Sur les traces de Lévi-Strauss, Lacan et Foucault, filant comme le sable au vent marin...
9 Mars 2023
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- Promis, c'est le dernier, après je me mets sérieusement au boulot, mais je ne pouvais pas rester sur la note 08/03 de mon dernier article sans aller jusqu'au bout de ma réflexion :
Qu'est-ce qu'une mesure ?
- C'est tout un programme ! Et un petit article vite fait sur le gaz nous épuisera tous, avant le sujet...
- Soit, mais je ne veux pas lâcher le morceau avant d'avoir exploré ce qui s'est jeté sous ma plume, d'une façon pratiquement inconsciente pour donner ceci :
"Les crochets de Poisson, comme les commutateurs de forme | ⟩⟨ | me font penser au passage du Sujet de 𓁝⊥𓁜⏩𓁝⊥𓁜 (i.e.: [#]𓁝⊥𓁜[♲]⏩[#]𓁝⊥𓁜[♲]⏩[♲]𓁜). Ça tourne autour du degré de dépendance entre vecteurs, et s'exprime en [♲]𓁜 sous la forme antisymétrique d'une "aire" comprise entre ces vecteurs, dont la mesure ⟨Ψ|Ψ⟩ ou l'orthogonalité ⟨ϕ|Ψ⟩=0 seraient les formes extrêmes."
Le bout de phrase "la forme antisymétrique d'une "aire" comprise entre ces vecteurs, dont la mesure ⟨Ψ|Ψ⟩ ou l'orthogonalité ⟨ϕ|Ψ⟩=0 seraient les formes extrêmes" en particulier, me semblait bien vite écrit. Ce que j'ai repris à la relecture, en écrivant cette note 11 :
"En relisant ce passage, je me dis que c'est n'importe quoi : comment la même forme ⟨ | ⟩ pourrait-elle à la fois signifier :
J'avais en tête l'idée que |Ψ⟩ et ⟨Ψ| sont "orthogonaux" au sens où nous avons:
Et j'imaginais ⟨Ψ|Ψ⟩ comme racine carré de l'aire (=1) d'un carré de côtés |Ψ⟩ et ⟨Ψ|.
- Mais la même formule = 0 pour deux vecteurs orthogonaux...
- C'est là que je me suis dit que le sens de l'orthogonalité différait entre les deux cas.
1/ La mesure de |Ψ⟩ :
Ici, c'est le Sujet qui change de perspective pour envisager l'objet Ψ, au niveau [#] :
2/ L'orthogonalité entre deux vecteurs |Ψ⟩ et |ϕ⟩:
Ici, les deux objets sont dans un même espace, et le regard du Sujet portant sur les deux est commun:
Tout ceci reste une littérature très superficielle : pour tout dire je ne me suis même pas donné la peine de vérifier ce que j'ai écrit; il fallait que ça sorte comme ça !
Reprenons donc tout ce charabia...
L'idée qui m'a surpris, en quelque sorte, c'est d''associer la mesure de l'aire d'un carré, (qui serait de côté a, et d'aire a2 pour fixer les idées), et donc, avec une orthogonalité entre côtés adjacents.
On a bien l'idée que la "mesure" ||a|| est ici la valeur absolue |a| de a :
||a|| = √a2 = |a|.
- C'est bien compliqué, pourquoi ne pas en rester à la valeur absolue de la longueur |a| ?
- Parce qu'ici nous sommes dans l'espace ordinaire, en R2, et qu'implicitement a ∈ R. la notion de "valeur absolue" de a signifie, par exemple, que la distance entre 2 et 3 est la même qu'entre 3 et 2. Mais si tu te trouves dans l'espace des nombre complexes, en C, tu changes un peu ton écriture pour garder la même idée : à savoir que cette "distance", représentable par un segment de droite "a" passant par l'origine, peut aller dans toutes les directions du plan C, ce que tu écris par a = x+iy.
Avec en tête la définition du conjugué a̅ = x-iy ; tu en arrives à
||a|| = √a̅.a = √x2+y2, autrement dit au théorème de Pythagore, et à une mesure de l'aire d'une surface rectangulaire (dont tu prends la racine carrée).
- Bon, soit, et alors ?
- Oublie les différences entre R et C pour te concentrer sur la posture du Sujet. En toute rigueur, même, nous nous contenterons d'approcher R par Q, (voir ci-dessous- a), en oubliant l'idée de "continu" en [#]♧, pour rester en [⚤]♧, et reportons-nous à ce schéma :
| [⚤]𓁝⇅𓁜[#] | 𓂀♢ | |
| ↓ | ||
| [⚤]𓁝⇅𓁜[#] | 𓂀♧ |
Nous devons discuter plus à fond que nous l'avons fait jusqu'à présent de la signification du mouvement du Sujet 𓁝⇅𓁜, que je représente par cette flèche double ⇅.
Nous nous intéressons donc au passage ♢↓♧, ou "projection" de la posture du Sujet d'un mode ♢ à ♧, avec ce qui pourrait être un "foncteur d'oubli" noté [⚤]♢↓[⚤]♧... À suivre...
- Autrement dit, la "mesure" d'un "objet" serait ce qui se "conserve" de son observation par le Sujet, lorsqu'il évolue autour de l'objet ?
- Il est toujours intéressant d'en revenir à l'étymologie (sur CNRTL).
"Étymol. et Hist.
A.
B.
- Tu nous amuses ?
- Pas du tout, je trouve tout ceci très passionnant! C'est tout d'abord un verbe transitif : un Sujet mesure "quelque chose". Ensuite cette action du Sujet, consiste initialement à "rapprocher" l'objet observé d'un "objet étalon".
