à la fermeture de  ℝ par un point à l'infini en [#].

- De quelle façon ?

- C'est lié à l'axiome Archimédien. Dire que pour tout nombre réel positif, il existe un entier plus grand implique un conflit entre ℕ ouvert, et ℝ fermé par ce point ∞ à l'infini. Tu peux voir la connection entre les concepts d'infini et d'infinitésimal, par cette autre formulation (voir Wikipedia) :

"... an ordered field K is Archimedean precisely when the following statement, called the axiom of Archimedes, holds: 
"Let x be any element of K. Then there exists a natural number n such that n > x"
Alternatively one can use the following characterization:
∀ ε ∈ K ( ε > 0 ⟹ ∃ n ∈ ℕ : 1 / n < ε )." p.155

Le passage de 𓁝[#]𓁜⏩𓁝[#]𓁜 qui marque l'acceptation de l'hypothèse du continu et la cloture de  ℝ par ∞ induirait en quelque sorte, ε comme l'inverse de ∞.

- Nous sommes en mode ♧ ?

- Du point de vue que je développe ici, oui, mais il est clair que le concept connait d'autres développements en mode ♢ qui m'échappent !

4/ The Fundamental Theorem of the Integral Calculus

"The essential connection between differentiation and integration is pro­vided by the theorem of the title of this section. This theorem goes back to a simple intuitive idea: That the total change in a quantity ought to be exactly the sum of the successive small instantaneous changes — an idea which in other forms arises early in geometry, with the rule that the whole is the sum of its parts." p. 155

- Note ce rappel de la linéarité du processus d'intégration qui nous ramène in fine en [⚤]𓁜^♧ cf. (a), d'ailleurs, Mac Lane revient aux intuitions primaires de la géométrie Euclidienne.

En ce sens, nous sommes bien en mode objectif ♧ et nous devons nous attacher au bouclage entre une idée de "volume" en [♲]^♧ et sa mesure exprimée en [⚤]^♧.

- Plutôt que d'anticiper, laisse-toi porter par le texte, pour une fois...

- Tu as raison : ce théorème fondamental, que je rappelle ici :

Theorem : If a function F(t) has a continuous derivative f(t)=F'(t) on the interval a≤t≤b, then 
∫_a^b f(t).dt = F(b)- F(a)       (1)

s'appuie sur deux lemmes plus primitifs :

"Lemma A. If a continuous function F(t), defined for all t with a ≤ t ≤ b, has derivative 0 for every such t, then F(t) is constant for all t with a ≤  t ≤ b.
This is intuitively plausible: If the rate of change of F is zero every­ where then it doesn't change at all, hence is constant. Later we will return to examine a rigorous proof of this lemma from the Law of the Mean (§7). " p. 157

- Ça semble effectivement assez intuitif...

- Certes, mais regarde-y de plus près, en repensant à notre petit schéma concernant le bouclage de nos 3 niveaux. Ce lemme traite :

• En [#]𓁜 de la représentation géométrique globale de F :
  • un domaine de t : a ≤ t ≤ b
  • une ligne horizontale d'ordonnée constante F(t);
  • des tangentes F'(t) à F(t) en chaque point d'abscisse t : a ≤ t ≤ b;
• Entre [⚤]𓁝⇅𓁜[#] nous passons :
  • 𓁝[#] : d'une vision locale :
    • d'une appartenance de t  (∀ t : a ≤ t ≤ b);
    • de la pente de chaque tangente F'(t);
  • [⚤]𓁜 : à la mesure :
    • de F(t) = constante
    • de la pente F'(t) = 0

Mais poursuivons :

"Lemma B. If the function f(t) is bounded between two constants m and M, so that m≤f(t)≤ M for all t with a≤ t≤ b,then the definite integral of f(t) satisfies the inequalities

(b-a)m ≤∫_a^b f(t)dt ≤ (b-a)M

If one considers the definite integral as a measure of the area under the curve y = f(x) and between the ordinates x = a and x = b, these two inequalities are evident, since (b-a)M is the area of a rectangle includ­ing all that area under the curve, while (b-a)m is the area of a rectan­gle wholly under the curve. An exact proof of (3) from the limit definition of the integral in §2 is straightforward: In the sum (2.2), each term is by hypothesis bounded as in
m(x_i - x_i-1) ≤ (Min_i f)(x_i - x_i-1)≤ (Max_i f)(x_i - x_i-1) ≤ M(x_i - x_i-1)
The whole sum is then squeezed between m(b - a) and M(b - a), so the same must be true for the limit of this sum; that is, for the definite integral.

