Sur les traces de Lévi-Strauss, Lacan et Foucault, filant comme le sable au vent marin...
29 Avril 2023
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- Commençons par le sommaire du chapitre :
En partant de l'idée très générale qu'une fonction est une relation entre groupes de paires (cf. infra 10/), il vient tout de suite que nous sommes ici en mode relationnel ♢; et plus précisément en [⚤]♢. Autrement dit, ce chapitre devrait m'aider à mieux comprendre les liens de ce niveau avec les niveaux adjacents. (cf. (a) de #7), toujours en me situant de façon privilégiée en 𓂀♢ pour en parler.
| [∃]♡ | [⚤]♡ | [#]♡ | [♲]♡ | [∅] | 𓂀♡ |
| [∃]♢ | [⚤]♢ | [#]♢ | [♲]♢ | [∅] | 𓂀♢ |
| [∃]♧ | [⚤]♧ | [#]♧ | [♲]♧ | [∅] | 𓂀♧ |
1/ Type of functions
"Functions probably first appear with the practical experience that the size of some one magnitude depends on the size of another-the weight of a block of ice depends on the size of the block, or the distance travelled depends on the speed, or the area of a rectangle depends on its dimen sions, or the angle subtended by a circular arc depends on the length of that arc. Thus practical problems, physical problems, geometric facts, and algebraic manipulations all indicate that one "quantity" may depend upon others. This leads to an idea of functional dependence, often described in suggestive but imprecise ways. A modern version of such an informal description would say that a function acts like a machine which, given any number as input, will produce as output some other number, "depending" on the input." p. 123
- J'ai l'impression que tu as été un peu restrictif en définissant l'environnement de [⚤]♢, car Mac Lane parle ici de "quantités", autrement dit, il faut rechercher le lien entre lesdites "quantités" à un niveau [♲]♢ (cf. (β) de #7).
- C'est exact, cependant, l'image d'une mécanique transformant un input en output colle parfaitement avec l'idée très générale qu'un principe en [♲] rapproche des objets a priori indépendants (ou orthogonaux ⊥) en [#] pour exprimer ce lien en [⚤] sous forme de nombre, au terme d'une "procédure" exprimable au même niveau [⚤] (i.e.: ce qui forme un "langage").
Ensuite, Mac Lane précise l'écriture en [⚤] :
- Mac Lane indique que cette écriture que tu situes en [⚤]♢ n'est pas limitée aux nombres algébriques, comme les équations de trigonométrie.
- Ce qui implique un lien en [♲] permettant d'utiliser notre langage de niveau [⚤]♢ sur des objets de niveau [#]♢. C'est ce que j'ai appelé une "projection" de [#]♢ dans [⚤]♢, (cf (α) de #7), et je pense que c'est l'objet même du chapitre.
2/ Maps
"Functions of points arise in geometry. The problem of representing the globe or a part of the globe on a piece of paper is the problem of mapping a portion of the sphere S2 on the Euclidean plane R2, by some function S2→R2." p. 125
- Décidément tu a taillé d'environnement de [⚤]♢ trop court : voilà que Mac Lane nous parle maintenant de géométrie en [#]♧ !
- C'est vrai, cependant, tu remarqueras qu'ici apparaît, avec la notion de "carte", une question liée à la perte de l'ordre, due à la répétition du saut ⊥ pour passer de ℝ à ℝ2 dans [#]♧. Or, et c'est là-dessus que Mac Lane va clore le présent chapitre "a function as a suitable set of ordered pairs of things" (cf 10/). Toute la question est de savoir comment passer de [#]♧ à [⚤]♢,
| [⚤]♢ | ←(4) | [#]♢ | 𓂀♢ |
| ↑ (2) | ↑(3) | ||
| [⚤]♧ | ← (1) | [#]♧ | 𓂀♧ |
- Mais pourquoi se restreindre à cette nécessité d'un ordre ?
- Parce que Mac Lane envisage le calcul comme une procédure à suivre, c.-à-d. une machine de Turing, avec une horloge [⚤]♧ comme séquenceur, d'où l'idée que nous sommes bien au niveau [⚤]♢.
Ensuite il donne de nombreux exemples pour conclure que toute opération concernant des "objets" peut s'exprimer en termes d'opérations sur des ensembles :
"Now the more general notion of an arbitrary function X→Y, in parallel to the notion of a set, plays a powerful unifying role in Mathematics."
- Il revient à Bourbaki ?
- Non, car il y a un décalage entre les deux points de vue : ici l'ensemble est considéré comme une abstraction de l'objet pour parler des opérations elles-mêmes. c'est pour cela que nous passons du mode "objectif" ♧ au mode "relationnel" ♢. Ce qui conduit au changement d'objet final qui passe de (*) à •⟲ en [∃]♢.
3/ What is a function ?
Mac Lane passe en revue les différents sens que le terme "fonction" résume :
Formula
"The essential problem remains: What sorts of formulas are envisaged? Are all functions given by formulas? "Formulas" depend on the symbolism, but functions depend upon the facts." p. 127
- Il y a ici une prise de position qui sort du domaine mathématique : les fonctions décrivent des "faits", ce qui nous ramène à la discussion entre Einstein et Bore, et nous savons ce qu'il en est.
- Je te propose de remettre à plus tard cette discussion d'ordre philosophique, jusqu'au moment où Mac Lane abordera lui-même le sujet à propos de Platon au §XII.10. Nous pouvons toutefois traduire sa question de cette façon : en projetant [#]♢ sur [⚤]♢, que récupérons-nous sous forme de procédure ?
Rule
"The variable y is a function of the variable x when there is given a rule which to each value of x produces the corresponding value of y. This description, and its variants, has for generations puzzled the students of calculus.
[...]
Even if one defines a rule as something expressed in a specified formal language, there are troubles. (In the usual formal languages, the set of all formal expressions is denumerable, while the set of possible functions on ℝ to ℝ is not denumerable." p. 127
- Mac Lane soulève un point extrêmement intéressant qui ne devrait pas te surprendre :
Graph
"A function is a curve in the (x,y) plane, such that each vertical line x = a meets the curve in at most one point with coordinates (a,b). When it does so meet, the number b is the value of the function at the argument a. For other arguments a, the function is undefined."
RAS
Dependence
RAS
Table of values
"Trouble is, the actual tables are finite while most of the intended functions have infinitely many different values." p. 127
Syntax
"A function f on the set X to the set Y is a symbol f such that whenever the term x stands for an element of X, then the string of symbols fx stands for an element of Y, the value of f at the argument x. This doesn't really describe functions, but just the use of symbols for functions. It is a mute protest against the confusion of standard notations, in which f(x) ambiguously denotes a function of x and a value of that function." p. 127
Dont acte.
4/ Functions as Sets of Pairs
"A formal definition of "function" must be stated in the context of some axiomatic system. There are at present two such definitions.
These axioms assume that everything (in Mathematics) is a set, and are formulated in terms of one primitive notion, membership, written x ∈ A for "x is a member of (i.e., an element of) the set A ". p. 128
- Voilà qui est clair, net et précis, et se ramène à des considérations très générales de symétries en [⚤]♡ entre éléments et de chaque élément x par rapport à l'ensemble A. (cf. b1/ de #7) Nous sommes ici pleinement en [⚤]♢.
- Il me semble nécessaire de préciser le lien entre [⚤]♡ et [⚤]♢.
- Dans un ensemble A d'éléments x:
Nous avons déjà discuté de l'évolution du quantificateur universel ∀ en fonction du niveau Imaginaire où l'on situe le discours. (cf. 20/03 de #4)
(α)Nous pouvons pousser la réflexion en bouclant le niveau [⚤]♧ sur [⚤]♡:
| [∃]♡ | [⚤]♡ | [#]♡ | [♲]♡ | [∅] | 𓂀♡ |
| [∃]♢ | [⚤]♢ | [#]♢ | [♲]♢ | [∅] | 𓂀♢ |
| [∃]♧ | [⚤]♧ | [#]♧ | [♲]♧ | [∅] | 𓂀♧ |
| [∃]♡ | [⚤]♡ | [#]♡ | [♲]♡ | [∅] | 𓂀♡ |
Pour nous poser la question du lien entre la propriété universelle en [⚤]♡ et son expression en [⚤]♧.
- Ne serait-ce pas l'automatisme de répétition ⇅ ?
- Ça me semble effectivement la façon la plus élégante de voir les choses. De ce point de vue, nous aurions deux façons d'exprimer la propriété universelle en [⚤]♡ :
Ceci étant mis à nu, Mac Lane annonce autre chose : si les fonctions intéressent des "objets" représentés dans la théorie des ensembles comme des "éléments", on peut également traiter les fonctions elles-mêmes comme objets, et les manipuler par des fonctions de fonctions.
Le 30/ 04/ 2023
- Je crois qu'ici, nous sommes au fond de la piscine, et il s'agit de donner un coup de talon pour remonter à la surface, en marquant Mac Lane à la culotte.
"The equality of sets is then defined by (cf. (1.9.8)
A = B <=> for all x, (x ∈ A <=> x ∈ B), (1)
where the double headed double arrow <=> is short for "if and only if". An axiom (the axiom of extensionality) then requires that equals can be substituted for equals:
A = B => for all C, (A ∈ C => B ∈ C); (2)
here the double arrow => is short for "implies"." p. 128
Dans l'écriture de (1), il y a effectivement une petite difficulté tenant à l'interprétation de l'équivalence de tous les x. Suppose que A soit un ensemble de patates et B de carottes, au regard de quelle critère pourrais-tu comparer A et B ? Pour parler de "la même chose", il faut une appartenance commune. Tu as le choix entre compter chaque patate ou chaque carotte, autrement dit leur coller une étiquette tirée de ℕ, ou les peser. Selon ton choix, la soupe n'aura pas le même goût.
- D'où l'axiome d'extensionnalité.
- Exactement. Dans notre exemple, soit carottes et patates sont décomptés comme "légumes", soit ils sont pesés en kg. Poursuivons :
"Another axiom asserts that for any two set a, b there is a set {a,b} such that
x ∈ {a,b} <=> (x∈a or x∈b) (3)
in other words, {a,b} is the set whose only elements are a and b. In particular, {a,a} is the set whose only element is the set a; it is usually written {a}. On this basis we can define the ordered pair of two sets a, b to be the set
<a,b>
<a,b> = <a',b'> <=> (a=a' and b=b'). (5)
which states that this set
Tu remarqueras d'abord que (3) s'exprime dans une logique du 1er ordre de niveau [⚤]♧ : a et b sont disjoints, ou séparés. Cette restriction, est une descente [⚤]♢↓[⚤]♧ ou en développant :
| [∃]♡ | [⚤]♡ | [#]♡ | [♲]♡ | [∅] | 𓂀♡ |
| ↓ | |||||
| [∃]♢ | [⚤]♢ | [#]♢ | [♲]♢ | [∅] | 𓂀♢ |
| ↓↑ | |||||
| [∃]♧ | [⚤]♧ | [#]♧ | [♲]♧ | [∅] | 𓂀♧ |
| ↓ | |||||
| [∃]♡ | [⚤]♡ | [#]♡ | [♲]♡ | [∅] | 𓂀♡ |
On peut l'interpréter de 2 manières :
- C'est pas évident...
- Regarde bien les expressions {a,b} et <a,b> = {{a}, {a,b}}.
C'est nécessaire dès lors que l'on considère le calcul comme une "suite d'opérations", du type machine de Turing.
Maintenant voyons le passage de [⚤]♢ à [#]♢ et [#]♧ :
| [⚤]♢ | ← (3) | [#]♢ | 𓂀♢ |
| ↓↑ (4) | ↑ (2) | ||
| [⚤]♧ | → (1) | [#]♧ | 𓂀♧ |
"Other axioms prove that, given two sets X and Y, there exists a set
X x Y = {
whose elements are exactly all the ordered pairs of elements x∈X and y∈Y. This cartesian product of sets has already been used, for example in the description of the coordinate plane as the cartesian ℝ x ℝ.
We also use the formal definition of a subset S ⊂ X : A set such that x∈S implies x ∈ X." p. 129
Il faut faire très attention à la définition de ce qui est ordonné ou pas.
- Je ne te suis pas ?
- Mac Lane passe gaillardement de XxY (où l'ordre concerne uniquement la distinction entre ce qui est de X et ce qui est de Y, et non les ensembles X et Y eux-mêmes), à ℝ x ℝ (où ℝ est ordonné), ce qui peut prêter à confusion, pour un néophyte comme moi qui n'est pas très attentif aux définitions extrêmement précises des matheux.
- Et dans ton jargon, ça donnerait quoi ?
- Suis-moi bien sur le schéma ci-dessus :
- Mouais, j'ai l'impression qu'il manque pas mal de briques à ton édifice.
- Bien sûr , mais il faut avancer dans notre lecture pour y arriver. Pour l'instant, nous en sommes aux paires ordonnées <x,y>. Poursuivons :
C'est bien entendu la définition du morphisme en théorie des catégories.
"If one visualizes the sets X and Y as "spaces" of some sort, then the cartesian product XxY is a "space" (in Figure 1 a cylinder) and the function S is a subset of the product which meets each "vertical" subspace {x} x Y in exactly one point. Thus S is a curve in this product space. In view of such examples, the set S of ordered pairs is often called the graph of the function though in our definition, the function is this graph." p.129
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Image qui me rappelle immédiatement cette introduction d'Étienne Ghys au groupe fondamental de Poincaré. En revoyant cette vidéo, j'ai l'impression d'être proche de quelque chose, mais c'est encore vague...