- Autrement dit, il y a déplacement ?
- Exactement : Pour mesurer la longueur d'un bâton, je dois me rendre au palais de Breteuil et le comparer au mètre étalon qui y est déposé. D'où la nécessité de s'affranchir des postures particulières du Sujet, et des mouvements qui découlent de leurs enchaînements, pour se concentrer sur l'objet lui-même.
Ceci dit, il y a quelques remarques intéressantes à faire :
- En bref, ta façon d'aborder la "mesure" ne s'éloigne pas du sens commun ?
- Disons que nous pouvons avancer jusqu'à une approche plus mathématique (Note 1).
(a) En tout premier, bien entendu, l'idée de "mesure" doit nécessairement ramener en [⚤]♧ puisqu'il s'agit d'un "rapport" entre deux objets, et donc, en maths en Q... D'où, tu t'en souviendras peut-être, l'introduction du concept de "tribu" pour approcher les "ouverts" de la topologique. Mais pour éviter de trop se fatiguer sur des détails, je reprends cette introduction de Wikipédia plus générale :
"En 1894, Émile Borel énonce la première définition d'ensemble négligeable. En 1897, il définit les ensembles mesurables. En 1901, Henri-Léon Lebesgue introduit la notion de mesure. La théorie se développe jusque dans les années 1950. Andreï Kolmogorov proposera une axiomatisation du calcul des probabilités basée notamment sur l'intégrale définie à partir d'une mesure." Wikipédia
Si je fais ce rappel, c'est tout simplement pour montrer le lien historique entre "mesure" et "calcul intégral".
- Autrement dit, tu vas nous parler d'une différence de posture qui se marque entre "différentiel" et "intégrale" ? (Note 2)
- Ah ! tu vois que tu commences à percuter ! Nous venons de voir le passage le plus élémentaire [⚤]♢↓[⚤]♧, tu penses bien qu'il y doit y avoir une suite en [#]♢↓[#]♧..., et en [♲]♢↓[♲]♧ !
Mais avant d'en arriver aux changements de modes, il faudrait traiter des "passages à niveaux" (désolé, je n'ai pas pu résister !)
Nous avons compris de quelle façon se traduit en [⚤]𓁜, le concept global (en [♲]𓁜) d'équivalence entre postures du Sujet à ce niveau élémentaire de l'Imaginaire [⚤].
Passons au niveau [#], pour exprimer le mouvement [#]𓁝⊥𓁜[♲]
Ici, la répétition du geste du Sujet ne se traduit plus comme au niveau précédent [⚤] :
L'exemple le plus simple, en mode ♧ étant celui de R à C, puis R3 et H. En mode ♢, nous avons vu (très succinctement, je le reconnais, mais nous habillerons tout ceci plus tard, lorsque l'esquisse sera terminée) que nous pouvions représenter :
La question qui se pose alors, c'est la signification, au regard du niveau [♲]♢𓁜, de l'équivalence entre ces deux postures:
Nous avons déjà l'idée que ce passage de ⊥ à ⇅ en mode ♧ serait
(b) Prenons la figure très simple (voir "De Descartes à Leibniz et Newton") suivante :
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Avec X et X' comme représentations vectorielles des côtés d'un losange. L'invariance de leur positions respectives dans l'espace plan, se caractérise tout simplement par le déterminant de la matrice de leurs coordonnées selon les axes de la base : (x,y) et (x';y') soit Det (X,X') = xy'-yx'.
- Attends un peu, tu étais parti pour nous parler d'un pur changement de posture du Sujet noté ⊥ dans [#]♢𓁝⊥𓁜[♲]♢, et nous en sommes à calculer le "volume d'un objet" ?
- Tu as parfaitement raison, et c'est là où mes idées s'étaient quelque peu embrouillées ! Je vais tenter ceci :
Maintenant, reprenons la même structure générale pour retrouver nos petits en mode ♢ :
- Si tu faisais un peu le point ?
- Tu as raison, tentons de mettre tout ceci en perspective :
Changements de niveaux :
Nous venons de situer les changements de niveaux pour chacun des mode ♢ et ♧
| [⚤] | 𓁝⇅𓁜 | [#] | 𓁝⊥𓁜 | [♲] | 𓁝⇆𓁜 | 𓂀♢ | |
| [⚤] | 𓁝⇅𓁜 | [#] | 𓁝⊥𓁜 | [♲] | 𓁝⇆𓁜 | 𓂀♧ |
Changements de mode :
| 𓁝⇆𓁜 | 𓂀♡ | ||||||
| ↓ | |||||||
| [⚤] | 𓁝⇅𓁜 | [#] | 𓁝⊥𓁜 | [♲] | 𓁝⇆𓁜 | 𓂀♢ | |
| ↓ | ↓ | ↓ | |||||
| [⚤] | 𓁝⇅𓁜 | [#] | 𓁝⊥𓁜 | [♲] | 𓁝⇆𓁜 | 𓂀♧ |
Nous venons de discuter de la première projection (surlignée en jaune); quant à la dernière (en vert) elle n'offre pas trop de difficulté, nous en avons déjà une petite idée grâce à Grothendieck : il s'agit du "lit commun du discret et du continu", qui se déclinerait alors, depuis sa plus haute expression syntaxique en mode ♡, jusqu'aux balbutiement de l'infant aux premiers stade de son développement ☯𓁝/𓁜☯ (Note 4).
Il nous reste le morceau de choix (en bleu) à traiter.