Il y a déjà la connexion Imaginaire entre le concept de volume en [♲] et celui de sa mesure en [⚤].

- La mesure peut-être en  ℝ...

(α)- Je saute définitivement le pas : lorsqu'il s'agit de faire un calcul, par exemple à l'aide d'un ordinateur ou toute autre machine de Turing, je considère que nous approchons les éléments de  ℝ par un autre dans ℚ. L'important est ici l'aspect ultime de la posture du Sujet ☯[∃][⚤]𓁜, au plus proche du Réel. (Note 3)

Si tu avais des doutes sur l'aspect opératoire du concept de mesure, cette approche par un encadrement, avec m et M devrait achever de te convaincre que nous sommes bien en [⚤]𓁜. Bref, tu as donc un lien direct entre le concept de volume en [♲] et sa mesure en [⚤]; et  puisque nous sommes en[⚤]𓁜^♧, le processus de sommation — ayant ∫_a^b f(t)dt pour limite en [#]) — est linéaire en [⚤], avec (b-a)=∑(x_i-x_i-1).

Maintenant, la représentation_# de ce volume_♲ (ici une aire_♲) passe par [#], et nous retrouvons notre idée de bouclage.

- Si je te suis bien, le passage de [#] à  [⚤] à été traité par le lemme A ?

- C'est sans doute ce que nous dira la suite.

- Mais il nous manque le passage [#]⊥[♲].

- Effectivement. Tu noteras qu'entre [#] et [♲], l'automatisme de répétition porte sur l'orthogonalité des concepts.

• Lorsque tu restes en [#]𓁜^♧, la répétition conduit à l'ajout d'une dimension. En géométrie, tu passes de D0 à D1 (ℝ) puis D2 (ℝ²) etc.
• Si tu passes effectivement au niveau supérieur [#]𓁝⊥𓁜[♲]⏩[#]𓁝[♲]𓁜⏩[#]𓁝[♲]𓁜, le concept auquel tu accède en [♲]𓁜, n'est plus représentable en [#]𓁜 (i.e. dans l'espace de représentation); c'est en cela que consiste son "orthogonalité".

Par exemple le "volume" de la sphère S3 n'est pas représentable dans un espace D3.

- Je peux voir la surface d'une figure plane comme un triangle.

- Oui, c'est un anthropomorphisme qu'il faut bien comprendre. Notre passé de chasseur-cueilleur nous a adaptés à la perception du mouvement des objets en 3D, et nous reconstituons sans même y penser notre environnement en 3D, dans une posture ex post : ³[#]𓁜^♧.  Il faut déconstruire cette vision instinctive pour en comprendre le mécanisme intime.

- Autrement dit, partir du plus complexe pour retrouver les concepts primitifs, dans une démarche S↓ ?

- C'est cela même. Pense à un oeuf :

• En [♲]𓁜^♧ c'est un "objet" doté d'un certain "volume", ou quantité conservée dotée de symétries, mon indétermination tenant à ton intention le concernant (et vice versa);
• En [#]𓁜^♧ tu en perçois la surface 2D plongée dans un espace 3D;
• En [⚤]𓁜^♧
  • tu peux le dénombrer (1 oeuf) : ce sont les abeilles toutes semblables de Socrate dans le Ménon;
  • tu peux en apprécier le poids qui est une "mesure" de son volume,
• En ☯[∃]𓁜^♧ il fait irruption dans ton Imaginaire : c'est mon injonction "pense à ..." qui attire ton attention.

L'important dans cette régression, c'est que le concept de "volume" en [♲] est au-delà de sa représentation comme surface en 2D. C'est cette hétérogénéité des concepts volume-[♲] / [#]-surface, que tu te représentes instinctivement en posture [#]𓁜 par l'idée d'un "volume en 3D" coupé de son environnement par une surface fermée 2D.

Tu ramènes en quelque sorte l'hétérogénéité des concepts volume/ surface ou aire/ périmètre à une question de dimensions; c'est fondamentalement l'essence même du principe de répétition ⊥ à l'oeuvre lorsque tu oscilles entre [#]𓁝⊥𓁜[♲].

- Tu insistes bien lourdement...

