Saunders Mac Lane - Mathematics form and function - Real Numbers - Relecture #7

- À la relecture de mon article sur ce chapitre "Real numbers", je me rends compte qu'il est à peu près illisible.

- C'est normal, puisque tu utilises ce que tu apprends de Mac Lane, pour modifier ta représentation de l'Imaginaire au fil de ta lecture, d'où, par exemple cette note 7, qui chamboule tes commentaires sur les nombres Imaginaires.

- C'est ça, et donc, j'aimerais remettre tout en ordre avant de continuer.

- Par où commencer ?

- Par cette représentation topologique de l'espace "Imaginaire" (voir "Représentation des 4 modes Imaginaires")

Niveaux/modes	Topologie	⊥𓂀♢
[∃][⚤][#][♲][∅]		♲𓁜♧
		♲𓁜♢
		♲𓁜♡
		♲𓁜♤

Chacune de ces surfaces pouvant être "pavée" par les motifs [∃]/[⚤]/[#]/[♲]/[∅], ce que l'on peut résumer de la façon suivante :

- Si j'ai bien compris tu te limites actuellement au mode syntaxique 𓂀^♡ pour représenter les maths sur les deux premiers modes ♧ ♢ ?

(a)- Exactement. Nous pouvons même cerner d'un peu plus près le discours en précisant que jusqu'à présent, dans ces premiers chapitres concernant la géométrie et les nombres, nous explorons particulièrement les deux premiers niveaux [⚤] et [#], ce qui réduit notre terrain de jeu à la zone en jaune. Pour mémoire, il y a 2 façons de relier le mode ♡ aux 2 premiers ♧ ♢ (cf. (h) dans #5) dans un discours tenu par 𓂀^♡, c'est pourquoi je peux répéter la ligne 𓂀^♡ sous la ligne 𓂀^♧.

- Peux-tu mieux définir les limites du terrain ?

- Je ne reviens pas sur l'objet final en [∃] passant de (*) en ♧ à •⟲ en ♢, nous en avons parlé jusqu'à plus soif; quant à l'objet initial en [∅], c'est le vide ∅, que l'on retrouve dans chaque mode.

(b) Maintenant, chaque niveau [♲] décline en son mode propre ♧ et ♢, un principe d'ordre syntaxique ♡ extrêmement général exprimé par le triptyque d'Emmy Noether en [♲]^♡, qu'une conservation est liée à une symétrie et une indétermination.

- C'est un principe de mécanique quantique, non?

- Disons plutôt que le mode ♡ est celui à partir duquel on peut exprimer les principes mécaniques permettant l'observation et la représentation des phénomènes quantiques (cf.: "Le discours du physicien"); mais Emmy Noether s'occupait avant tout de mathématiques.

- Soit, et l'indétermination ?

- Prends-le comme la nécessité d'un axiome de choix en mathématiques introduisant une brisure de symétrie. Par exemple, le sens trigonométrique anti-horaire est un "choix" permettant d'orienter le plan Euclidien. Avant ce "choix", Alice ne sait pas si elle est dans ou hors du miroir car la question n'a pas de "sens"; après son "choix", en figeant sa propre posture, elle fige son image "de l'autre côté" du miroir.

(β)Pour en revenir à nos niveaux [♲] , nous avons une idée assez précise du concept de conservation en jeu :

• En mode ♧ : c'est la notion associant un concept en [♲] dont la représentation en [#] à une "valeur approchée" sur ℕ, ℤ ou ℚ en  [⚤] : 
  • Surface définie par les côtés d'une figure géométrique, ou 
  • Volume d'un objet en 3D, ou
  • Espace temps en 4D
    Ceci passe par la possibilité de définir une équivalence (le principe de répétition ⇆ propre au niveau [♲]) entre les longueurs mesurées sur des droites sécantes, autrement dit, c'est en  [♲]^♧ que se développe la théorie de la mesure_♲^♧ en géométrie_#^♧ ;
• En mode ♢ : nous gardons l'idée générale de volume, dont l'expression en termes de vecteurs mène au concept de déterminant d'une matrice ; avec le même schéma : une "manipulation" de vecteurs (i.e. inversion de matrice carrées en [#]) conserve son déterminant_♲^♢, dont la valeur s'exprime en [⚤].