- Tu t'y es déjà frotté, dernièrement encore avec le Lagrangien ("méta-physique"):
La persistence de l'objet tient à sa conservation dans le retournement de posture 𓁝/𓁜 autour de lui.
Maintenant, l'observation de l'objet tient au passage d'un mode "relationnel" ♢ au mode "objectif" ♧. Et cette "observation" se manifeste par une rupture de symétrie entre "espace" et "temps"."
| dL/dv | 𓁝 | [#]♢ | 𓁜 | L |
| Temps | ↓ | Espace | ||
| d[dL/dv]/dt | 𓁝 | [#]♧ | 𓁝 | dL/dx |
| covariance | contravariance | |||
- À ceci près que nous recentrons notre regard sur les mouvements du Sujet lui-même, en faisant abstraction de l'objet de son attention. Autrement dit, il s'agit de représenter les mouvements ⊥:
- Le tout devant se retrouver, je l'imagine, en ☯[∃][⚤]♧, pour garder l'ouverture sur le Réel, autrement dit, nous sommes dans un carré commutatif rappelant une transformation naturelle, et tu en reviens à ta discussion sur les concepts de "covariance/ contravariance"; mais tu ne vas pas nous relire Lacan ? (Note 5)
| [⚤]𓁝⇅𓁜[#] | ← | [#]𓁝⊥𓁜[♲] | 𓂀♢ | |
| ↓ | ↓ | |||
| ☯[∃] | [⚤]𓁝⇅𓁜[#] | ← | [#]𓁝⊥𓁜[♲] | 𓂀♧ |
- Sauf que, en tenant compte de ma discussion avec René Guitart (voir cette note), je souhaite retrouver une vision physique plus naïve, avant d'emballer tout ceci bien proprement dans la théorie des Catégories.
- Et c'est là que tu introduis la notion d'opérateur de projection "| ⟩ ⟨ |" tirée de l'écriture de Dirac ?
- Plus basique encore, je voudrais faire le joint avec notre bon vieux calcul intégral/ différentiel en dernier ressort...
Le 10/ 03/ 2023 :
- Je crois que nous avons maintenant suffisamment contextualité notre questionnement pour suivre, tout simplement, le cours d'introduction de Davide Bochetto, qui nous a été si utile jusqu'ici (cours 4.C.). Nous garderons en tête la métaphore :
- Mais quel est concrètement son "effet" ?
- Prends un ket |ψ⟩, décrivant un état quelconque d'un système donné, tu peux écrire l'effet de ce projecteur de cette façon : (|α⟩⟨β|)|ψ⟩=|α⟩⟨β|ψ⟩= λ|α⟩ avec λ comme produit scalaire : λ = ⟨β|ψ⟩. En quelque sorte, tu "projette" |ψ⟩ sur |α⟩, qui te donne la "coordonnée" λ selon |α⟩.
Maintenant, regardons les effets de ce projecteur en utilisant les vecteurs |n⟩ de base {|n⟩;n = 1; 2; ...} de l'espace EH avec P̂n=|n⟩⟨n|. Nous avons immédiatement :
Nous pouvons par extension définir un projecteur d'un sous-espace de EH comme "somme" de plusieurs opérateurs de projection.
Ex : P̂1,2 = ∑P̂i pour i = 1,2.
La projection sur tout l'espace EH est l'opérateur identité Î, appelé encore "de fermeture" ou de décomposition de l'identité : ∑P̂i pour tous les n=∑|n⟩⟨n|=Î.
Théorème spectral :
Nous nous intéressons ici à des opérateurs hermitiens  (en termes de matrices,  serait égal au conjuré de son transposé). Notons  = Â+. On peut décomposer cet opérateur en fonction de ses vecteurs propres |α⟩; avec Â=aα|α⟩. Le théorème dit que :
"L'ensemble des vecteurs propres {|α⟩} orthonormés d'un opérateur Hermitien forme une base Hilbertienne de EH."
- Ça devient compliqué, non ?
- On peut le voir comme de dessiner la cible sur le mur autour du point d'impact, après avoir tiré !
- Je ne comprends pas ?
- Nous décortiquons l'observable, pour aboutir à une "forme Hermitienne", très particulière, pour la plonger ensuite dans un espace Hilbertien, où nécessairement nous devons l'y retrouver, puisque toute la construction vise précisément à offrir un "cadre" à notre observation de départ ! Mais voit, au passage, la contrainte sur Â, pour que "tout soit simple" à l'arrivée...
(c) Ceci dit, le nom même de ce théorème nous permet, a posteriori, de justifier que nous continuions à voir le niveau [⚤]♢ comme celui du "discret", alors même que son espace est celui des nombres complexes C.
L'aspect "discret" tient à la représentation de  par un ensemble dénombrable de coordonnées aα. C'est en cela que je trouve ce terme "spectral" magnifique ! Au passage, tu retrouves toute la gymnastique du Sujet en mode ♢ :
| [⚤] | 𓁝⇅𓁜 | [#] | 𓁝⊥𓁜 | [♲] | 𓁝⇆𓁜 | 𓂀♢ | |
| aα | ∑ | Â | |α⟩⟨α| | Â=∑aα|α⟩⟨α| |
ECOC : Ensemble Complet d'Observateurs qui Commutent :
"Si deux observables  et B̂ commutent, on peut construire une base orthonormée de l'espace EH, formée par les vecteurs propres communs aux deux observables  et B̂."
| Â|ψi⟩ = ai |ψi⟩ | |
| [Â;B̂] => | |
| B̂|ψi⟩ = bi |ψi⟩ |
L'importance de ce résultat est que l'observation de chacun de ces observables n''interfère pas sur la mesure de l'autre.