- Oui, car j'ai en tête l'autre bouclage en ♡ des modes ♧ et ♢:

• Le passage de nD à (n+1)D caractérisé par l'orthogonalité ⊥ en [#]^♧;
• s'accompagne du connecteur ⋃ en [#]^♢.

- J'ai l'impression que tu t'éloignes bien loin du sujet.

- Change de perspective : c'est parce que nous sommes ici ramenés aux racines primitives de nos concepts, qu'il convient d'en rechercher les mécanismes élémentaires. À la limite, il faudrait même pousser la vérification de ce que j'avance par de l'imagerie IRM. (Note 4)

- Bon soit, merci pour la mise en perspective, mais si tu en revenais au texte ?

- Le piège tient ici à la simplicité apparente de la représentation géométrique_# du processus : nous sommes en 2D et l'image_# de F(t) est la surface visible entre la fonction F'(t) et l'axe des abscisses. Il y a bien dans la représentation_# des deux, le passage ⊥ de l'aire 2D (i.e.: F(t)) à la courbe 1D (i.e.: F'(t)), mais les concepts d'aire_♲ et de courbe_# sont de niveaux différents. En particulier, tu peux passer directement du volume_♲ d'un oeuf à sa pesée_⚤, sans avoir à déterminer la forme_# de sa coquille. C'est ce que nous rappelle Lebesgue (Note 5).

Ceci dit, et c'est là l'intérêt de ce lemme B, nous nous intéressons ici au passage [⚤]𓁝⇅𓁜[#], où la répétition porte sur la succession ⇅.

- Autrement dit : après avoir "détricoté" l'objet_♲ en différentes dimensions_#, il s'agit ^𓁝localement_#, et pour chacune de ces dimensions_#, d'identifier_⚤^𓁜 chaque ^𓁝partie_# pour, à partir de ces éléments_⚤^𓁜, reconstruire l'objet en [⚤]𓁜, grâce à un processus_⚤^𓁜 itératif ⇅.

- Oui, c'est un peu fastidieux à écrire, mais c'est ça. Ayant ceci en tête, ce lemme B nous indique que l'addition_⚤ de toutes nos petites aires_♲ représentées_# en 2D par (F'(x) ; (x_i - x_i-1)) est encadrée par les produits_⚤ m(x_i - x_i-1) et M(x_i - x_i-1).

L'important est cette linéarité_⚤ du processus, tenant à l'ordre_⚤ en [⚤] induit par le concept de succession ⇅, qui disparaît naturellement en [#], après la première itération ⊥, c.-à-d. en ℝ².

Ceci bien en place, le reste de la démonstration devrait être évidente.

"The whole sum is then squeezed between m(b-a) and M(b-a), so the same must be true for the limit of this sum; that is, for the definite integral.
As for the fundamental theorem (1), consider the definite integral
G(t) = ∫_a^t f(t)dt
with a variable upper limit t. To get at its derivative, change t to t+h. By Lemma B
hm ≤ G(t+h)-G(t)=∫_t^t+h f(t)dt ≤ hM,
where m and M are now lower and upper bounds for f(t) on the short interval from t to t+h. Since f is continuous at t, both bounds can be made close to f(t) by taking h small. Therefore G'(t)=f(t). (Geometri­cally, the rate of change of the area under the curve is the length of the ordinate f(t).) This means that F(t)-G(t) has derivative zero. By Lemma A, it is constant; since G(a)=0, this constant must be F(a). Thus
G(b) = ∫_a^b f(t)dt = F(b) - F(a)
which is the fundamental theorem." p.158

- Très franchement, après ce que tu viens de mettre à plat, j'ai l'impression d'assister à un joyeux tour de passe-passe entre ce qui est du domaine du discret en [⚤] et du continu en [#].

- Disons plutôt que la limite ∫ d'une somme ∑ implique un passage de [⚤] à [#]. J'en veux pour preuve que l'équivalence G(t+h)-G(t)=∫_t^t+hf(t)dt concerne le passage d'une vision locale (dans l'espace h) en 𓁝[#] à une expression algébrique en posture [⚤]𓁜. In extenso : [⚤]𓁝⇅𓁜[#]⏩[⚤]𓁝⇅𓁜[#].

Pour passer du local au global : 𓁝[#]𓁜⇆𓁝[#]𓁜, il faut un concept de niveau [♲]. C'est en l'occurrence celui  de volume_♲,  autour duquel s'organise le mouvement 𓁝[♲]𓁜⏩[#]𓁝⊥𓁜[♲]𓁜⏩[#]𓁝⊥𓁜.

