Sur les traces de Lévi-Strauss, Lacan et Foucault, filant comme le sable au vent marin...
16 Avril 2023
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- Enfin, tu retournes à ce livre !
- Désolé de prendre le chemin des écoliers, mais cela nous a permis de mettre un peu au clair notre représentation de l'Imaginaire, que nous pouvons maintenant comprendre comme une surface topologique, dès que l'Auteur que je suis, se situe au minimum en ⊥𓂀♢. J'estime qu'il est important de mettre à jour nos idées, au fur et à mesure de notre exploration de ce bouquin.
Pour mémoire, j'ai depuis longtemps situé l'accès aux nombres Réels, dans le premier saut (en mode ♧) entre les niveaux [⚤] et [#] soit ([⚤]𓁝⇅𓁜[#]⏩[⚤]𓁝⇅𓁜[#]⏩[⚤]𓁝⇅[#]𓁜) 𓂀♧, où, comme tu le vois l'automatisme de répétition actif reste lié au niveau [⚤]...
- Autrement dit : tu gardes encore l'idée de successeur, bien que dans le saut tu passes du discontinu au continu, c'est bien ça ?
- Oui, mais ensuite, dès que tu réitères tes sauts [#]𓁝⊥𓁜[♲], l'automatisme de répétition change de nature : tu ne passes plus "à l'élément suivant" mais "à la dimension suivante" de D1, tu passes à D2, puis D3 etc...
- Et tu perds la notion d'ordre.
- Voilà : avec R, tu es déjà dans le continu, tout en gardant une notion d'ordre, qui se perd ensuite en D2. C'est tout du moins l'idée que l'on peut se faire du passage de ℕ à ℝ en mode 𓂀♧.
- Alors que Saunders Mac Lane se balade entre 𓂀♢ et 𓂀♡ ...
- C'est ce que nous avons déjà remarqué dans les chapitres précédents, en particulier dans le passage de ℕ à ℚ (voir ici). Mais entrons dans le vif du sujet, en commençant par le sommaire :
1/ Measure of Magnitude
- L'auteur insiste justement sur l'idée d'ordre entre des mesures de grandeurs de même nature, ainsi que de complétude (qui mène à la continuité) de l'échelle des mesures.
"Comparison of magnitudes, in its simplest qualitative form, may just assert that "A is bigger than B" without specifying by how much A is bigger. The idea of such qualitative comparisons leads to the formal notion of a linear order.
[...]
Once a unit is chosen, each of these magnitudes exemplifies one and the same scale: That of real numbers, considered as a scale laid out as the points of a line with chosen origin and unit point; and so emphasizing the interpretation of the scale by distances:
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[...]
The importance of this scale depends also on the fact that the scale is complete." p. 94
- Il démarre où tu en étais resté, en 𓂀♧, attendons la suite.
2/ Magnitude as a Geometric Measure
- Comme on pouvait s'y attendre, Mac Lane fait le rapprochement entre l'arithmétique (pour nous en [⚤]) et géométrie (en [#]) :
"The scale of magnitudes may also be regarded as primarily geometric. Then the basic model of a magnitude is a line segment AB (or, if you will, the length of that line segment). Then, as discussed in Chapter III on geometry, two line segments AB and CD represent the same magnitude when they are congruent, so that CD can be "moved" to exactly cover AB. Thus a magnitude is not really a single segment AB, but all the segments CD which are congruent to AB -in set-theoretic terms, the magnitude AB is the (congruence) class of all segments CD congruent to AB..." p. 94
- Non seulement il passe au niveau [#], mais également en mode ♢...
- On s'y attendait un peu, voire on l'espérait, sinon ce n'était pas la peine d'entreprendre cette lecture.
"...Also the magnitude AB can be compared with any other magnitude RS by "laying off" the segment AB along the ray of the segment RS, with A at the position of ℝ ; the congruence axioms of plane geometry provide precisely for such a comparison. It follows that the points on a single line represent all the possible magnitudes of segments so that the line (with zero and unit point chosen) is the desired scale of magnitudes." p. 94
Tu remarqueras que nous n'avons pas ici de théorie de la mesure, et qu'il n'est question que de translation entre lignes parallèles : nous sommes bien en [#] et non en [♲]. Il s'agit maintenant de "tourner" dans le plan :
"Angles present another type of geometric magnitude. As in Chapter III, the axioms of plane geometry provide for the congruence of angles and the comparison of angular magnitudes. The reduction of these angular magnitudes to linear magnitudes (i.e., to the real number scale) involves a subtle development." p.94
Classiquement, il définit un angle par la mesure d'un arc de cercle de rayon unité, ce qui le conduit à définir une fonction "d'enroulement" de la droite ℝ autour d'un cercle :
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La mesure d'un angle est donc définie "modulo 2π". Je n'insiste pas sur les détails pour attirer ton attention sur ce passage du linéaire à ce bouclage de la ligne sur elle-même. Si l'on pouvait à la limite en rester à un univers unidirectionnel pour définir ℝ en mode ♧, cette circularité implique deux ruptures :
- Tu peux malgré tout comparer 2 angles et écrire α<β, non ?
- Il ne s'agit que d'une convention d'écriture, sans réelle signification géométrique : tu pourrais convenir de compter les angles dans le sens rétrograde par exemple, ce qui inverserait toutes tes mesures d'angles (i.e.: (180°-α)>(180°-β)).
Et tu remarqueras que cette mesure d'angle (impliquant la répétition [#]⊥𓁜♧; avec cet aspect "circulaire" fait exception dans cette introduction :
"To summarize: Many comparisons or measurements of various magnitudes can be reduced to the single scale provided by the real numbers. And in those cases where a single real number does not suffice to measure a magnitude, it is often fitting to use several such numbers — as when the size of a plane figure is given by its width and its height, or of a solid figure by width, height, and depth. In other words, that scale of real numbers has many different realizations." p. 96
3/ Manipulations of Magnitudes
- Là encore Saunders Mac Lane différencie les 2 approches, arithmétique (addition) et géométrique (multiplication) :
"When two objects are put together, side by side or end to end, the magnitude of this combination is just the sum of the two separate magnitudes. This operation, called addition, arises for all sorts of magnitudes —for distance, weight, time, height, area, and the like. Geometrically, the addition of two segments consists in laying off one segment after the other along the line. This geometric operation corresponds exactly to the arithmetic operation of adding numbers.
A second operation on magnitudes, that of multiplication, is suggested both by the multiplication of numbers and by geometric formulas; thus the area of a rectangle is obtained by multiplying its base by its height. A complete geometric description of the multiplication of segments requires more than one line in the plane." p. 97
(α)Addition et multiplication dans une approche géométrique, sont effectivement, très différentes :
Alors que la multiplication dans ℕ reste une façon de décompter la répétition du geste diachronique élémentaire [∃]⇅[⚤]♧:
- Saunders Mac Lane propose une autre définition de la multiplication dans une approche géométrique.
- En effet, tu peux prolonger dans cette voie jusqu'à ℚ (en comparant par exemple des fréquences sans représentation géométrique), mais ça ne marche plus pour ℝ : suivons donc notre auteur :
"A complete geometric description of the multiplication of segments requires more than one line in the plane. Thus to multiply two positive linear magnitudes x and y one may represent them on two intersecting linear scales: Segment OA and then AB on the first line with measures 1 and x, respectively, and then OA' with measure y on a second ray from O. Then drawing (Figure 1) BB ' parallel to AA' constructs similar triangles OAA' and OBB', while the proportionality theorem for similar triangles makes OA'/OA = A'B'/AB and hence shows that A'B' represents the magnitude xy. This may be regarded as the geometric definition of multiplication of magnitudes." p. 97
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- Il insiste comme toi sur la nécessité de se situer en 2D...
- Oui et non. En fait cette figure n'est qu'une représentation, en [#]♧ de ce qu'il aurait pu établir directement en [⚤]♧, dans ℚ à partir de l'égalité OA'/OA = A'B'/AB, en fixant OA=1, qui est compréhensible algébriquement, sans nécessité l'hypothèse de la continuité. Dans ce cas, le passage à ℝ est dû uniquement à cette représentation géométrique, dans un espace considéré comme continu, après répétition ⊥ de ℝ en [#]♧.
- Il évite malgré tout la contorsion que tu nous imposes (cf. a) avec un passage par [♲]♧ et le concept "d'aire" ! C'est beaucoup plus subtil que ce que tu avais imaginé.
