La pensée et le mouvant

J’ai besoin d’un aiguillon pour avancer, comme tout le monde. En ce moment, ce sont surtout les interrogations de mes amis, qui me forcent encore et encore à reprendre sempiternellement mon discours, en changeant de point de vue, ou de domaine d’application. L’effort qu’ils me demandent n’est pas vain car, en fait, ce faisant j’avance, et je les en remercie.

Mais cette diversité même, est mal perçue, elle me vaut en retour cette question : quel est ton but ? Quel est l’objet de tout ceci ?

J’ai quantité de réponses intelligentes en tête, mais l’amitié demande quelque chose de plus consistant qu’une savante dissertation. Une réponse plus engageante, personnelle. Dois-je replonger en moi pour laisser voir aux amis d’aujourd’hui l’enfant connu de mes amis disparus ? Qu'aurais-je pu dire à mon ami Roger ?

J’étais un élève médiocre, tout me posait problème et je ne faisais jamais vraiment miennes les réponses données aux questions que je posais. J’ai fait semblant, bien sûr, suffisamment pour me couler dans la masse, mais je restais à distance de ces explications qui me restaient étrangères.

Parmi mes souvenirs celui-ci. J’étais en 3e et je ne comprenais rien à l’électricité ; en particulier U = RI. Qu’est-ce que la tension, qu’est-ce que l’intensité ? Je rabâchais mes leçons, j’arrivais même à faire illusion, en rendant mes devoirs, mais cela ne passait pas. Et je me souviens clairement de ce jour où, dans un coin de l’entresol où j’avais fait mon refuge, mon père devant mon petit tableau, un de ces tableaux d’enfant, en carton vert, qui se gondolait sur son trépied, essayait en vain de me venir en aide. Puis il eut l’idée d’une analogie : une résistance, c’est comme un trou dans un barrage hydraulique. La tension, c’était la hauteur de chute, l’intensité le débit, et la résistance c’était le diamètre du trou : d’autant plus grande que le trou est petit. J’étais content : j’avais « compris ». Et cette image m’aide encore. Mais est-ce une « explication » ? Vous souriez sans doute à tant de naïveté, mais avez-vous mieux à votre disposition ? Des formules, des équations, sans doute, mais si nous grattions au fond ? Êtes-vous mieux loti ?

Un autre souvenir, en mathématiques cette fois-ci, quoique les circonstances en soient plus floues. Juste l’ombre de ce professeur nous expliquant ce qu’était « la tangente à une courbe », sur l’estrade, encore au tableau, mais noir cette fois-ci. Il traçait une droite sécante à une courbe, passant par un point P0 fixe, et un autre P1, qu’il rapprochait du premier. Alors, la suite de ses dessins au tableau, laissait voir cette droite sécante se rapprocher de la tangente au point P0 qu’il avait dessinée par avance.

Ma question était de savoir si l’on avait le même résultat, lorsque l’on rapprochait le point P1 par la gauche ou par la droite. Vous connaissez la réponse : oui, bien sûr, puisque la distance entre les deux points tend vers zéro… À la suite d’une série infinie de rapprochement des deux points, ils finissent pas se confondre et la droite qu’ils définissent, tend vers une seule et même tangente, et cette limite est unique, que l’on approche par la droite ou par la gauche.

Et bien à la réflexion, ce que j’ai développé sur le tard, fait écho à mon questionnement d’alors. Entendons-nous bien : je n’ai rien expliqué, j’ai simplement trouvé une similitude de forme à mes blocages. Et si je pensais à d’autres circonstances de ma vie où je n’ai pas « compris quelque chose », il me semble que je pourrais sans trop de difficulté revenir à cette structure préconsciente.

Calcul différentiel / intégral :

Revenons à notre tangente. En fait, que fait le prof, en dessinant une succession de droites ? Il actualise, en la dessinant au tableau, une droite parmi une famille qu’il pourrait, potentiellement dessiner. Nous retrouvons donc aisément cette opposition simple entre élément / groupe, que l’on repère immédiatement dans le plus élémentaire des calculs, lorsque je tirais des allumettes, une après l’autre d’une boîte, pour les installer sur ma table.

