Rencontrer Alain Connes

7 Septembre 2020

Alain Connes - "Les mathématiques et la pensée en mouvement"

- C'est une obsession ?

- Plutôt un objectif.

- Demande à Anatole de te présenter à lui, pourquoi pas ?

- Je ne suis pas prêt. Je n'ai pas envie d'une conversation de salon, mais de lui présenter mon approche de telle sorte qu'il puisse la trouver intéressante. Or, jusqu'à présent, je n'ai même pas réussi à me faire comprendre des habitués de l'atelier de logique catégorique d'Anatole, ni de ce dernier, d'ailleurs !

- Autrement dit, il te faut aborder la géométrie non-commutative pour lui parler dans sa langue ?

- Absolument. J'avais ça en tête lorsqu'hier soir, après mes séries télé habituelles, j'ai revu une présentation d'Alain Connes à l'adresse de spécialistes : "Géométrie non-commutative et physique", pour m'endormir dessus.

- Tu y as compris quelque chose ?

- Pratiquement rien, mais je ne m'arrête plus à ce genre de détails. Comme tu le sais, je suis encore dans l'excitation d'avoir enfin "compris" l'approche d'Évariste Galois, alors tout me semble possible ces jours-ci !

- Tu n'as pas peur de l'effet Dunning-Kruger ?

- Ne t'inquiètes pas, j'ai conscience de mon ignorance. Après tout, j'ai galéré pendant deux années pleines (voir "Évariste Galois derrière le miroir") avant d'y arriver.

- J'espère pour toi qu'il te faudra moins de temps pour le pas suivant, car le compte à rebours est enclenché ! Tic-tac, tic-tac...

- Je sais, trop vieux pour perdre du temps, alors allons-y sans délai :

J'avais déjà vu cette vidéo, pour m'arrêter sur sa présentation de l'espace non commutatif par une feuille de papier où le "point" de la géométrie serait en fait représenté recto et verso, comme en miroir.

Géométrie non commutative en physique à 41'

Ça m'avait déjà donné beaucoup à réfléchir, sur la chiralité des positions de Im et de son reflet en I'm (note 1)

Maintenant, après ma toute fraîche compréhension du calcul des groupes d'homologie (note 2), et de l'approche galoisienne, j'entends enfin une autre partie de son discours:

À 27' : "le groupe d'isomorphismes d'une variété quelconque dans un espace commutatif est un groupe simple, c'est-à-dire qu'il n'a aucun sous-groupe normal".
À 28'30" : "est-il possible qu'il y ait un espace dont le groupe d'isomo morphismes ne soit pas un groupe simple ? (...) Si je regarde les automorphismes d'une algèbre non-commutative (c'est ça qui va remplacer les différomorphismes) et bien les automorphismes d'une algèbre non-commutative ont cette propriété très particulière qu'ils contiennent un sous-groupe normal : c'est le sous-groupe des "automorphisme intérieurs", qui a tout x associe uxu^* où u est un élément unitaire. Si u était commutatif, on aurait tout de suite uu*=1"

Géométrie non-commutative en physique à 28'50"

Cette approche s'inscrit donc dans la "topologie algébrique" dont nous parlait NJ Wildberger en termes élémentaires, et comme le dit Alain Connes : vois-tu le miracle ? Nous retombons sur ce que nous venons juste de voir dans nos derniers articles ! (note 2).

- C'est-à-dire ?

- Il y a d'abord le soucis de "raconter" la géométrie à l'aide de l'algèbre, ce qui confirme l'importance de la bascule de I'm autour de l'objet:

primitivement en position ex ante I'm<I_objet<I0 dans une approche locale topologique, tournée vers l'objet initial;
se tournant ensuite en position ex-post I1<Iobjet<I'm≤Im pour "en parler" en termes d'algèbre (i.e.: après avoir "objectivé" les éléments ou points géométriques de l'objet).