Un ensemble complet de tels observables qui commutent sest appelé de l'acronyme ECOC : à chacun de ces observables Â, B̂, Ĉ... sont associés les aα, bβ, cγ ..., correspondant à l'ensemble de vecteurs propres unique |α, β, γ,...⟩
Valeur moyenne d'un observable :
Soit un observable  = Â+, avec {|α⟩} et Â|α⟩=aα|α⟩. En revenant à l'idée première que |ψ⟩ représente une fonction probabilisme, nous avons :
| |ψ⟩ = ∑Cα|α⟩ | ||
| ⟨ψ|ψ⟩ = ∑|Cα|2 | =>∑|Cα|2 =1 | |
| ⟨ψ|ψ⟩ = 1 |
Calculons maintenant la valeur moyenne de l'observable Â, dans un état |ψ⟩.
⟨a⟩=⟨ψ|Â|ψ⟩= (∑C*α⟨α|)Â(∑Cα|α⟩)=(∑C*α⟨α|)(∑CαÂ|α⟩)=(∑C*α⟨α|)(∑Cαaα|α⟩)
⟨a⟩=∑aα|Cα|2
Évolution temporelle de la valeur moyenne d'un observable : Théorème d'Ehrenfest
Là je déroule la présentation telle qu'elle est faite, nous discuterons plus tard de ce temps mis en jeu.
Soit donc un observable Â, d'un système dans un état |ψ⟩, nous venons de voir que la valeur moyenne de cet observable est ⟨a⟩=⟨ψ|Â|ψ⟩. Si a dépend du temps, on peut calculer la dérivé de cette expression par rapport au temps : d⟨a⟩/dt=(d⟨ψ|)/dt)Â|ψ⟩+⟨ψ|∂Â/∂t|ψ⟩+⟨ψ|Â|(d|ψ⟩/dt).
Or, l'équation de Schrödinger nous donne d|ψ⟩/dt=(1/ih)Ĥ|ψ⟩...
- Sauf que tu as loupé une marche en faisant l'impasse sur le cours, pour en venir directement à l'écrire de Dirac...
- Je l'admets : il y a des trous à boucher, mais tâchons de suivre le sens général de l'exposé, pour voir où cela nous mène. Il vient donc d⟨ψ|)/dt = (-1/ih)⟨ψ|Ĥ,
d'où : d⟨a⟩/dt = (1/ih)⟨ψ|ÂĤ-ĤÂ|ψ⟩+⟨ψ|∂Â/∂t|ψ⟩.
Le terme ÂĤ-Ĥ est le commutateur entre l'observable  et l'observable Hamiltonien Ĥ; et donc [Â;Ĥ], ce qui donne le théorème d'Ehrenfest : d⟨a⟩/dt = (1/ih)⟨ψ|[Â;Ĥ]|ψ⟩+⟨ψ|∂Â/∂t|ψ⟩.
Bien entendu, j'ai zappé toute la construction qui conduit à cette expression ÂĤ-ĤÂ, mais tu remarqueras sans doute, une forme rappelant ce que nous avons dit du calcul d'une aire (cf.: b).
Ayant déjà situé Hamiltonien, et Lagrangien en [♲]♢, nous pouvons tenter ceci : la forme ÂĤ-ĤÂ correspondrait à une "mesure" en mode ♢ (comme le déterminant de nos deux vecteurs X et X' dans le plan "mesure" l'aire du losange qu'ils déterminent une aire en mode ♧).
Si ce rapprochement a un sens :
Le 11/ 03/ 2023 :
- Pas très content de ce que j'ai écrit hier : j'ai perdu le fil du récit. Je voulais parler de "mesure", avant d'avoir bien assimilé la mécanique quantique, j'étais présomptueux.
- Toujours à mettre la charrue avant les bœufs, mon ami...
- Oui, tu as raison, mais la démarche consiste à me heurter à mes propres incompréhensions, pour voir de quelle façon je vais m'en sortir. C'est ainsi que je peux "comprendre" a posteriori ce que j'ai surmonté.
- Parle plutôt d'une thérapie personnelle... Eh donc, sur quelle pierre te casses-tu le genou cette fois-ci, mon Jacques ?
- L'écriture de Dirac me semble vide, en ce sens qu'il développe un langage, sans que l'on aborde jamais son "objet".
- Il parle pourtant d'observable et d'état d'un système, non ?
- De fait, le vecteur |ψ⟩ n'est qu'une densité de probabilité de présence dans un espace EH. Autrement dit, il s'agit de ce que le Sujet peut dire d'un objet, et non de l'objet lui-même. Nous en revenons à la vieille distinction scolastique entre : (Note 6)
- Rien de neuf : tu sais bien que nous sommes dans l'interprétation de Copenhague, avec Niels Bohr, contre Einstein... tu radotes.
- Non, non : ici nous ne parlons même plus de l'objet, mais de la forme du discours que nous tenons sur lui : notre "discours" a la forme d'un vecteur |ψ⟩ de norme ⟨ψ|ψ⟩=1 dans un espace de Hilbert EH.
Et de cette forme de discours découle l'opérateur hermitien Â, qui est observable, autrement dit, dont "l'orthographe" Â=Â+, permet d'être inséré dans un discours bien formé. Mais nous n'avons toujours pas d'objet.
- Je crois que c'était pas mal résumé dans ce schéma :
| [⚤] | 𓁝⇅𓁜 | [#] | 𓁝⊥𓁜 | [♲] | 𓁝⇆𓁜 | 𓂀♢ | |
| aα | ∑ | Â | |α⟩⟨α| | Â=∑aα|α⟩⟨α| |
Tu devrais être content, non ?