- Dis toujours !
(β)- Le principe de répétition en [#]♢ doit s'exprime en termes d'inclusion ⊂.
- Qu'est-ce qui a pu te conduire à cette idée ?
- C'est en entendant Étienne Ghys expliquer (à 15' sur la vidéo) que dans un espace topologique, la relation d'ordre est associée à celle d'inclusion.
- Comme une collection de poupées Russes où la taille détermine l'ordre d'inclusion ?
- Exactement. Remarque au passage que l'idée d'ordre est beaucoup plus facile à comprendre exprimée en termes d'inclusion ⊂ en [#]♢ qu'en termes d'appartenance ∈ en [⚤]♢.
- Sans doute parce que tu es plus géomètre qu'analyste. Tu comprends plus facilement les représentations visuelles que des équations.
(μ)- Sans doute. Tout ceci nous amène à donner un sens spécifique à l'automatisme de répétition en mode ♢:
| discret | continu | |
| ∈ / [⚤]♢ | ⊂ / [#]♢ | 𓂀♢ |
| ⇅ / [⚤]♧ | ⊥ / [#]♧ | 𓂀♧ |
Je le garde ici comme hypothèse, à confirmer ou invalider au fil de notre lecture, bien entendu. (Note 01/04)
(δ)Pour en revenir à la figure 1 de Mac Lane, nous avons deux cas selon que X est continu ou discret:
| [⚤]♢ | [#]♢ | ⊥𓂀♢ |
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||
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La représentation de X par un cercle en [⚤]♢ étant une métaphore, pour représenter la "structure" algébrique d'un ensemble d'éléments X.
- Tu vas trop vite, Mac Lane n'a pas encore parlé de continuité.
- Tu as raison, mais j'avais besoin de faire le lien entre algèbre et topologie pour vérifier la cohérence d'ensemble de ma représentation. En résumé, la notion d'ordre,
Le tout reste cohérent avec l'idée de fonction comme séquence de fonctions. (Note 01/04)
"From this formal definition (and the axioms of set theory) one can derive all the formal properties of functions. For example the definition of equality for sets provides an equality condition for functions. Two functions f, g : X→Y with the same domain and the same codomain are equal (as sets of ordered pairs and thus as functions) if and only if, for all x∈X, f(x) = g(x) in Y." p. 130
02/ 05/ 2023
- J'ai eu du mal à avancer, ces deux derniers jours, tant la lecture de Mac lane avait suscité en moi de cogitations, mais j'ai l'impression que notre modèle de l'Imaginaire tient le choc et se fortifie dans l'aventure.
- Ensuite ?
- Il développe les compositions de fonctions, car c'est effectivement la fonction en tant qu'objet qui l'intéresse avant tout. Un point important qui annonce sans doute les catégories : l'importance de définir précisément le codomaine d'une fonction, en particulier pour des raisons d'ordre topologiques :
"In defining the composite g.f we have required that the domain of g be exactly the codomain of f. In this view, a function f involves all of these things: A domain, all the pairs
Mac Lane revient sur la composition de fonctions, preuve que le concept a de profondes implications.
"The philosophical point is that all these varied human activities fall -quite naturally and easily- under the one general notion of "composition", and the formulation of this general notion helps to organize and understand the various cases. This, we hold, is typical of Mathematical abstraction." p. 130
Nous le traduisons comme la nécessité de reporter notre attention des "objets" en ♧ à leurs "relations" en ♢, pour mieux les "comprendre".
Un autre pas vers les catégories :
"The composition of functions is a special case of the composition of relations. A (binary) relation from the set X to the set Y is a subset R⊂XxY; the intention is that it consist of those ordered pairs <x,y>
Il y a un lien assez subtil, qui m'avait échappé en première lecture entre l'écriture orientée gauche /droite d'une relation entre deux éléments d'un ensemble tels que x<y ou S⊂R qui se retrouve dans l'écriture de l'inverse d'une fonction.
"To define this formally, first introduce for each set X the identity function Ix: X→X which sends each element x∈X to itself. A more vivid description states that the graph of the identity function is the diagonal subset ∆ of XxX, consisting of all the ordered pairs <x,x>
[...]
In general again, g·f=Ix and f·g=Iy together mean that g is a (two-sided) inverse of f. When
En fait, dans l'écriture g.f = Ix, dire que g est l'inverse à gauche de f, c'est tout simplement transcrire dans une procédure g.f que l'action de g se fait après f. Il s'agit donc de la même convention de langage que celle consistant à écrire <a,b> = {{a}, {a,b}} indiquant que b suit a. On le retrouve en mode ♧ dans l'automatisme de répétition ⇅ (diachronique avant toute expression [∃]⇅[⚤]), qui mène au concept de successeur (synchronique, après identification en [⚤]𓁜♧ et s'écrit "<" ).
Ensuite, je te passe les définitions de surjection, injection, bijection, juste pour arriver à l'axiome de choix :
"The axiom of choice, commonly assumed among the axioms of set theory, asserts that any surjection f with a non-empty domain X has a right inverse g. Specifically, such a right inverse "chooses" to each y∈Y an element x∈X with fx=y, and the axiom of choice is there to provide for such a potentially infinite collection of choices." p. 133
- Je tique un peu sur la formule "infinite collection of choices".
- Pas si tu gardes en mémoire que le terme "infini" ou ∞ est une clôture, de ℕ, ℝ ou ℂ, etc. Tu ne peux "choisir" que parmi les "possibles" que tu es capable d'imaginer. Il s'agit de l'axiome de choix de Zermelo, je pense que nous y reviendrons.
Plus intéressant sans doute, est le lien avec l'idée d'idempotence, mais je n'insiste pas ici.
Le point important pour Mac Lane, et il termine là-dessus, c'est de s'abstraire de la théorie des nombres:
"This section has indicated how the notion of a function, originally sug gested by formulas and functional dependence, can be formalized and applied to sets quite different from sets of numbers, and so provide a set ting for the comparison and mapping of arbitrary sets." p. 133
5/ Transformation Groups
- J'avais pas mal transpiré sur les groupes cycliques en suivant les vidéos de Gilles Bailly Maître, il y a déjà 5 ans (voir "Symétries et Rotations"), c'est dire que j'ai pratiquement tout oublié en cours de route !
- Mais non, c'est comme le vélo, ça ne s'oublie pas. C'est quand même à partir de la structure de groupe que tu as caractérisé le niveau [⚤]♢. Laisse donc la parole à Mac Lane :
Tu vois, ce n'est pas si compliqué. Maintenant les groupes alternés :
"A permutation is even if and only if it can be expressed as a product of an even number of transpositions. Within Sn the even permutations form by themselves a transformation group A with n!/2 elements, called the alternating group, a subgroup of Sn. For example, all the permutations of four letters x1, x2, x3, x4 which do not change the sign of the product
(x1-x2)(x1-x3)(x1-x4)(x2-x3)(x2-x4)(x3-x4)
constitute the alternating group A4. In general, finite symmetry groups can always be expressed as subgroups of some permutation group Sn ." p. 134
Il est rapide et il y a du boulot derrière. Il faudrait développer l'idée de signature d'une permutation par exemple, mais nous y reviendrons sans doute lorsqu'il abordera les travaux d'Évariste Galois très bientôt. L'important c'est le passage des groupes de symétries à l'algèbre linéaire et au calcul matriciel.
"Linear algebra is replete with transformation groups, beginning with the group of translations of the line, which is isomorphic to the additive group of real numbers. A linear transformation t: V→V of a vector space into itself is said to be non-singular if and only if it is a bijection. The set of all such non-singular transformations on V is clearly a transformation group, called the general linear group GL(V). When V is the space F of n-tuples of elements of a field F, such a non-singular transformation is represented, as in §2 above, by an n x n matrix with entries in F and determinant ≠ 0." p. 134
Tu vois clairement l'importance des symétries dans toute cette présentation, et pour faire court, l'apparition du déterminant ≠ 0.
- Oui, il déroule le film en accéléré, mais c'est justement à partir de là que tu as caractérisé les niveaux de ton schéma,. C'est rassurant de voir ici que tu étais dans le bon sillon, mais avance un peu, j'ai hâte d'entrer dans le vif du sujet.
Le 03/ 05/ 2023
- Mac Lane ratisse très large : toute géométrie peut se ramener à l'étude d'un groupe de symétrie :
"In this way each type of geometry can be summarized by the transformation group of all those bijections of the space which preserve the intended geometric structure. This was the central observation of Felix Klein's Erlanger Program for geometry (1872). Two figures count as "equivalent" in a geometry when there is a transformation of the group carrying the first figure into the second. Thus in the Euclidean plane two triangles are equivalent in this sense if and only if they are congruent, in the oriented Euclidean plane two triangles are equivalent if and only if they are congruent and have the same orientation, while in the affine plane any two non-degenerate triangles are equivalent.
This description of the Erlanger program fits all manner of geometries. Thus topology involves for each topological space X the group of all those bijections t: X→X which are continuous with a continuous inverse. More generally, a homeomorphism t:X→Y of topological spaces is a continuous bijection with a continuous inverse." p. 135
- J'ai l'impression que Mac Lane ne fait pas comme toi de différence entre géométrie et topologie ?
- Oui, mais notre distinction entre modes garde sa raison d'être :
Le problème vient de la nécessité de représenter un espace topologique pour en parler, ne serait-ce qu'un rectangle pour un espace 2D, comme notre représentation de l'Imaginaire sur deux axes niveaux/ modes.
En résumé :
"All told, the initial and quite intuitive observations of symmetry, of motion, and of transformations in geometry and of their composition leads to the formal set-theoretic notion of a transformation group. Its study involves algebra, geometry, and continuity." p. 135
6/ Groups
- La structure de groupe est extrêmement simple (identité, inverse, associativité) :
"No further axioms are needed to formalize the properties of composition, because these axioms suffice to prove the Cayley theorem that every (abstract) group G is isomorphic to a transformation group G'. " p. 135
Note l'importance du théorème de Cayley, qu'il avait évoqué au chapitre 1 (cf. §8 de #2).
Placer cette structure de groupe G en [⚤]♢, nous permet (𓂀♡) de comprendre le passage [⚤]♢↓[⚤]♧ comme une brisure de symétrie entre "opérations à gauche" et "opérations à droite" (i.e. de type spatial en mode ♢, elles se "succèdent" en mode ♧).
"Specifically, each element g ∈ G can be regarded as a transformation g': x ⟼ gx of the elements x of the set G." p. 135
Par opposition à G en [⚤]♢, agissant sur des "actions" je suis amené à placer le concept d'objet, sur lequel il agit en [⚤]♧. (Note 3)
- Et g' ?
- Ce serait la représentation la plus simple en mode ♢ d'une action ⟼ qui primitivement s'applique à des "objets" x & g'x :
| ensembles relations | [⚤]♢ | g': {x} ⟼ {g'x} | 𓂀♢ |
| ↑ ↓ | |||
| objets | [⚤]♧ | x , g'x | 𓂀♧ |
En fait, du point de vue de [⚤]♢, il n'y a aucune différence entre G et G', puisqu'ils sont isomorphes. Cette écriture sur deux modes permet de séparer les "objets" des relations entre objets. (Note 3)
- Il n'y a donc aucune relation entre objets en [⚤]♧ ?
- La seule qui puisse subsister en [⚤]♧ est qu'ils se présentent à l'attention du Sujet dans une succession temporelle : on peut étiqueter les objets dans leur ordre d'apparition, ils sont "dénombrables".
- Et pour les actions continues ?
- C'est un autre problème : leur représentation passe au niveau [#]♧, mais la distinction entre x et gx reste, avec l'apparition (dans le gap ♧⇅♢), d'un principe de cause à effet; masqué en [⚤]♢ par l'idée d'inverse d'une action de groupe de transformations.
"... the bijection g ⟼ g' is an isomorphism of the abstract group G to the transformation group G'. It is called the (left) regular representation of G, because each element g of G is "represented" by the operation "multiply on the left by g"." p. 135
Comme toujours, la différence "avant/ après" se traduit graphiquement par la différence "gauche/ droite".
"The simplest (multiplicative) groups G are those "cyclic" groups generated by a single element a, and so consisting just of the identity and powers a, a-1,a2,a-2,. . . of that element. The order of an element a is by definition the least positive integer m with am=1, the identity element. This order may be infinite, in which case the cyclic group is infinite — and isomorphic to the additive group ℤ." p. 135
Il vient immédiatement que tout groupe cyclique fini est un sous-groupe de ℤ modulo m, noté ℤ/m.
- OK, si je comprends bien, il y a deux structures fondamentales en [⚤]♧ :
- Oui, avec l'idée que ces actions de permutations peuvent être considérées comme les éléments g d'un ensemble G. Tu en as la meilleure illustration dans cette écriture des groupes de symétries comme identiques à ℤ/m, quand tu te souvient que ℤ est une "symétrisation" de ℕ, pour en faire un groupe additif ((i.e : doté d'un élément neutre et d'un inverse pour l'addition). D'où :
"When S is a subgroup of G, the inclusion S⊂G can be considered as a function from S to G which is a homomorphism. In general, a homomorphism t is called
In fact, the set Aut G of all automorphisms of G is itself a transformation group; it expresses the symmetry of G. The mono-, epi-, endo-, and auto-terminology applies also to "morphisms" of other types of algebraic systems such as rings, fields, or monoids — but any homomorphism of fields is necessarily a monomorphism." p. 136
- Le travail d'abstraction est impressionnant : des objets (identifiés par leur commune "appartenance"), tu passes à la structure de leurs relations (à partir de "symétries"), qui constituent d'autre objets, sur lesquels s'appliquent les mêmes structures.
