Regard "entropologique" sur les maths

Et si, après la physique, nous avancions d’un pas pour rechercher la trace, plus idéale peut-être, d’une nature anthropomorphe du langage mathématique lui-même ?

Prendre, ainsi que nous l’avons fait, comme point de départ, le principe dichotomique pour dire (après bien d’autres !) que le langage se structure par paires de concepts opposés (bon/mauvais ; mâle/femelle ; yin/yang etc…) nous a déjà servi à décrire notre imaginaire en utilisant les concepts liés à la théorie de l’information. Et ceci, nous a permis de définir notre effort pour structurer nos représentations en termes de recherche de stabilité, fondant ainsi cette « entropologie » à laquelle Lévi-Strauss pensait.

Revenons donc à cette disjonction élémentaire 0/1 qui est également le degré zéro de l’arithmétique.

Être ou ne pas être : présent ou absent, là ou pas là. C’est une expérience élémentaire, comme le jeu de fort/da d’Ernest, le petit-fils de Freud.

Ce dernier rejetait dans son berceau une bobine qui disparaisait à sa vue (fort), puis, tirant sur la ficelle, la faisait réapparaître (da).

Il y avait donc actualisation d’un état parmi deux états (potentiels), en réponse à l’une des deux actions envisagées par l’enfant. La répétiton de la scène constitue ce que j’ai appelé une situation « synchronique » : une répétition sans fin, tant que les conditions extérieures ne sont pas modifiées. Nous avons ensuite développé la théorie à partir de cette scène.

Retenons pour l’instant que 0 et 1 s’opposent sur un plan synchronique. L’existence ou non d’un élément (quelqu’il soit) serait donc une entrée du réel (noté R) dans notre Imaginaire (que nous noterons niveau I₀.) Et je suis, moi observateur, en position ex-post (i.e. : I_m > I₀)pour vous en parler. Position ex-post que je garderai tout au long de ce développement.

De l’addition

Maintenant comment représenter une addition d’unités, par exemple en faisant un décompte d’allumettes ?

C’est très simple : je prend une allumette après l’autre dans une boite (où je ne les distingue pas), et je la pose devant moi sur mon bureau, ensuite je les décompte : 1, 2, 3…

Disons que cette boite, dont le contenu m’échappe, c’est le « réel » (R). En la sortant de la boite, je fais « ex-ister » chaque allumette pour moi, j’en « prends conscience », au niveau imaginaire élémentaire : I₀. Mais que représente cette table où je les expose ensemble à mon regard ? Un niveau Imaginaire d’ordre supérieur (I₁.) où je les « regroupe », où mon regard les embrasse et les compte pour en simplifier la représentation : je passe ainsi de 1+1+1+1 à 4.

Nous avons dans cette scène : R < I₀ < I₁ < I_m.

C’est dire que je répète 4 fois un mouvement diachronique I₀ <=> I₁ pour passer du niveau de l’élément à celui de leur regroupement.

Toute addition présuppose que je fasse un tel saut diachronique pour repérer un élément au sein d’un espace où je puisse le "situer". Par exemple si l’on considère 4 et 3 au niveau I₁, alors il faut les « réunir », ou les « regrouper » au niveau I₂, pour pouvoir les considérer « en même temps ».

Ici, dans cette addition nous avons:

• les « éléments » synchroniques au niveau I₁
• leur regroupement synchronique au niveau I₂

• l’addition elle-même qui est l’acte diachronique.

Plus généralement, lorsque nous écrivons 4+3=7, les éléments 4 et 3 sont au niveau I₁, et le « résultat » 7 se situe au niveau I₂. L’opération « + » étant l’action diachronique du sujet qui fait le calcul.

Le terme mathématique « d’application », garde la trace de ce côté « physique » d’un mouvement qui est pourtant hors du discours mathématique.

Revenons à notre addition initiale : 1+1+1+1= 4

Il y a deux façons fondamentalement différentes d’arriver à ce résultat :

• Soit je fais le décompte des sauts diachroniques (rapportés à la base stable en I₁)

• Soit j’ai une vision synchronique ou « spatiale » de mes 4 allumettes (regroupées en I₁)

La première façon de faire est congruente à notre façon de définir le temps comme décompte d’un battement (succession d’existance/absence en I₀) rapportée à une base « stable » (ici en I₁.) En ce sens cette façon de faire, par opposition à la seconde peut être vue comme « temporelle ».

Comment être sûr que les deux approches conduisent au même résultat ? Afin de tenir le compte de mes sauts diachroniques, je peux faire un trait sur ma table, comme un prisonnier compte les jours qui passent en traçant un trait sur le mur à chaque levé du soleil. Et je peux constater facilement qu’en face de chaque allumette, j’ai tracé un trait correspondant au saut diachronique qui la porte de l’élément au groupe.