- C'est après que je décroche: quelle est la nature de ÂĤ-ĤÂ ?
- Tu avais situé Lagrangien et Hamiltonien en [♲]♢, parce que tu y voyais le pendant en mode ♢ du concept de volume en mode ♧. (voir "Méta-physique").
- Avec donc la même "nature" que l'objet en tant que "existant",. Je ne reviens pas sur toute la discussion entre être et substance, mais oui, la nature de H, en physique classique est bien de niveau [♲]♢.
- Attention ! Le Ĥ quantique n'est plus le H classique...
- C'est peut-être là que j'ai loupé une marche, effectivement...
À la réflexion, je me demande si je ne me suis pas trompé en installant mécanique classique et quantique dans un même mode ♢...
- Où serait donc la mécanique quantique ?
- En mode syntaxique ♡ ! Je n'arrête pas de me heurter au fait que Dirac ne nous parle que de syntaxe, et bien sautons le pas à notre tour.
- Mais comment vont s'articuler les rapports de la mécanique Q et celle de Lagrange avec le mode objectif, celui de l'expérience du Réel ?
- C'est ici que nous retrouvons notre point de discussion entre René Guitart et Alain Connes; entre sites et topos. Pour faire court, la mécanique classique, en mode ♢ serait une "expression" particulière qu'une syntaxe de mode ♡. Mais les deux modes ♡ et ♢, pourraient s'expérimenter (dans le temps et l'espace) en mode objectif ♧, qui seul offre une ouverture vers le Réel:
☯[∃][⚤]♧.
(α) Notre ruban de Moébius prendrait de l'épaisseur :
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Et en coupe, nous aurions :
| (...) 𓂀♡ | => | (...)𓂀♢ | ||
| ⬂ | ⬃ | |||
| (...) 𓂀♧ |
- Autrement dit, la mécanique classique pourrait s'exprimer avec l'écriture de Dirac; mais leurs rapports directs au mode ♧ pourraient différer ?
- C'est ce dont il faut rendre compte, et c'est exactement ce que nous dit Davide Bochetto, lorsqu'il explique que les quantités observables en mécanique classique correspondent aux "valeurs moyennes" des observables de la mécanique Q.
- Et si tu embrayais sur son cours ?
- Passons donc à la vidéo 5A.
Postulat 3 de la mécanique quantique :
En relisant ce postulat avec un oeil neuf, en mode ♡ donc, le point fondamental me semble être le passage au discret, lorsqu'il est postulé qu'une mesure est l'une des valeurs propres du système.
- Tu l'avais déjà noté hier (cf.: c)
- Permets-moi d'enfoncer le clou ! D'un état du système décrit par |ψ⟩ dans un espace EH continu, en [#] (Note 7), tu retombes en [⚤], mais ici, il s'agit d'un axiome de mode syntaxique, en ♡. Admire quand même au passage qu'en parlant de topos (que nous plaçons en [♲]), Grothendieck parle du lit commun du discret et du continu. De ce point de vue, il y aurait donc là une concomitance, pour ne pas dire une congruence des discours, qui renforce à mes yeux notre stratification de l'Imaginaire en [⚤], [#] et [♲].
Par ailleurs, cette liaison entre modes ♢ et ♡ doit pouvoir s'exprimer sans trop de difficulté en termes de théorie des catégories, puisqu'en [⚤]♢, la notion de morphisme a un sens.
- Et donc, tu repenses à la notion de foncteur "représentable" à partir du lemme de Yoneda ?
- Disons que ce sera une piste à suivre.
12/ 03/ 2023 :
- Bon, tout ceci est bien beau, mais j'ai l'impression que tu ripes sur les choses qui fâchent : quels sont les objets initiaux/ finaux attachés à ces modes ♢ ♧, car enfin, les discours du physicien doit bien porter sur un objet final et procéder d'un objet initial, non ?
- Bien sûr et la question est quasiment du domaine métaphysique.
Trop heureux d'enfourcher le cheval des catégories, nous avons avec enthousiasme pris comme métaphore mathématique des limites de notre Imaginaire, au contact du Réel et du Symbolique, ceux de la catégorie des Ensembles, avec donc :
Tu noteras que pour y arriver, il faut déjà tuer Platon, ce qui n'est pas rien.
Cependant, il faut maintenant prendre conscience de cette représentation elle-même.
Ce singleton, imaginé comme un point idéal est concrètement une petite surface sur une feuille de papier, soit la représentation graphique la plus élémentaire possible, juste après avoir posé le crayon sur la feuille. Le vide quant à lui étant la suspension du geste. Avec, concrètement une opposition de l'ordre de la logique du 1er ordre entre les deux. Ce qui est congruent avec la façon qu'a l'infant d'apprendre la notion d'objet. Tout ceci reste cohérent avec notre qualification du mode ♧ "d'objectif".
Pour aller plus loin, on peut dire que le mode ♧ traite du passage du discret [⚤] au continu [#] en passant du langage au graphique et recolle les morceaux en [♲]. Dans la perspective du physicien qui nous occupe ici, il s'agirait du domaine de la cinématique.
Et celle-ci n'est possible qu'avec un principe relativiste liant temps et espace. Ce principe relativiste, à la base même de toute pensée scientifique, est un axiome que je place en ♡, mode de la syntaxe. Son expression la plus complète est la relation d'Einstein, concernant la vitesse propre d'un objet, ce qui nous donne (nous en avons déjà largement parlé):
J'insiste un peu sur des choses que j'ai déjà rabâchées, pour bien prendre conscience que ce mode ♧ n'est pas, à lui seul, suffisant pour parler à proprement parler de physique.