(γ)- Le plus impressionnant sans doute est la très grande économie intellectuelle de ce processus de réduction éidetique, qui se résume à ceci :
| [⚤]♡ | Conservation & Symétries | 𓂀♡ | |||
| ↓ | ↓ | ||||
| [∃] | •⟲ | [⚤]♢ | Appartenance ∈ Ensemble | ⇆ Relations yRx Groupe | 𓂀♢ |
| ↑ | ↑ | ||||
| ☯[∃] | (*) | [⚤]♧ | ℕ | < | 𓂀♧ |
| ↓ | ↓ | ||||
| [⚤]♡ | Conservation & Symétries | 𓂀♡ | |||
- Et tu t'arrêtes là ?
- Non il y a une petite subtilité, qui vient de la différence de comportement entre addition et multiplication, (cf. (c) de #6)
Vois-tu le chassé-croisé entre + et x dans le passage de ♧ à ♢ dès lors que l'on n'oublie pas que ♧ et ♢ sont les deux "faces" locales d'un ruban de Moebius ?
| Multiplication | Addition | ||
| [⚤]♢ | [#]♢ | 𓂀♢ | |
| [⚤]♧ | [#]♧ | 𓂀♧ | |
| Addition | Multiplication |
1/ Les sous-groupes
"Much of the structure of a particular group may be revealed by examining the lattice of its subgroups and their inclusion relations -where a subset S of a group G is a subgroup if and only if it is non-empty and closed under composition and inverse.
The comparison of two (multiplicative) groups G and H is made by a function or "morphism" preserving the group structure. Specifically, as in §1.8, a homomorphism t: G→H of groups is a function t such that :
When first studied, homomorphisms were taken to be always surjective (onto the domain H) but it is more convenient to allow the codomain to be larger than the image. In particular, when S is a subgroup of G, the inclusion S⊂G can be considered as a function from S to G which is a homomorphism."
Tu retrouves ici l'idée extrêmement générale que la "conservation" de t ou son "existence" vient d'une symétrie, à savoir que t s'applique "de la même manière" à un certain nombre d'éléments g de G; où nous retrouvons le langage propre aux "objets" vus comme appartenant à un "ensemble". Nous avons ici le lien entre actions et objets.
2/ Les groupes linéaires GLn(F) (où n est le nombre de dimensions et F le corps de base).
"A homomorphism t: G→GLn(F) of a group into a general linear group is called a representation of G. The systematic study of such representations reveals many deeper properties of groups. They include the representation of G by permutations, since any permutation of the symmetric group Sn can be regarded as a permutation of the n unit vectors of the vector space Fn, and so can be represented (isomorphically) as an nxn matrix with entries zero except for one entry 1 in each row and each column."
Ici, avec le groupe de translations GLn(F), tu n'es plus limité au discontinu, et donc tu passes directement en [#]♢, dans un espace vectoriel, cependant, le groupe G, quant à lui, s'il est représentable par des permutations, reste en [⚤]♢.
- On retrouve le schéma (δ).
3/ Appartenance à un sous-groupe
- Là, nous retournons en [⚤]♢ pour parler des éléments d'un sous-groupe G :
"For each element k of a group G, the operation g ↦ kgk-1 is called conjugation by k. It is an automorphism k*: G → G, called an inner automorphism. Moreover, the correspondence k →k* is itself a homomorphism G→Aut G — trivial if G is abelian. For a transformation group G, conjugation by k has "geometric" meaning; for instance (§III.9), it carries the subgroup fixing one point x isomorphically onto the subgroup fixing the point k(x); cf. (III.9.3) and (III.9.4)." p. 137
Le 04/ 05/ 2023
- Avant de poursuivre, j'ai eu un flash hier soir juste en m'endormant. En repensant à cette forme kgk-1 ainsi qu'à l'écriture de l'inverse d'un nombre kk-1=1 j'ai fait le rapprochement avec ma propre écriture de 𓁝[α]𓁜 et 𓁝𓁜.
Et en creusant un peu autour de ces analogies, ce matin devant mon bol de café, il me vient ceci :
1/ Considérant que le concept dual de Sujet 𓁝𓁜 fait partie de l'Imaginaire dont parle l'Auteur du discours (...𓁝𓁜..) 𓂀, il m'a semblé que cette dualité en fait l'élément central "1" ou "Moi du Sujet" autour duquel tout pivote dans l'Imaginaire en question. Écrire 𓁝𓁜=1 <=> 𓁝=𓁜-1 signifiant :
"La posture 𓁝 est symétrique de la posture 𓁜 pour le "Moi du Sujet" ou 1 " <=> "Le "Moi du Sujet" est dans le mouvement entre 𓁝&𓁜"
2/ Les niveaux Imaginaires [⚤], [#], [♲] pourraient se définir comme "sous-groupes distingués" de notre Imaginaire, dans le sens où chaque concept particulier de l'un de ces niveaux peut être envisagé d'un point de vue ex ante ou ex post par le Sujet : 𓁝[α]𓁜.
3/ La circulation entre modes que je décris péniblement à l'aide de ce schéma
| (...) 𓂀♡ | => a | (...)𓂀♢ | ||
| ⬂ c | ⬃b | |||
| (...) 𓂀♧ |
exprime une commutation entre modes qui pourrait s'écrire plus facilement en adoptant une écriture fonctionnelle : b•a=c.
4/ Et, si l'on peut parler de commutation entre modes, il est séduisant de penser au passage d'un niveau à l'autre en termes de commutation entre niveaux :
| [♲] | => a | [#] | ||
| ⬂ c | ⬃b | |||
| [⚤] |
On aurait de façon générale b•a=c. Par exemple :
- Je crois que tu viens enfin de trouver la posture ⇅𓂀♢, congruente avec l'objet de ton discours !
- Oui, et d'un point de vue plus philosophique, cela nous donne une façon extrêmement élégance de caractériser, rétrospectivement bien entendu, l'évolution Imaginaire initiée par Évariste Galois il y a 2 siècles, en rupture totale avec une pensée héritée de Platon.
En dehors d'un changement d'objet initial dont j'ai longuement parlé (voir "L'Un dans la pensée Grecque"), avant la théorie des groupes, la structure Imaginaire ignorait les niveaux [#] comme le mode ♢, et se limitait à :
| [1]♡ | [⚤]♡ | [♲]♡ | [1] | 𓂀♡ | |
| [1]♧ | [⚤]♧ | [♲]♧ | [1] | 𓂀♧ |
Nous voyons mieux, dans un discours ⇅𓂀♢, post Galoisien, de quelle façon notre structure Imaginaire moderne médiatise (i.e.: en passant par b•a) un questionnement philosophique occidental posé par Platon. La subvention du Platonisme (i.e.: le changement d'objet initial passant du 1 au vide ∅) se fait "de l'intérieur". En ce sens, tuer Platon reste un parricide.
- Il faudra reprendre tout ceci dans un autre article, mais si tu abandonnais tes spéculations pour revenir à Mac Lane ? Car tu n'en es qu'au tout début de la structure de groupe.
Le 07/ 05/ 2023
- Mon bon ami, je patauge depuis trois jours dans ce texte.
- Dis plutôt depuis pratiquement cinq ans (voir "Évariste Galois derrière le miroir"); et là entre les pages 135 et 142 de ce livre, tu te retrouves aussi nu qu'au premier jour. Tu as dans le cerveau un mur à faire sauter, et c'est ici et maintenant; sinon tout ce que tu as construit pour t'aider à comprendre de quelle façon nous nous représentons le monde n'aura servi à rien. Bref, c'est le moment de faire tapis sur ce coup de poker.
- Tu as raison : si mon schéma de l'Imaginaire est de quelque utilité, c'est le moment de s'en servir. Je vais donc tenter de retrouver le schéma de penser derrière ces formules algébriques que j'ai du mal à digérer. Il doit y avoir un changement de perspective que je n'ai pas encore mis à jour.
1/ Partons du mode ♡ où un besoin d'universalité (Note 5), s'exprimerait comme "propriété universelle" en mode ♢ dans le changement de posture 𓁝[α]⏩[α]𓁜, autrement dit, le passage d'un point de vue local à l'identification d'une propriété globale.
2/ Nous avons vu que :
3/ Le changement de posture 𓁝[α]⏩[α]𓁜 devrait donc s'exprimer :
- Pourquoi A⊃A1 et non l'inverse A⊂A1 ?
- Parce que A est donné en premier. Vois-tu le changement de perspective par rapport à une construction immanente S↑ de mode ♧ ?
- Tu dis toi-même qu'une telle construction ne saurait se développer sans un cadrage complémentaire de type transcendant S↓ ?
- Oui, oui, bien sûr, et c'est même pour surmonter cette impossibilité que nous changeons de stratégie en mode ♢ (Note 6), mais parlons tout du moins d'un essai de construction d'une maison en empilant simplement des briques sans référence au plan de l'architecte. Vois-tu autre chose dans la différence d'approche ?
- Je dirais que dans le saut 𓁝[α]𓁜⏩𓁝[α]𓁜, tu passes d'une posture locale, par exemple une fourmi se déplaçant sur un pneu 𓁝[#], à une posture globale [#]𓁜 à partir de laquelle tu prends conscience du pneu dans son ensemble.
- Exactement : les objets de ton attention se dégagent progressivement de leur environnement lorsque tu prends peu à peu "de la hauteur". La limite de l'exercice est en [♲]𓁜♧, lorsque tu prends pleinement conscience de la relativité générale du ton point de vue.
- Le mode ♧ est cependant cadré par une syntaxe de mode ♡ :
| [∃]♧ | [⚤]♧ | [#]♧ | [♲]♧ | [∅] | 𓂀♧ |
| [∃]♡ | [⚤]♡ | [#]♡ | [♲]♡ | [∅] | 𓂀♡ |
- Bien entendu, et l'on pourrait suivre la façon qu'a l'enfant de venir au monde et d'en prendre conscience pour identifier ce lien. Nous avons déjà fait l'exercice pour aboutir à l'idée que l'on cherche à identifier des régularités, et des symétries — voir par exemple les travaux de Stanislas Dehaene ici #1. Mais ce n'est pas le point où je veux te mener.
Je voudrais attirer ton attention sur cette différence :
Lorsqu'il arrive en [♲]𓁜♧, l'objet prends forme aux yeux du Sujet, qui est le seul point fixe dans l'histoire. C'est ce qui s'exprime par exemple dans le dessin en perspective. Le principe d'universalité en oeuvre en mode ♢ force le Sujet à se porter localement à la place de chacun des éléments de l'ensemble défini ∀ x∈A, pour en dégager l'objet comme la dernière des poupées Russes "Ai" d'une série A⊃A1⊃...⊃An.
- Tu avais déjà eu l'intuition d'une démarche duale, en considérant les deux modes ♧ & ♢ comme localement sur les "deux faces" d'un ruban de Moebius se bouclant en 𓁝[∅]♧↑[∃]𓁜♢.
- Certes, mais là, le langage mathématique nous force la main.
- Bon, d'accord, mais que fait notre Sujet, en passant ainsi d'un point de vue ♧ à un autre ♢?
- Nous l'avons dit et redit de bien des manières : l'objet se constitue à partir des mouvements du Sujet autour de lui, or ici, en mode ♢ nous nous intéressons directement aux actions que le Sujet fait subir à l'objet. Nous reviendrons plus tard sur la définition formelle d'un groupe, mais le point important c'est que dans un groupe d'actions, chaque action a admet un inverse a-1 tel que a.a-1=1 l'action identité, qui laisse l'objet inchangé.
(ε)1/ Dans cette expression a.a-1=1, tu es au coeur de l'idée fondamentale : en déplaçant l'objet x de E par "a" pour le remettre à sa place par a-1, tu l'identifies. Ernst prend conscience de la persistence de la bobine en jouant au fort/ da, et de sa mère qui elle aussi va et vient, par la même occasion. L'isomorphisme entre la bobine et la mère de Ernst, se structure autour de l'idée d'aller/retour (l'enfant vocalise "O / A" ou "fort/ da")(Note 4)
2/ Comme nous sommes en mode relationnel ♢ , l'action "a" elle-même peut être l'objet que l'on manipule, avec la même idée que "a" est "identifié" par une manipulation x : xax-1=a.
3/ Puisque nous avançons en restreignant notre ensemble de départ, dans la démarche de type A⊃A1⊃...⊃An, on peut voir ceci comme une suite de fonctions de Ai => Ai+1, où chaque fonction est certainement surjective : a priori il y a plus d'éléments dans Ai que dans Ai+1.
(ζ)Or, et c'est génial de simplicité : les actions de Ai qui ne font pas partie de la collection d'actions retenues dans Ai+1, n'ont plus d'action concrète sur les éléments de notre ensemble E de points x. autrement dit, elles ont pour image en Ai+1 l'action identité I. On parle du "Kernel" en Ai d'une "identité" I qui est ainsi préservée d'étape en étape, depuis A jusqu'à la fin du processus en An, ce qui permet de garder la structure de groupe à chaque étape de la progression.