- Et les symétries ?

(d)- Ah ! C'est le coeur du problème, c'est là où doit se concentrer notre réflexion. L'idée générale est la suivante (cf. (α) dans "Ikebana") : l'auteur 𓂀 adapte son expression en fonction du mode et du niveau Imaginaire où il situe les concepts objets de son discours, comme repéré sur le schéma suivant par différentes couleurs :

• En jaune, l'expression est "plutôt" algébrique ou "linéaire" : _⇅𓂀^♧
  Cependant, je ne peux l'empêcher de me représenter les points de N "alignés sur une droite", concept géométrique qui n'est pas dans les axiomes de Peano c.-à-d. ; ([⚤]𓁜^♧) _⊥𓂀^♧; 
• En bleu, l'expression est "plutôt" spatiale : _⊥𓂀;
  Lorsque je parle d'une structure de "groupe cyclique", il y a un décalage entre
  • le lieu du concept [⚤]^♢ et celui de son énonciation ([⚤]𓁜^♢)_⊥𓂀^♢ et "j'interprète" la définition en termes de "rotation sur une surface topologique"; 
  • et si je le représente au tableau noir, alors je tombe carrément en mode ♧ : ([⚤]𓁜^♢) _⊥𓂀^♧.
• En vert, l'expression utilise "plutôt" les topos :  _⇆𓂀^♡

- Tu parles des topos de Grothendieck ?

- Oui, en référence à ce qu'il en dit : "Le topos est le lit commun du discret et du continu", formule qui se décline, comme nous venons de le voir, sur les 3 modes ♧ ♢ ♡.

- Mais ces topoïs sont des objets de la théorie des catégories, et je ne la vois pas dans ton schéma ?

- Exact, cependant elle structure déjà tout le mode ♢, avec les concepts d'objet initial en [∅], final en [∃], et discriminant en [⚤]. La différence [⚤]/ [#] tenant au passage du discret au continu. Par ailleurs, comme tu l'as remarqué, les topos sont un type particulier de catégories, et enfin, il y a contamination rétrospective du mode ♧, tant il est difficile de faire abstraction des concepts qui nous formatent au plus haut niveau (pense à l'habitus de Bourdieu, voir "Découvrir Bourdieu").

- Tu veux dire qu'il y a surdétermination des concepts de mode ♧ par ceux de mode ♡ ?

- Oui, c'est ce que souligne notre schéma général (a) et d'ailleurs Mac Lane lui-même en est conscient (cf. α de #3). Maintenant il est ici question de se déprendre de cette "surdétermination", afin de vérifier la pertinence de notre représentation de l'Imaginaire, en deçà de son habillage catégorique.

C'est précisément dans ce but qu'il importe de comprendre comment Saunders Mac Lane passe d'un discours "classique" sur les maths, dans ce livre que je parcours péniblement depuis quelques mois, à cette théorie des catégories dont il partage la paternité avec Samuel Eilenberg.

Et donc, pour en finir avec ce balisage de notre terrain de jeu, je fais le pari  suivant :

1. La distinction discret — [⚤]/ [#] — continu reste pertinente, quel que soit le mode ♧ ♢ ♡;
2. Sur chacun des modes ♧ ♢ ♡, le niveau [♲] permet de projeter les objets de [#] dans [⚤];
3. Les concepts de mode ♢ sont représentés en mode ♧.
4. Les principes syntaxiques ♡ s'imposent en mode ♧ et en mode ♢, selon des modalités propres à chacun d'eux.
5. Les passages :
   • [α]↑[β] doivent s'accompagner d'une symétrisation des concepts;
   •  [β]↓[α] à l'inverse sont vus comme l'actualisation d'une potentialité ou, la "performance" en [α] d'une "compétence" acquise en [β] (en termes de grammaire de Chomsky).