- En somme, tu retrouverais un processus dual bien connu S↓ et S↑ ?

- Nous ne cessons de bricoler nos concepts avec un minimum d'outils intellectuels selon Lévi-Strauss, et comme le rappelle ici Mac Lane. Et c'est bien pour m'en assurer que j'ai entrepris d'explorer le langage mathématique... Mais revenons au texte.

1/ Tu noteras que le passage de G(t)=∫_a^t f(t)dt à (G(t+h)-G(t)) =∫_t^t+hf(t)dt implique également la linéarité du processus (la somme est égale à la somme des parties) dans une pure logique du 1^er ordre, de niveau [⚤]^♧, s'il était besoin de le préciser.

2/ Dans ce contexte, m et M n'ont nul besoin d'être en ℝ, on peut les prendre en ℚ, ce qui conforte la définition du niveau [⚤] comme étant celui du discret — j'anticipe ici sur les développements de Lebesgue et Borel.

3/ Maintenant, le tour de passe-passe consiste à rapprocher G de F.

1. En [#]𓁜 : G est définie comme l'intégrale de f : G(t) = ∫_a^t f(t)dt
2. En [♲]𓁜 : G(t+h)-G(t) est considéré comme une aire_♲ (ou volume_♲ 2D)
3. En [⚤]𓁜 : dont la mesure_⚤ est encadrée par mh et Mh.
4. En 𓁝[#] :
   • F'(t) est la ^𓁝tangente_# (ou la pente) de F(t)
   • G'(t) est la représentation_# infinitésimale du ratio_⚤ (G(t+h)-G(t))/h
5. Passage [⚤]𓁝⇅𓁜[#]⏩[⚤]𓁝⇅𓁜[#] :
   • en chaque point t (répétition ⇅), F'(t) et G'(t) ont la même expression f(t), d'où égalité_⚤ ou F'(t)-G'(t)=0
   • Lemme A :  F(t)-G(t)=const ; avec G(a)=0, donc const = F(a)
6. Résultat : G(b) = ∫_a^b f(t)dt = F(b) - F(a)

- Très franchement la démarche me semble bien compliquée.

- Vois-le comme ceci : entre a et b, on substitue à F(t) définie en [#] une construction G(t) qui est une expression algébrique en [⚤] d'un concept de niveau [♲]. En raisonnant de proche en proche, tu peux dès lors étendre le domaine (a, b) autant que tu le veux. 

Dans l'affaire, il faut augmenter d'une dimension l'espace de représentation de la fonction f pour représenter sa primitive F. (Note 6)

- Si je résume : notre concept d'une aire_♲ se ramène toujours, in fine, à la mesure_⚤ d'un carré unitaire de 1 sur 1 par le produit 1x1 ?

- Oui, à partir de là, Socrate peut expliquer à l'esclave de Ménon que la surface d'un carré de 4 de côté fait 16 et non 8 (Note 8), mais l'important ici est de constater que  cette opération, exprimée par _⇅𓂀^♧  sous forme narrative, comme "la surface est de dimension > à la courbe", se réfère :

• En mode ♧ : à l'ajout d'une dimension ou itération ⊥ de niveau [#]^♧
• En mode ♢ : s'exprimant à l'aide du connecteur ⋃ au niveau [#]^♢

Le 17/ 06/ 2023

5/ Kepler's law sand Newton's laws

- Nous avons déjà discuté des lois de Newton à plusieurs reprises (Note 7).

- Quoi de neuf dans le texte de Mac Lane ?

- Tout d'abord un regret : Mac Lane ne revient pas aux calculs primitifs de Newton à partir du théorème concernant la mesure_⚤ de l'aire_♲ d'un triangle_# par le produit_⚤ de la base par sa hauteur, qui m'avait particulièrement intéressé (voir ici).

Ceci dit, il fait un lien intéressant avec le lemme A que nous venons de voir en détail.