4/ Notre propriété universelle nous impose de vérifier à chaque étape la relation xax-1=a pour tout x∈A.
In fine, je pense que mon trouble vient de là : une absence de mouvement 𓁝[⚤]...[∅] correspond à l'identification de l'objet [∃][⚤]𓁜.
- C'était pourtant implicite dans tout ce que tu as développé jusqu'à maintenant :
| 𓁝[⚤] | 𓂀♢ | |
| ↓ | ||
| [⚤]𓁜 | 𓂀♧ |
- Certes, mais ce n'était encore qu'un jeu formel, or, ici, cela devient plus concret sous la pression du langage mathématique lui-même. Disons que j'en prends conscience.
- Bon, je crois que la crise est passée, que penses-tu de reprendre ta lecture de Mac lane ?
Le 08/ 05/ 2023
- Reprenons ici :
3/ Appartenance à un sous-groupe
- Là, nous retournons en [⚤]♢ pour parler des éléments d'un sous-groupe G :
"For each element k of a group G, the operation g ↦ kgk-1 is called conjugation by k. It is an automorphism k*: G → G, called an inner automorphism. Moreover, the correspondence k →k* is itself a homomorphism G→Aut G — trivial if G is abelian. For a transformation group G, conjugation by k has "geometric" meaning; for instance (§III.9), it carries the subgroup fixing one point x isomorphically onto the subgroup fixing the point k(x); cf. (III.9.3) and (III.9.4)." p. 137
a/ "For each element k of a group G, the operation g ↦ kgk-1 is called conjugation by k."
Pas de difficulté de compréhension. Maintenant le pourquoi de cette opération est simple à deviner :
b/ "It is an automorphism k*: G → G, called an inner automorphism."
- Petite difficulté de lecture pour moi (désolé, mais j'ai cette dyslexie persistante) : quel est le rapport entre k et k* ?
- k* est l'ensemble des opérations g ↦ kgk-1 pour chaque g. Et là nous inversons la perspective :
- C'est un peu tordu, non ?
- Oui et non. Nous déconstruisons ici des processus intellectuels qui nous paraissent simples parce que familiers. Les automatismes sous-jacents nous paraissent fastidieux parce que répétitifs. pense à une photo : il est simple pour un humain de repérer un arbre, mais se serait bien plus fastidieux de lire son encodage digital, utilisé par l'appareil restituant l'image sur un écran. Ici la répétition porte sur la "propriété universelle".
Ceci dit, k* est évidemment un automorphisme (k et g sont deux expressions pour "éléments" de G).
c/ Moreover, the correspondence k→k* is itself a homomorphism G→Aut G — trivial if G is abelian.
- Je ne comprends pas trop l'expression k→k* ?
- La flèche → indique qu'il s'agit d'une application d'un ensemble sur un autre, en l'occurrence {k} comme singleton, sur l'ensemble des applications {k*}. Explicitement l'ensemble des opérations g↦kgk-1 pour chaque g. Cela revient à ce que j'avais anticipé en b/ : k est ici définit par l'ensemble des g∈G.
- Quel est l'intérêt d'écrire G→Aut G ?
- Cette relation exprime au final que G est définissable par une action de G sur lui-même. Les éléments de G sont des actions de G→G, et tu ne sors pas de là....
- Mouais, attention à la fermeture du langage sur lui-même...
- Les définitions restent un choix de l'auteur, c'est lui qui définit la conjugaison g ↦ kgk-1. Mais poursuivons, je pense que tout ceci se clarifiera au fil du texte.
d/ For a transformation group G, conjugation by k has "geometric" meaning; for instance (§III.9), it carries the subgroup fixing one point x isomorphically onto the subgroup fixing the point k(x); cf. (III.9.3) and (III.9.4).
- Je me suis reporté au §III.9, pour relire mes notes de l'époque. Mes commentaires indiquent que j'étais alors plutôt intéressé par l'aspect topologique/ géométrique de l'action d'un groupe qu'à son expression algébrique. Comme tu le sais, j'ai besoin de me représenter les concepts par des images pour m'en imprégner.
Tu apprécieras l'idée que le groupe de rotations Fx "fixe" le point x, ce qui au sens le plus visuel du terme renvoie bien à l'idée que l'objet est identifié par sa conservation lorsque le Sujet le manipule (ou, du point de vue de l'objet, lorsque le Sujet tourne autour de lui) (cf. ε).
Remarque également comment la rotation se définit par rapport à la translation et réciproquement...
Maintenant, on en vient à la définition essentielle de sous-groupes "normaux" ou distingués.
"Any homomorphism maps subgroups to subgroups. A subgroup N of a group G is called a normal subgroup if and only if it is mapped onto itself by every inner automorphism k* of G; that is, if and only if n ∈ N and k ∈ G imply knk-1 ∈ N.
For any homomorphism t: G→H, the image is the subset (subgroup) of all elements t(g) for g ∈ G and the kernel K is the set of all those n ∈ G with t(n) = 1 in H.
One proves readily that the kernel K is always a normal subgroup of G.
Moreover every normal sub group N is the kernel of an epimorphism.
This basic result we state in the correct (but not customary) conceptual form, as in our book Algebra:
a/ Any homomorphism maps subgroups to subgroups.
C'est immédiat : l'homéomorphisme est une bijection qui préserve la structure de groupe. (Note 7)
b/ A subgroup N of a group G is called a normal subgroup if and only if it is mapped onto itself by every inner automorphism k* of G; that is, if and only if n ∈ N and k ∈ G imply knk-1 ∈ N.
C'est ici peut-être que se cristallise le changement de point de vue ♧/♢ du Sujet qui définit l'objet N en le "détachant" de son environnement G : le Sujet 𓁝 se place successivement en chaque point k de G pour "tourner autour" (i.e.: knk-1) de chaque élément n∈N. Si n reste en N (knk-1 ∈ N), alors N est stable.
Tu remarqueras que cette définition n'implique pas que chaque élément n se retrouve en n, il peut y avoir du mouvement dans N, comme un mouvement brownien dans un verre d'eau : le liquide se conserve pour qui utilise le verre.
Le "détachement" de N est complet s'il est réalisé par "tous" les automorphismes k* de G. Nous retrouvons ici la propriété universelle mise à contribution.
c/ For any homomorphism t: G→H, the image is the subset (subgroup) of all elements t(g) for g ∈ G and the kernel K is the set of all those n ∈ G with t(n) = 1 in H.
Nous avons vu en détail ce point hier (cf. ζ ci-dessus).
- Ça me paraît aussi tordu aujourd'hui qu'hier ! J'ai toujours l'impression d'une diaphonie entre "fonction" et "structure".
- Parce que tu n'arrives pas à te détacher d'une expression cantonnée au mode ♧. Ici, en mode ♢, les "objets" de ton attention, ceux de ton discours, sont des applications.
Que l'image de tG en H soit un sous-groupe de H découle de la définition d'un homéomorphisme (qui préserve les structures).
- Mais Mac Lane s'intéresse plutôt au kernel, pourquoi ?
- Attends la suite.
d/ One proves readily that the kernel K is always a normal subgroup of G.
Moreover every normal sub group N is the kernel of an epimorphism.
This basic result we state in the correct (but not customary) conceptual form, as in our book Algebra:
- Là nous sommes au coeur du travail de Sanders Mac lane, et je vais y aller façon bourrin :
- Comme démarche de bourrin, nous sommes servis !
- Ça ne me satisfait pas plus que toi : à suivre chaque détail, on perd l'essence même du discours.
Derrière tout ceci, il y a l'idée de passer par le noyau (ou Kernel) d'une application t : G→H pour définir des sous-groupes dans le domaine G de cette application. Et tu vois dans cette façon de procéder qu'au lieu de te focaliser sur l'objet G lui-même pour le décortiquer en éléments constitutifs, plus simples, mais foisonnants, indéterminés , comme en mode ♧, ici, tu le définis en mode ♢ à partir de ses relations avec un objet plus restreint H, donc plus simple.
- Autrement dit, c'est comme définir des patates de n'être ni des carottes ni des courgettes dans un ensemble de légumes ?
- Il y a un peu de ça... Cela peut paraître tordu, mais reviens ne serait-ce qu'un instant aux affres d'une pensée non catégorique (voir "Retour à Foucault #5") où, pour définir ce qu'est un cheval, un encyclopédiste parlera de son anatomie, de son dressage, de sa sellerie, de son utilisation militaire, de sa représentation héraldique, du métier de maréchal ferrant etc.
- Bref, J'ai bien compris en te suivant hier, que nous sommes ici à l'orée d'une nouvelle ère, mais encore ?
(π)- Nous en arrivons à l'utilisation de la propriété universelle :
Theorem. For any normal subgroup N of G there is a group H and an epimorphism t: G → H with kernel exactly N. Ifs: G → L is any group homomorphism with kernel containing N, there is a unique homomorphism s' : H→L with composite s'·t = s, as in the commutative diagram" p. 137
/image%2F0964014%2F20230505%2Fob_fc5f9e_capture-d-ecran-2023-05-05-a-11-35.png)
Nous venons à peine de voir que le noyau d'une application t est un sous-groupe distingués de G, pour repartir de cette partition de G et construire des applications s : G→L.
One says that s' is induced by s. The group H may be constructed explicitly, for example by taking as its elements t(g) the sets gN of all multiples gn of g by an element n ∈ N. Such a set gN is called a coset, as in §III.9; observe that g and gm for m in N give the same coset. To make the set H of all cosets into a group, their product is defined by (g1N)(g2N) = (g1g2)N. Then g ↦ gN is an epimorphism to the group of cosets, and it follows that any s as stated does factor uniquely through t, as in the commutative diagram (1). Because of this factorization, one says that t is universal among the homomorphisms from G with kernel containing N.
Le 11/ 05/ 2023
- J'ai passé trois jours à ruminer ce théorème sans arriver pleinement à en sentir l'évidence.
- Heureusement que tu n'es pas payé au rendement ! Il n'y a pourtant rien de difficile à comprendre.
- Entendons-nous, nous ne sommes pas ici pour faire des maths en appliquant des recettes de cuisine, mais pour comprendre le mécanisme intime qui a poussé quelqu'un à pondre un tel théorème.
- Pars des exemples cités par l'auteur, de Z/(n) par exemple :
"A very simple example is the subgroup (n) of all multiples of an integer n in the additive group Z; the factor group is the additive group Z/(n) of congruence classes modulo n, because these congruent classes are exactly the (additive) cosets of (n)."
Un nombre "modulo n" ça te parle quand même, non ?
- Oui, je pense tout de suite à une montre avec des heures de 60 mn.
- Et bien pars de là et tire sur ce bout de ficelle.
- Je veux bien, mais ce qu'il en dit n'est pas intuitif : moi j'ai appris qu'une heure compte 60 minutes, quant il prend la définition à l'envers, en disant par exemple que la onzième minute se répète toutes les heures.
- Il est précisément là le changement de perspective, dans le passage du mode "objectif" ♧ au mode relationnel ♢. Tu résonnes encore en pensant à l'objet "heure" comme composé d'éléments "minutes", dans la posture [⚤]𓁜♧. Essaie de retrouver la posture correcte en mode ♢, à partir de tout ce que tu viens de nous en dire ces derniers jours. Il est compréhensible que cette posture ne te soit pas encore "naturelle" puisqu'elle se dégage progressivement de tes lectures et réflexions. Laisse le temps à tes petites cellules grises de s'y adapter au fur et à mesure qui tu en prends conscience, comme un gosse à l'école, sauf que tes neurones sont bien moins souples à ton âge. Tu as de l'arthrite cérébrale, mon pauvre vieux.
- Bon, d'accord, faisons l'exercice à partir de ce décompte du temps en heures et minutes en [⚤]𓁜♧.
| 𓁝[⚤] | 𓂀♢ | |
| ↑ | ||
| [⚤]𓁜 | 𓂀♧ |
1/ Il y a déjà la nécessité de changer de posture 𓁜⏩𓁝. Dès que tu as compris ça, il est immédiat qu'il ne faut plus définir l'heure comme composée de minutes, mais partir du constituant, les minutes 𓁝[⚤], avec la perte du contexte globale, les heures.
2/ Ensuite, il y a une syntaxe à respecter, qui s'exprime en [⚤]𓁜♡:
| [⚤]𓁜 | 𓂀♡ | |
| ↓ | ||
| 𓁝[⚤] | 𓂀♢ |
Les maîtres mots de cette syntaxe sont "symétrie" et "propriété universelle".
- OK, maintenant reviens au texte.
- Il faut définir G comme composé d'heures et de minutes. On comprend assez bien que l'action d'ajouter une minute (soit g2 : n→n+1) soit normale à l'action d'ajouter une heure (soit g1 : h→h+1), car on a ici g1.g2.g1-1=g2. Et tu vois tout de suite le changement de point de vu : une heure n'est plus vue comme "composée de 60 minutes" mais comme une action orthogonale au décompte des minutes. Sur une montre cette différence se voit dans la représentation du temps (irréversible en [⚤]𓁜♧), qui passe par les mouvement de deux aiguilles distinctes (réversible en [⚤]𓁜♢).
- On peut construire G (h,mn) avec h∈ℤ et mn∈[0;60[
- Et non, c'est là où je me fourvoyais ces derniers temps. C'est là qu'il faut bien coller à la posture initiale 𓁝[⚤]♢. De là, tu ne vois pas ce qui te définit; comme dans la posture 𓁝[∅]. (Note 8)
- Sauf que nous nous intéressons à des processus, dont nous pouvons dire au minimum qu'ils se décomposent en étapes dénombrables et réversibles.