Pour nous, qui nous attachons à décrire l’action elle-même, les discours sont différents.

• Dans le premier cas: je construis mon « 4 » au fur et à mesure de mes décomptes : le 4 est le suivant du suivant du suivant. C’est plutôt un 4 ordinal. Et dans ce discours : les éléments sont en I₀, leur regroupement en I₁, et j’en parle en I_m, avec I₀ < I₁ ≤ I_m.

• Dans le second cas je constate la présence de 4 allumettes, ce qui veut dire qu’il n’y en a pas 3 ou 5. Autrement dit j’actualise un état particulier (4) parmi un ensemble de potentialités (en l’occurrence les entiers naturels N.) Dans ce cas, « 4 » est plutôt un nombre cardinal. Et pour le repérer dans cet ensemble, je dois être strictement en position ex-post : I₀ < I₁ < Im.

Les deux situations diffèrent par la position du modélisateur de la scène. Pour passer du cardinal à l’ordinal, je dois procéder à un recul diachronique.

La première présentation, plus primitive, en ce sens que la position du modélisateur est plus basse, n’utilise que la notion (diachronique) de successeur. On doit pouvoir y rapporter l’arithmétique de Peano, qui est une écriture restreinte au 1er ordre, à savoir un calcul de prédicats.

De la multiplication

Dans la pratique la plus courante, lorsque je répète un geste (ici manipuler des allumettes), après avoir terminé le décompte des répétitions, je dirais spontanément

1. « j’ai tiré 4 fois une allumette » ou encore
2. « j’ai 4 allumettes »

Ces deux discours sont des variations sur une seule et même action, qui reflètent juste un changement de point de vue.

·      Dans le premier discours : les allumettes sont en I₀, et je suis en I₁, pour repérer la répétition du geste diachronique en disant « 4 fois », avec I₀ < I₁ ≤ I_m.

·      Dans le second discours, comme nous l’avons vu, je procède à un recul diachronique pour contempler le résultat en I₁, et donc : I₀ < I₁ < Im.

Le mathématicien nous dit que ces deux discours décrivent une seule et même réalité et écrit : 4 (tirages) de 1 (élément en I₀) = 4 (élément de I₁)

Il nous dit aussi que la multiplication est commutative, c’est à dire que

4 fois 1 = 1 fois 4 = 4.

Qu’est-ce à dire ? C’est tout simplement prendre en compte ce recul diachronique que j’effectue pour actualiser ce 4 parmi tous les entiers naturels. Soit I₂ ce nouveau niveau synchronique où je peut écrire le résultat :

1 (tirage) de 4 (élément de I₁) = 4 (en I₂), avec cette fois-ci : I₀ < I₁ < I₂ ≤ Im

On voit par là que mon 4 change de statut : d’élément de niveau I₁, il passe à résultat (ou cible) au niveau I₂.

Récapitulons :

• La répétition du même, de l’action élémentaire 1+1+1+1= 4 conduit de I₀ à I₁ ;

• La répétiton de la répétition (ici : 1 fois 4 fois 1) conduit du niveau I₁ à I₂.

On peut schématiser ce qui précède de la façon suivante :

De la structure de groupe

En complexifiant notre Imaginaire, nous avons vu que :

• d’une part, nous « condensons » l’information ;
• d’autre part, à partir de concepts plus généraux, nous élargissons notre champ de vision : en développant de cette façon notre imaginaire, en « l’approfondissant », nous nous dotons d’outils en attente de nouveaux éléments à tirer du réel.

Prenons l’ensemble des « entiers naturels », que nous construisons grâce à la répétition d’une action élémentaire. En fait, je peux construire N, à partir de 1 élément (niveau I₀) en comptant des sauts diachroniques et dire que 2 est le successeur de 1, puis 3 celui de 2 etc… Dire que l’interval entre 0 et 1 est le même qu’entre 1 et 2, est un postulat qui revient à dire, soit « qu’une allumette en vaut une autre , soit que « tous les sauts diachroniques sont équivalents 

Mais une fois cette construction de N faite, dans le sens de I₀ vers I₁, alors, repartant de là, je peux chercher à caractérier l’élément de départ, dans un mouvement réflexif de I₁ vers I₀

Je peux me dire, par exemple : 4 résulte de 4 itérations de mon mouvement élémentaire. Et si je reviens d’un pas en arrière, ayant fait 4 mouvements, dire qu’avant ce dernier mouvement j’étais à 3. En généralisant : le prédécesseur de 3 est 2, celui de 2 est 1 et celui de 1 est 0.

Je peux d’ailleurs envisager ceci de deux manières :

• Soit en « retirant » physiquement une allumette et considérer que « retirer » est le contaire de « poser »,
• Soit en revenant en « arrière » comme on remonte le temps, en repassant le film à l’envers.