Ce point étant fait, il s'agit maintenant d'effacer les traits de l'épure, c.-à-d. toutes les considérations tirées de la psychanalyse, de la théorie des catégories, ou de la philosophie, dont je me suis servies pour élaborer ce tableau afin de voir :

• Si le discours de Mac Lane, dans sa présentation des maths "entre dans les cases", ou s'il invalide notre approche;
• Réciproquement, si notre représentation a priori de l'Imaginaire ne pose pas quelques questions au mathématicien.

- Bon, il est temps de tirer un trait et de reprendre cet article indigeste.

Le 25/ 04/ 2023 :

- Parfois, j'ai l'impression de souffrir de dyscalculie, et de me servir de ma représentation de l'Imaginaire, comme un autiste de stickers pour s'y retrouver dans les conventions sociales. Des pense-bêtes du type : "si c'est le matin, et jusqu'à midi, tu dis bonjour, ensuite et jusqu'à 20h tu diras bonsoir", sans avoir la moindre compréhension de cette règle sociale.

- Mais plus précisément ?

- J'ai bien précisé dans mon tableau en introduction qu'il était écrit par un auteur en posture _⊥𓂀^♢, parce que c'était une conséquence logique de toutes mes réflexions antérieures, mais je n'en ai pas tiré la conséquence ultime qui aurait montré que j'avais "compris" ce que cela implique. Et ce matin, au réveil, tout s'est relâché dans mon cerveau, et comme trop souvent ces temps-ci me suis dit "mais quel c..."

- Mais de quoi parles-tu ?

- Hier, en cherchant à faire court, j'ai utilisé le terme de projection dans ce contexte : 

1. La distinction discret — [⚤]/ [#] — continu reste pertinente, quel que soit le mode ♧ ♢ ♡;
2. Sur chacun des modes ♧ ♢ ♡, le niveau [♲] permet de projeter les objets de [#] dans [⚤];

Quand dans ma tête l'espace ℂ doit se décrire en [⚤]^♢, tout ça parce que je suis obnubilé par la caractérisation de l'espace et du temps...

- Rassure-toi, tu n'es pas le seul, et donc ?

- Instinctivement, j'ai vu dans le saut [⚤]^♧↑[⚤]^♢, le passage du temps (séquentiel), à l'espace avec ℂ... C'est un effet pervers de cette contamination dont je parlais plus haut (cf. d); or, il faut garder la notion d'espace en [#], où l'on passe de la géométrie, à la topologie, et donc, de ce point de vue :

• La représentation topologique de ℂ est en [#]^♢;
• La structure algébrique de ℂ est en [⚤]^♢.

Quant à l'espace topologique lui-même, il s'agit de le réduire au strict minimum, autrement dit sur une surface topologique E_#^♢ tel que chaque point (x, y) soit limité à x∈[0; 1[ et y∈[0; i[. 

- C'est également une expression mathématique de l'espace de tes représentations de l'Imaginaire vu par _⊥𓂀^♢?

- Il doit y avoir congruence : la structure du langage mathématique doit se retrouver dans la forme plus générale de notre entendement, c'est du moins la thèse que j'échafaude. De là, il vient que la façon de boucler (ou non) cet espace afin de s'exprimer, est un choix de l'auteur 𓂀 du discours parmi 4 modes ♧ ♢ ♡  ♤ possibles.

- Nous sommes loin des maths...

- Laisse-moi reboucler sur ma prise de conscience matinale : il vient qu'Il est plus juste de considérer ℂ comme une surface (2 dimensions) sectionnant un Espace de Hilbert [#]^♢ (comme une faux sectionne un champ de blé),  et se projette ensuite sur sa structure de Corps en [⚤]^♢.

