Saunders Mac Lane - Mathematics form and function - Reflexions - #9

- Je cherchais à illustrer cet article, en tapant "réflexion" sur Google, et cette image de Corto Maltese s'est imposée à moi, avec ce titre des seules mémoires de son créateur Hugo Pratt : "Le désir d'être inutile", que je trouve merveilleux.

- Il doit bien y avoir un rapport, aussi ténu soit-il, avec ton propos, non ?

- Mon intention était d'insister, auprès d'un éventuel public de psychanalystes, sur ce qui découle des travaux d'Évariste Galois introduisant la notion de "groupe" il y a deux siècles, à savoir la formalisation d'un mode de penser ♢ s'enfonçant progressivement, depuis Galilée jusqu'à nos jours, comme un coin entre deux autres, ♧ et ♡ plus archaïques.

Et cette image, ce titre, plutôt, est le signe ironique, synchronique, de l'impossibilité de la tâche, tout comme la passe de Lacan.

- Là, je ne vois pas du tout de quoi tu veux parler...

- Moi non plus, mais précisément : il s'agit moins de suivre mon désir que de prendre conscience de son inadéquation structurelle. Reviens à J.P. Changeux : la prise de conscience est la rencontre entre un percept et un concept. Les concepts étant stockés, après un processus propre à l'auteur 𓂀, dans son  cortex, pour qu'il puisse ensuite s'exprimer.

On peut dire qu'un discours est originellement le produit d'une intention de 𓂀 portant sur l'objet de son attention. En ce sens, l'auteur actualise une potentialité, il s'exprime dans le sens où l'on exprime le jus d'un citron.

- Oui, oui, nous savons tout cela, d'où ta représentation du Sujet, par une figure duale 𓁝𓁜 dans ton discours : (... 𓁝𓁜...)𓂀_Hari.

- On peut même ajouter que nous sommes au niveau primitif [⚤]^♧ de l'expression, ce qui s'écrit, avec nos conventions d'écriture : (... 𓁝𓁜...)_⇅𓂀^♧_Hari. (Note 2) Il s'agit donc d'une narration, se déroulant au fil du temps, en respectant le principe de causalité et la logique du 1^er ordre.

Maintenant, je veux attirer ton attention sur le mode relationnel ♢ où, nous venons de le voir dans l'article précédent, s'inscrit la notion de groupe.

- Je vois : il faut abandonner la logique du 1^er ordre, ainsi que le principe de causalité...

- Va plus loin et remonte à l'origine du discours, à l'auteur 𓂀 lui-même. Tu vois bien qu'il devrait abandonner jusqu'à la pulsion qui le pousse à s'exprimer de façon narrative, à savoir l'intention de transmettre quelque chose... Et c'est ce que Corto, pointant le nez derrière son caban, est venu me rappeler en manière de clin d'oeil.

- Pourquoi lier ton propos à l'impossibilité de la passe Lacanienne ?

- L'obstacle est du même ordre : comment juger de l'aptitude d'un impétrant, poussé par son désir d'en être, quand la qualité première que l'on attend de lui, signant son admission, est d'être sans désir face à son analysant ?

- Tu me fais penser à Groucho Marx : "je ne voudrais pas faire partie d'un club qui m'accepterait comme membre", mais je vois le parallèle : le discours inconscient, en particulier le rêve, se produit en mode ♢ tout comme le discours du matheux dès qu'il passe à la structure de groupe. Cependant, pour en "parler" ou en prendre conscience, il faut retomber en mode ♧, et passer de l'appréhension directe des relations ou liens entre objets, aux objets eux-mêmes. Problème auquel se heurte l'analyste dans sa pratique, évitant d'influencer l'analysant, pour cueillir l'expression_⚤^♧ qui fuite de son inconscient^♢...

- C'est tout du moins l'idée que je me fais d'une séance d'analyse; et tout ceci est en germe dans l'expression "il s'exprime".