Le processus itératif du professeur, traçant une succession de droites, peut se ramener à la description du mouvement du point P1 vers le point P0, chaque nouvelle droite laissant la trace d’un nouveau point d’intersection P1 sur le tableau, dont la collection se laisse voir à plat sur le tableau, de même que ma collection d’allumettes s’étalait sur mon bureau.

Il y a dans les deux cas, un mouvement, que l’on peut décomposer en une succession de sauts diachroniques. Ce qui nous amène à repérer un élément (un point Pi) par rapport à un fond fixe (ici notre tableau, ou un plan orthonormé (x, y)). Mais, les mathématiques gomment ce geste physique du professeur pour ne retenir que le résultat de l’opération : la suite de point Pi.

Formalisons ceci :

Concernant la géométrie :

• Chaque droite élémentaire est représentable à un niveau imaginaire Id ;
• L’ensemble des droites passant par le point P0 est donc à un niveau supérieur Id+1 ; avec Id+1 > Id.

Concernant le comptage élémentaire d’allumettes (0 / 1) :

• Lorsque je tire une allumette, que je la fais « exister pour moi », je suis au niveau le plus élémentaire de mon imaginaire, capable juste d’appréhender les concepts existe, n’existe pas, soit I0 ce niveau limite avec le réel ;
• Le bureau sur lequel je les regroupe, est en I1, avec I1 > I0

Entre les deux expériences, il y a certes une similitude formelle : construire une « série de droites » demande une suite de sauts diachronique entre Id et Id+1 ; et construire une « série de 0/1 » demande une série de sauts diachroniques entre I0 et I1.

Mais la différence entre les deux situations tient à la complexité de l’objet « droite », par rapport à la dichotomie élémentaire 0 / 1.

Au niveau I1 je ne peux « imaginer » ou « représenter » que des nombres entiers : une allumette ne m’intéresse que dans la mesure où elle symbolise l’unité, elle existe ou n’existe pas, je ne m’occupe pas de moitiés d’allumettes ou ne différencie pas les allumettes brûlées des autres.

Par contre, une droite, même idéale, est un ensemble infini de points, et entre deux points d’une droite, je peux toujours intercaler un autre point. C’est dire que le niveau de représentation imaginaire (Id) de ma droite est incommensurable par rapport à (I1). C’est-à-dire Id > I0.

Et c’est là que se situe ce que j’appelle « l’effet de bord du réel ».

Tant que je suis en plein dans mon imaginaire, loin du réel, ayant au minimum accès à I1, le premier niveau où les nombres entiers sont « imaginables », la voie en ouverte pour complexifier à l’envie mes représentations. Nous avons parcouru les premières étapes de cette complexification progressive, en passant par la multiplication, l’addition, la structure de groupe et d’anneau. Donc, lorsque je reste bien au chaud, maniant des concepts dont les référés sont eux-mêmes imaginaires, je n’ai aucun problème à suivre les conclusions de mon professeur : il est possible d’approcher aussi près que l’on veut les points I0 et I1, en construisant une suite dont la limite soit I0, et peu importe que je déplace ce point I1, de la droite vers la gauche ou l’inverse. C’est la base du calcul différentiel. La tangente à une courbe est sa dérivée. Soit une fonction y = f (x), alors la dérivée de y au point P0 s’écrit y’0 = dy0/dx.

Maintenant, le physicien vient à utiliser les merveilleux outils mis à sa disposition par le mathématicien, pour manipuler, non pas comme ce dernier, des objets imaginaires, mais pour se référer à son expérience du réel. Et en tout premier lieu pour décrire un mouvement. Par exemple il décrit la vitesse d’un mobile à l’aide d’une dérivée : v = dx/dt.

Or, le mouvement physique met en jeu les deux concepts physiques élémentaires d’espace et de temps. Aussi élémentaire qu’en mathématiques le choix entre 0 ou 1 parmi le couple potentiel (0,1) qui nous a servi pour commencer notre construction des mathématiques.

Car, de même qu’il y a une rupture nette entre 0 et 1, il y a en physique un mouvement élémentaire pour aller d’un point à un autre, quantique : il arrive un moment où, en avançant, P0 est devant moi, puis, le coup d’après, je suis dessus (ou après). Ce mouvement élémentaire correspondant à la longueur lp et au temps de Planck qui définissent la vitesse limite c : lp = c x tp.