- Cependant, n'ayant fixé aucune unité sur la ligne OA', on ne sait pas trop à quoi correspond y, car sans préciser une "commune mesure" sur les deux droites, A' représentant y peut être n'importe où sur celle-ci, et B', le produit x.y, parcourir tranquillement toute la droite : toute représentation du produit x.y est juste.
Dès que la seconde unité est précisée, alors, tu retombes, quoi que tu en ai, sur la nécessité d'établir une équivalence ⇆ entre les deux unités au niveau [♲], et c'est une question de mesure d'aire, comme en (a). Mais ne chipotons pas, l'essentiel est résumé ensuite :
"To summarize: The "practical" operations of addition and multiplication on various types of magnitudes lead to the algebraic operations of sums and product for the real numbers on the linear scale." p. 97
Dans notre jargon :
Ceci dit, Mac Lane passe directement en mode ♢ avec une formulation utilisant immédiatement la théorie des groupes.
"The real numbers
Here a commutative ring ℝ is a set of elements (numbers) which is an abelian group under an operation of addition, which has an associative and commutative binary operation of multiplication with a unit (a number 1 such that r·1 = r for all r in ℝ ) and in which both distributative laws hold:
a(b+c)= ab+ac (b+c)a= ba+ca. (1)
(Since multiplication is commutative, either one of these two laws would suffice; it is a curious observation, repeated in other axiom systems, that here a single axiom, the distributive law, suffices to tie together the separately axiomatized additive and multiplicative structures.) Finally, a field is a commutative ring in which every equation xa = 1 with a ≠ 0 has a solution x, necessarily unique. The remarkable fact is that all the algebraic rules for the manipulation of sums and products of real numbers follow from this simple list of axioms — a list far more perspicuous than the axioms of plane geometry, reflecting in part the fact that the line (the scale) is geometrically simpler than the plane, and that the axioms for the line more strictly separate the algebraic structure from the order structure (§4)." p. 98
Pour mémoire le termes "ring" et "field" anglais se traduisent par "anneau" et "corps" en Français.
- Essayons de préciser les différentes postures du Sujet dans ce discours :
1/ Dès que l'on parle "d'ensemble" et donc de l'appartenance d'un élément à un ensemble, avec une distinction élément—partie 𓁝[⚤]⊂[⚤]𓁜 ensemble—tout, cette dualité ex ante—𓁝♢/𓁜♢—ex post entre les postures du Sujet, implique que nous sommes en mode relationnel ♢. L'identification de l'élément se faisant dans la descente 𓁝♢↓𓁜♧:
| 𓁝[⚤]𓁜 | 𓂀♢ | |
| ↓ | ||
| [⚤]𓁜 | 𓂀♧ |
2/ La structure de groupe, également en [⚤]♢ implique à la base celle de "circularité", et donc de "clore" un ensemble sur lequel s'applique une telle structure, éventuellement par un point à l'infini. (Note 1)
3/ Dans la structure d'anneau⚤♢, sur un ensemble E, notée (E,+,x) il y a une dissymétrie entre les deux opérations d'addition et de multiplication dont nous avons suivi la genèse en mode ♧ (cf. α). En particulier, définir la multiplication à partir de la géométrie est un peu lourd, car, cela nécessite un principe d'équivalence entre les unités de mesure de 2 droites sécantes, en [♲]♧. Mac Lane évite ceci en partant du mode ♢, pour éviter des considérations de niveau [♲] plus élevées en mode ♧. Schématiquement :
| Ensemble Groupe Anneau Corps |
distributivité | |||
| Approche par les groupes | [⚤] | →[#] | ←[♲] | 𓂀♢ |
| ↓ | ||||
| Approche géométrique | [⚤] | →[#] | ←[♲] | 𓂀♧ |
| métrique |
4/ Dans la structure de corps⚤♢, la multiplication est dotée d'une structure de groupe, avec un principe d'équivalence ou un "passage" entre les deux, de niveau [♲]♢ cette fois-ci, à savoir la distributivité♲♢ :
a(b+c)= ab+ac (b+c)a= ba+ca. (1)
(Avec une distinction entre distributivité droite / gauche, dans le cas dégradé où la multiplication n'est pas commutative.)
À partir des définitions de ces structures, l'application à ℝ implique seulement l'hypothèse du continu dans le passage [⚤]♢→[#]♢; ce que Mac Lane souligne immédiatement :
"For the immediate purposes of this chapter, we could have formulated these axioms just as properties of the real numbers. With the more general terms (ring and field) defined above, we can note that there are already at hand other examples of fields (the rational numbers ℚ and Z/(p), the integers modulo a prime). There are many more examples of commutative rings, including the system ℤ of integers and Zn , the integers modulo any n. More generally, a ring is defined by dropping the commutative law ab both distributive laws (1). A division ring is a ring in which every equation xa=1 and ay=1 for a≠0 has a solution x or y. These general notions, involving a possible non-commutative multiplication, are recorded here for convenience. They do not belong here in the order of ideas, which now should concern only the scale of reals and its remarkable properties." p. 98
Comme tu le vois, les axiomes présentés ici en mode ♢ sont d'une portée bien plus grande que la droite R; imaginable en mode ♧.
4/ Comparison of Magnitudes
Il est ici question d'une structure d'ordre dans R. Nous avons déjà compris qu'il n'y a ici aucune difficulté à passer de ℕ à R, tant que l'on n'a pas effectué de répétition de type ⊥, c.-à-d. tant que l'on reste dans un espace à 1 dimension.
"Here a field F is said to be ordered if it is linearly ordered by a binary relation a < b with the following two properties, for all field elements a, b, and e:
a<b implies that a+e<b+e. (1)
a<b and 0<e implies that ae<be (2)
(Note that here too there is just one axiom connecting order and addition, and just one axiom connecting order and multiplication.) Observe also that the rational (as well as the reals) form an ordered field in that sens." p. 99
Mac Lane se situe ici en mode ♢pour définir un ordre, non plus comme successeur, tel qu'il apparaît en [⚤]♧, mais portant sur la structure même d'un "corps", autrement dit, en [♲]♢.
- Je ne vois pas très bien ?
- Suis l'évolution du concept d'ordre :
- Autrement dit, en [♲]♧, le principe d'équivalence concerne les unités sur des axes orthogonaux entre eux, tandis qu'en [♲]♢, le rapprochement se fait entre les deux opérations x et + de la structure (E, x, +).
- Oui, et nous verrons dans la théorie des catégories que cette différence se ramène à la dualité [∃]𓁜 / 𓁝[∅].
- Je vois bien l'idée, mais selon toi, comment se caractériserait cette orthogonalité entre les opérations x et + au niveau intermédiaire [#]♢ ?
(β)- J'ai une intuition, mais gardons-la au chaud en attendant, (Note 4); et suivons Mac Lane dans son développement. Avec la notion de "valeur absolue", il prépare le terrain pour la notion de proximité, liée à celle d'ouvert en topologie, et dans la foulée, celle de continuité.
"These axioms provide for all the usual manipulations of inequalities. In particular, a real number c is positive if and only if c>0, while the absolute value IbI of a number b is b or -b according as b ≥ 0 or b<0. Then one proves rules such as :
∣ab∣ = ∣a∣ ∣b∣ , ∣a+b∣ ≤ ∣a∣ + ∣b∣
These absolute values formulate the notion of magnitude without direction, and are convenient for expressing ideas of "nearness". Thus a is near to b when Ia-bI is small. Inequalities and absolute values are the customary formal tools for expressing ideas of approximation." p. 99
L'objectif étant de limiter, voire d'effacer, le gap entre discret —[⚤] / [#] —continu. C'est ce que nous allons suivre maintenant :
"These ideas arise in many ways, perhaps most vividly in the observation that a real number, considered as an infinite decimal, can be successively approximated by finite decimals; that is, by rational numbers with denominators powers of 2 or of 10. To formalize this idea, one may start by recalling the Archimedean axiom from geometry (§III.2): that multiples of any segment OA with 0 ≠ A suffice to bound aIl larger segments —any segment OB is exceeded by some multiple of the first segment OA. In arithmetic terms, this amounts to observing that the order of the real numbers satisfies the following "Archimedean" law:
Archimedean Law. If a and b are positive, then there is a natural number n such that na > b:
In other words, no matter how small the positive number a may be, every other positive number b will be exceeded by some multiple of a." p. 99
Si tu t'en souviens, on retrouve ici, avec l'axiome Archimédien, la base de la construction de la tribu Borélienne à l'origine de la théorie de la mesure de Lebesgue. (voir (α) dans "Présentation au groupe de travail "théorie catégorique")...