• En neurologie, tu as l'idée de réseaux neuronaux, parmi lesquels certains, lorsqu'ils sont excités présentent des minima énergétiques, correspondant à un état stable, ou point de fixation élémentaire dans le cerveau;
• En biologie, tu peux penser à une chaîne de processus entre l'ADN et les protéines qu'il "exprime" selon les besoins;
• En psychanalyse, tu en reviens à l'interprétation des rêves;
• En mécanique, il est facile de penser à l'observation, qui actualise une potentialité d'un système, ou en méca Q, à la décohérence d'un état intriqué;
• En mathématique, tu peux penser :
  • à un foncteur d'oubli entre une catégorie C quelconque et la catégorie Ens;
  • à l'actualisation p d'une probabilité, avec ∑p=1;
  • au groupe d'action G (mode ♢) sur les éléments d'un ensemble X (mode  ♧).

Ce que j'essaie de te dire, c'est que le jus du citron ne te donne qu'une idée très imparfaite du citron lui-même.

- J'ai compris, je ne suis pas totalement bouché. Lorsque Socrate pousse Ménon à admettre que "toutes les abeilles sont semblables en tant qu'elles sont abeilles", c'est-à-dire considérées comme des "objets" identiques, que l'on peut comptabiliser, il oublie les liens qu'elles tissent entre elles, et qu'en particulier, sans reine, il n'y aurait même pas d'abeilles pour échafauder son argumentaire.

Cependant tu parles encore d'un citron comme d'un "objet"...

- Exact, ce qui te montre à quel point il est difficile de nous départir d'une pensée en mode objectif ♧, pour être pleinement en mode relationnel ♢ !

Le 07/ 06/ 2023

- Si tu souhaites t'adresser à un public de psychanalystes, il serait peut-être bon de reformuler tes remarques d'hier dans un langage qui leur soit plus familier. N'avais-tu pas déjà fait une transcription des 4 discours de Lacan à l'aide de ta représentation de l'Imaginaire ? (Note 1)

- À la réflexion, je crois que nous serions dans le discours de l'analyste (cf. (b)1) à savoir dans une posture, fondamentalement covariante de  l'auteur 𓁝 et de l'auditeur 𓁝.

- Tu insistais plutôt sur ce processus :
(𓁝_e[♲]𓁜_m⏩𓁝_e[♲]𓁝𓁜_e[∅]⏩𓁝_e[∅]⏩𓁝_e[∅]​​​​^♧↑[∃]^♢𓁜_e)𓂀_m^♢.

- Rien de changer sur ce point : il est toujours question pour l'élève d'accéder au mode ♢. J'insiste simplement sur la posture de 𓂀_m^♢, qui devrait, à mon sens, s'émanciper de ses propres intentions pour être en phase avec l'élève en mode ♢.

- Difficile !

- Pour s'abstraire au maximum de notre subjectivité, je t'invite à suivre Kant et rechercher l'universel derrière l'individuel. Tu retrouves ainsi le mode syntaxique ♡ encadrant nos deux modes ♧ ♢. C'est ce que fait la théorie des Catégories, en utilisant le concept de "propriété universelle", qui s'exprime particulièrement bien à l'aide de "transformations naturelles". J'espère que tu apprécieras le rapprochement entre les impératifs catégoriques kantiens  et cette propriété universelle.

- Tu vas un peu vite : nous en étions à Évariste Galois et la théorie des groupes.

- Revenons à ce schéma  ψ résumant la démarche de Galois :

"Nous en étions à l'idée qu'une démarche duale, faite d'inclusions successives ⋂ en [⚤]^♢ appairées à une succession d'extensions ⋃ en [#]^♢, dégénérait en mode ♧ en simple succession (⋂⇆⋃)↓(↑) comprise en ♡ comme brisure de symétrie." Voir (ψ)

(b) Le mode narratif nous oblige littéralement à nous représenter le connecteur "et" ⋂ permettant d'emboîter des sous-groupes les uns dans les autres, poupées Russes, que l'on dépiauterait étape par étape comme on pèle un oignon, pour arriver à la plus petite, qui serait notre objet final. Cette approche procédurale est à la base même du questionnement : "peut-on construire les racines d'un polynôme à l'aide de radicaux en utilisant les opérations +, -, x, / propres aux nombres rationnels ℚ?"

Cependant, l'ordre que nous instituons entre nos poupées n'est pas d'ordre temporel, mas plutôt graphique.

Bref : le passage du mode ♧ au mode ♢ met en lumière l'impossibilité (sauf exception) d'une construction purement immanente, en l'occurrence, l'impossibilité de résoudre par radicaux une équation du 5^ème degré à cause du fait que le groupe A5 n'a pas de sous-groupe : il manque une étape dans cette construction immanente.