"... for one-dimensional motion along a straight line under a constant force there will be a constant acceleration, call it g, and the law reads a (i.e. d²s/dt²)=ṡ=g. Here we are given the (constant) derivative g; one function with this derivative is gt and by Lemma A of §4 any other function with this derivative can differ from gt by most a constant, call it v_o, so that
s=gt+v₀.
This constant v₀ represents the initial velocity (that at time t₀). By a similar argument, one finds
s=(I/2)gt² + v₀t + s₀ (2)
where so is a constant, the coordinate (initial position) of the body at time t = O. Thus Newton's laws and a simple integration easily suffice to derive the familiar formula (2) for a body falling under (constant) acceleration of gravity." p. 159

Il est remarquable, à mon sens, de relier le principe de relativité de Galilée à ce lemme mathématique très primitif.

- Sauf que Mac Lane fait une reconstruction a posteriori, car le concept d'accélération est introduit par Newton, bien après Galilée.

- Oublie-le, et part de la vitesse_♲ : la connexion avec le lemme A_⚤ est la même.

- C'est à se demander si ce lemme A ne nous semble pas évident grâce, précisément, à Galilée ?

- Ah ! Ça, ce serait un point intéressant à développer.

- À quoi penses-tu ?

- Aux Japonais qui ont du attendre l'ère Meiji pour différencier temps (時間) et espace (空間) dérivés d'un concept plus général Ma (間) afin d'appréhender la science Occidentale.

- Quel rapport avec la civilisation japonaise ?

- L'effort d'adaptation qu'ils ont entrepris tardivement, fin XIX^e, nous laisse entrevoir un monde d'avant Galilée où notre représentation du temps comme dimension orthogonale à l'espace n'était pas si évidente.

Le point de départ semble bien, en effet ce rapprochement entre temps_⚤ et espace_# permis par le principe de relativité_♲ de Galilée, avec la vitesse_♲ comme quantité conservée_♲, et une symétrie_♲ par rapport au temps — i.e.: tout étant égal par ailleurs, le mouvement en t₁ est comme le mouvement en t₂).

Ensuite, Mac Lane reconstruit les lois de Kepler pour nous montrer l'utilité du calcul intégral / différentiel :

"The case of a projectile illustrates in an especially simple way one of the characteristics of formal mathematical calculations. One need not watch the whole path of the projectile; rather the Mathematics predicts this path from physical laws (hear Newton's laws) and initial observations — hear the initial position and velocity of the body. The calcu­lation then proceeds without further attention to the actual observation of the body, but comes out with a (more or less accurate) description of the successive positions of the body." p. 160

6/ Differential equations

- Là, ça devient extrêmement intéressant, car Mac Lane attaque directement la question du calcul en mode ♢ !

- Qu'est-ce qui te permet de l'affirmer ?

- Lorsqu'il présente une fonction différentielle comme une application h entre deux ensembles disjoints (x, t):

"A typical differential equation, now of the first order and not "second order", will determine some unknown function x of the variable t by giving the first derivative of x,
dx I dt = h(x,t),               (1),
[...],
...In explicit terms, this amounts to a search for some function x=g(t) defined for a suitable range of t and such that this function with its derivatives satisfies the given differential equation (1):
g'(t) = h(g(t),t)      (2)
for all the intended t. To do this, we must again canvass functions g whose known derivatives might satisfy (2); elementary treatments provide vari­ ous rules and tricks to do this, for example by changing the variables x or t to other more manageable quantities." p. 161

Comme les variables sont continues, nous sommes bel et bien en [#]^♢ :

- Là où tu places la topologie ?

- Exactement, d'ailleurs la suite confirme ce positionnement, en nous présentant le théorème de Picard concernant l'existence ou non de solution à la recherche de g(t) à partir de g'(t).

Théorème de Picard :

"To formulate this theorem, we consider the initial condition that x=x₀ when t=t₀ and assume for the equation (1) that the function h on the right is continuous, say in the square D consisting of all (x,t) such that I x-x₀ I < a and I t-t₀ I < a." p. 161

Autrement dit, à partir d'un point donné (t₀, x₀), on détermine que la valeur recherchée se situe dans un carré D de côté a, ce qui ne mange pas de pain, tant que a n'est pas à l'infini, et vrai pour un certain a, puisque nous sommes dans un espace continu.