Pour avoir une bonne perpective du mode ♢, il faut passer d'une espace de Hilbert de dimension quelconque, à sa base ℂ en 2D. Cet espace de travail en [#]^♢ est une réduction de ℝ² à ([0; 1[; [0; i[), et enfin, c'est en [⚤]^♢, que l'on va décrire la structure de corps de ℂ, et plus généralement toutes les structures algébriques (anneau, etc.).

(d')- Il faut donc rectifier ton schéma en (d) :

- Effectivement : ma façon de voir ne cesse d'évoluer...

(α)- Ta représentation de ℂ sur une surface topologique n'est pas très claire. Comment passes-tu de ℂ représentant l'espace Euclidien à cette surface ?

- Mac Lane aborde le sujet en présentant la projection stéréographique du plan sur une sphère de rayon 1 (cf. §11 de #6) .

• En [#]^♧ Il s'agit d'une projection du plan Euclidien sur une surface courbe S1 dans un espace 3D;
• En [#]^♢ il est possible de mettre cette surface S1 "à plat", sur un cercle de rayon 1. C'est topologiquement équivalent à notre surface carrée E_#^♢. 

À  noter que dans l'opération l'auteur 𓂀:

1. Choisit un point origine (la place du Sujet 𓁝𓁜), au pôle Sud de la sphère et au centre du cercle;
2. Choisit un sens d'orientation du plan (pour écrire le nombres en ℂ);
3. Clos l'espace Euclidien par un point à l'infini ∞ dont nous avons discuté la nature. (Note 2)

Ensuite, nous pouvons sans problème passer de la représentation géométrique de ℂ sur le plan Euclidien [#]^♧ à sa représentation topologique plus ramassée en [#], renvoyant l'infini à la bordure de notre espace E_#^♢.

- C'est noté, mais dis-moi, tu adoptes une démarche de type S↓, quand le constructiviste S↑ a le vent en poupe...

- Je ne suis pas matheux, je cherche juste à comprendre les maths comme une évidence. Partir d'un espace de Hilbert en [#]^♢ me semble, a posteriori, le moyen le plus efficace de comprendre la structure intime du mode ♢.

Par ailleurs, et ceci vient conforter mon choix :

• Si la démarche élémentaire en mode ♧ semble être de type S↑
• Cette même démarche, en mode ♢ au revers de ♧ sur notre ruban de Moébius, doit s'inverser "naturellement" en S↓.

- Et donc, pour en revenir à notre espace de jeu, c'est à partir de là que tu vas définir les rapports entre nos 4 cases ?

(c)- Oui. Nous (_⊥𓂀^♢) allons définir au mieux leurs liens à partir de [#]^♢ de cette façon :

← (1) : Il vient tout de suite, puisque c'est de là que nous partons; vois-le comme la projection d'un espace vectoriel sur son corps de base. La "structure" de corps se définissant à partir des propriétés des deux opérations + et x agissant sur les éléments de l'ensemble ℂ.

↓ (2) : Il s'agit de la représentation d'un espace vectoriel_#^♢ par un espace géométrique_#^♧ .

← (3) : Nous en avons abondamment parlé : il s'agit du passage du continu au discret, de  ℝ à ℕ.

↓ (4) : Nous sommes ici au coeur du problème, ce qui nous ramène à nos cogitations suscitées par la lecture de Mac Lane.

Il me semble que la réflexion importante concernant les concepts d'addition et de multiplication est résumée ici (cf: c dans #6) :

• En mode ♧ :
  • L'addition est immédiate en [⚤] avec le décompte des sauts [∃]⇅[⚤];
  • La multiplication appelle des considérations de niveau en [#].
• En mode ♢ :
  • La multiplication est immédiate : une rotation de 2θ s'écrit e^2iθ, et chaque rotation de 2π te ramène à 1, vu comme le quotient de ℕ en [⚤], quand ℝ peut se ramener à l'espace [0;1[ en [#];
  • L'addition vectorielle demande au contraire la construction d'un parallélogramme en [#];
  • Le produit scalaire est une construction bavarde entre un espace vectoriel en [#] et son corps de base en [⚤].