- Et pour nos psychanalystes ?

(a)- J'attirerais leur attention sur les différentes formes que revêt l'automatisme de répétition. Nous nous y sommes déjà passablement attardés en mode objectif : (☯[∃][⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓁝⊥𓁜[♲]𓁝⇆𓁜[∅]☯) 𓂀^♧

• ⇅ : la répétition porte sur la succession des évènements, avec l'idée d'un éternel recommencement lorsque le Sujet n'arrive pas à faire le saut 𓁝[#]𓁜⏩𓁝[#]𓁜;
• ⊥ : la répétition s'exprime par l'orthogonalité, c'est par exemple le passage de ℝ à ℝ², puis ℝ³ etc. ;
• ⇆ : la répétition ne porte plus vers la diversité, mais au contraire vise au regroupement, et en particulier au regroupement entre le discret et le continu.

Tout ceci est assez facile à appréhender, car nous restons dans le mode objectif ♧, et nos représentations manipulent des "objets". 

En mode relationnel ♢, nous réifions les relations, ou applications, afin de les manipuler tels des "objets" primaires.

- Cependant, tu gardes encore des représentations graphiques pour, par exemple, définir la catégorie des Graphes, ou encore le monoïde •⟲ comme objet final en [∃]^♢ ?

- C'est toute la difficulté de l'exercice, et de l'apprentissage, ou plutôt du déconditionnement auquel il faut s'astreindre pour y comprendre quelque chose. Et c'est très précisément à ce point du discours qu'en tant qu'auteur 𓂀_Hari^♢, je dois m'effacer devant le désir de l'auditeur.

Le 08/ 06/ 2023 :

- Bon, tu as terminé ton tour de piste, après avoir bien nettoyé l'arène, et maintenant si tu nous faisais ton numéro ?

- Je te propose de procéder en deux temps : tout d'abord, nous allons tenter de "monter" en mode ♢, en gardant malgré tout une représentation "objective" des concepts, ensuite, à partir de cette représentation, j'essaierais de m'abstraire de la notion d'objet pour penser "relations".

- En somme, tu montes un échafaudage pour peindre le plafond, et ensuite tu t'accroches au pinceau ?

- C'est à peu près ça.

1/ La montée ♧ ↑ ♢ :

La première question serait : "qu'est ce qui caractérise les niveaux [⚤] [#] et se conserve d'un mode à l'autre ?"

- Tu étais parti d'une différence discret— [⚤] / [#] — continu.

- Exact. En creusant un peu, cela revient à quelque chose de peut-être plus profond, tenant à la dualité des postures élément — 𓁜 /  𓁝 — partie. Au fond du fond, tu retrouves les pictogrammes rejet— 𓁜 / 𓁝 — succion chez l'infant, dans le langage de Piera Aulagnier (Note 3).

Et donc, en mode ♢, avec une clôture Imaginaire revendiquée par le concept d'infini, et étiquetée ∞, nous avons la dualité :
appartenance ∈ — [⚤] / [#] — ⊂ inclusion.

- Une seconde : un sous-groupe H d'un groupe G, que tu situes au niveau [⚤] est malgré tout défini comme une partie de G : H⊂G.

- Pas vraiment. Cela tient à mon sens à une insuffisance du langage car, par exemple, pour définir l'appartenance d'un élément h à H, tu t'appuies sur une définition basée sur le concept d'élément :
∀g∈G et ∀h∈H alors g^-1hg∈H. Dans l'histoire, l'inclusion H⊂G est une propriété tenant à la possibilité de "voir" chaque élément h et g, ainsi que les groupes H et G ex post : [⚤]𓁜.

Réciproquement, pourrait-on dire, tu sais que les racines d'une polynôme existent (par le théorème de d'Alembert-Gauss), et appartiennent à ℂ, en posture 𓁝[#], même si tu es incapable de "sauter le pas": [⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓁜⏩[⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓁜⏩[⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓁜, ce qu'a établi Évariste Galois pour les polynômes d'ordre supérieur ou égal à 5. En ce sens, les racines d'un polynôme "font partie" de ℂ, et tu peux les approcher avec des concepts topologiques tels que des "ouverts", ou comme limites de suites convergentes (i.e. : avec le concept de ε).

- Nous aurions donc cette  dualité appartenance ∈ — [⚤] / [#] — ⊂ inclusion. Et ensuite ?