- C'est pourquoi, vu de n'importe que point de G, l'horizon maximum de chaque élément est ℤ (Note 9); et en particulier, pour les éléments du sous-groupe N.
Maintenant, on peut considérer que l'application t: G→H dans laquelle chaque action élémentaire applique N sur l'élément neutre 1H de H, me permet d'avoir une définition, globale cette fois-ci [⚤]𓁜♢ de N : c'est le Ker(t).
- Si je comprends bien le processus en question :
- OK, tu as G, N, H et t, mais à quoi sert L ?
- La propriété universelle, mon bon ami, l'universalité est la clef de voûte de notre syntaxe ♡.
Lorsque j'écris (𓁝[⚤]𓁜♢⏩𓁝[⚤]𓁜♢)⇅𓂀♧, tu te rends bien compte que le mode ♧ du récit ne colle pas au mode ♢ en question, car je ne rends compte que du point de vue d'un seul Sujet.
- Tu le balades cependant d'un élément de G à un autre, non ?
- Ce n'est pas suffisant. Considère que 𓁝𓁜 est la représentation de l'auteur 𓂀 se mettant en scène, sans qu'il explicite son propre environnement. C'est pour effacer ce particularisme que l'impératif catégorique♡, si je puis dire, s'applique à l'auteur 𓂀 lui-même, ou tout au moins à tout ce qu'il lui est possible d'envisager, d'où ce L introduit comme "tiers". La "contextualisation" de N s'exprimant par s : G→L où N est inclus dans Ker(s).
Je crois que cette fois-ci j'ai enfin compris l'esprit de la démarche.
"The explicit description of the elements of H as cosets is irrelevant, since the group H is uniquely determined (up to an isomorphism) by its universal property —for any other homomorphism s: G→H' with the same universal property, the diagram (I) produces an isomorphism s' : H≅H'. This group H, constructed by cosets or otherwise, is called the factor group (quotient group) G/N.
Such examples, plus others from Galois theory (§7), led to the general construction —and manipulation— of factor groups. Contrary to common custom, they are not best understood in terms of cosets." p. 137
Tu remarqueras que la définition de H n'est pas univoque : la seule chose qu'on lui demande, c'est de nous offrir un espace pour avoir un point de vue global de N comme noyau d'une application.
Le 17/ 05/ 2023
- J'ai toujours autant de difficulté à affronter cette pierre d'achoppement qu'est pour moi la théorie de Galois. Aussi ai-je papillonné autour du texte de Mac Lane quelque temps, comme un chien autour d'un chat. Et puis, j'ai revu quelques vidéos du cours de Wildberger, qui m'avait paru si clair à l'époque.
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- À quoi cela t'a-t-il servi ?
- À mieux prendre conscience du retournement de perspective entre les modes ♧ & ♢. Je vais tenter de préciser ce retournement à partir d'un exemple élémentaire : soit P : X → B où X est un recouvrement sur le cercle S1=B.
Et c'est cette torsion que j'ai encore du mal à faire naturellement : un objet X plus grand que B est déterminé par une structure plus restreinte, comprise dans celle de B ...
- Et donc, Évariste Galois serait à l'origine de ce changement de perspective ?
- Oui, je le "sais" pour l'avoir lu et relu des dizaines de fois, mais je reste encore incapable d'en sentir l'évidence. Il me manque un déclic, avant de pousser le eurêka salvateur. A preuve : en me relisant, j'ai encore corrigé la phrase fautive "la structure de X" qui m'est venue spontanément, alors qu'il faut parler de "la structure de π(X)", qui est relative à une circulation, un mouvement, le long de X.
- OK, maintenant que tu as mieux cerné tes propres manques, soit plus attentif et avance !
Le 18/ 05/ 2023
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- Comme décidément ce passage de Mac Lane ne passe pas, je me suis rabattu sur une vidéo d'introduction à la théorie de Galois par Wildberger à l'adresse de ses débutants. En suivant son exemple de l'équation quadratique, il est beaucoup plus facile de suivre le raisonnement.
- Et qu'en as-tu tiré ?
- Encore une fois je ne comprends qu'après coup, les implications de ce que j'écris.
- Tu te prends pour le poète de Lacan, qui dit fort bien ce qu'il ne sais pas ?
- Il y a de ça : ma représentation de l'Imaginaire détermine une syntaxe qui formate ma parole, comme l'écriture en alexandrins ou les règles d'unité de temps de lieu et d'action contraignaient les dramaturges classiques.
- En l'occurrence ?
- Il faut prendre au sérieux ce tableau (cf. μ et Note 04/05) et comprendre véritablement les automatismes de répétition à partir de ⊂ et ⊥ mis en jeu aux niveaux [#], en élargissant notre flexion au mode syntaxique ♡.
| choix | symétrie | [#]♡ | 𓂀♡ | |
| groupe | ⊂ / [#]♢ | 𓂀♢ | ||
| champ | ⊥ / [#]♧ | 𓂀♧ | ||
| conservation | symétrie | [#]♡ | 𓂀♡ |
Fondamentalement, en quoi consiste la recherche des racines algébriques d'un polynôme P de degré n ?
- Si tu prends par exemple le polynôme P= ax2+bx+c , il s'agit de trouver les racines x1 et x2 telles que (x-x1)(x-x2)=0. Le théorème fondamentale de l'algèbre nous apprend que ces racines existent dans ℂ, et nous cherchons à les définir en termes d'expressions rationnelles utilisant les opérations +, -, x, /, opérant sur ℚ.
- Je te propose d'aborder la question d'un autre point de vue. Il s'agit d'identifier un objet (x1, x2,... , xn) composé de n éléments. sur une toile de fond qui, nous le savons déjà, est ℂ. Cet objet est déterminé par les coefficients (a, b, c...) du polynôme P. Le début de notre recherche part donc de ℚ(a, b, c...) ou Q0.
1/ En mode ♧. Dans un premier temps, nous sommes dans l'ignorance dudit objet, notre situation est la suivante : ([⚤]𓁝⇅𓁜[#])𓂀♧.
2/ Pour "déterminer" quelque caractéristique de l'objet :
Pour fixer les idées, prends simplement "i" comme extension de ℝ défini par i2=-1 en mode objectif ♧ : (Note 10)
=> La répétition de l'opération ⊥ conduit à adjoindre des extensions Galoisiennes Ek au corps de départ n'utilisant que les coefficients du polynôme P.
3/ En mode ♢ :
=> La répétition portant sur l'inclusion ⊂ répond à un principe de symétrie [#]♡. (sous-groupes distingués)
4/ Correspondance ♢/♧ :
Au point de départ du processus, nous avons la situation suivante :
| Groupe | ⊂ / [#]♢ | G0=Sn | 𓂀♢ | |
| ↓↑ | ||||
| Champ | ⊥ / [#]♧ | Q0⊂ℂ | 𓂀♧ |
Ensuite, à chaque itération, nous avons une extension Qi de Q0, correspondant à une restriction de G :
| Groupe | ⊂ / [#]♢ | G0⊂G1⊂...⊂e | 𓂀♢ | |
| ⇅ | ⇅ ⇅ ... ⇅ | |||
| Champ | ⊥ / [#]♧ | Q0⊥E1⊥...⊥En | 𓂀♧ |
Le processus s'arrête (s'il est possible) lorsque les racines peuvent s'exprimer complètement dans l'espace Q0⊥E1⊥...⊥En.
Concrètement, l'objet (x1, x2,... , xn) est pleinement identifiable dans un espace Q0⊥E1⊥...⊥En., lorsque il se "dégage" d'un ensemble de symétries portant sur ses éléments. C'est comme s'il "émergeait" de son environnement pour être "vu" et identifié. C'est un processus que nous retrouverons avec les groupes d'homologie.
- OK, maintenant, est-ce que tu te sens près à confronter cette construction avec ce qu'écrit Mac lane, car le but final, c'est quand même de chausser ses lunettes pour comprendre ce qu'apporte la théorie des catégories !
Le 19/ 05/ 2023
7/ Galois Theory
- Après tout le temps passer à ruminer ce texte, son introduction prend toute sa force :
"Symmetry and its formalization by transformation groups arises not only in geometric situations, but also in purely algebraic cases." p. 138
Il s'agit bien fondamentalement de transcrire en mode ♢ une exigence de symétrie d'ordre syntaxique en mode ♡.
- Il y a cependant un petit bémol : Mac Lane parle de ramener cette exigence géométrique (que tu places au niveau [#] avec l'hypothèse du continu) à l'algèbre, que tu places au niveau [⚤], celui du discret.
- C'est toute l'ambition de la topologie algébrique..
- En quel sens ?
- Le théorème fondamental de l'algèbre, à savoir que tout polynôme P(x) peut s'écrire sous la forme P=(x-x1)(x-x2)...(x-xn) où x1, x2,... xn sont ses racines, utilise dans ses diverses démonstrations l'hypothèse du continu. Donc, du côté de la représentation du Polynôme sur un espace ℂ, nous sommes dans le continu, en [#]♧.
Cependant, la structure de groupe entre les racines s'exprime en termes discontinus, dans la limite de ℤ, exprimable en [⚤]♢.
- Mais dans ce que tu as vu hier, n'as-tu pas exprimé la construction itérative utilisée par Galois, en termes d'inclusion ⊂, que tu avais déjà placé comme mode de répétition en [#]♢ ?
- Oui, il y a une un enchaînement, que la théorie des catégories devrait nous aider à détricoter. A priori, mais il faudra le confirmer :
- OK, et si nous revenions au texte ?
- On retrouve immédiatement ce lien discret — [⚤] / [#] — continu défini en termes de symétrie :
"Symmetry and its formalization by transformation groups arises not only in geometric situations, but also in purely algebraic cases. We have already noted a first example, in the operation ℂ→ℂ of conjugation x+iy⟼x-iy for complex numbers. This operation interchanges the two complex cube roots ω and ω2 of 1. Conjugation leaves only the real numbers fixed, and can be viewed geometrically as a reflection of the complex plane in the real axis."p. 138
- C'est noté, mais avance !
- Donc, après avoir rappelé le théorème fondamental de l'algèbre (cf. les racines d'un polynôme de P doivent appartenir à ℂ), il introduit la question de la résolution algébrique d'une équation de degré 5. En résumé :
"The Galois theory will reveal why there can be no corresponding formulas valid for the roots of all polynomials f of degree 5 — or higher. To begin with, shift attention from the n roots α1 ,..., αn to the set of all complex numbers which can be obtained by rational operations (addition, subtraction, multiplication, and division) from these roots and the elements of the given field F. All these numbers constitute a subfield :
N=F(α1,....,αn) ⊃ F (Note 13)
of the field of complex numbers. It is called a splitting field for the polynomial f over the base field F, because it is a smallest field containing F in which the polynomial f splits into linear factors. In fact, forgetting the complex numbers) this property determines the field F(α1,....,αn) up to an isomorphism leaving the elements of F all fixed. In the case of the polynomial x2+1 over ℝ, this is just the field ℂ of complex numbers.
Lorsque Mac Lane a parlé d'une "symétrie géométrique de ℂ autour de ℝ", j'avais pensé "replier une feuille de papier autour de l'axe ℝ", autrement dit, à une action globale sur ℂ : [#]𓁜, alors que la symétrie ne porte que sur les éléments entre parenthèse F(α1,....,αn) et l'action est locale : 𓁝[#]. J'avoue que cela m'a passablement embrouillé l'esprit. (Note 12)
- Ne viens-tu pas de dire que la démarche se situe en [⚤]𓁝⇅𓁜[#]♢ ?
- Oui, effectivement, preuve s'il en était besoin qu'il est très difficile de se libérer de ses préjugés pour être à l'écoute du texte ! Par ailleurs, j'ai longtemps cafouillé sur la lecture correcte de N=F(α1,....,αn) ⊃ F (Note 13) faute du terme Français dans le texte, plus familière à mes neurones : N est une extension Galoisienne.
Le 22/ 05/ 2023
- J'ai passé la matinée à refondre mon texte sur cette théorie de Galois, ce qui m'a amené à écrire les notes 11, 12 & 13, et faire appel à ChatApp pour venir à bout de ce que je considère, rétrospectivement, comme mes propres résistances face à un texte somme toute limpide. J'ai mis en Note 14 l'auto-analyse à vif de cette prise de conscience que la difficulté tenait à moi et non au texte...
- OK, et maintenant que tu as passé ce cap, si nous continuions ?
- Suivons le Lapin blanc dans sa tanière :
"Now consider the symmetries of the splitting field N relative to F. A symmetry is by definition a transformation t: N→N which is an automorphism of fields (i.e., a bijection which preserves sums and products) and which leaves fixed all the elements of the base field F. All such symmetries constitute a transformation group G, the Galois group of the splitting field N — and of the polynomial f — over the base field F. Since each symmetry t leaves all the coefficients of f fixed, it must carry any root a of f(x)=0 into another root of this polynomial. Hence such a symmetry αi , . . . , αn of f; since N is generated by these roots, the symmetry is determined by the permutation, so that G is isomorphic to a subgroup of the symmetric group Sn. This means in particular that the Galois group G is finite. It can be described either as a group of automorphisms of N or as a group of permutations of the roots." p. 139
Le texte est simple : il s'agit de construire des automorphismes t permutant les extensions successives de F, tout en faisant inchangés les éléments initiaux de F. Le processus étant itératif, la première extension avec une élément F(√ω1) implique une symétrie autour de ℝ, la suivante F(√ω1; ∛ω2) une symétrie d'ordre 3, etc...