- Et qu'est-il alors ?
- C'est, pour reprendre Kant, l'ensemble des conditions de notre entendement, à savoir une mise en perspective du temps et de l'espace.
- Et que manque-t-il pour faire de la physique ?
- La notion de masse.
La masse apparaît chez Newton, dès qu'il nous parle du rapport entre objets! Newton rappelle le principe de Galilée dans sa première loi, et nous parle ensuite de gravité entre deux corps FA/B=FB/A=G.MA.MB/d2.
Et c'est bien ce concept de masse que je n'arrive pas à caser en mode ♧, mais qui se présente dès que le physicien commence à parler de "force" et de relation entre objets ou entre objet et espace/temps.
- Autrement dit, tu le placerais bien en objet final du mode ♢.
- Ou plus exactement et, du point de vue du physicien, l'équivalent du monoïde •⟲ serait la quantité de mouvement mv⃗. Ce serait l'élément minimal de son discours, en [∃]♢.
- Soit, et quel serait le pendant en [∅]♢, pour faire le duo de choc [∃]/[∅]?
- Ce qui ne peut se désigner 𓁜 mais seulement être évoqué en posture 𓁝[∅] et d'où tout procède ? Ce dont nous parle sans cesse le physicien, sans jamais le présenter, mais dont nous n'avons que les effets ? Il me semble bien que ce soit le concept d'énergie. D'ailleurs, le fait que l'on puisse envisager l'existence d'une "énergie noire" dont nous n'aurions pas d'effet en dehors qu'observations astronomiques, me semble aller dans ce sens.
D'un point de vue philosophique, voir religieux d'ailleurs, l'idée est assez cohérente : passer d'un Dieu dont on affirmerait l'être sur un mode purement objectif ♧, à l'idée qu'il est la source ou le moteur de l'univers en mode ♢, me semble relever son statut, non ?
- En tout cas, tu ne t'éloignes pas de ton article sur François Cheng (voir "Comment parler de l'âme"). Mais ce faisant, tu changes encore de perspective: n'avais-tu pas dans l'idée que l'énergie potentielle devait être dans le passage du mode ♢ au mode ♧ ?
- Je pense que tout ce que nous avons vu dernièrement, nous permet d'éclaircir un peu notre discours à ce sujet. Gardons pour l'instant l'idée générale que "l'énergie" est de niveau 𓁝[∅]♢.
Pour en parler, dans un retournement [♲]𓁝⇆𓁜[∅]♢⏩[♲]𓁝⇆𓁜[∅]♢, le regard se tourne vers l'objet final, ici mv⃗, à travers [#] et [⚤]. D'autre part, il est au-dessus de [∅]♧, où nous avons déjà v̅.v=c2. Si nous le mettons en perspective, ça donne à peu près ceci :
| mv⃗∈[∃]♢ | [⚤]♢ | [#]♢ | E=mc2∈[♲]♢ | [∅]𓂀♢ |
| ☯[∃]♧ | tp.dP=c2∈[⚤]♧ | [#]♧ | v̅.v=c2∈[♲]♧ | [∅]𓂀♧ |
Tu ne m'en voudras pas si je place E=mc2 en [♲]♢ un peu à la hussarde, mais avoue que c'est trop tentant ! Maintenant, "l'énergie", vu comme concept global en [♲]♢ va se distribuer entre deux concepts orthogonaux entre eux, en [#]♢.
- Rien de neuf, tu as déjà situé le discours de la physique dans le passage [#]♢↓[#]♧.
- Certes, mais nous avons quelque peu progressé dans la définition des niveaux [∃] et [∅] ! Si donc, nous nous intéressons maintenant aux niveaux [#], je pense que nous comprenons mieux le croisement entre un discours portant sur l'énergie cinétique (en jaune) rapportée au mouvement, et l'énergie potentielle (en bleu) rapportée à la position.
| mv⃗∈[∃]♢ | [⚤]♢ | [#]♢ | E∈[♲]♢ | [∅]𓂀♢ |
| ☯[∃]♧ | [⚤]♧ | [#]♧ | [♲]♧ | [∅]𓂀♧ |
Au passage, d'ailleurs, tu remarqueras une évolution dans la compréhension du concept d'orthogonalité:
- Bon, soit pour la déclinaison de la forme antisymétrique, d'un mode à l'autre, mais tu ne nous dis pas quel en est l'objet en mode ♢?
- Rêvons un peu pour avancer : le schéma précédent me suggère que l'orthogonalité ⊥♢ qui nous intéresse en mode ♢ a trait à la différence entre :
- Et si tu rapprochais cette hypothèse de ce que tu avais déjà dit dans l'article "Méta-physique" ?
- Effectivement. Nous en étions restés à ce schéma :
" Essayons ceci :
La persistence de l'objet tient à sa conservation dans le retournement de posture 𓁝/𓁜 autour de lui. Maintenant, l'observation de l'objet tient au passage d'un mode "relationnel" ♢ au mode "objectif" ♧. Et cette "observation" se manifeste par une rupture de symétrie entre "espace" et "temps"."
| dL/dv | 𓁝 | [#]♢ | 𓁜 | L |
| Temps | ↓ | Espace | ||
| d[dL/dv]/dt | 𓁝 | [#]♧ | 𓁝 | dL/dx |
| covariance | contravariance | |||
J'en étais resté au Lagrangien L=T-V (énergie cinétique-énergie potentielle), quand le Hamiltonien vaut H=T+V, mais fondamentalement, ceci ne modifie pas les postures du Sujet qui manie ces concepts.