Et, dans ce dernier discours, comme je suis en position imaginaire supérieure, rien ne m’interdit de penser le prédécesseur de 0, que je peux représenter par -1.

On voit bien que le concept de « -1 allumette » n’a pas de sens au niveau élémentaire I₀ : je ne peux pas sortir – 1 allumette de ma boite ! Mais en m’élevant en I₁, je lui trouve un sens imaginaire, et construis ainsi l’ensemble des entiers relatifs (Z), à partir de celui des entiers naturels (N).

Autrement dit, dans le mouvement réflexif : I₀ => I₁ => I_0', les éléments de départ se sont enrichis, en se détachant du Réel, pour se rattacher à l’Imaginaire.

Arrêtons-nous sur le statut de « 0 ».

C’est au niveau I₀, l’un des états potentiels envisagés : existance= 1 / non existance= 0 de l’élément.

Mais quel est son statut dans Z au niveau I₁?

Disons tout d’abord que l’on peut élargir le caractère dichotomique du niveauI₀, en disant, en I₁ que tout nombre à son opposé : 1 et -1, 2 et -2 etc...

Et, comme toujours, ceci peut se faire de deux façons différentes :

1/ Si par exemple le « 1 » représente le saut diachronique que j’effectue pour mettre une allumette sur la table. Alors, -1, est l’antécédent de cette action : c’est revenir à l’état antérieur à ce saut, et donc, constater l’absence d’allumette sur la table. 1 – 1 = 0. Mais ici, 0 se rapporte au niveau Imaginaire I₁.

J’ai raisonné, ce faisant, sur le saut diachronique (approche temporelle).

2/ Il y a une façon duale (spatiale) de représenter ce résultat, à partir des éléments eux-même et non de mon action.

Je tire mes allumettes une par une de leur boite, et je coche chaque mouvement en face de chaque allumette : j’ai sur ma table la disposition suivante :

Maintenant, représentons un tirage à blanc : je ne sors pas d'allumette de ma boîte ( ):

Physiquement, le 0 est la marque de ce blanc sur ma table : un « manque » dans une série. Nous avons ici une amorce d’une machine de Turing.

Mais restons dans le domaine de l’arithmétique.

Pour le mathématicien, ces deux discours sont équivalent. Ce que l’on peut résumer ainsi :

Ce que nous dit le mathématicien c’est que le résultat est le même : 0 fois 1 = 1 fois 0 = 0.

Il s’abstient de juger ou non de l’existence de l’allumette au niveau I₀, pour simplement remarquer :

• Qu’aucune allumette n’est repérée au niveau I₁
• Que cette absence, notée 0, fait partie de l’ensemble des états potentiels repérables en I₁.

De notre point de vue, nous retrouvons ici ce qui a été exposé par ailleurs ; à savoir que le niveau I₀, tel que défini est le point d’entrée ou de contact avec le Réel, celui où les « choses » viennent à notre conscience, ponctuellement, traumatiquement. C’est le tuchê de Lacan.

Ensuite, la prise de conscience d’une répétition ne peut se faire qu’avec un recul imaginaire pour la repérer en I₁.

Enfin, et à partir de ce cadre normatif, nos redéfinissons les objets, par un effet retour de I₁ sur I_0’, en « enrichissant » au passage le concept d’élément de son complément inimaginable dans leur niveau d’origine. Le concept de « -1 allumette » n’est pas possible à un niveau de conscience  I₀ où les seuls concepts appréhendables sont existe/n’existe pas.

On voit bien, sur cet exemple très primitif, que la notion d’objet s’enrichit dans ce renversement de perspective, en passant d’une construction inductive de R => I₀ à une position déductive de I₁ => I_0’.

Le trouble vient d’oublier ce renversement et de prendre les lois qui structurent nos représentations du Réel pour le Réel lui-même (prendre la carte pour le territoire), alors que nous n’y avons accès que sporadiquement en I₀ !

Nous avons donc construit notre l’ensemble Z des entiers relatifs (au niveau I₁) de telle sorte que :

• Chaque nombre possède son symétrique
• Zéro est un élément neutre

Pour doter notre ensemble Z d’une « structure de groupe », il reste à définir l’addition comme une « loi de composition interne » qui soit « associative ».

La difficulté tient au concept de « loi de composition interne ».

Qu’y a-t-il derrière ces mots ? L’idée toute simple que le résultat de l’opération appartient à Z. Par exemple que le résultat de l’addition 2+3 est un entier. Or, nous avons vu que pour écrire 2+3, je passe d’un niveau I₁, où 2 et 3 sont des « éléments » de Z, à un niveau I₂ où je pourrais les « regrouper ».

Il faudrait donc postuler que les ensembles de départ et d’arrivée, situés respectivement en I₁ et I₂ sont identiques.