- Peux-tu préciser les postures du Sujet ?
- Tout tourne autour du concept de "symétrie".
1/ Mac Lane commence par "A symmetry is by definition a transformation t: N→N which is an automorphism of fields (i.e., a bijection which preserves sums and products) and which leaves fixed all the elements of the base field F. " L'important tient au fait qu'une action sur un élément du groupe, renvoie à un autre élément du groupe. Il s'agit ici de la similitude des abeilles dont parle Socrate dans le Ménon, qui sont toutes semblables au regard de leur commune identification par l'étiquette "abeille".
- Tu en as déjà parlé : c'est l'expression en [⚤]♢, d'un désir de symétrie en [⚤]♡, qui exprime par le quantificateur universel (i.e.: ∀g∈G...) une propriété universelle, en l'occurrence la commune appartenance des éléments g à un ensemble G. L'automatisme de répétition portant sur l'appartenance (i.e.: ∀g∈G...).
- Sauf que le regard de Mac Lane porte sur les mouvements de N→N.
- Mouvements, qui pris comme éléments d'un ensemble, présentent eux-même une structure de groupe...
- Exactement :
2/ Nous nous intéressons donc aux relations → (en [⚤]♢𓁜), qui, à chaque extension de N consistent à permuter les racines de l'élément de la nouvelle extension de F. Cet groupe de permutation est Sn+1, où n est la énième itération du processus. (i.e. : le 1er pas est par exemple x2+1, avec une permutation entre -i et +i, isomorphe à S2)
3/ Maintenant, en remontant au corps de décomposition (splitting field) en [#]♢𓁜, la symétrie peut avoir une représentation purement géométrique. Dans un plan Euclidien (x;y) représentant le corps ℂ. L'indifférence des racines αi au regard de leur commune appartenance à l'ensemble des racines se traduit par une symétrie autour de l'origine. Pour rendre ceci plus visuel, nous aurions :
| Automorphismes Sn |
[⚤]♢ | ⇆ | [#]♢ | N=F(α1,....,αn) ⊃ F :𓁜 𓁝 : α1,....,αn |
𓂀♢ |
| ⇅ | |||||
| [⚤]♧ | [#]♧ | Symétrie | 𓂀♧ |
- En fait, tu te sers de ta représentation comme un aveugle d'une canne blanche, pour arriver à comprendre, très laborieusement ce que Mac Lane présente comme évident...
- J'ai esprit lent et borné, je ne le sais que trop bien !
- Et le niveau [⚤]♧? Tu le laisses de côté ?
- Il est dans l'idée d'un processus itératif, comme dans la narration qu'en fait l'auteur (...)⇅𓂀♧. Mais le point auquel je n'avais peut-être pas suffisamment prêté attention, est que la symétrie, visible géométriquement en en [#]♧ se traduit par une double expression en [⚤]♢.
La suite :
"Linear algebra provides a more specific measure of the size of the Galois group. If we neglect multiplication in the splitting field, then addition, plus multiplication by elements of F, still make N a vector space over the field F — and the dimension of this vector space is equal to the order of the Galois group. For algebraic reasons, this dimension is called the degree [N:F] of N over F. (This is a striking simple case of the use of geometric dimensions in algebra.)." p. 139
Le 23/ 05/ 2023
- Le texte m'apparaît clairement ce matin, comme si mes yeux s'étaient décillés.
- Efface tout ce que tu as écrit des jours-ci , et avance. enfin !
- C'est très simple, il suffit de se reporter à l'idée qu'un sous-groupe peut être vu comme le Kernel (ou le noyau) d'une application (cf. π). À chaque étape de la construction de N, la fonction f peut être vue comme une application f : N→F, dans laquelle f(αi)↦0, et donc les αi qui sont dans le Kernel de f, ont une structure de groupe. CQFD.
- Mac Lana parle d'espace vectoriel...
- C'est ce qui m'a perturbé. À mon sens, il prépare le terrain pour aborder la topologie, mais je n'arrive pas à visualiser correctement cet espace vectoriel pour l'instant.
- Si ce bouquin est un bon roman policier, l'auteur a du laisser des indices pour nous raccrocher aux branches. Reviens au 30/ 04 :
"If one visualizes the sets X and Y as "spaces" of some sort, then the cartesian product XxY is a "space" (in Figure 1 a cylinder) and the function S is a subset of the product which meets each "vertical" subspace {x} x Y in exactly one point. Thus S is a curve in this product space. In view of such examples, the set S of ordered pairs is often called the graph of the function though in our definition, the function is this graph." p.129
Il faut modifier ta perspective pour arriver à voir quelque chose..
- Essayons :
Et donc, les racines, qui formaient le Kernel de f dans ma première interprétation, sont ici les points (αi;0).
- Il va falloir que je m'habitue à cette gymnastique. Mais est-ce la bonne interprétation ? Reviens au texte.
"For example, the easy equation x3-5=0 over the rationals has three roots: ∛5, ω∛5, and ω2∛5, where the first root is the real one, while ω is a complex cube root of unity. The whole splitting field over ℚ then can be built up in two steps from ℚ — first the real root, then the others as
ℚ ⊂ ℚ(∛5) ⊂ ℚ(∛5,ω∛5,ω2∛5) = N = ℚ(∛5,ω)
It has degree 6 over ℚ and has a subfield of degree 3 over ℚ, as well as another subfield ℚ(ω) of degree 2." p. 139
Je me mélange les pinceaux avec la représentation que je me fais des 3 racines sur ℂ, quand ici, Mac Lane nous parle de ℚ.
- Oui, l'image des racines dans ℂ, ou plutôt sur un espace 2D, est de niveau [#]♧, mais ici, nous sommes ici en mode ♢, et nos objets sont des fonctions. Fait l'effort de te représenter ℚ comme l'espace d'arrivée :
- Autrement dit, les différentes "droites" constituant N sont orthogonales entre elles et comme la répétition s'exprime ici par une orthogonalité, nous sommes bien en [#]♢. Ouf ! Mais comment expliques-tu le degré 6 de N sur ℚ ?
- C'est immédiat :
- Mais pourquoi ℚ(∛5,ω), et cette dernière phrase "... a subfield of degree 3 over ℚ, as well as another subfield ℚ(ω) of degree 2." ?
- Je te propose ceci :
- Et ℚ(ω) de degré 2 ?
- N'oublie pas que nous sommes en [#]♢, où notre construction est topologique, et non géométrique. De ce point de vue le plan ℚ(ω), est, topologiquement, plongé dans ℂ avec :
Et donc, tu as bien un sous-espace de dimension 2. N'oublie pas que par le théorème fondamental de d'Alembert, les racines de f sont représentables dans ℂ, c'est ce que nous retrouvons ici.
- Ça me paraît bien compliqué !
- Mac Lane nous prépare à un point de vu catégorique, où une fonction f: X→Y est vue comme sous-ensemble de paires (x, y) d'un espace XxY.
Soit, et si tu avançais ?
"For any polynomial equation f(x)=0 over F any solution of the equation by "radicals" (roots of equations xP - a, say with p a prime) is found to involve a process of building up the splitting field N by stages, with intermediate fields K. Here enters the fundamental theorem of Galois theory, which establishes a bijection between the intermediate fields K, with N⊃K⊃F, and the subgroups S of the Galois group G.
Each intermediate field K determines a subgroup, call it K# :
K# = {all t∈G ∣ for all b in K, tb=b}
Each subgroup S of G determines an intermediate field, call it Sb
Sb = {all b∈N ∣ for all s in S, sb=b}
A subtile argument (Algebra or Survey) then shows that these two assignments K↦K# and S↦Sb are mutually inverse functions and so provide the asserted bijection from intermediate fields to subgroups.
In this bijection, the whole field N is left fixed only by the identity auto morphism, so N# = I is the one element subgroup of the Galois group G. We may then picture the correspondence briefly as follows.
| 1b = N | <=> | 1 = N# |
| ⋃ | ⋂ | |
| Sb = K | <=> | S = K# = Gal(N:K) |
| ⋃ | ⋂ | |
| Gb = F | <=> | G = F# = Gal(N:F) |
Note that a larger subgroup S will leave fewer elements b fixed, so corresponds to a smaller subfield, hence the subgroups appear "upside down" in the diagram. Also the subgroup K# = S consists of all the automorphisms of N which leave K pointwise fixed; it is just the Galois group of N over K, as indicated in the figure. Also one can prove that S = K# is a normal subgroup of G if and only if K is itself a splitting field over F; in this case the factor group G I S is exactly the Galois group of K over F. Factor groups here enter essentially." p. 140
Le 24/ 05/ 2023 :
- Nous retrouvons ce que tu avais présenté il y a une semaine en introduction (cf. 4/).
- Oui, mais ici la formulation est plus stricte, et je veux vérifier que j'ai vraiment compris cette démarche car elle révèle beaucoup sur notre façon de penser.
- À ce point ?
- L'impossibilité de calculer les racines d'un polynôme à partir d'une démarche récurrence, où chaque étape permet d'approcher du but, est un exemple de l'impossibilité d'une démarche purement immanence, ce que j'ai noté S↑.
Avant même le changement d'objet initial [1] par [∅] qu'impose la théorie des catégories, la révolution Galoisienne pointait déjà, vers le milieu du XIXe siècle, l'insuffisance du Platonisme.
- J'ai bien compris l'importance du moment, mais si tu t'attaquais au texte ?
- Pour mieux l'appréhender, il faut d'abord faire un peu de gymnastique pour assouplir mes neurones, en situant ce texte dans mon schéma de l'Imaginaire.
En ce sens, ce tableau exprime 2 discours concomitants de l'auteur : (Note 15)
Et le constat que je fais là, m'oblige à un recul en mode ♡, soit (...)⇅𓂀♡ pour faire le lien entre les deux.
(ψ)Je te propose ce schéma d'ensemble pour contextualiser celui de Mac Lane :
| ⇅𓂀♡ | ||||||
| [⚤]♢ | 𓁝⇆𓁜 | [#]♢ | [♲]𓁜♢ | |||
| N# = 1 | <=> | N = 1b | [⚤]♢↓[⚤]♧ | |||
| ↑ | ⋂ | ⋃ | ⋂⇆⋃ | (⋂⇆⋃)↓(↑) | ||
| Gal(N:K)=K# = S | <=> | K = Sb | Brisure de symétrie | |||
| ↑ | ⋂ | ⋃ | ||||
| Gal(N:F) = F# = G | <=> | F = Gb | ||||
| [⚤]𓁜♧ | ||||||
- Soit du contexte, maintenant reviens au texte : es-tu sûr de l'avoir correctement assimilé, jusqu'à en sentir l'évidence ?
- Comme toujours, la difficulté, pour moi, tient à la lecture des formules, c'est pour cela que je pense être quelque peu dyslexique.
Ceci remis en place, la représentation de Mac Lane, nécessitant plusieurs niveaux de lecture, me semble plus accessible, sinon évidente.
Ensuite, Mac Lane passe en revue quelques conséquence de cette construction, et en particulier l'unicité de la procédure :
"There can be many different such composition series, but the Jordan-Holder theorem (with a perspicuous proof, Algebra, p. 430) asserts that any two such series for a finite group G have the same length of m and, up to order and isomorphism, the same set of factor groups called the composition factors of G:
G/G1; G1/G2,..... Gm/Gm-1
A group is said to be solvable when these factors are all cyclic groups." p. 141
Pour en venir aux polynômes de degré 5 :
"The most general equation of 5th degree will have as Galois group the whole symmetric group S5. A composition series for this group reads
S5⊃A5⊃1,
where A5 is the alternating group of all even permutations; the quotient group S5/A5 is cyclic of order 2, and the alternating subgroup A5 can be shown, by direct calculation, to be a simple group. This is the group theoretic reason for the insolvability of the quintic equation by radicals." p. 141
Autrement dit, il manque une marche permettant de faire l'intermédiaire entre les expressions de degré 2 et celles de degré 5 des racines du polynôme.
Ceci dit la conclusion de Mac Lane tempère ma frustration de ne pas ressentir cette démarche comme intuitive :
"The Galois theory is an example of a piece of Mathematics which is deep but not difficult. Originally, however, it was obscure; it was not understood by the contemporaries of Galois, and some expositions published as late as 1925 were wholly confusing. It became really perspicuous only when the advent of modern abstract methods in algebra, in the hands of Richard Dedekind, Emmy Noether, B. L. van der Warden, and Emil Artin, yielded the present elegant and conceptual proofs of the basic theorem of Galois theory (see for example, Artin [1949] or the treatments in Survey [1977] or in Algebra, second edition; [1979]). A text by Kaplan sky [ 1 972] provides a wealth of examples." p.142
Le 28/ 05/ 2023
8/ Constructions of Groups
- Je passe rapidement sur les sous-groupes de Silow, que l'on peut associer au théorème de Lagrange, selon lequel pour tout sous-groupe H d'un groupe G, l'ordre (ou le cardinal) de H divise celui de G, pour arriver à ce qui préfigure la théorie des catégories.