Ensuite, les développements d'Alain Connes s'inscrivent dans la lignée d'Évariste Galois, et nous retrouvons l'importance de la notion de "sous-groupes distingués" associés à des extensions orthogonales entre elles, car enfin, son espace est somme toute un espace de Minkowsky auquel il rattache une sorte d'extension, associée à un groupe fini (cyclique) de symétries, pour retomber sur une théorie des jauges. À partir de ces quelques points d'accroche, (voire points de capitons au sens de Lacan), il ne doit pas être insurmontable d'entrer dans son discours...

- Tu es bien gentil, mais il fait quand même appel à toute la relativité et la physique quantique, sujets que tu as survolés l'année dernière et dont tu as tout oublié ! (note3)

- J'avoue m'être un peu dispersé, mais rien de grave: il est toujours facile de retrouver ses propres traces, et puis, je compte bien trouver le chemin plus aisé après avoir compris ce dont parle Alain Connes.

Un autre point important de la vidéo c'est la question de la "mesure" (vers 10' sur la vidéo), que je n'ai pas encore traitée, tout en la situant au niveau I# de l'Imaginaire. Il en dit des choses qui m'avaient échappées.

- C'est-à-dire ?

- Par exemple, l'idée qu'il faille déplacer notre maître-étalon du pavillon de Sèvre pour faire une mesure à Barcelone, tandis qu'en précisant une certaine longueur d'onde d'un atome particulier, tu peux effectuer une mesure dans n'importe que coin de l'Univers sans déplacer ton étalon. Il nous dit, je cite "ça vient du fait que les fermions sont indistinguables, et donc que cette unité de longueur existe partout à la fois" (à 12').

- Un peu comme Bouddha qui est ici mais également au sommet de la montagne?

- Oui, si tu veux. Il y a dans l'exercice un jeu de bascule entre Im, qui définit l'étalon pour tout l'Univers, en position globale, ex post, et I'm, localement scotché à l'objet, et donc un retournement I1<Im => I'm<I0 dans cette mesure.

Il y a autre chose dans son approche que je n'arrive pas encore à bien cerner: j'ai l'impression, mais ça reste vague, qu'il a cette idée de "couper court" dont je parlais dans "Les maths béquilles de la philo"., lorsqu'il parle de "supremum".

- En quel sens ?

- Trop tôt pour préciser, je le note juste pour y revenir à l'occasion. Mais laissons filer la vidéo.

À 12', il fait une comparaison éclairante: classiquement, depuis Descartes, à une géométrie, on associe des coordonnées, qui permettent une algèbre commutative, et les "points" de la géométrie sont associés aux "éléments" de cette dernière. Le renversement épistémologique, c'est de déconstruire cette algèbre pour revenir à l'espace correspondant pour le coup à une algèbre non-commutative. Autrement dit :

Descartes : passage géométrie "classique" => algèbre commutative
Connes : "déconstruction" : algèbre non-commutative => géométrie non-commutative. (note 4).

Et dans l'histoire, comme il l'explique, il perd l'identification du "point" qui correspond à l'objet final dans la théorie des catégories. Il s'ensuit "qu'une variable réelle, c'est un opérateur auto-adjoint".

- J'avoue que je décroche un peu.

- Moi aussi, retour à Wikipedia pour la définition des opérateurs adjoint et auto-adjoint.

Définition : Un opérateur est une application entre deux espaces vectoriels topologiques;
Définition : dans un espace de Hilbert H, a* est dit adjoint de a si : ∀ x,y∈H : (a(x)|y)=(x|a*(y));
Définition : si a est auto-adjoint : a=a*, alors ∀ x,y∈H : (a(x)|y)=(x|a(y)).

Je sens que nous ne devons pas être trop loin de ce que nous avons déjà vu, mais je ne suis pas familier avec cette écriture, cette barre verticale "|" me perturbe, et là il faut que je bosse un peu pour m'y retrouver !

À plus.

Hari

Note 1 :

D'où une série d'articles autour du sujet, ou qui en gardent la trace voir :