"A solution of (1) with the given initial conditions is then a function g(t), defined for t in some interval I t - t₀ I < δ about t₀, and with I g(t)-x₀ I < a there, such that g(t₀) = x₀ and that (2) holds for all I t-t₀ I < δ. One version of the Picard theorem then asserts that there is a δ > 0 for which such a solu­tion exists and is unique, provided that the given function h satisfies the Lipschitz condition : There is a constant M > 0 such that, for all (x, t₁) and (x, t₂) in the square D
I h(x,t₂)-h(x,t₁) I < M I t₂-t₁ I.      (3)
Incidentally, this Lipschitz condition will certainly hold if the function h has a continuous partial derivative with respect to t everywhere in the square D." p. 162

Pour bien se représenter la situation,

1. Imagine cette surface D de côté 2a, avec les t en abscisses, et les x ent ordonnées, et d'origine (t₀,x₀);
2. Prends une bande verticale de largueur 2δ autour du point t₀.
3. En balayant la surface de D avec δ compris entre -a et +a, tu vas tomber sur la valeur de h recherchée.

À condition, bien entendu que a ne soit pas l'infini, ce qui revient à dire que h est bornée, d'où la condition de Lipschitz... 

- Pas très excitant ton histoire.

- Pas trop, mais c'était pour te montrer que nous sommes :

• dans un espace fonctionnel en [#]^♢ ;
• représentable géométriquement en [#]^♧ ;
• avec le passage d'une espace continu à un calcul en [⚤]^♧ par :
  • une procédure de calcul ,
  • un bornage en ℚ de valeurs en ℝ (ce n'est pas dit ici, mais j'anticipe).

- Ça me fait penser au théorème fondamental de l'algèbre. On procédait, ici comme là, à un balayage de l'espace ℂ pour établir l'existence des racines d'un polynôme.

- Oui, ça tient à la continuité en  [#]. Nous sommes ici dans des espaces fonctionnels bien tranquilles, continus, et dérivables...

- Je ne comprends toujours pas bien de quelle façon on passe d'une dérivée à la fonction ?

- Reviens à l'expression (1) : dx/dt = h(x,t).

• En [⚤] : L'expression h(x,t) doit être identifiée, le but du jeu étant de calculer sa valeur_⚤;
• En [#] : l'expression dx/dt est celle d'une pente : celle de la tangente en un point d'abscisse t d'une courbe g(t) inconnue passant au point (g(t),t);
• En [⚤] : on peut écrire  dx/dt = h(x,t) => dx = h(x,t).dt
• En [♲]  : h(x,t).dt est la mesure_⚤ d'une surface_♲ rectangulaire par un produit.

Dans l'affaire, tu passes d'une représentation linéaire (des droites, et des pentes) à celle d'un volume. Pour te fixer les idées, pense au concept de vitesse, compris comme un ratio longueur/ temps en  [⚤], représenté en [#] par un vecteur(x, t), et vu [♲], depuis Galilée jusqu'à Einstein, comme quantité conservée_♲. Plus généralement il s'agit de passer d'un objet_# en nD à un volume_♲ associé, représentable_# en (n+1)D.

- Soit, mais tout ce grouille dans ma tête lorsque tu ne précises pas dans quel mode ♧ ou ♢ tu te situes.

- C'est effectivement une gymnastique à laquelle il faut s'astreindre, désolé.

Le 20/ 06/ 2023

- Je sens que mon discours faiblit. 

- D'où te vient cette prise de conscience ?

- Quoique les expressions de Mac Lane soient extrêmement simples, et les concepts qu'il manie élémentaires, tout ceci s'inscrit dans une culture mathématique qui m'échappe. J'en sais juste assez pour m'en rendre compte et voir qu'il ne nous mène pas à l'intégrale de Riemann, mais à celle de Lebesgue, sans nous parler ni de mesure ni de tribu, et sans différencier explicitement ce qui relève du continu (en ℝ) et du discret (en ℕ).

Dans le doute, je retourne à Gilles Bailly Maître, toujours excellent, pour m'apercevoir qu'il consacre 17 leçons au rapport entre mesure et intégration ! Et là, je me dis qu'il n'est pas raisonnable d'espérer faire le tour du sujet dans le cadre de mon commentaire sur cet article de Mac Lane.

- Tu mets les pouces ?

- Non, je me dis simplement qu'il me faudrait visionner en détail ce cours magistral, en marge de la lecture de Mac Lane.

- Difficile cependant de faire l'impasse et poursuivre dans le flou, puisque c'est dans le fil de son discours...