C’est une contrainte extrêmement forte. Et l’on pourrait se demander à quoi sert de structurer plus avant notre imaginaire, si nous ne « condensons » pas nos représentations ?

En fait, et c’est toute la beauté de la chose, une fois passé de l’élément (I₀) au groupe (I₁), je n’ai plus besoin de changer mon groupe de référence Z: je peux structurer tous les niveaux supérieurs à I₁ avec la même structure de base développée en I₁ : le développement imaginaire ne portera plus sur cet acquis, mais sur « autre chose ». Ce que nous allons voir ci-dessous.

Nous retrouvons ici un principe extrêmement général lié à notre apprentissage d’un langage. Une fois une compétence acquise, elle se conserve. Le problème vient de notre très grande difficulté à en faire abstraction, à régresser. Il y a une sorte d’effet cliquet ; qui nous rend difficile d’imaginer un retour en arrière. Ici, par exemple, une fois structuré I₁, il est difficile de régresser au niveau I₀. Difficile pour l’adulte que je suis de me mettre à la place du petit Ernest qui joue au fort/da et n’a aucune notion du concept d’addition.

Notre regard sur le Monde évolue, en même temps que notre Imaginaire se développe. Par exemple, ma représentation des charges électriques (positive, négative ou neutre), n’est pas possible en dessus du niveau I₁.

Comme Z est représentable dans tout niveau ≥ I₁, alors il est assez simple de comprendre ce qu’est l’associativité. Soit par exemple, les nombres x, y et z: la condition d’associativité (x+y)+z = x+(y+z), peut se représenter ainsi :

La différence repérable en I₂ est « comprise » en I₃.

Là encore, nous retrouvons un principe extrêmement général : nous simplifions nos représentations en structurant notre imaginaire. Nous recherchons l’unité derrière le divers. Ici, nous réduisons en I₃ une différence sensible, que je discerne en I₂ entre (x+y)+z et x+(y+z).

La possibilité de structurer très tôt les couches élémentaires de notre imaginaire en les dotant d’une structure de groupe nous a déjà permis de développer une théorie de la décision que je reprends ici.

De la structure d’anneau

La structure de groupe tient à la définition d’une loi de composition interne. Le pas suivant consiste à appliquer notre approche entropologique à la structure d’anneau (i.e. : un groupe doté de 2 lois de compostions internes.)

Par exemple : l’addition et la multiplication sur Z.

La question qui se pose est de savoir de combien de niveaux imaginaires il faut disposer pour rendre compte de ces deux opérations, et où se situer pour en parler.

Considérons les niveaux I₁ qui mènent de l’élément (notre allumette) au groupe. Nous avons déjà vu qu’il m’est possible

• de dénombrer des allumettes, regroupées en I₁, (si je suis en I₂) ou bien : 1+1+1+1=4. Ce dénombrement est la base de l’addition.
• de compter (étant en I₁) le nombre de fois où je fais le geste de poser une allumette sur la table, en disant : « j’ai répété 4 fois mon geste ». Cette notion de « répétition » est la base même de celle de « multiplication ». Et 4 x 1 = 4

Plus généralement en I₁: quelque soit y nous : y X 1 = y

Mais en position I₁, je ne peux que répéter une action sur un seul élément de I₀.

Pour repéter une multiplication sur un nombre (situé au minimum en I₁), je dois reculer en I₂.

Et alors, pour tout nombre y repéré en I₁, tout saut diachronique unique lui fait correspondre y en en I₂, soit : 1 X y = y

Pour représenter la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition, il faut, que je fasse un troisième saut diachronique, pour arriver en I₃ :

Soit par exemple (4 + 3) x 2 = 4 X 2 + 3 X 2 = 14

C’est une représentation qui rappelle la notation polonaise inversée, que tous les nostalgiques de la bonne vieille HP 45 de leur jeunesse gardent en mémoire.

Donc, strictement parlant, nous ne pouvons décrire la commutativité de la multiplication par rapport à l’addition qu’en I₃.

Autrement dit, nous avons là encore complexifié nos représentations, elles deviennent plus riches de possibilités, elles se chargent de sens lorsque nous nous élevons d’un niveau à l’autre :

Très sincèrement, je ne sais pas du tout ce qu'un matheux penserait de cette approhe. Je pense à mon ami Roger, en écrivant ces lignes, et son absence me pèse.

Si donc, d'aventure un matheux s'égage par ici, qu'il n'hésite pas à réagir: d'ordinaire ces billets n'ont pas beaucoup d'écho...

Bonne méditation

Hari.

Nota du 11/01/2017: en relisant "conceptual mathematics", sur la théorie des catégories, il est très rapidement évident que la division (liée à la structure d'anneau), est d'un ordre de complexité supérieur à celui de la multiplication. voir p. 43. Par ailleurs, tout cette approche est reprise dans les billets sur la théorie des catégories, que je reprends et continue en ce début d'année.