Si je prolonge un peu mon raisonnement:
- Tu nous commentes un schéma, sans avancer beaucoup...
- J'essaie de mettre tout ceci au plus clair que je le peux, pour ensuite me poser la question de la syntaxe, en mode ♡, qui justifierait cette présentation.
- Il faudrait sans doute commencer par nous parler, comme tu l'as fait pour le mode ♢, des objets initial/ final de ce mode syntaxique...
- Ah ! C'est là le point dur !
Pour bien faire, et respecter les liens entre modes :
| (...) 𓂀♡ | => | (...)𓂀♢ | ||
| ⬂ | ⬃ | |||
| (...) 𓂀♧ |
il faudrait que ces objets puissent se décliner simplement, "évidemment" en modes ♢ et ♧...
Le 13/ 03 2023 :
- Ce constat d'une double orthogonalité m'a fait pas mal cogiter toute la nuit, et puis cela a décanté peu à peu. La meilleure représentation que l'on puisse s'en faire, en [#]♧ serait sans doute le quaternion de Hamilton.
- Holà ! Tu replonges dans des cogitations qui t'ont pris beaucoup de temps sans jamais aboutir !
- Il me manquait les différents modes Imaginaires pour y voir clair... Mais rassure-toi, ce sera pour une autre fois. Je reste focalisé pour aujourd'hui sur le mode ♡ où se développe le langage de la mécanique quantique. Et nous cherchons, plus particulièrement comment caractériser les objets initial/ final dans ce mode, pour un physicien.
Or, que constatons-nous ? Que le temps est toujours orthogonal à l'espace, qu'il s'agisse :
On pourrait donc en tirer un principe très général, une règle de syntaxe : le temps est toujours orthogonal à l'espace où se déploie l'objet.
- Mais comment exprimer un tel principe ?
- Hamilton nous met sur la voie : dans son espace, c'est le temps qui est sur l'axe des Réels, et l'espace tout entier, qui est "Imaginaire". Nous sommes en [#]♧.
Maintenant, prenons en compte l'évolution de notre langage, lorsque nous changeons de mode, souviens-toi de ce schéma général : (voir "Méta-physique")
| [∃]♢ | [⚤]♢ | [#]♢ | ☯ | 𓂀♢ | |
| ☯[∃]♧ | [⚤]♧ | [#]♧ | 𓂀♧ |
L'expression de cette orthogonalité "générale" entre temps et espace, se marquerait dès [⚤]♢ par l'emploi des nombres complexes C; emploi que nous retrouvons(formellement cette fois-ci) en [⚤]♡ comme principe de base, puisque la mécanique quantique s'écrit ainsi.
Hypothèse : et si tout ce qui concerne le "temps" en méca Q s'écrit avec des nombres ∈ R, alors, tout le reste devrait s'écrire avec des nombres Imaginaires, en particulier, et essentiellement "l'objet" du discours, qui est une énergie définie en [♲]]♢, non ?
- Autrement dit ton objet final serait ih ?
- Avoue que se serait très élégant. Regarde bien l'équation de Schrödinger : ih∂/∂tψ(r⃗,t)=Ĥψ(r⃗,t) (Note 9) ne dirait-on pas qu'il y a une orthogonalité entre la dérivée par rapport au temps ∂/∂t et les dérivées par rapport à l'espace, dans l'opérateur Hamiltonien qui me semble être l'essence même de ce pur imaginaire "i" dans l'expression !
Maintenant, essayons de comprendre comment cette "orthogonalité radicale" de l'espace et du temps se décante petit à petit dans notre Imaginaire...
- Je pensais au contraire qu'avec la relativité, il y avait une sorte d'espace/temps où les deux se mêlent ?
- C'est vrai pour l'espace/temps "objectif", en mode ♧, mais tu vois bien, dans le passage :
| dL/dv | 𓁝 | [#]♢ | 𓁜 | L |
| Temps | ↓ | Espace | ||
| d[dL/dv]/dt | 𓁝 | [#]♧ | 𓁝 | dL/dx |
| covariance | contravariance | |||
que la distinction réapparaît, cette fois-ci non pas dans le mode objectif ♧, mais dans le changement de mode ♢↓♧.
Ensuite, et je crois que ceci devient évident, de façon formelle, syntaxique en mode ♡, l'orthogonalité me semble posée en axiome dans l'équation même de Schrödinger :
- Pas de panique : dans l'Espace de Minkoski (utilisé en relativité) également, il y a bien une distinction entre espace et temps, ça n'empêche pas la fluidité entre les deux...
- En méca Q, l'espace utile en mode ♡ est un espace de fonctions, celui de Hilbert pour être précis et non celui de Minkowski. Il faudrait les lumières d'un matheux pour nous dire si l'on peut facilement passer de l'un à l'autre ? En tout cas, et sauf grosse erreur de ma part, il n'y a pas encore de mécanique quantique relativiste...
- Je crois que nous avons là un bon sujet de méditation... Mais dis-moi, qu'en est-il de l'objet initial ?
- Puisque nous sommes dans un mode de pur langage, où l'on manipule, en particulier, des "opérateurs" et des "commutateurs", je pense que le plus simple est de garder l'objet vide ∅. Lorsque l'on parle de "l'opérateur" Ĥ, en laissant en suspend la fonction sur lequel il porte, n'est-ce pas un peu ce que l'on fait ?
- Et pour en revenir au titre de cet article : que mesure-t-on ?
