Regard "entropologique" sur les maths. Suite 2

11/03/2015 22:53

Retour sur la structure d’anneau

Pourquoi avons-nous cette loi de la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition ?

C'est-à-dire que pour tout x, y et z on a:

(y+z) X x = (y X x) + (z X x)

Et pourquoi pas la réciproque ?

(yXz) + x = (y+x) X (z+x)

Gamin je me posais déjà la question, sans obtenir de réponse très claire. Notre approche peut-elle nous y aider ?

Partons de cette différence dans la façon que nous avons de repérer l’ensemble E sur lequel opèrent nos deux lois de composition interne.

En notant le niveau imaginaire synchronique de l’ensemble E en indice, nous sommes arrivés à :

Addition : (Ek x Ek) = f => (E k+1)
Multiplication : (E k+1 x Ek) = f => (E k+1)

Cette différence de repérage tenant à ce que

l’addition agit sur deux objets de même niveau imaginaire

=> une allumette (en Ek) + une allumette (en Ek);

La multiplication est liée à la répétition d’une action (repérée à un niveau synchronique supérieur) sur un objet de niveau synchronique donné :

=> une fois ( repéré en Ek+1) X une allumette (en Ek).

Nous avons vu que pour constater la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition, il nous fallait, dans notre décompte d’allumettes, reculer au niveau imaginaire I3 :

Dans notre exemple : (4+3) X 2 = (4 X 2) + (3 X 2)

C’est à dire qu’à chaque fois, l’addition se fait sur des éléments de même niveau imaginaire, soit en I₂ ou en I₃.

Essayons de représenter maintenant (4X3)+ 2 et (4+2) X (3+2)

Précisons notre notation : les allumettes sont comptées à droite, les actions à gauche. C’est à dire que:

4 X 3 signifie : 4 (repéré en I_k+1) fois 3 allumettes (repéré en I_k)

La différence tient au fait qu’écrire (4 X 3) ne peut pas s’imaginer au même niveau que l’écriture de (4+2). En effet, dans le premier saut diachronique, je ne peux considérer que des unités : je constate simplement l’existence (ou pas) de l’élément. Pour compter 3 allumettes, ils faut déjà être en I1 ; pour qu’elles soient « dénombrables ». En conséquence, je dois reculer en I2 pour écrire : 4 X 3 allumettes.

C’est dire que les deux écritures (4X3)+ 2 et (4+2) X (3+2) ne décrivent pas la même séquence d’actions. Ce qui se repère immédiatement en considérant le niveau imaginaire auquel je peux rendre compte du résultat : en I4 pour le premier terme et en I3 pour le second.

De l’élément au sous-ensemble

Sur l'ensemble des parties d'un ensemble E, on dispose de deux lois binaires : la réunion ⋃ et l'intersection ⋂. La réunion A⋃B est la plus petite partie de E contenant A et B et l'intersection A⋂B est la plus grande partie contenue simultanément dans A et dans B.

Mais, au contraire de nos deux lois + et X précédentes, cette fois-ci, ces lois sont chacune distributives par rapport à l'autre. Nous avons:

Comment est-ce possible ?

Tout simplement parce que les deux opérations (diachroniques) portent toutes deux sur des éléments A et B situés au même niveau synchronique. Et les deux actions d’union ou d’intersection, sont chacune repérable de la même façon au niveau imaginaire immédiatement supérieur.

Dans un cas nous avons:

Dans l'autre:

Nous n’avons pas la prétention d’avoir « prouvé » quoi que ce soit, simplement montré comment notre imaginaire pouvait concevoir ces opérations, et montré que les résultats était du même ordre de grandeur ou du même niveau imaginaire.

Il semblerait qu’en passant des concepts d’addition et de multiplication à ceux d’union et d’intersection, nous ayons gagné en généralité, et que du même coup, nous nous soyons éloignés du « Réel », du repérage physique de nos allumettes.

Dit d’une autre façon : en nous rapprochant du réel, la structure imaginaire de nos représentations « dégénère ». Et cette proximité, ce dernier saut qui nous en sépare, se signalerait en particulier par cet « effet de bord », dont nous avons déjà pu voir les effets sur nos représentations physiques.

Nous retrouvons de cette façon, dans le langage même des mathématiques une sorte de "rupture de symétire", lors du contact réel, dont nous avons déjà vu les effets en physique.

Et ceci est congruent avec l'idée très générale qui nous guide, à savoir que le contact avec le réel est une "perturbation" de notre imaginaire.

On devrait pouvoir définir le contact réel, le tuchê lacanien comme une rupture de symétrie...

A suivre?

Hari