- C'est un peu loin tout ça !
- L'idée, c'est d'approcher un ouvert dans un milieu continu en [#], par une tribu, qui est son approximation dans Q, et donc en [⚤], mais nous n'en sommes pas là : Mac Lane marque juste ici l'amorce du développement.
"In other words, no matter how small the positive number a may be, every other positive number b will be exceeded by some multiple of a. This amounts to asserting that there are no infinitesimal real numbers a though for other purposes, as we will see, it is convenient to think about infinitesimals. The Archimedean law also implies the important property that each real number can be approximated —to any desired degree of accuracy— by a rational numbers. This amounts to saying that there is a rational between any two reaIs.
Theorem. If 0<b<c
[...]
Definition. The sequence an of real numbers has the real number b as a limit if and only if to each real ε > 0 there exists a natural number k with the property: if n>k, then Ian-bI <ε.
In this formal definition, the anthropometric ideas (given an ε, we can find an index n) have been replaced by the use of logical quantifiers (For all ε > 0 there exists a k . . . ). The particular choice of k is not relevant, for once k works for an ε, so will any larger naturel k'. The informal idea that an gets close to b seems to have disappeared, but it is covered in the phrase "for all positive ε" — and hence in particular for a small ε...." p. 100
Je te fais grâce des détails, qui te rappelleront ta jeunesse. L'important est que quel que soit le mode de convergence, s'il y a convergence vers une limite, celle-ci est unique; avec une remarquable congruence avec le concept de continuité.
"The ideas of approximation represented in the definition of convergence are essentially the same as those involved in the definition (§I.4) of continuity. Indeed, using the axiom of choice (!), one can prove that a function f: R→R on the reaIs is continuous at a real number b if and only if f maps every sequence an converging to b into a sequence f(an) converging to f(b). In brief, f continuous means exactly that f preserves convergence." p. 101
(b) D'une manière ramassée, nous pouvons dire que passer d'une série (ou d'une suite) de termes dans une expression de niveau [⚤]♧ à sa limite dans un milieu continu en [#]♧ nécessite d'y "passer un temps infini", c.-à-d. de clore N, et donc de partir de [⚤]♢. (Note 5)
Tu remarqueras également le souci de s'affranchir de l'axiome de choix, en employant un "pour tout... ", autrement dit en passant par une propriété universelle, et ça, c'est une exigence que l'auteur s'impose en mode syntaxique 𓂀♡. Et c'est ce désir de s'affranchir de l'axiome de choix, qui conduit aux formulations en termes de "propriété universelle.
- Ce qui, au final, relève d'un choix de l'auteur...
- Oui, mais reporté au mode ♡, concernant les expressions des deux modes inférieurs ♢ et ♧, et en particulier, les passages de l'un à l'autre.
(ε)5/ Axioms for Reals
- Avec mon commentaire (b), j'ai un peu devancé l'appel :
"The practical understanding of real magnitudes and their uses in approximations leads eventually to the idea of characterizing the field ℝ of real numbers by a suitable list of axioms. It is not enough to require just that ℝ be an ordered field, for there are many such fields, including the field ℚ of rational numbers and the formal power series field R((t)). The crucial feature is a completeness axiom, stated in §I.4: Every non-empty set of reals with an upper bound has a least upper bound. An ordered field with this property is called a complete ordered field. The real numbers form such a field. The formal power series do not.
This completeness axiom implies the Archimedean law" p. 103
Regarde attentivement la démonstration de cette implication :
"This completeness axiom implies the Archimedean law. For suppose to the contrary that there were positive reals a>0 and b>0 such that no multiple na exceeded b. Then the set S of all multiples na, for n a natural number, has an upper bound, namely b. By the completeness axiom, S then has some least upper bound, call it b*; thus b* ≥ na for all n. This also means that b* ≥ (n+l)a for all n, and so that b*-a≥na for all n. Thus b*-a is less than b* and is also an upper bound for S, a contradiction to the choice of b* as a least upper bound for S.
Tu remarqueras l'emploi de "≥", ce qui nous renvoie à la Note 5 : pour faire le rapprochement entre complétude et approximation par des séries ou des suites indexées dans N, nous sommes bien en mode ♢, avec une logique non limitée au tiers exclu. Et donc, a contrario, en mode ♧, limité à la logique du tiers exclu, la coupure entre les niveaux [⚤] et [#], est bien caractérisée par une différence discret/ continu.
- Il est ici question de complétude et non de continuité...
- Mac Lane va nous indiquer de quelle façon les deux sont équivalents, suivons-le.
There are other equivalent forms of the completeness axiom. Instead of requiring that every bounded set of reals have a least upper bound, one may require any one of the following:
Dedekind Cut Axiom. If the set ℝ of reals is the union of two disjoint non-empty subsets L and U such that x∈L and y∈U imply x<y, then there is a real number r such that x≤r for all x∈L and r≤y for all y∈U.
Cauchy condition. Every Cauchy sequence of real numbers has a limit.
Weierstrass Condition. If a series c1+c2+... + cn +... of positive numbers cn>0 is such that there is an upper bound b for all partials sums sn=c1+...+cn, then the series converges.
It is illuminating to establish the equivalence of the different complete ness axioms. The Dedekind cut axiom is perhaps the more geometric (and has already appeared (§III.2 —cf. γ) in the completeness axioms for the geometry of the plane): Any cut of the real line into a lower part L and an upper part U must be a cut at some real number r. Indeed, each real number determines just two such cuts, one with L consisting of all x<r, the other with L consisting of all x<r. In this way, real numbers can be completely described by cuts." p. 103
Maintenant que nous avons bien vu que, dès l'utilisation de coupures pour définir les réels, nous sommes de facto en mode ♢, il suit naturellement l'idée de comprendre les réels "à un isomorphisme près", dans un langage ensembliste.
- Je ne vois pas le lien ?
- J'ai le sentiment qu'il s'agit d'un choix syntaxique 𓂀♡ lié à un besoin de définir tout concept en mode ♢ par une "propriété universelle". Par exemple, ici, Mac Lane prend bien soin de nous indiquer que "tous les critères" de convergence, nous amènent aux "mêmes" réels.
- Avec cependant une contrainte très forte : il dote d'emblée les réels d'une structure de corps (field en anglais).
- C'est pourquoi j'insiste en disant que nous sommes en mode ♢, avec les remarques liminaires que Mac Lane a faites lui-même au sujet de la surdétermination des concepts (cf α dans "Reprise #3"). Ici nous passons par le mode ♢, pour retrouver un concept primitivement en [#]♧. Bref, nous en sommes ici :
"The completeness axioms also serves to determine the real numbers uniquely, up to an isomorphism of ordered fields." p. 103
Voyons en détail de quelle façon il arrive à d'idée d'un "R universel", au sens qu'il pourrait avoir en ♡.
"We sketch the proof.
Suppose that R' is any complete ordered field, with unit element 1' for multiplication. Then 0<1', for otherwise 1'<0, which would give 0<-1' and so 1'=(-1')(-1')<0, a contradiction. For each natural number n>0the multiple n1' must be positive, and all these elements n1' are different elements in our field R'. Therefore φ(n)=n1' defines an injective map φ: N→R'. Because R' is a field, this φ can be extended to a map φ: Q→R' by setting φ(n/m) = φ(n)/φ(m) whenever m≠0; in other words, R' contains a copy φ(Q) of the ordinary rational numbers Q. Also, φ preserves the order. By the Archimedean law, each element r' in R' must then be a least upper bound of a set L' of these rationals, indeed it is the least upper bound of the image φ(L) of the set
L = {n/m l m≠0, φ(n/m)
"In either structure, the real numbers form a "continuous" scale. Physi cists (and others) sometimes suggest that an "atomic" or "discrete" scale would be more "real"; finitists propose finite scales of magnitude. These proposals turn out to be hard to execute-the continuous scale of reals works smoothly!" p. 104
Cette approche pragmatique colle à l'idée que notre Imaginaire s'organise comme il le fait pour se "simplifier la vie". En l'occurrence, l'hypothèse du continu facilite la vie du matheux.