Vois-tu le chassé-croisé entre + et x dans le passage de ♧ à ♢ dès lors que l'on n'oublie pas que ♧ et ♢ sont les deux "faces" locales d'un ruban de Moebius ?

Or :

• La multiplication en [⚤]^♢, est représentée par une rotation en [#]^♧;
• L'addition en [⚤]^♧ est représentée sur une translation en [#]^♧;

Il faut donc déconstruire l'opposition géométrique que je fais intuitivement entre rotation/ translation, qui perd sa pertinence en [⚤].

- Soit, déconstruisons, mais où se situe la rupture entre [⚤]^♧ et [⚤]^♢ ?

- Cela tient me semble-t-il à la clôture progressive de notre Imaginaire, qui se referme sur quelques idées, d'autant plus générales que nous nous élevons de niveau en niveau et de mode en mode, jusqu'au vide final en posture ex ante 𓁝[∅]☯.

- Et concrètement ?

- En [⚤]^♧ la répétition du même est indéfinie. Pour clore notre Imaginaire l'idée c'est d'y mettre un "point final" ∞ comme on clôt une discussion sans fin par "etc.".

Nous avons vu, avec Mac Lane, que l'on peut clore l'espace par un point à l'infini ∞ dans un espace projectif (voir "11/ Espace projectif" dans #6). Construction que l'on peut faire à partir d'un espace Euclidien en [#]^♧. On peut de même clore ℂ en [#]^♢. Par ailleurs, les réflexions sur l'axiome des parallèles amènent à clore la droite par un point ∞. Toutes ces réflexions concernent l'espace en [#].

En [⚤]^♧, nous ne parlons plus d'espace mais d'un temps compris comme répétition indéfinie du même, le tic-tac de l'horloge. La seule structure de [⚤]^♧, est celle d'ordre, associée à une logique du 1^er ordre (avec le tiers exclu). Leurs concepts complémentaires sont le désordre et la clôture.

- Autrement dit, en [⚤]^♢, nous devons pouvoir associer ordre/ désordre et ouvert/ fermé ?

- Exactement : elle est là la rupture de symétrie qu'impose notre syntaxe en ♡ et nulle part ailleurs. De ce point de vue, nous pouvons facilement regrouper beaucoup de réflexions éparses dans mes différents articles sur Mac Lane :

- La structure de groupe sur un ensemble fini est une circulation finie entre les éléments de l'ensemble. On le représente en [#]^♢ par n répétitions de e^2iπ/n. Voilà pour la fermeture Imaginaire.

- Il y a une structure d'ordre entre les éléments...

- Structure associée à un choix de l'auteur 𓂀, de mode ♡. Le choix d'un sens positif pour la rotation dans le plan. Ce qui défini le désordre comme l'absence de choix de l'auteur 𓂀.

- Il y a des ensembles ouverts...

- Non, à cause du paradoxe de Russell, d'où le point à l'infini.

- Mais cette fermeture rend ton discours indécidable (voir Gödel).

- Non, car le choix de l'Auteur reste hors discours :  (...)𓂀.

- Et comment fais-tu la clôture en [⚤]^♢ de ce qui est indéfini en  [⚤]^♧ ?

- C'est en écoutant Alain Connes que j'en ai compris le principe (voir (b) dans "À l'ombre de Grothendieck et de Lacan #1"), qui revient à munir ℕ d'un point à l'infini ∞, ce qui en fait l'ensemble ℕ* en [⚤]^♢.

En résumé :

• L'ouverture s'impose au Sujet au contact du Réel ☯[∃][⚤]𓁜^♧ — La fermeture est un choix de l'auteur 𓂀 en [⚤]^♢;
• La succession est une structure élémentaire de l'entendement, de niveau [⚤]^♧ — en [⚤]^♢ la logique devient plus souple (chez Dedekind : dedans/ dehors/ coupure) et la structure d'ordre résulte d'un choix de l'auteur 𓂀  pour réduire le désordre.