- Nous n'avançons pas les mains vides, Comme je viens de te le dire, nous avons déjà mis à jour et discuté des concepts clefs mis en jeu, tels que la nature de ε et son rapport à ∞, et nous savons déjà que cela va se jouer en utilisant le concept le plus élémentaire qui soit de la mesure d'un objet, pense par exemple à un oeuf vu en mode ♧ :

• En [♲]^♧ : comme "quantité conservée" ou "volume", (l'oeuf)𓂀^♧
• En [#]^♧ : comme objet en 3D contenu dans une représentation_# en 2D, (sa coquille)𓂀^♧
• En [⚤]^♧ :  mesuré par des relations algébriques selon une procédure, (son poids)𓂀^♧

n <br>
m

[⚤]𓁝⇅𓁜[♲]  ℕ ℚ ℤ ℝ ℂ ℍ ℵ § ⋀ ↦ ⟼  ←→ ↓↑ ∈ ⊂ ⊃ ⋂ ⋃ ∀

^{♤♡♢ ♧}     ♤ ♡ ♢ ♧ ♢ ♡  ♤       ⏩    •⟲  ≤ ∣  ≥  ∥ ∆   ⊳  ≠ √. ∛

(☯[∃]𓁝⇅𓁜[時間]𓁝⇅𓁜[空間]𓁝⊥𓁜[間]𓁝⇆𓁜[無]☯) 𓂀^{♧♢♡♤.} (...) _⇅𓂀^♧

(☯[∃][⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓁝⊥𓁜[♲]𓁝⇆𓁜[∅]☯) 𓂀^♧

α  β  𓁝[α]𓁜  [β]  ε δ ρ θ γ ε  ζ  μ π ν ω   Ω ψ χ φ   .  ∂
∈ ∞  ↦ {} ⇅   ∫  ⇆ ≅↓↑ ≤ ⟼ ←→ ṡ

R (⟨I1|⟨I'm|I#|Im⟩|I0⟩) S ⊗∑

⇘⇙⬂⬃∓ ± ⎬⌉⌋

atNote 1

Voir en particulier :

• 2014/05/de-galilee-a-newton
• 2016/11/de-descartes-a-leibniz-et-newton
• 2023/02/meta-physique

Note 2

Voir :

• 2019/10/principe-d-equivalence-et-cloture-de-l-imaginaire.
• 2020/10/notes-de-lecture-de-scientia-egregia
• 2022/03/l-entendement-de-3e-espece
• 2022/04/coherence-epistemologique-suite-1

Note 3

Je renvoie à l'approche défendue par Wildberger, qui allant plus loin que moi, refuse le concept de continuité dans ℝ en géométrie, pour en rester à ℚ. Je ne le suis pas jusque là, car je pense au contraire de lui que l'hypothèse du continu est naturelle et nécessaire à notre Imaginaire, d'où un gap entre [⚤] et [#]. Cependant, à l'approche du Réel :

• nos mesures sont discontinues;
• les processus itératifs sont indéfinis (avec un temps t discret : t ∈ ℕ . t_Planck);
• les suites sont non pas infinies mais indéfinies (les indices i sont dénombrables : i.∈ ℕ).

Note 4

Je pense n particulier aux travaux de Stanislas Dehaene; voir :

• La bosse des maths

Je pense en particulier à l'existence de deux zones distincts du cerveau, l'une active dans le calcul et les nombres, l'autre pour appréhender les quantités.

Note 5

Lebesgue indiquait que le meilleur moyen de mesurer la longueur d'une pelote de ficelle est de la peser et de rapporter ce poids à celui d'un échantillon dont on prend al longueur pour étalon. Voir :

• D'Archimède à Lebesgue

Note 6

Ma présentation suggère un processus créatif, et pour être complet, il faudrait sans doute exprimer ce passage d'un espace de dimension nD à (n+1)D à l'aide de la forme canonique...

- Je serais curieux de voir ça.

- Gardons-le en mémoire, mais là, j'aimerais avancer dans ma lecture.

Note 7

Voir en particulier :

• 2014/05/de-galilee-a-newton
• 2016/11/de-descartes-a-leibniz-et-newton
• 2018/09/au-coeur-de-la-physique
• 2019/07/newton-lagrange-legendre-hamilton-poisson-et-les-autres
• 2023/03/le-discours-du-physicien

Note 8

Il faut toujours se reporter aux anciens pour bien comprendre que nous n'inventons rien, mais creusons un sillon emprunté par une multitude ! Voir :

• 2015/10/le-menon
• 2015/12/le-menon-suite

(α)