6/ Arithmetic construction of the reals
Après la voie axiomatique, et en particulier, l'accent mis sur l'importance de :
Mac Lane s'attache ici à la construction de R.
- Autrement dit, on passe d'une approche transcendante ↓, à une construction immanente↑ ?
(γ)- Oui, et je passe sur les détails des différentes constructions à partir des différents axiomes de complétude utilisés, pour en arriver au constat suivant :
"All of these constructions are arithmetic, in that they build up the real numbers from the arithmetic of the rational numbers. They are, however, not purely arithmetic, since each of the constructions also makes intrinsic use of set theory —the set of all Dedekind cuts, each cut itself a set, or the set of all equivalences classes ( = sets) of Cauchy sequences. Hence the appearance, in the constructions, that the reaIs are "purely" arithmetic is deceptive.
It would be more accurate to say that the scale of real magnitudes requires both sets and arithmetic, as well as geometric understanding." p. 106
Avec un magnifique pragmatisme tout anglo-saxon, Mac Lane évite les errements entre tenants d'Aristote ou de Platon, pour se rendre à l'évidence qu'il n'y a pas de démarche purement S↑. Nous verrons qu'il y reviendra ultérieurement au § XII.10.
Mac Lane conclut par :
"In my view, such requirements of constructivity tend to emphasize arithmetic at the expense of geometry. Since the real numbers should subsume both arithmetic and geometric aspects of mensuration, these practical uses seem better formalized by the standard axioms for the field of real numbers." p. 107
J'en retire l'idée générale que la construction de ℝ se situe dans le cadran suivant de l'Imaginaire :
| [∃]♡ | [⚤]♡ | [#]♡ | [♲]♡ | [∅]☯ | 𓂀♡ |
| [∃]♢ | [⚤]♢ | [#]♢ | [♲]♢ | [∅] | |
| ☯[∃]♧ | [⚤]♧ | [#]♧ | [♲]♧ | [∅] |
7/ Vector Geometry
Nous nous intéressons ici à la répétition ⊥ de niveau [#], pour passer de ℝ aux vecteurs.
Il s'agit en premier de définir les opérations algébriques + et x de cet espace vectoriel.
Pour l'addition : pas de problème, l'addition des vecteurs présente une structure de groupe abélien et renvoie au groupe de translation dans le plan.
Pour la multiplication il faut d'abord définir une unité, et la multiplication par "r", le long d'un vecteur consiste à translater cette unité "r" fois le long de ce vecteur unité. Il s'agit non pas d'une multiplication dans l'espace vectoriel mais d'une "multiplication par un scalaire".
"This operation of multiplication of a vector by a scalar has the following formal properties
r(v + w) = rv + rw, 1v = v, (1)
(r + s)v = rv + sv, (rs)v = r(sv) (2)
for all vectors v and w and all scalars r, s ∈R. In view of these properties of addition and of scalar multiplication, we say that the vectors form a vector space over the real numbers." p. 108
- Il y a un passage implicite au niveau [♲], pour établir que l'unité 1 choisie ne dépend pas de l'orientation du vecteur...
- En es-tu sûr ? Je pense au contraire que tu peux choisir arbitrairement une unité 1 sur chaque vecteur v et w de ta construction, et qu'elle garde un sens...
- Les figures que je trace seront déformées si je fais varier le rapport entre les unités sur v et w !
- Pour les figures géométriques#♧ représentant tes vecteurs, en [#]♧, oui, mais pas l'espace vectoriel en [#]♢! Nous retrouvons ici l'idée d'espace topologique. Il sera intéressant de voir au fil du texte s'il y a convergence entre les concepts d'espace vectoriel (non normé) et celui d'espace topologique. en [#]♢...
D'ailleurs la nécessité de choisir une unité propre à chaque vecteur se retrouve plus loin :
"In the plane, if u1 and u2 are two non-collinear vectors, every vector v in the plane can be written as a "linear combination" v= x1u1 + x2u2 with unique choices for the x1 and x2. In three dimensions, we need three vectors u1, u2, and u3 along three "axes". More generally, vectors u1,...,un in V are said to form a basis for the vector space V if every vector v in V has a unique expression v= x1u1 +...+ xnun" p. 108
Quant au rapprochement entre espaces vectoriels et topologiques il vient de suite sous la plume de Mac Lane :
"Vectors also provide a convenient description for certain functions transforming the plane into itself (and leaving the origin fixed): Transformations such as expansions from the origin (v↦rv) for a fixed r, compressions on a line through the origin, and shears. All of these transformations preserve the vector operations. More generally, a linear transformation on V is a function t: V→V which preserves both addition of vectors and multiplication of vectors by scalars. This means that the equations
t(v + w) = tv + tw, t(rv) = r(tv) (3)
hold for all vectors v and w and all scalars r. For example, a rotation about the chosen origin 0 is a linear transformation (it maps the parallelogram of addition into a parallelogram). The same notion of linear transformation applies to higher dimensional vector spaces, and is the cornerstone of the study of linear algebra and matrix theory (Chapter VII)." p. 109
C'est merveilleusement simple, n'est-ce pas ? Ce livre devrait être étudié en terminale !
- Mais encore ?
- En rédigeant la Note 4 avant-hier, je m'étais fait la réflexion que la représentation d'un concept se visualisait sur notre tableau comme un glissement "en bas à droite", un peu comme la marche du fou sur l'échiquier :
| [∃]♡ | [⚤]♡ | [#]♡ | [♲]♡ | ☯ | 𓂀♡ |
| [∃]♢ | [⚤]♢ | [#]♢ | [♲]♢ | 𓂀♢ | |
| ☯[∃]♧ | [⚤]♧ | [#]♧ | [♲]♧ | 𓂀♧ |
... Ce ne sont encore que des idées en l'air, mais regarde par exemple à quoi correspond la représentation graphique de la flèche⚤♢ d'un morphisme par une flèche#♧ dans le plan (en rouge sur fond bleu sur le schéma). La représentation d'un concept dans un mode donné (i.e. ♢), est prise dans le mode inférieur (i.e.♧), mais d'un niveau supérieur (i.e. [#] vs [⚤]) : un concept [⚤]♢ représenté en [#]♧.
Le secteur en bleu illustre bien le passage :
Avec l'idée très générale que la cohérence de l'objet#♧ géométrique passe :
Et le film que je me fait est une approche double de l'objet#♧ :
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Sur notre ruban de Moebius le mouvement de notre Sujet :
- Ce qui fiche en l'air tes références constantes aux 3 entendements de Spinoza, et en particulier à la dualité
immanence — S↑ / S↓ — transcendence, non ?
- J'en ai peur : Spinoza ne distinguait pas les différents "modes" de penser et le saut [#]♢↓[#]♧ lui échappe. Cela tient sans doute à ce que Lacan nous rappelle : une fois un concept acquis, il est très difficile de régresser pour oublier ce qui a formaté notre façon de voir. Tu ne peux pas "te mettre dans la peau" du bébé que tu fus, et redécouvrir (S↑) le monde par ses yeux. Mais je te propose de laisser de côté cette discussion philosophique, sur laquelle nous reviendrons sans doute, lorsque Mac Lane nous parlera de Platon au chapitre XII §10, à la fin de son ouvrage.
Or, donc, pour en revenir à notre espace vectoriel, il faut le voir comme une sorte d'extension en [#] d'une algèbre sur le corps des réels. Ce corps des réels étant lui-même le fruit du passage [⚤]♧↑[⚤]♢, que nous avons vu en détail.
- Oui, bon, tu tournes en boucle, là...
- Attends la suite. Si tu t'en souviens, nous avons pas mal discuté de l'équation de Lagrange et du discours du physicien en général, comme du passage [#]♢↓[#]♧, or cette approche duale de l'objet géométrique me fait penser que la description d'un "objet" quelconque doit certainement suivre cette même approche duale.
- Tu penses à la constitution :
- Exactement. Il y aurait donc une congruence trop profonde entre :
qui tiendrait tout simplement à la structure intime de notre Imaginaire, ici limité aux 2 premiers modes ♧♢.
- Et tu vois tout ça dans ce texte de Mac Lane ?
- Mais oui : la base de toute la suite, c'est l'importance donnée aux applications linéaires, qui conduisent aux matrices, et à l'expression du volume en [♲]♢, par le déterminant d'une matrice carrée. En parcourant les niveaux [⚤]/[#]/[♲] Mac Lane nous donne ici la trame du mode ♢ et de ses correspondances avec le mode ♧.