À partir de là, il vient que : (ζ)

1.  ℕ en [⚤]^♧ a pour base en [⚤]^♢ le point (1, 0) de ℂ : ou le le décompte k des "tours" de e^2kiπ autour du point origine en [#]^♢ ;
2. ℤ en  [⚤]^♢ répond à un principe de symétrie de l'addition, en  [⚤]^♡;
3. ℚ en  [⚤]^♢ répond à un principe de symétrie de la multiplication, en  [⚤]^♡;
4. ℝ en [#]^♢ est projeté  sur le segment ([0; 1[ ; 0) d'une structure de corps [⚤]^♢;
5. ℂ en [#]^♢ est projeté sur la surface ([0; 1[ ; [0; 1[) d'une structure de corps [⚤]^♢;

Ce que l'on peut résumer dans le schéma d'ensemble suivant :

Où l'on voit, je l'espère, de quelle façon  [⚤]^♢ se constitue comme le lieu où :

• La structure de corps (définissant + et x)
• Sur les ensembles ℚ ℤ ℝ ℂ 
  • ℕ n'a qu'une structure d'ordre (les entiers n'ont pas de symétrique pour l'addition);
  • ℍ n'est pas un corps (la multiplication du quaternion n'est pas commutative) ;
• Se définit à partir des éléments_⚤^♢ de ces ensembles ;
• Situés sur un espace topologique_#^♢ élémentaire de base [0; 1[ x [0; i[.

- Bon, ceci dit, tu étais parti pour nous expliquer la flèche ↓ (4), qu'est-elle devenue?

- Rétrospectivement, on pourrait la voir comme un "foncteur d'oubli", par lequel on efface toute la structure bâtie en [⚤]^♢ pour "habiller" ℕ : il ne resterait alors que les axiomes de Peano...

- Et ces axiomes, ils tombent du Ciel ?

- Presque : je les situe comme expression en [⚤]^♧ d'une réflexion de mode ♡. J'ajouterais que dans cet "oubli", s'efface l'idée de rotation, pour ne laisser subsister que le concept de successeur.

- Soit, as-tu fait le tour de ton terrain de jeu ?

- Pour l'instant du moins, et cette reconstruction, nous servira de bâti ou de patron, nous permettant de structurer notre réflexion, en termes de manques ou de choix à partir de ce schéma d'ensemble.

Des exemples très simple :

• Et si l'on abandonne l'axiome des parallèles en géométrie Euclidienne en [#]^♧ ?
• Et si la multiplication en [⚤]^♢ n'était pas commutative ? 

- Avec tout ceci, as-tu le sentiment d'avoir effectivement clarifié ton approche ?

- Discutons-en demain.

Le 26/ 04/ 2023 :

 - La façon la plus simple de bien ratisser la présentation de Mac Lane serait peut-être de situer sur notre Schéma Imaginaire les différents concepts de base en mode ♡ à partir desquels se structure notre terrain de jeu en mode ♢.

- Une réduction eidétique en somme ?

- On peut le formuler ainsi. Commençons par :

Symétrie :

C'est l'un des trois piliers du triptyque d'Emmy Noether (b). Balayons notre schéma sous cet éclairage :

a/ en mode ♧ :

• [⚤]^♡ :  je n'insiste pas sur la création de ℤ et ℚ à partir de ℕ, c'est largement discuté par ailleurs (ζ);
• [#]^♡ : on peut penser à la construction de la géométrie à partir des axiomes de Bachmann (cf. (α) dans "Aspects de la géométrie") basés sur des symétries. 

Il en ressort en particulier que la rotation peut se définir à partir d'une symétrie centrale, décomposable en 2 symétries sur 2 axes.

- Tu penses à la représentation en [#]^♧ d'un groupe cyclique en  [⚤]^♢ ?

- Ce serait assez élégant : on retrouverait ce glissement sur la diagonale du fou entre un concept et sa représentation, déjà rencontré.