- Il faut nous intéresser au principe de répétition (a). Désolé de le rabâcher mais nous savons qu'en mode ♧:

• ⇅ : la répétition porte sur la succession des évènements, avec l'idée d'un éternel recommencement lorsque  le Sujet n'arrive pas à faire le saut 𓁝[#]𓁜⏩𓁝[#]𓁜;
• ⊥ : la répétition s'exprime par l'orthogonalité, c'est par exemple le passage de ℝ à ℝ², puis ℝ³ etc. ;

En mode ♢ :

• ⇅ : la répétition au niveau [⚤] utilise le connecteur "ET" ⋂;
• ⊥ :  la répétition au niveau [#] utilise le connecteur "OU" ⋃.

Avec tout ceci en tête, tu dois commencer à te représenter de quelle façon la narration (...)_⇅𓂀^♧ aboutit en mode ♢ à une dualité d'approche de l'objet, qui sera explicitée par la notion de groupe d'homologie. (Note 4)

- J'essaie de visualiser. Si je pense à un oeuf, j'ai l'impression que :

• En [⚤] il se définit en multipliant les approches, comme dans un jeu de devinettes : le schmilblick tient dans la main et est rond et est pondu par une poule : c'est un oeuf.
• En [#] je tente de le dessiner sur un point en D0, puis sur une ligne en D1 (c'est un segment), ensuite sur une feuille de papier D2 (un ovale) puis en 3D : la forme ovoïde, et ensuite, en 4D, je pourrais en faire un modèle qui évolue de la conception jusqu'à l'éclosion etc... Toutes ces représentations se font par extension du domaine de définition : D0 ou D1 ou D2 ou D3 ou D4 etc.

- Je pense que c'est effectivement une approche correcte.

- Mais je ne vois pas le lien entre les deux successions de ⋂ et de ⋃, qu'est-e qui les relie ?

2/ Passer des objets à leurs relations :

- Nous abordons ici la seconde étape, la plus difficile car il faut s'habituer à penser relations et non objets.

À la réflexion, le plus simple est encore de revenir aux groupes d'homologie, sur lesquels j'ai déjà pas mal ruminé (cf 1/ de #3), en partant de ce cours de Wildberger :

Au premier stade, l'objet est décrit par des points (les éléments d'un ensemble), sans aucune relation entre eux. Tu ne sais rien des rapports qu'ils sont susceptibles d'entretenir entre eux, ce qui se traduit par un ensemble de combinaisons linéaires possibles. Par exemple, avec 3 point x, y, z, toute combinaison telle que 3x-5y+7z est une phrase acceptable.

Vois-tu comme le regard , en se portant sur les relations, nous dis autre chose de l'objet, qu'en mode ♧ ?

Et donc, au premier stade, notre indétermination concernant la représentation de cet objet par des points de dimension D0, est maximale. 

Maintenant, en définissant des liens a, b et c ente nos point x, y, z :

• En [#] : nous ajoutons des liens de nature radicalement hétérogène (⊥) aux points initiaux. Notre objet est représenté par des points ⋃ liens;
• En [⚤] : nous limitons la "liberté" initiale des points en ajoutant une contrainte par ces liens : l'objet est défini  par les points ⋂ liens. Les symétries de l'objet se réduisent.

Il est là le lien, et cette gymnastique doit devenir une sorte de nouveau paradigme pour avancer, tout le reste coule de source.

- Comme un chat se glissant sous une porte : lorsque la tête passe, tout suit...

- Je préfère penser au lièvre blanc d'Alice s'engouffrant dans son terrier. C'est à Alice de savoir si elle doit le suivre ou pas...

- Amen

Hari

Note 1

En fait c'est un travail que j'ai repris à moult reprises. Le dernier en date étant:

• "Covariance et contravariance #2 - Les 4 discours de Lacan" du 26/ 01/ 2022

Note 2

Conventions (toujours en cours d'élaboration), que j'ai longtemps résumées ainsi :.

Note 3

Voir :

• "Aux origines du Je" de 08/ 2021

Note 4

Voir :

• "Les groupes d'homologie du Sujet" de 11/ 2019
• "Les groupes d'homologie du Sujet #2 - Le cogito Cartésien" de 04/ 2020
• "Les groupes d'homologie du Sujet #3 - Au-delà de Descartes" de 09/ 2020

(b) 2/