Avec un détail important pour la suite : l'algèbre utilisée ne fait pas de distinction entre translation et rotation, c'est un incident fort que notre mode de représentation "euclidien" (2D) est plongé dans un mode de représentation d'ordre supérieur (le ruban de Moébius est une surface plongée en 3D, cf. "Représentation des 4 modes Imaginaires").
Ensuite, Mac Lane termine sur la notion de "géométrie affine" sur un plan d'une façon qui m'est étrangère :
"The addition of vectors was possible only with the choice of an origin 0. Without a choice of origin one still has some algebraic operations such as the construction of the midpoint, written (1 /2)P + (1 /2)Q, of two points P and Q or of the point (2/3)P + ( 1/3)Q which is one third of the way from P to Q. The general such operation is the formation of the weighted average (4) of n+I points with weights real numbers Wi with sum
P=w0P0 + w1P1 + ... + wnPn (4)
of n+1 points with weights real numbers wi with sum w0+...+wn=1. A transformation preserving such averages is called an affine transformation; the resulting geometry (in any number of dimensions) is affine geometry. It is possible to write a complete set of axioms for the weighted average operations (4), but they are cumbersome (Algebra, first edition). Even the simplest ternary operation Po - PI + P2 of this type has not proven to be very useful. It seems more efficient to reduce to vector algebra by choosing an origin. Addition is a very convenient operation! Binary operations are much handier than ternary ones." p. 109
Il est intéressant de retrouver ici l'importance d'une "origine" pour définir une addition. Maintenant, éviter le choix (car c'est bien de cela dont il s'agit) pour s'imposer "sum w0+...+wn=1" me tomber de Charybde en Scylla :
- Le choix n'est pas de même mode. Le premier est en mode objectif ♧, le second en mode relationnel ♢.
- Soit : la géométrie affine repousserait le choix du Sujet :
8/ Analytic Geometry
"Another and earlier reduction of plane geometry to algebra is provided by the familiar method of cartesian coordinates. Given an orientation, a choice of origin and unit, and two perpendicular coordinate axes, each point P is represented by its coordinates, a pair (x,y) of real numbers." p. 109
- Bon, là, nous retrouvons du familier. Note cependant ceci :
Mac Lane venait de présenter l'espace de jeu [⚤][#][♲] en mode ♢ au paragraphe précédent, il fait ici de même en mode ♧. Je ne m'étendrais pas plus que l'auteur sur la géométrie cartésienne dans cette courte présentation qu'il conclut ainsi :
"Much of mathematical physics deals with phenomena in three dimensions and so often requires a formulation in triads of equations, one for each coordinate in R3. When R3 is regarded as a vector space, many of these equations can be written as single vector equations. This accounts for the popularity of vector analysis in Physics. It includes the use of inner products, to which we now tum."
Un petit bémol cependant : faute de faire référence à deux modes ♧/♢ distincts, Mac Lane écrase son discours concernant les vecteurs#♢, sur celui de leur représentation géométrique#♧, ce qui brouille un peu les idées.
- C'est bien pour t'y retrouver dans ta propre confusion que tu as développé cette représentation de l'Imaginaire, non ?
- Certes.
9/ Trigonometry
- Là, nous tombons dans le cauchemar de ma jeunesse : j'ai un mal fou à enregistrer des formules, il me faut des représentations graphiques, sans doute est-ce lié à une dyslexie ou quelque chose de ce genre, mais la trigonométrie me sort par les trous de nez ! Il me faut passer par z=eiθ tournant autour du cercle unité dans ℂ pour reprendre mon souffle.
- Fais un premier tour en apnée...
- OK. Bon, Mac Lane situe ainsi le problème :
"Trigonometry is essentially a procedure for turning angular measures into linear measures." p.110
C'est intéressant parce que je retrouve ici mon interrogation de fond concernant la différence translation/ rotation (voir Note 4), et cette présentation me fait penser que la trigonométrie est une tentative de faire le lien en mode ♧, quand, nous savons déjà qu'il faut passer en mode ♢.
La traduction géométrique de cette différence (exprimable en [#] en termes d'orthogonalité ⊥) se repère facilement sur ce schéma :
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Différence qui s'efface en mode ♢ (plongé dans un espace 3D) avec :
(δ) Le 22/ 04/ 2023 P.M.
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-À peine avais-je délaissé mes Mac (Lane et portable) pour quelques huîtres et un blanc à mon bistro du samedi, que ça m'a frappé d'une saine évidence :
(c) D'où il vient que :
Vois-tu le chassé-croisé entre + et x dans le passage de ♧ à ♢ dès lors que l'on n'oublie pas que ♧ et ♢ sont les deux "faces" locales d'un ruban de Moebius ?
| multiplication | / addition | 𓂀♢ | ||
| [∃]♢ | [⚤]♢ | [#]♢ | [♲]♢ | |
| ☯[∃]♧ | [⚤]♧ | [#]♧ | [♲]♧ | 𓂀♧ |
| addition | / multiplication | |||
- Tu avances sur l'une quand tu recules sur l'autre, comment veux-tu...
- Stop ! Tu as trop bu. Va reprendre un café.
- Désolé. Et donc, tu occupes bien la zone de jeu allant de [⚤]♧ à [#]♢, mais que dire des niveaux [♲]?
- C'est là que je raccroche au discours de Mac Lane, lorsqu'il introduit la notion de "produit intérieur", en passant par la trigonométrie, à partir d'un triangle :
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"On the other hand, one may compute the length c of the side AB from the Pythagorean theorem for the right triangle AMB to be
c2 = (b.sinθ)2 +(a-b.cosθ)2, (8)
c2= a2+b2-2ab.cosθ.
This is the law of cosines. When u = OB and v = OA are regarded as vectors of the respective lengths IOBI = a, IOAI = b, the expression ab.cosθ which appears in (8) is called the inner product u·v of the two vectors; it is a scalar (a real number). If A has coordinates (x1; y1) and B coordinates (x2; y2), the lengths a, b, and c in (8) can be written in terms of these coordinates by the Pythagorean theorem; the formula (8) then becomes a formula for the inner product u·v:
(x1; y1).(x2; y2)= x1x2 + y1y2. (9)
This again is a linearization of angular phenomena." p.113
Là, j'avoue sécher. Incertain de ma compréhension du terme "inner product", et faute de trouver de traduction française certaine, je me suis rabattu sur l'article en Anglais de Wikipédia. Il y est fait allusion à l'espace de Hausdorff, ce qui m'a permis de revenir au Français, sans retrouver de mention de cette "opération interne" sur les vecteurs. La requête "espace de Hausdorff" renvoyant directement à "espace séparé".
- Note-le et passes à la suite, de toute façon, Mac Lane précise qu'il y reviendra en §VII.5. Mais achève donc de nous parler du niveau [♲].
- Oui, effectivement ce "produit interne" m'a perturbé, car j'ai pensé au "produit vectoriel", qui me semble pour l'heure beaucoup plus riche, quant à notre propos. Pour deux vecteurs u et v dans un espace vectoriel#♢ (ou leurs représentations#♧ par des segments de droite) dans le plan, il s'écrit v⋀u = x1y2-x2y1. Or cette expression antisymétrique se retrouve à chaque niveau [♲] de notre tableau, qu'il s'agisse de mathématiques ou de physique, avec une notion de "quantité conservée" propre à ce niveau.
- Tu décroches complètement du texte...
- Je m'en excuse, mais je suis frappé par l'importance de cette relation antisymétrique, quand les axiomes définissant les rapports entre + et x soulignent, au contraire les symétries en [♲]♧.
- L'axiome de distributivité n'établit pas de symétrie entre + et x : tu as bien x(a+b)=x.a+x.b, mais tu ne peux pas inverser le rapport entre x et + ; tu n'as pas x+(ab)=(x+a)(x+b).
- Je pense que nous devrons y revenir sous peu, ne serait-ce qu'à cause du produit "à gauche" ou "à droite" qui s'introduit en [⚤]♢... Je te propose de poursuivre en attendant.
10/ Complex numbers
(ζ)- J'aime bien son introduction, très simple :
"Each extension of the number system to a larger system is driven by the need to solve questions which the smaller system cannot always answer.
- Je t'en prie, ne nous ressors pas tes méditations sur la pensée mythique ou la déconstruction de Derrida !
- D'accord, j'ai pitié de toi.