Par ailleurs, la notion d'orthogonalité en géométrie qui est l'expression ⊥ de la répétition en [#]^♧découle également de cette approche axiomatique.

b/ en mode ♢ :

Ici, il s'agit de définir des symétries entre ce qui structure les relations entre objets.

• Les différentes structures algébriques portent sur les relations + & x;  entres éléments d'ensembles, vus ex post 𓁜; 
• Ces éléments étant les "parties" (vues ex ante 𓁝) d'un tout (vu ex post 𓁜).

b1/ Le premier rapport entre éléments d'un ensemble est qu'ils sont tous identiques (nous retrouvons les abeilles de Socrate dans le Ménon).

- Autrement dit c'est une expression de ce que l'on appelle "propriété universelle" en théorie des Catégories ?

- C'est effectivement la propriété de base utilisée pour conduire toute réflexion mathématique. En ce sens on peut dire qu'un ensemble de "points", est soit Ens, soit une partie de  Ens.

• Le nombre (ou cardinal) des "points" de Ens est au maximum ℕ, noté ℵ₀ par Cantor;
• Le nombre des relations binaires possibles entre ces points est ℕ x ℕ ou 2^ℵ₀ qui a la puissance du continu comme ℝ.

b2/ Le second rapport concerne l'appartenance de chaque élément à l'ensemble Ens (ou partie considérée).

Il s'agit encore d'une question de symétrie entre éléments relativement à leur appartenance au même ensemble, vu comme "propriété universelle" soit, sans se référer à la théorie des catégories :

• En  [⚤]^♡: une question de complétude ;
• En [#]^♡ : une question de continuité.

À ce propos, Mac Lane insiste sur l'importance (cf. β en #6)

• De la propriété Archimédienne,
• De l'approche par les coupures de Dedekind. (ε)

b3/ Ces questions d'appartenance et d'universalité trouvent leur expression propre avec les quantificateurs universels. Nous avons vu (cf. (b) de #4) la distinction entre :

• ∃ dans le sens où la perception se construit S↑ à partir du niveau le plus élémentaire ☯[∃]𓁜^♧;
• ∀ qui part du plus élevé des niveaux 𓁝[∅]^♡☯ et se limite S↓ en [⚤]^♢ à :
  • x ∈ E : L'appartenance d'un élément à un ensemble défini ;
  • S ⊂ E : L'inclusion d'une partie dans un ensemble.

Quoique le sujet ne soit pas encore abordé dans les premiers chapitres du livre, nous plaçons les ∈ et ⊂ en [#]^♢. (Note 1)

- Autrement  dit, la logique en [⚤]^♢ serait ici introduite par des concepts de topologie [#]^♢ ?

- Oui, qu'il s'agisse des coupures de Dedekind ou du concept d'inclusion.

- J'ai l'impression que tu as effectivement remis en perspective tout ce que tu as pu lire de Mac Lane dans les 3 premiers chapitres, sans le trahir  :

• "From whole numbers to rational numbers#4"
• "Geometry #5"
• "Real Numbers #6"

- Et ceci est n'utilisant, en fin de compte qu'une idée très générale de recherche de symétrie en mode ♡.

- Quid des deux autres pieds du triptyque d'Emmy Noether ?

- De façon synthétique, nous avons vu que :

• La quantité conservée se définit :
  • En chaque mode ♧ & ♢ : au niveau [♲] faisant le lien entre les niveaux [⚤] et [#];
  • En mode ♡ : en faisant le lien entre les modes ♧ & ♢;
• L'indétermination tient à :
  • La liberté de l'auteur extérieur à son discours : (...)𓂀 ;
  • Dans le discours : à l'existence de gaps entre niveaux et modes, qui structurent les mouvements du Sujet 𓁝/𓁜 dans son Imaginaire (...𓁝𓁜...)𓂀.

- Je pense que tu es prêt pour la suite...