Autrement dit, en utilisant la notion de dérivée, le physicien utilise un outil mathématique d’une complexité supérieure au niveau d’observation qui est le sien. Ceci n’est pas très grave, dans la vie courante, car les « objets » physiques que nous manipulons habituellement sont d’une telle complexité, que cela ne se remarque pas. Sauf à l’échelle quantique, où la discontinuité diachronique se révèle. Et nous avons vu que notre représentation induit le principe d’incertitude d’Heisenberg ainsi qu’une vitesse limite.

Je veux faire comprendre par ces exemples cet effet de la proximité du réel sur notre imaginaire, que l'on peut expérimenter à d'autres niveaux, par exemple, lorsqu'un accident vous sidère (j'en parle dans l'Homme Quantique). Au contact du réel, notre imaginaire se décape, se dépouille couche après couche comme on se dénude avant d’entrer dans son bain.

Et ce dépouillement conceptuel met à nu cette dichotomie préconsciente entre concepts synchronique et diachronique, qui structure notre conscience du réel, notre façon de le sentir bouger en nous, ou de bouger en lui, de nous en émouvoir ou d’en être surpris.

Mouvement diachronique :

Pourquoi l’image d’un trou dans un barrage était-elle plus parlante, pour moi que cette relation U = RI ? Sans doute parce que ce qui tourne autour de la masse, de l’énergie cinétique ou potentielle, est plus proche de nos sens que l’électricité. Je peux sentir la force du torrent, apprécier son débit, ressentir l’effet de la gravité sur mon corps. C’est sans doute pourquoi, dans tous mes développements, je ne m’intéresse jamais à l’électricité : les lois de Newton me semblent plus proches de notre vécu. D’ailleurs, historiquement, Newton (1643-1727) précède largement Maxwell (1831-1879).

Mais il y a bien dans ce U = RI une relation entre un flux, une circulation, synchronique, et une « différence de potentiel », tout comme le mouvement d’un pendule implique une transformation entre énergie cinétique (synchronique) et énergie potentielle (diachronique).

Nous retrouvons toujours une articulation entre concepts synchronique et diachronique.

Qu’il s’agisse de décrire la cinétique ou la dynamique d’un mouvement.

Simplement, il y a entre les deux types de discours, une différence de niveau imaginaire.

Si nous prenons comme élémentaires les concepts d’espace et de temps, nous pouvons situer les deux concepts de cette façon :

• L’espace se repère au niveau Ie ;
• Le temps se repère entre Ie et Ie+1 ;
• La vitesse se repère en Ie+1.

Alors, l’énergie cinétique (1/2 mV2), comme le moment (mV), peuvent se repérer en Ie+1 ; et les forces (F = m dV/dt) en Ie+2.

Il faut donc au minimum un décalage d’un niveau dans notre discours lorsque l’on passe de la cinématique à la dynamique.

L’énergie minimum correspondant à un saut quantique élémentaire, dépend d’une fréquence (l’équivalent d’un temps) : E = h v, relation où h est la constante de Planck. C’est dire que ce quantum est imaginable au niveau Ie+1, c’est-à-dire qu’il s’exprime au même niveau que vitesse, moment ou énergie cinétique.

Enfin, le repérage de la masse peut se faire à deux niveaux :

• La masse inerte, qui se retrouve primitivement dans l’expression de l’énergie cinétique ½ mi X V2 est au niveau Ie+1 ;
• La masse grave, qui est en jeu dans la gravité (F = ma X g) et ne peut être comparée à la masse inerte (F = mi X dV/dt) qu'en Ie+2.

Je vais très vite ici, sans m’attarder sur ce que nous avons déjà dit par ailleurs, pour vous donner une perspective d’ensemble de notre façon de reculer pour mieux comprendre le réel. Nous l'avions déjà vu dans ce précédant billet "l'espace-temps", nous le retrouvons encore. J’avais abouti à la même conclusion en explorant notre façon d’organiser par étapes le langage mathématique. La différence avec le physicien étant que ce dernier est bien obligé de se raccrocher au réel, puisque c’est le référé ultime de son discours.

En passant d’un langage à l'autre, la perception du mouvement dans notre environnement, faculté que nous partageons avec les animaux, me semble être la source première de toute notre évolution intellectuelle, ce qui nous ramène à Bergson: la pensée et le mouvant...

Bonne méditation.

Hari