Incidemment, en explicitant l'addition et la multiplication des nombres complexes, tu vois se pointer une forme anti-symétrique (i.e.: ae-bd), dans l'approche purement arithmétique par laquelle Mac Lane démarre :
"One does not need the actual symbol i; a complex number a + bi could be defined arithmetically to be just an ordered pair (a,b) of real numbers. When the addition and multiplication of such pairs is defined, following (1) and (2), by the rules
(a,b) + (e,d) = (a+e, b+d), (a,b)(e,d) = (ae-bd, ad+be) (3)
it follows readily that these pairs do form a field, call it ℂ. The given real numbers are embedded monomorphically in ℂ by the map a→(a,0); in particular 1 becomes (1,0). Moreover, by the multiplication rule (3) the pair i=(0,1) has i 2=(-1,0) . Then any pair (a,b) can be rewritten as a linear combination (a,b)=(a,0)+(0,b)=a+bi. In other words, this strictly arithmetic construction has produced things which act exactly like the desired complex numbers, and i, defined as a pair (0,1), need no longer be regarded as imaginary, although this word is still used for i and its real multiples bi." p. 114
Pour revenir à notre questionnement concernant la différence entre translation et rotation, ainsi qu'à l'omniprésence de formes antisymétrique aux niveaux [♲], j'ai l'impression que les deux sont liés ici de façon très primitive : la "répétition" sur i=(0,1) se traduit par une rotation i 2=(-1,0) dans ℂ. (Note 7)
Ensuite, Mac Lane présente une approche plus géométrique, qui nous est familière, avec les réels sur un axe des abscisses, et i sur l'axe des ordonnées, je n'insiste pas.
- Mais où se situe l'auteur dans ce discours ?
- Merci pour se rappel à l'ordre. Je dirais, pour aller vite que
Autrement dit, après ce que nous avons vu, l'approche géométrique est une représentation de ℂ. Mais pourquoi pas mettre ℂ en [⚤]♢ ?
- Nous en revenons à la distinction discret/ continu. Est-ce qu'un espace de Hausdorff ou "pré-Hilbertien" est en [⚤], quand nous avons placé l'espace de Hilbert en [#]. J'en sais trop peu à ce stade pour trancher.
- Là encore, il faudra y revenir.
- Oui, mais suivons notre lapin blanc avant qu'il ne nous échappe. Mac Lane amorce l'idée de sous-groupes distingués en parlant de l'adjonction de "i" au corps des réels. Il nous prépare à la révolution d'Évariste Galois, après avoir rappelé le théorème fondamental de l'algèbre de Gauss. (Notes 6 et 7)
"The complex numbers thus are constructed by adjoining to the field of real numbers one solution of the polynomial equation x2+1=0." p. 115
Je passe sur les développements pour arriver à ceci : chaque adjonction à ℝ, en vue de trouver les racines d'un polynôme, équivaut à l'adjonction de i, pour constituer ℂ. (Note 7)
- Autrement dit, au-delà de sa représentation géométrique en [#]♧, ℂ est un concept de mode ♢, dont chaque construction par l'adjonction d'un symbole orthogonal ω à l'unité 1 sur ℝ est une représentation. (désolé si mon expression manque de précision, mais l'idée est très simple).
- L'orthogonalité n'est-elle pas caractéristique du niveau [#] ?
- Oui, mais en mode ♢, il faut pouvoir représenter des liens (ou morphismes) entre domaine et co-domaine, dès [⚤]♢. Nous retrouvons ici cette "diagonale du fou" que nous avons déjà rencontrée. A priori (je dis bien a priori) le concept ℂ en [⚤]♢ serait représenté graphiquement en 2[#]♧.
- En quoi consisterait alors l'aspect "discontinu" du niveau [⚤]♢ ?
- Nous avons déjà une piste en considérant que :
- Autrement dit, l'expression, ou représentation du discret, en [⚤]♢ se fait dans ℂ continu ?
- Oui, je crois qu'il faut faire la distinction entre
de même que nous prenons soin de distinguer le Sujet 𓁝𓁜 de l'espace Imaginaire dans lequel il évolue. Ici, ℂ qui a une texture continue nous permet d'exprimer le discontinu, en [⚤]♢ et se représente en [#]♧.
- Il faut malgré tout une certaine congruence entre l'espace de présentation du Sujet et celui de présentation de l'objet, mais lequel est premier et contraint l'autre ?
- Tu me demandes de dire qui est premier de l'oeuf ou de la poule... J'espère que cette question se décantera d'elle-même au fil de notre lecture.
Pour l'heure, je retiendrais que l'idée de séparation en [⚤]♢ est représentée par une orthogonalité en [#]♧.
- Tu penses aux extensions de Galois ou sous-groupes distingués ?
- Oui. Je pense que c'est ce que Mac Lane annonce dans ces quelques lignes. Par ailleurs il termine sur les automorphismes du type a+bi↦a-bi dans ℂ dans la théorie de Galois sur les équations polynomiales. (Note 7) Nous y reviendrons en §V.7.
Le 23/ 04/ 2023
11/ Stereographic Projection and Infinity
"Division by zero does not work; if attempted, it leads inevitably to paradoxes. Nevertheless, it is suggestive to think that the reciprocal w=1/z of a complex number z should approach infinity as z approaches zero. This does not mean that there is a number ∞ in the field ℂ of complex numbers, but it does mean that there is a geometric model which adds a "point" at "infinity" to the complex plane." p. 116
- Là, j'avoue rester perplexe.
- À quel propos ?
- Concernant la nature de ce point à l'infini. Dans mon esprit, le point à l'infini se présente d'abord comme la clôture de ℝ, et donc en [#]♧. Ensuite par la répétition, on définit ℝ2 ou espace 2D, toujours en 2[#]♧, toujours avec un point à l'infini, que l'on retrouve sur cette projection stéréographique , pas de problème :
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Ensuite, on dote ℝ et ℂ d'une structure de corps, en [⚤]♢. C'est ce qui se décante de la lecture; mais alors, pourquoi ce point à l'infini disparaîtrait-il dans cette évolution ?
- Je ne vois qu'une solution possible, qui doit tenir au changement de mode :
| 𓁝[⚤]... [∅] | 𓂀♢ |
| ↑ | |
| [∃][⚤]𓁜 | 𓂀♧ |
- Est-ce que ça remet en cause tout ce que tu as pu dire sur le sujet ? (voir (b) dans "À l'ombre de Grothendieck et de Lacan #1")
- Il faudra y réfléchir en détail, mais a priori, je dirais que non. Lorsque Alain Connes introduit un point à l'infini pour clore ℕ, c'est un choix qu'il (𓂀♢) fait consciemment, autrement dit un passage 𓁝[⚤]♢⏩[⚤]𓁜♢ qui n'est pas le geste de clôture de ℝ par un point à l'infini pour des considérations géométriques, et que nous retrouvons ici dans cette représentation stéréographique de ℂ.
- Soit, mais quid du Sujet ? Est-il "dans ℂ", représenté par sa position au pôle Nord de la sphère de Riemann, ou bien sur ton ruban de Moebius ?
- C'est une question de mode syntaxique ♡. Vu par 𓂀♡, s'il est "collé" à ℂ en mode ♢, alors le Sujet se déplace dans un espace orienté. Pour effacer cette dissymétrie, il faut plonger ℂ dans un espace de dimension 3D.
- Ton ruban de Moebius ? Mais comment le savoir ?
- Si le Sujet se promène à l'infini pour revenir à son point de départ en faisant un tour sur lui-même, autrement dit, si la droite ℝ fait un tour sur elle-même, alors, il est sur notre ruban... mais pour en discuter, nous sommes en mode ♡, celui de la Méca Q, qui nous a donné le concept de spin... Je te propose d'arrêter ici cette discussion, pour y revenir si nécessaire lorsque Mac Lane abordera le sujet au chapitre IX. Quand à l'aspect géométrique du plan projectif, Mac Lane nous donne rendez-vous au chapitre X. À suivre...
12/ Are Imaginary Numbers Real ?