- Amen

Hari

Note 1

- A priori les expressions concernant les éléments sont en [⚤]^♢ et celles concernant les parties en [#]^♢, non ?

- Il faudrait creuser un peu. On peut défendre que les deux sont de niveau [#]^♢car la notion d'élément d'un ensemble en mode ♢ implique l'idée de "partie d'un tout". Cela va avec la définition de la logique à partir du concept d'inclusion. Par ailleurs, l'approche de Dedekind par les coupures, est de ce type.

- Je croyais que tu avais situé la logique en [⚤], avec l'objet discriminant, qui est pourtant l'ensemble des parties d'un ensemble ?

- Il faut peut-être abandonner cette distinction élément/ partie qui nous était imposée en mode ♧ par l'impossibilité de la posture 𓁝 au contact du réel: la dernière posture est bien 𓁜, après

• Prise de conscience  ☯[∃]𓁜 du contact réel, suivi de son
• Identification :  ☯[∃][⚤]𓁜. 

En mode ♢, avec la structure d'ensemble, tout élément est un sous-ensemble, même le vide { } identifié comme "partie" du singleton  {1}.

- Dès lors comment caractériser la différence entre niveaux [⚤] et [#], si tout du moins cette distinction reste pertinente ?

 - Pour l'instant j'avancerais des raisons sortant du cadre des pures mathématiques.

1/ Il faut rappeler comment l'on passe :

• En mode ♧ : de la dernière posture 𓁝[∅];
• En mode ♢ : à la première posture [⚤]𓁜.

qui consiste à réifier le concept vide ∅ en l'identifiant à la partie de {1} qui n'est pas l'élément {1} : et donc le vide { } en langage ensembliste.

2/ L'appréhension de "l'objet" se distingue entre les deux modes ♧ et ♢ :

• En mode ♧ : l'objet prend "corps" ou "volume" dans une construction S↑ aboutissant à une quantité conservée de niveau [♲]𓁜;
• En mode ♢ : on efface étape par étape les attaches de l'objet avec son environnement, en partant du principe qu'un "bord n'a pas de bord". Passant ainsi des traces ponctuelles de l'objet, à ses arrêtes, puis surfaces etc... dans une attitude finale qui nous laisse face au vide 𓁝[∅].

L'objet serait alors la quantité conservée dans le retournement du Sujet :

Ce que l'on peut comprendre d'un point de vue syntaxique^♡, comme la quantité conservée répondant à une symétrie 𓁝/𓁜 entre les deux postures du Sujet.

- Pour en revenir à cette différence [⚤] et [#] en mode ♢ ?

- J'en reviens à l'idée que :

• En mode ♢, les concepts se déconstruisent S↓ (on part de 𓁝[∅];
• En mode ♧ ils se construisent S↑ (on arrive à [♲]𓁜).

- Ce qui colle avec ton introduction (c) de notre terrain de jeu par [#]^♢.

- Oui, le tout est cohérent. Et donc, dans cette perspective, il est naturel de comprendre la logique comme découlant de considérations topologiques.

- Soit mais qu'est-ce qui distingue  [⚤]^♢ de [#]^♢ ?

- Le plus simple est de comprendre [⚤]^♢ comme le site de la base d'un espace vectoriel en [#]^♢. J'en reste là de nos réflexions : je pense que nous y reviendrons très vite dans la suite du texte de Mac Lane.

C'était ici l'occasion de comprendre pleinement (en ♡) la dualité des approches :

• évolutive S↑ en ♧;
• régressive S↓ en ♢;
• Duale  S↑↓ en ♡.

Note 2

Cette discussion (cf. §11 de #6) renvoie à une autre déjà ancienne, concernant la clôture finale de l'Imaginaire, voir à ce sujet le point (α) de :

• "L'auteur et son discours  (...)𓂀 -  grammaire et orthographe"

Discussion qu'il faudra reprendre pour situer le concept d'infini dans l'imaginaire du Sujet, au-delà d'une approche purement mathématique. (α) (β) b1/