"New groups may be constructed, in various ways, from given groups. If A and G are given groups, their (direct) product AxG consists of the ordered pairs (a,g) of elements a∈A and g∈G with termwise multiplication, as in
(a,g)(b,h) = (ab,gh). (1)
The functions (a,g)↦a and (a,g)↦g provide two homomorphisms π1: AxG↦A and π2: AxG↦G called projections. Given any homomorphisms t1 : H→A and t2 : H→G from a group H to the factors A and G, there is a unique homomorphism s : H→AxG which produces tl and t2, by composition with the projections, as tl = π1°s and t2 = π2°s. This is expressed by the (commutative) diagram of group homomorphisms
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This property of the projections characterizes the product AxG, up to isomorphism; one says that π1 and π2 are a "universal" pair of morphisms to the pair (A,G) of groups. " p. 143
Tout ceci est très riche de conséquences mathématiques, mais je force l'allure, pour centrer notre propos, qui est d'identifier les mouvement du Sujet dans son Imaginaire, et donc je saute à :
"The direct product AxG contains isomorphic copies Ax1 and 1xG or the given factors A and G; each is a normal subgroup of AxG and each element (a,1) or the first factor commutes with every element (1,g) of the second.
This is not the case with the free product A*G. Its elements are all the possible words a1g1a2g2.....angn which are formal products of elements ai∈A and gi∈G, with each ai (except possibly for a1) and each go (except possibly fo gn) ≠1. Two such words are multiplied by juxtaposition and subsequent cancellation (when possible); thus ag multiplied by g-1bg1 becomes agg-1bg1=(ab)g, where ab is the given product in factor A. With some care, one may prove that this multiplication is indeed associative, and that a↦a.1 and g↦1.g are monomorphism k1 : A→A*G and k2 : G→A*G which enjoy the following "universal" property : To any morphism t1 : A→H and t2 : G→H into an arbitrary group H there is exactly one morphism s : A*G→H which yields t1 and t2 as the composites t1=s.k1 and t2=s.k2; that is, which makes the following diagram
/image%2F0964014%2F20230528%2Fob_1e401a_capture-d-ecran-2023-05-28-a-12-40.png)
commutative. This diagram may be obtained from the direct product diagram (2) by simply reversing all the arrows; one says that the diagrams are dual to each other. This diagram (4) means that A*G is the "most general" group generated by A and G." p. 143
- C'est une impression où tu te contentes de recopier le texte de Mac Lane ?
- J'avoue qu'il est d'un telle densité qu'il forme bloc !
- J'ai du mal à comprendre le produit-libre A*G comme un "coproduit" ou "somme" en théorie des catégories, et je n'arrive pas à le situer par rapport au produit cartésien AxG ?
- Pour le produit, c'est assez simple : il suffit de se représenter les couples (a,g) comme les points d'un espace AxG; nous sommes revenus aux coordonnées cartésiennes du plan Euclidien. Maintenant, concernant l'application s d'un groupe H sur AxG, pense par exemple à la correspondance entre la sphère S2 et le plan : à chaque point de S2 correspond un point du plan.
Pour le coproduit, il est plus facile de penser en termes de composition de mouvements. Pense par exemple au groupe formé des translations A et des rotations G autour des points du plan. Il y a une infinité de mouvements possibles, chacun s'écrivant comme un enchaînement de rotations et de translations. Soit ag une rotation a suivie d'une translation g ; alors g-1bg1 produit une rotation ab suivi de la translation g avec: agg-1bg1=(ab)g. En ce sens, A*G est la "somme" des rotations et des translations.
- J'ai un peu de mal : d'un côté tu me parles d'éléments de AxG, quand, pour préciser A*G tu me parles de'"actions" ou transformations.
- N'oublie pas que nous sommes en mode ♢, et qu'ayant réifié l'application "→" qui fait passer d'un objet à un autre, nous pouvons traiter ces applications (ou flèches de morphismes) au même titre que les objets eux-mêmes. Ce qui compte n'et donc pas tant leur nature que notre façon de les appréhender.
En particulier, l'automatisme de répétition du saut [⚤]⇅[#], qui se résumait en mode ♧ à l'idée de "successeur" doit, en mode ♢, pouvoir se décrire à partir des deux schémas (2) & (4).
| [⚤] | [#] | 𓂀♢ | ||
| Produit AxG | (2) | 𓁝⇅𓁜 | diagrammes | |
| Coproduit A*G | 𓁝⇅𓁜 | (4) |
Le 01/ 06/ 2023
- J'avoue fatiguer un peu à commenter ce chapitre : les conséquences que l'on peut en tirer débordent de toute part et je m'épuise à tenter de suivre chacune des pistes ainsi ouverte.
- Recentre toi sur les mouvements du Sujet dans son Imaginaire.
-Oui, oui, et à ce propos, j'assistais hier à une présentation de Stéphane Dugowson à l'atelier d'Anatole Khélif, concernant la topologie de Grothendieck, et j'ai été frappé par quelques remarques, qui s'y rapportent indirectement. En particulier, à un moment donné de sa démonstration, il a parlé de son sentiment d'avoir toujours affaire à une "substance" à laquelle s'appliquerait une "structure" (en l'occurrence il s'agissait de treillis et d'espaces connexes). Ça m'a immédiatement rappelé Platon, avec l'objet vu comme la trace d'un sceau (la forme ou l'idée) laissée dans de la cire (la substance ou l'espace). Il subsistait donc toujours cette approche duale dans une façon très actuelle d'envisager les objets mathématiques les plus élaborés pour ne pas dire évanescents.
Par ailleurs, et là, avoue que le hasard fait bien les choses, il rappelle qu'un treillis complet conduit à une notion d'ordre basée sur l'inclusion.
- Un treillis est par définition un ensemble partiellement ordonné.
- Bien entendu, mais ce qui a fait tilt, c'est que cet ordre s'exprime en termes d'inclusion. C'est ce que nous venons de voir en suivant Galois (cf. ψ), et cela confirme notre idée que l'automatisme de répétition doit s'exprimer en mode ♢ en termes d'inclusion.
- Bon, c'est rassurant, si tu avançais un peu ?
"One may systematically construct groups from subgroups and factor groups. Thus given groups A and G, one may seek to construct all the groups E with A as normal subgroup and G≅E/A as the corresponding factor group [groupe quotient]. Then E is called an extension of A by G. If k is the inclusion of A in E and π the projection on G, the extension can be pictured as a sequence of group homomorphism
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where 1 designates the group with just one element. This sequence is said to be exact because at each node the image of the incoming homomorphism is "exactly" the kernel of the outgoing homomorphism. Thus exactness at A means that k is a monomorphism, and exactness at E means that the (normal) subgroup kA is the kernel of the projection π. The direct product AxG yields one such extension E, but there are many others. For instance, if E is the symmetric group Sn and A the alternating subgroup An, the group G in (6) is cyclic of order 2, but Sn is not the direct product Anxℤ."
- Essayons de comprendre à quel type de mouvement Imaginaire correspond ce cycle, en reprenant notre schéma ψ :
| ⇅𓂀♡ | ||||||
| [⚤]♢ | 𓁝⇆𓁜 | [#]♢ | [♲]𓁜♢ | |||
| N# = 1 | <=> | N = 1b | [⚤]♢↓[⚤]♧ | |||
| ↑ | ⋂ | ⋃ | ⋂⇆⋃ | (⋂⇆⋃)↓(↑) | ||
| Gal(N:K)=K# = S | <=> | K = Sb | Brisure de symétrie | |||
| ↑ | ⋂ | ⋃ | ||||
| Gal(N:F) = F# = G | <=> | F = Gb | ||||
| [⚤]𓁜♧ | ||||||
Nous en étions à l'idée qu'une démarche duale, faite d'inclusions successives ⋂ en [⚤]♢ appairées à une succession d'extensions ⋃ en [#]♢, dégénérait en mode ♧ en simple succession (⋂⇆⋃)↓(↑) comprise en ♡ comme brisure de symétrie.
(φ) Il est peut-être plus aisé à partir de là de considérer ceci :
| [⚤]𓁜 | 1 → A | ⇅𓂀♡ | |||||
| [⚤]𓁜♧ | [⚤] | 𓁜 | [♲]𓁜♢ | ||||
| [⚤]𓁝 | ⇅𓁜[#]♢ | (image de k) ⊂ E | |||||
| ↓ | |||||||
| [⚤]𓁝 | ⇅𓁜[#]♢ | (Ker de π) ⊂ E=kA | |||||
| ↓ | |||||||
| 𓁝[#] | 𓁜♢ | AxG G≅E/A |
|||||
| ↓ | |||||||
| [⚤]𓁝⇅ | 𓁜[#]♢ | E ⊂ AxG | |||||
| ↓ | |||||||
| [⚤] | 𓁜 | G → 1 | |||||
| [⚤]𓁜 |
- Si l'on oublie tout le discours en jaune, j'ai l'impression que l'on en revient à un discours Platonicien pur jus : on part de [1] pour aboutir à [1] .
- C'est une illusion, car il faut bien comprendre la suite :
Si tu situes la querelle des universaux, voire la dispute Aristote/ Platon, autour du passage ☯𓁝[♲]𓁜☯, tu vois bien que nous n'y sommes pas, limités d'entrée de jeu par la donnée de G en [#]𓁜.
- C'est quand même compliqué !
- Je l'admet bien volontiers, mais franchement je tente de capter les paroles d'un chant polyphonique Corse. Il y a déjà deux narrations [⚤]𓁜♧ :
Ensuite la construction de E est cadrée :
C'est d'ailleurs en constatant ce "cadrage" général du discours en mode ♡ qu'il me semble intéressant de considérer entre les 3 niveaux [⚤] / [#] & [♲] le même type de bouclage que celui que nous avons fait pour les modes.
| recollement des modes | recollement des niveaux |
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- J'ai l'impression que toutes ces réflexions demandent encore à être travaillées pour devenir évidentes.
9/ Simple Groups
RAS
10/ Summary : Ideas of Image and Composition
"The practice of mapping one thing (a point, a number, or some other object) into some image thing arises in many connections: In the successor operation for the natural numbers, in addition and multiplication in arithmetic, in algebraic manipulation, in trigonometric formulas, in infinite series, and in all sorts of geometric transformations. These experiences lead to the notion of forming the image of a thing and the images of all the things in some collection. In its turn, this notion has various intuitively attractive but inexact formulations, all dealing with the way in which one thing or quantity may "depend" on another. This in turn finally leads to the precise but meticulous concept of a function as a suitable set of ordered pairs of things; from this formal definition the abstract properties of functions flow easily." p. 147
- Je glisse sur la fin, parce que cet article est vraiment trop long, jmais je pense que nous aurons l'occasion de creuser tout ce qui est annoncé ici. L'auteur termine ce chapitre en proposant ce schéma des concepts abordés dans ce chapitre, là encore, il serait intéressant de restituer ceci à l'aide de notre représentation de l'Imaginaire, mais plus tard !
- Amen
Hari
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- Puisque nous en sommes à définir les automatismes de répétition propres en mode ♢ à partir des concepts d'appartenance ∈ et d'inclusion ⊂, autant en profiter pour voir ce que cela implique en mode ♡, à partir de son voisinage ♢ ♧:
| ⇅ | ⊥ | ⇆ | |||||
| (*) | [∃]♧ | [⚤]♧ | [#]♧ | [♲]♧ | [∅] | 𓂀♧ | |
| (E⚤,T#) | [∃]♡ | [⚤]♡ | [#]♡ | [♲]♡ | ∀ | [∅] | 𓂀♡ |
| •⟲ | [∃]♢ | [⚤]♢ | [#]♢ | [♲]♢ | [∅] | 𓂀♢ | |
| ∈ | ⊂ | ⇆ |
- Et ton triptyque de Noether ?
- Nous pourrions considérer qu'il résulte du mouvement du Sujet : 𓁝⇆𓁜, comme nous l'avons déjà évoqué (voir "Le Sujet comme topos") :
"l'objet, pour l'Auteur 𓂀♡, est ce qui persiste lors des mouvements du Sujet 𓁝𓁜."
Cette définition de l'objet permet d'y retrouver :
Tu pourrais définir le Sujet de la même façon :
"le Moi 𓁝𓁜, pour l'Auteur 𓂀♡, est ce qui persiste lors de ses mouvements dans le Monde."
- Où tu retrouves l'idée millénaire que ce qui est permanent est précisément l'impermanence, en soi et hors de soi : ☯...
- Et donc que notre approche ne nous conduit pas à des déclarations trop farfelues. Bref, caractériser le niveau [♲]♡ par le quantificateur universel ∀ semble une bonne hypothèse de travail.
Il nous reste les niveaux centraux [⚤]♡ et [#]♡, on s'effectue le "travail" ordinaire, si j'ose dire.
À partir de considérations tirées de la physique (voir "Le discours du physicien"), il m'avait semblé que l'objet final en [∃]♡ devait garder, avec le "i" de "ih", la trace d'une différence fondamentale entre temps et espace.
Or, ici, entre le concept diachronique de successeur ⇅ et celui synchronique d'appartenance ∈, il me semble que nous gardons cette différence de nature entre espace/ temps. Et donc, le mode ♡ doit être celui qui marie les deux.
- C'est pas très clair...
- Je cherche mes mots. Voyons, en [⚤]♢, je peux représenter des relations entre objets par des morphismes, ou un graphe...
- Reviens au concept d'appartenance ∈.
- D'accord, soit la déclaration : "x ∈ E"...
- Comment fais-tu pour passer de x à E ?