"If Mathematics is the science of number, space, time, and motion, and if number covers just whole, rational and real numbers, then there is no place in this science for these imaginary numbers. Therefore, the gradual general acceptance (after 1800) of the complex numbers as reasonable and useful does mark a departure from the "number, space, time, and motion" concept of Mathematics. In other words, once the construction of the complex numbers is accepted as "real", it becomes more natural to accept many further "constructions" — of higher-dimensional spaces, quaternions, groups, and the like. The complex numbers represent a major first step in developing the present scope of Mathematics." p. 118
Dans notre jargon :
L'importance que Mac Lane accorde à ℂ justifie, a priori, d'y voir l'espace "naturel" permettant de s'exprimer en mode ♢, à partir de quoi, il convient de redéfinir le duo discret — [⚤]/[#] — continu, et les principes de répétition qui y sont attachés.
- Tu as déjà évoqué l'idée que la répétition en [⚤]♢ devait avoir trait au concept d'inclusion ⊂.
- Oui, c'est une piste, reste à compléter le tableau et vérifier cette approche. Pour en revenir à Mac Lane, l'importance de ℂ tient à l'expression particulière qu'y prennent translation et rotation, ce qui me rassure quant à la justesse de mon approche (cf. c):
"The points in the plane can be interpreted as complex numbers only after a choice of origin and axes. It is not just that geometry justifies the com plex numbers; it is also that the algebra of complex numbers helps explain geometry. Addition gives translation, multiplication rotation." p. 118
En conclusion :
"In short, the real "foundation" for complex numbers lies in their manifold uses in better understanding of Mathematics. This is typical of the con ceptual expansion of Mathematics.
[...]
These 19th century developments made obsolete the simple view that Mathematics is the science of number, space, time, and motion." p. 119
13/ Abstract Algebra Revealed
- Bon, là, Mac Lane résume tout ce que nous venons de passer en revue et de commenter. Je te laisse vérifier par toi-même dans son texte, qu'il s'inscrit parfaitement dans notre carte de l'Imaginaire. En particulier, il marque bien la spécificité du mode ♢ par rapport au mode ♧ :
"... The actual subject matter of algebra is not the manipulations of numbers under addition and multiplication, but the manipulation of any objects satisfying the rules (the axioms for a ring or for a field) for such manipulation. Algebra is thus inevitably abstract, even though this was not fully recognized until the 1920's when Emmy Noether and her disciples saw clearly that many algebraic phenomena could be grasped more effectively when stated and proved abstractly."
14/ The Quaternion and Beyond
Mac Lane retrace le passage de ℝ (1D) à ℂ (2D), puis à ℍ (4D) avec ce saut de 2D à 4D. Nous avons déjà eu l'occasion de remarquer toute son importance (voir "Quaternions temps et espace"), c'est pourquoi je n'y reviens pas en détail ici, pour en arriver à la conclusion de Mac Lane :
"All this suggests that the quaternions are inevitable (though perhaps shocking to the commutativity-minded). They are. Consider any division ring D which contains the real numbers ℝ as a subring; then D is a vector space over ℝ. A famous theorem then asserts: If D is finite-dimensional (over ℝ), then it must be isomorphic (as a ring, preserving ℝ) to the quaternions, or to the complex numbers, or to the reals themselves. There are no such finite dimensional division rings beyond dimension 4, and in dimension 4 the quaternions (possibly with a different choice of basis) is the only possibility!" p. 121
J'y vois deux choses :
15/ Summary
Je te livre le texte de Mac Lane :
"Measures of many different sorts of magnitudes are all reduced to and codified by the real numbers. The simple formal axioms for the reals involves both
Of these, the completeness requirement is the most geometric and the deepest —and has the most varied expression. For the algebraic axioms it is remarkable that multiplication appears to have no natural geometric representation on the line, but only one in the plane. One dimensional geometry is evidently quite weak.
The arithmetic constructions of the reals from the rationals are varied, straight-forward, and not of great weight. More significant is the use of the reals to reduce problems of geometry to questions in algebra, by way of vectors or of coordinates. The reduction of angular measure to linear measure is the source of trigonometry and the starting point for the algebraic treatment of vector spaces with inner products. It is also vital to the introduction of complex numbers. The real numbers (in dimension one) and the complex numbers (dimension two) both satisfy the axioms for a field — but in dimensions higher than 2 there is no corresponding field of "numbers".
Originally, it was the manipulation of magnitudes which led to the algebraic operations of addition and multiplication — but the same operations, with corresponding properties, hold for many systems which are not "magnitudes", hence the development of algebra as abstract. This abstraction is a natural sequel to the recognition of the real existence of imaginary numbers.
References. The systematic construction of number systems can be found in many texts, for example in Gleason (1966). There is also a famous classical presentation by Landau (1951). He was an expert on austere and rigorous formulation. The historical aspects are well suggested in Sondheimer-Rogerson (1981)." p. 122
Tu noteras la rupture marquée en 2D : au-delà, les nombres perdent leur structure de corps, c'est à prendre en compte pour le passage du mode ♢ au mode ♡.
- De même qu'en passant de ℝ à ℂ tu perds la notion d'ordre, non ?
- C'est un point sur lequel il faudra revenir.
Mais pas faché de terminer ce chapitre, un peu touffu, car nous sommes ici ballottés sans cesse entre les modes ♧ et ♢, qui se structurent petit à petit en cours de lecture. D'où des redites, voire des contradictions et autant de retours en arrière...
- Nous sommes loin de l'élégance recherchée.
- Ça demandera encore pas mal de travail pour y arriver. Cent fois sur le métier...
Hari
Note 1 :
En dehors de la structure de groupe, la simple définition de ℕ comme "ensemble", conduit au paradoxe de Russel. Pour s'en sortir il faudrait clore ℕ par un point à l'infini, ce qui n'est pas possible en mode ♧ (i.e.la construction de ℕ en [⚤]♧ est indéfinie). Pour s'en sortir, il faut passer d'une vision "temporelle" ouverte à l'idée de sous-groupe inaccessible en [⚤]♢ (i.e. : quel que soit le nombre d'étapes ou la longueur du chemin m'en séparant, je n'y arriverai jamais). Voir à ce sujet notre discussion autour de la présentation d'Alain Connes lors du colloque "Lacan- Grothendieck/ l'impossible rencontre" rep. (b) dans :
Note 2 :
Voir les définitions de Lawvere dans l'article "Produit- Coproduit". Il faudra y revenir, bien entendu, car je n'avais pas encore à l'époque fait la distinction entre "niveaux" et "modes" de penser, ce qui rend mon discours très confus. C'est d'ailleurs pour cela que je souhaite tout reprendre à zéro, à partir de la lecture de Mac Lane !
Note 3 :
/image%2F0964014%2F20220630%2Fob_4bbdcb_capture-d-ecran-2022-06-30-a-12-03.png)
- En parcourant une surface topologique comme le propose Alain Connes dans cette figure, en suivant cette ligne R, "met de l'ordre" dans la surface...
- Oui, mais il faut malgré tout utiliser le concept d'"ouvert" sur une surface pour établir des poximités entre lignes, et donc établir une équivalence entre deux axes orthogonaux, c.-à-d. passer par le niveau [♲] :
De toute façon, tu n'échappes pas à cette "montée" Imaginaire au niveau [♲].
Note 4 du 20/04/2023 :
- Hier, en relisant ce texte, une idée s'est pointé dans ma tête et m'a poussé à écrire ceci:
"En pensant à ℂ comme représentation du plan, et l'écriture d'un nombre complexe sous la forme z= ρeiθ, j'ai l'idée d'une différence entre:
- À mûrir..."
- Tu es complètement hors sujet, pourquoi insister ?
- Je voudrais explorer le sens de cette intuition. Prends-le comme une auto-analyse.
Il faut partir de ma très ancienne curiosité pour la différence rotation/ translation dont ce blog garde quelques traces, voir par exemple "Tourner - glisser" datant de 2015.
Ensuite, dernièrement, en écrivant sur la "Représentation des 4 modes Imaginaires", j'ai pris conscience qu'une brisure de symétrie (comme une image dans un miroir) s'efface en plongeant l'objet dans une dimension supérieure, et je retrouve sous forme de "changement de modes" l'idée ancienne d'une "différence de niveaux" entre la représentation de la droite et celle du cercle.
Dans un autre ordre d'idées, j'ai toujours le sentiment d'une différence de posture du Sujet lorsqu'il pense à l'addition ou la multiplication (voir "Multiplication/ addition" de 2018).
Et puis j'ai eu cette idée, dernièrement, que ce qui importait dans l'équation de Schrödinger c'était l'orthogonalité entre temps et espace (voir "Le discours du physicien").
Et tout ceci tourne dans ma tête comme dans un mixer.