- Tu as une réponse quantique : une des valeurs propres d'un observable Â, mais, franchement, je crois que ce que nous mesurons surtout, c'est la profondeur de notre ignorance... 😉
Hari
Note 1 :
En tapant "Lebesgue" sur mon blog, j'ai retrouvé une série d'articles dans lesquels j'ai versé mes cogitations au fur et à mesure (c'est le cas de le dire) :
Inutile de dire que j'ai tout oublié de ces textes, listés ici pour indiquer seulement combien cette idée de "mesure" m'occupe l'esprit, depuis une discussion champêtre avec un couple de matheux de la famille en août 2018... D'où j'ai retenu l'idée de Lebesgue d'une "mesure" vue comme un "volume".
Note 2 :
Voir "Notes de lecture de Scientia Egregia".
Note 3 :
Ce qui me plait beaucoup dans cette formulation, c'est de retrouver ici une notion d'extremum, de mode syntaxique ♡, comme un principe de "moindre action".
Note 4 :
Voir par exemple Piera Aulagnier, j'en parlais encore dans cet article :
Note 5 :
Petit clin d'oeil aux 4 discours de Lacan, nous en parlons ici :
Note 6 :
J'en reparlais encore dans l'article :
et particulièrement dans la Note 3.
Note 7 :
Tu noteras la précaution prise de définir l'espace Hilbertien EH des états |ψ⟩ comme séparable !
Note 8 :
Voir :
Note 9 :
- La proposition est trop importante pour ne pas être étayée. Je vais donc m'y employer, dans cette note, pour ne pas alourdir le texte. Il s'agit du postulat 2 (avec l'équation de Schrödinger) de la Mécanique Q.
- Et si nous commencions par le 1er Postulat ?
- Oui, ce serait plus clair :
Je reprends le cours de Davide Bochetto, à la vidéo 3A. Avant le formalisme de Dirac, le premier constat de la Mécanique Q est que l'état d'un système est représentable par une onde de probabilité dans l'espace accessible à l'objet considéré.
"À tout instant t, l'état d'un système est complètement déterminé par la fonction d'onde ψ(r⃗,t), qui est une fonction aux valeurs complexes.
Cette fonction d'onde est interprétée comme amplitude de probabilité de présence. Autrement dit, la probabilité dP(r⃗,t) que la particule se trouve dans un volume d3r=dx.dy.dz autour du point r⃗ est donnée par dP(r⃗,t)=|ψ(r⃗,t)|2d3r."
=> Donc, une fonction dont la mesure sur l'espace considéré = 1, autrement dit, une fonction ψ(r⃗)∈L2(R3) espace des fonctions sur R3 de carré sommable.
=> D'où, formellement, l'introduction de l'Espace de Hilbert comme terrain de jeu.
=> Mais cette condition porte sur l'espace physique, à chaque instant; et le temps ne sert ici qu'à indicer la fonction d'onde (i.e.: la condition d'intégration est indépendante du temps).
=> D'où également le principe de superposition des états d'un système, et tout ce que nous avons vu avec Dirac...
L'auteur prend l'exemple simple d'une particule libre:
Ce qui donne : ei(k⃗r⃗-ωt) = ei(p⃗r⃗-Et)/h
Si l'on prend maintenant la fonction d'onde d'un paquets d'onde planes de ce type, ceci nous donne :
ψ(r⃗,t)= ∫R3F(p⃗)ei(p⃗r⃗-Et)/hd3p , avec ∫Ω|ψ(r⃗,t)|2d3r=1
La fonction F(p⃗) étant la fonction enveloppe du paquet d'ondes.
Calculons maintenant la dérivée par rapport au temps : ∂/∂tψ(r⃗,t)
La seule partie de la fonction où apparaît le temps est l'exponentielle et donc :
∂/∂tψ(r⃗,t)=-i/h∫R3E.F(p⃗)ei(p⃗r⃗-Et)/hd3p
Nous avons posé que la particule est libre, donc son énergie purement cinétique : E=p2/2m, d'où :
∂/∂tψ(r⃗,t)=-i/h2m∫R3p2F(p⃗)ei(p⃗r⃗-Et)/hd3p
Calculons maintenant le gradient de ψ (dérivé par rapport aux 3 coordonnées d'espace) :
∇⃗ψ(r⃗,t)= i/h∫R3p⃗F(p⃗)ei(p⃗r⃗-Et)/hd3p
Le Laplacien de la fonction d'onde est :
∆ψ(r⃗,t)=-1/h2∫R3p2F(p⃗)ei(p⃗r⃗-Et)/hd3p
Maintenant, on peut rapprocher l'expression du Laplacien de la dérivée temporelle, ce qui donne :
ih∂ψ(r⃗,t)/∂t=-h2/2m∆ψ(r⃗,t)
On remarque que -h2/2m∆ a les dimensions d'une énergie, ici la particule étant libre, il s'agit d'énergie cinétique, donc cet opérateur différentiel représente l'énergie cinétique de la particule.
Par analogie, si la particule est soumise également à une énergie potentielle, on la rajoutera ainsi :
ih∂ψ(r⃗,t)/∂t=(-h2/2m∆+V(r⃗,t))ψ(r⃗,t)
L'ensemble (énergie cinétique+énergie potentielle) est le Hamiltonien du système. Par analogie avec la mécanique classique :
Ce qui permet de réécrire notre équation d'évolution en fonction du temps sous la forme :
Ce qui amène au 2e Postulat de la mécanique quantique :
"À tout instant t, la fonction d'onde satisfait l'équation aux dérivées partielles :
ih∂/∂tψ(r⃗,t)=(-h2/2m∆+V(r⃗,t))ψ(r⃗,t)
C'est l'équation de Schrödinger." α
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