- Il y a un mouvement ⇅ entre les deux objets x et E, en mode ♧, mouvement réifié par le symbole ∈ en mode ♢.
- Oui, c'est ce que décrit la machine de Turing. Repense à l'écriture d'un logiciel. En premier tu as les déclarations des objets (en ♧) , ensuite tu décris les liens dans des routines (c'est le mode ♢) :
Le mode ♡ consisterait à exécuter la routine.
- Tu retrouves la définition du calcul de Mac Lane, vu comme une procédure.
- C'est heureux.
- Mais pour en revenir à la caractérisation du niveau [⚤]♡ ?
- Je te propose l'idée suivante : Le choix final, entre les modes ♧ et ♢ tient à la fermeture ou nom de N :
- Gardons-le comme hypothèse de travail, et le niveau [#]♡ ?
- Je pense aux sous-groupes distinguées d'Évariste Galois noté "⊲", qui nous offre une expression de l'orthogonalité ⊥ géométrique en termes d'inclusion topologique ⊂, ça va venir très certainement assez vite dans le texte de Mac lane.
- Tu es plus rapide que pour [⚤]♡ dis donc !
- C'est un peu normal, puisque nous avons présenté l'émergence du niveau [#] dans la pensée moderne, comme directement liée aux travaux de Galois...
Pour l'instant, je te propose d'en rester à ce schéma général, caractérisant nos différents niveaux par un concept clef, et de continuer notre lecture, en nous focalisant sur la zone en jaune :
| [∃]♡ | [⚤]♡ | [#]♡ | [♲]♡ | 𓂀♡ | |
| (E⚤,T#) | ∞ | ⊲ | ∀ | ||
| [∃]♢ | [⚤]♢ | [#]♢ | [♲]♢ | 𓂀♢ | |
| •⟲ | ∈ | ⊂ | ⇆ | ||
| [∃]♧ | [⚤]♧ | [#]♧ | [♲]♧ | 𓂀♧ | |
| ∃ | ⇅ | ⊥ | ⇆ | ||
| discret | ∥ Continu | ||||
- Ça peut paraître farfelu au premier abord, en considérant qu'une écriture à partir de topos doit exprimer des logiques plus complexes, comme le permet la théorie des catégories, placée en mode ♢, mais dans les faits, les choix les plus "essentiels" ou d'ordre "syntaxique" qui se posent à nous en ♡ ne sont-ils pas très primitivement "dichotomiques", comme le choix ou non d'un axiome ?
On choisit entre :
Et même lorsque l'on veut creuser une dualité franche comme ouvert/ fermé, la discussion se déploie en dualités plus subtiles.
Ce qui nous ramène à Lévi-Strauss qui avait noté une dichotomie fondamentale de nos concepts les plus primitifs et/ou fondamentaux, en étudiant les mythes...
- On peut le voir comme une nécessité pour l'auteur de s'exprimer sous forme narrative (...)⇅𓂀♧.
- La discussion reste ouverte.
Je parle d'objet de façon vague pour ne pas parler d'ensemble, qui est une structure habillant lesdits objets en mode ♢. Dès que l'on parle d'ensemble, toute la représentation, Groupe, Groupes de transformations sur des ensembles s'aplatit en mode ♢. Il faut comprendre, rétrospectivement, le mode ♧ comme dégénéré, avec l'apparition du temps séquentiel au contact du Réel.
C'est l'équivalent en [⚤]𓁜♢, de l'étiquetage au coeur de l'automatisme de répétition ☯[∃][⚤]𓁜♧ en mode ♧. C'est l'essence même de notre écriture : 𓁝[α]𓁜.
Pour mémoire dans le passage ;
| objet discriminant Ω | [⚤]♢ | 𓂀♢ |
| ↓ F | ||
| (1;0) | [⚤]♧ | 𓂀♧ |
Tu "oublies" la relation ou l'action pour ne considérer que l'objet, avec F agissant comme un "foncteur d'oubli" de la théorie des catégories.
Je ne peux pas m'empêcher de penser à l'impératif catégorique Kantien, ce qui fait une très belle connection entre Kant et la théorie de catégories en maths. Le lien n'est très certainement pas fortuit, il me faudra creuser la bibliographie...
- Il serait intéressant de traiter le changement d'approche entre les deux modes ♧ & ♢ par la forme canonique des mythes. J'y reviendrais certainement en fin de parcours pour en faire une introduction...
- Sur quelle base ?
- Il faudrait revenir à la dispute Aristote/ Platon, et à l'impossibilité de partir de l'existence [∃]♧𓁜; pour arriver à la substance [♲]♧𓁜 dans une démarche purement immanente S↑.
On inverse donc le concept impossible : on part de la substance pour établir l'existence dans une démarche S↓. La "substance" commune à tous les éléments qui "existent" en [∃]𓁜♧, se comprenant comme leur "commune appartenance", exprimable en [⚤]♢ par le concept d'ensemble.
Tout le reste en découle, comme nous le verrons (je l'espère) au fil de ma réflexion; en particulier la démarche en miroir :
(S↑ en mode ♧ ⇆ S↓ en mode ♢)⇆𓂀♡.
Par curiosité, j'ai posé la question à ChatGPT, voici la réponse évidente :
"Pour comprendre pourquoi cela se produit, il est important de comprendre la définition d'un homéomorphisme dans le contexte des groupes. Un homéomorphisme entre deux groupes G et H est une application f : G → H qui satisfait les trois conditions suivantes :
Maintenant, supposons que vous ayez un sous-groupe K de G. Comme l'homéomorphisme préserve l'opération du groupe, il va également préserver les propriétés des sous-groupes. En d'autres termes, si a et b sont des éléments de K, alors f(a * b) = f(a) * f(b) sera également dans l'image de f(K), qui est un sous-groupe de H.
En résumé, un homéomorphisme entre deux groupes préserve la structure de groupe, y compris les sous-groupes. Ainsi, un sous-groupe dans le premier groupe sera associé à un sous-groupe correspondant dans le deuxième groupe via l'homéomorphisme."
Si même un robot peut combiner notre langage pour pondre cette réponse, ce doit être évident pour chacun...
En nous intéressant aux postures du Sujet 𓁝𓁜, nous restons en-deçà d'une introduction classique aux groupes cycliques (voir par exemple cette excellente introduction de Wildberger.)
Concernant le concept de coset, ainsi que les homéomorphismes voir la suite ici. À noter la façon très simple d'introduire (à 11mn) le fait que dans un homéomorphisme ψ: G→H
Ce que j'ai écrit un peu vite est développé en topologie par le concept "d'espace de recouvrement universel". Voir à ce sujet cette vidéo d'introduction à la topologie "Universal covering spaces" de Wildberger.
Ici, l'espace de recouvrement universel d'un point est simplement ℤ.
Cet création d'un concept pour identifier une impossibilité, en lui collant une étiquette, et procéder sur lui à ce qui restait indicible sans cela (par exemple identifier la racine carrée de -1) est en soi un acte de création pure, répondant à la forme canonique des mythes, je n'insiste pas ici...
En écrivant ceci, je ne peux m'empêchèrent de penser à la querelle des universaux. et à l'impossibilité du passage (𓁝[♲]𓁜⏩𓁝[♲]𓁜) 𓂀♧ dans la pensée Grecque, qui correspond ici, structurellement, à l'impossibilité du saut (𓁝[#]𓁜⏩𓁝[#]𓁜) 𓂀♧ en toute généralité (i.e. après 4 itérations).
Pour en avoir le coeur net, j'ai soumis ce texte à ChatApp, voici ce qu'il me renvoie :
"Tous ces nombres constituent un sous-champ :
N=F(α1,....,αn) ⊃ F
du champ des nombres complexes. On l'appelle un corps de décomposition du polynôme f sur le corps de base F, car c'est le plus petit corps contenant F dans lequel le polynôme f se "décompose" en facteurs linéaires. En fait, en oubliant les nombres complexes, cette propriété détermine le champ F(α1,....,αn) à un isomorphisme près qui laisse les éléments de F inchangés. Dans le cas du polynôme x2+1 sur ℝ, il s'agit simplement du champ ℂ des nombres complexes."
J'ai ensuite demandé de préciser les termes "champ" et "corps dans ce contexte :
"En mathématiques, les termes "champ" et "corps" sont souvent utilisés de manière interchangeable pour désigner une structure algébrique.
Cependant, dans certains contextes, il peut y avoir une différence subtile entre les deux termes. En général,
Ainsi, tous les corps sont des champs, mais tous les champs ne sont pas nécessairement des corps. Dans le contexte du texte donné, le terme "champ" est utilisé pour désigner une structure algébrique générale, tandis que le terme "corps" est utilisé pour décrire le sous-champ spécifique contenant les nombres α1, ..., αn ainsi que les éléments du champ de base F."
J'ai ensuite demandé de préciser le sens de "cette propriété détermine le champ F(α1,....,αn) à un isomorphisme près qui laisse les éléments de F inchangés."
"... Cela signifie que les éléments de F sont conservés tels quels et que seuls les éléments α1,....,αn sont modifiés dans la construction du champ F(α1,....,αn). En résumé, cette phrase indique que le champ F(α1,....,αn) est unique à un isomorphisme près, tout en maintenant les éléments de F inchangés, ce qui garantit une certaine unicité et stabilité des propriétés algébriques du champ construit."
Et c'est là que j'ai compris une erreur dans ma propre représentation mentale:
Lorsque Mac Lane parle d'une "symétrie géométrique de ℂ autour de ℝ", je pense "replier une feuille de papier autour de l'axe ℝ", autrement dit, à une action globale sur ℂ : [#]𓁜, alors que la symétrie ne porte que sur les éléments entre parenthèse F(α1,....,αn) et l'action est locale : 𓁝[#].
A posteriori, c'est une erreur idiote de ma part, et ça me désole de passer tant de temps à corriger des bêtises pareilles. Je suis trop vieux et mon cerveau trop rouillé n'arrive plus à lire ce qui est très explicitement écrit... 😟
J'ai demandé à ChapApp "comment peut-on écrire que N=F(α1,....,αn) ⊃ F et d'autre part que N est le plus petit corps contenant F?"
La réponse a été :
"On peut écrire que N = F(α1,....,αn) ⊃ F pour indiquer que N est une extension de champ de F. Cela signifie que N contient tous les éléments de F ainsi que les éléments α1,....,αn.
Le symbole "⊃" est utilisé pour représenter une extension de champ. Ainsi, N ⊃ F indique que N est un champ plus grand que F, car il contient tous les éléments de F en plus des éléments α1,....,αn.
D'autre part, on peut dire que N est le plus petit corps contenant F pour signifier que N est une extension minimale de F. Cela signifie qu'il n'existe pas de champ plus petit que N contenant à la fois F et les éléments α1,....,αn. En d'autres termes, N est le plus petit champ qui permet d'inclure à la fois F et les racines du polynôme f, sans ajouter d'autres éléments supplémentaires. Il s'agit d'une construction minimale qui répond aux besoins de la décomposition du polynôme f en facteurs linéaires, tout en conservant les éléments de F."
Voilà qui est lumineux et révèle une autre erreur de ma part, lié à une mauvaise maîtrise de la syntaxe utilisée par Mac Lane.
Le terme d'extension m'est plus familier en français !
Là encore, rien de difficile
- Les difficultés qui s'amassent au fil de ma lecture de ce chapitre sur la théorie de Galois, sur laquelle j'avais déjà buggé un temps considérable au tout début de mon intérêt pour les maths (à partir d'ici) , m'incline à y voir un automatisme de répétition à l'oeuvre chez moi.
- Comment l'analyses-tu ?
- J'ai peur d'y arriver !
Je ne cesse, au fil de ma recherche de pointer la clôture de l'Imaginaire, mais cette clôture m'effraie à titre personnel : j'ai besoin d'une ouverture, d'une infinitude. Or, cette révolution intellectuelle initiée par Galois annonce la fermeture de mon propre Imaginaire sur un univers que je me sens près de "comprendre" : (𓁝[♲]𓁜⏩𓁝[♲]𓁜) 𓂀♡ et au fond de moi, ça m'angoisse.
- Il y a derrière le mode ♢, et cette idée de pont entre topos d'Olivia Caramello.
- Je n'ai pas les épaules, je n'envisage même pas de m'y attaquer.
- Il te resteras toujours à méditer : ([♲]𓁝⇆𓁜[∅]⏩[♲]𓁝⇆𓁜[∅]) 𓂀♡.
- Sans doute... Mais pour l'instant, j'ai peur de revivre mon inquiétude lorsque j'écrivais "L'Homme Quantique". Souviens-toi que j'étais persuadé de ne pas pouvoir le publier : "achever" ce livre signifiant mon arrêt de mort. (Voir "Par mots et par meaux").
- OK, alors prends-en conscience et soit relax, man.
J'insiste un peu lourdement au yeux d'un matheux, sans doute, mais je pense que le sujet pourrait nous en apprendre beaucoup sur la circulation du Sujet dans son propre Imaginaire.
Je pense en particulier au rapport entre le rêve, en mode ♢ et l'éveil en mode ♧.
Nous avons le sentiment depuis longtemps que le temps est l'apanage de l'état d'éveil, un état où la succession des événements induit un principe de causalité.
En mode ♢, nous voyons de quelle façon ⋃ engendre ⋂ et réciproquement.
Il faudrait développer ce thème et en discuter avec des psychanalystes.
(α) 4/ (β) (01/05) (γ) (δ) (04/05) (ψ) (φ)
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