Reprenons :
1/ Si la rotation induit une orientation du plan en [#]♧, cette dernière disparaît dans un plan vu comme surface de Moébius, autrement dit imaginé en [#]♢: je peux passer d'une orientation à l'autre par un déplacement sur la bande, c.-à-d. en sautant de [#]♧ à [#]♢.
2/ Pour "voir" l'équivalence entre une rotation en [#]♧, et une déplacement amenant le Sujet de [#]♧ à [#]♢, je dois, en tant qu'auteur du discours 𓂀♡, être moi-même en [#]♡ sur un tore :
- Et la droite dans tout ça ?
- Elle est primitivement définit en [#]♧, comme "passant par deux points". Mais tu vois un curieux phénomène se produire en passant en [#]♢: pour suivre une ligne droite à l'infini et revenir à sa place, j'ai l'intuition que le Sujet "fait un tour sur lui-même".
- D'où te viens cette idée ?
- Le point à l'infini est un concept de mode ♢. Nous devrons creuser le sujet, mais je pense que se sera facile à établir. Nous l'avons vu pour la clôture de N, en suivant Alain Connes, et c'est déjà vrai, pour clore ℂ à l'infini. Et donc (mais prend-le pour de la pure poésie, rien d'autre) il serait élégant de voir le "spin" comme cette torsion de la droite sur elle-même passant par l'infini.
- Autrement dit, en mode ♢, le Sujet peut réduire la dualité des orientations de l'espace imaginé en mode ♧ au prix d'une "torsion" dans ses déplacements en ligne droite ?
(e)- As-tu déjà enroulé une écoute ou un tuyau d'arrosage ?
- Oui, pourquoi ?
- N'as-tu pas remarqué qu'il faut toujours "détordre" le cordage — la ligne, pour l'enrouler sans torsion sur le cercle ? Je te propose d'y voir une métaphore (en 3D) de ce dont il s'agit dans notre Imaginaire (en 2D).
- Je crois bien que c'est une question autour de laquelle tu tournes effectivement depuis un bon moment, (cf. "Spin alors")
3/ Nous en sommes à la dualité des postures du Sujet 𓁝𓁜 en mode ♢, et à ses conséquences quant à notre représentation de l'espace en [#]♢ : l'orientation duale du plan renvoie à la dualité 𓁝𓁜 du Sujet.
Par ailleurs (voir "Matrice")
Il y a enfin cette discrimination opérée en physique entre :
Avec cette remarque que je me suis faite il y a longtemps :
Nous voyons ainsi ce préciser le paysage de ce mode ♢, en comprenant mieux la nature des équivalences du niveau [♲]♢ , avec un rapprochement entre une écriture algébrique en [⚤]♢ , et une représentation géométrique en [#]♢.
4/ Ensuite, il faudrait rapprocher ce que nous avons vu dans Ikebana, sur ce tableau :
| [∃]♡ | [⚤]♡ | [#]♡ | [♲]♡ | ☯ | 𓂀♡ |
| [∃]♢ | [⚤]♢ | [#]♢ | [♲]♢ | 𓂀♢ | |
| ☯[∃]♧ | [⚤]♧ | [#]♧ | [♲]♧ | 𓂀♧ |
et ce que nous venons de voir dans la "Représentation des 4 modes Imaginaires".
- Qu'en tires-tu ?
- Ce ne sont encore que des idées en l'air, mais regarde par exemple à quoi correspond la représentation graphique de la flèche⚤♢ d'un morphisme par une flèche#♧ dans le plan (en rouge sur fond bleu sur le schéma). La représentation d'un concept dans un mode donné (i.e. ♢), est prise dans le mode inférieur (i.e.♧), mais d'un niveau supérieur (i.e. [#] vs [⚤]) : un concept [⚤]♢ représenté en [#]♧.
Si tu repenses maintenant à la définition de l'état d'un système |A⟩ en mécanique quantique, situé en [#]♡, ça correspond à l'idée que l'on se fait d'un "objet" en [♲]♢.
(d)- Tu nous fais la diagonale du fou ?
- Je n'en sais trop rien. Mais considère maintenant le passage de [⚤]♡ à [#]♢ , en te posant la question :
"pourquoi la mécanique quantique s'écrit-elle nécessairement avec des nombres complexes?".
- Tu y avais répondu en voyant, dans le "i" de ih, la prise en compte d'une orthogonalité irréductible entre temps et espace. (voir "Le discours du physicien").
- Oui, c'est entendu, mais nous sommes ici en mode ♡, et l'Imaginaire ne se boucle plus sur une bande de Moebius (cf. Alain Connes revisité), mais sur un tore...
- Autrement dit, il y a une autre proximité entre [⚤]♡en passant "de l'autre côté" de la représentation : directement en [#]♧?
- Ah ! Tu vois que notre petite gymnastique commence à te devenir plus familière.
- Bon, soit, mais où cela te mène-t-il ?
- Alors là mon ami, je vais l'écrire en tout petits caractères, et le laisser au fin fond d'une note que personne ne lira, afin de ne pas me faire traiter de farfelu par quelque connaissance qui ne manquerait pas de se foutre de moi :
il faudrait réécrire l'équation de Schrödinger non pas dans C, mais dans H, pour retrouver un lien avec la relativité...
Mais chut ! Que cela reste entre nous. 😏
- Ça y est, tu as évacué le trop plein ? Nous pouvons revenir à notre lecture ? De toute façon, Mac Lane te donnera l'occasion de revenir à la Méca Q au chapitre IX, prends donc patience et concentre-toi sur ce qu'il a à t'apprendre.
Par ailleurs, il me semble que tout ceci se simplifie grandement lorsque tu n'oublies pas de réfléchir sur deux modes ! Voir (δ).
Où l'on retrouve que la logique associée n'est pas du 1er ordre, ici elle est trivalente, avec l'idée que a≤b ou a>b, c.-à-d. que :
C'est vrai pour l'approche "par les coupures" de Dedekind (voir "Geometry #5"). β γ
Je n'y reviens pas en détail, mais c'est une question qui m'a arrêté plus d'un an ! Voir par exemple :
Note 7 du 24/ 04/ 2023
C'est peut-être plus simple à comprendre en termes de symétries entre les racines d'un polynôme.
1/ Cauchy a montré (et c'est simple à comprendre en faisant l'hypothèse du continu en [#], voir "Évariste Galois #3") qu'un polynôme P(x) de degré n qui s'écrit P = a0+a1x+a2x2 +...+anxn , a n racines ω dans ℂ, ce qui donne P=(x-ω1)(x-ω2)...(x-ωn);
2/ Évariste Galois remarque une symétrie dans cette écriture. Autrement dit, dans ℂ, cette symétrie correspond au fait que les ωk sont de la forme ω k= ρeki2π/n, avec k ∈ (1,...n). C'est parce que dans ℂ la répétition correspond à une rotation, (i.e. ω k+1 = ei2π/nω k) que cette écriture est "naturelle". Ce qui se représente en [⚤]♢.
- Et où représenter le polynôme P lui-même ?
- Comme un ensemble de vecteurs en [#]♢, en considérant que toutes les puissances de x sont "orthogonales" : ici la répétition x, x2,... xn est de type ⊥.
Et donc, le discours d'Évariste Galois implique une régression Imaginaire de [#] à [⚤] en mode ♢. Tu peux te représenter le plan ℂ coupant un champs de vecteurs, comme une faux coupe des épis de blé.
Mais vois-tu le problème ?
- Il y en a un ?
- Dans cette régression, nous avons rétablit un ordre entre les racines en [⚤]♢ qui n'existe pas en [#]♢, c'est le sens de rotation pour passer de ω k à ω k+1 qui implique un ordre de succession, là où nous avions des "orthogonalités" en [⚤]♢.
- Oui, c'est du au fait que le plan ℂ est orienté.
- Ah ! c'est là vois-tu que se pointe notre représentation de l'Imaginaire en 2 modes ♧ ♢, sur un ruban de Moébius.
=> Pour "détorde" notre représentation, il faudrait que la rotation de 2π dans ℂ, corresponde à un tour complet de la droite ℝ sur elle-même.
- On en reviens à ton enroulement d'un tuyau d'arrosage (cf. e)?
- Exactement. Mais pour poser cette question en termes de symétries, il faut se porter en mode ♡, là où la Méca Q constate l'existence du spin (voir "Spin alors !")... 11/ ε ζ c)
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