Penser la physique autrement #4 - topologie/ géométrie

- J'ai un vrai blocage face au concept de "mesure", comme si je savais inconsciemment ne pas être prêt...

- Fais le point, et balise ton manque autour de ce noyau de départ.

- Tu as raison de parler de "manque". En effet, lorsque je suis le nez devant cette espèce de tableau de notre Imaginaire, j'ai l'impression d'être dans la position de Mendeleïev, arrangeant les éléments chimiques pour remplir les cases de son tableau... Je me souviens encore des premières lignes :

• L'imagination Belliqueuse Baissa Car Notre Ordre Fut Net
• Napoléon Mange Allégrement Six Perdrix Sans Claquer Après

J'ai à peu près compris comment passer d'un niveau à l'autre dans le premier mode (i.e.: (☯[∃]𓁝⇅𓁜[⚤]𓁝⇅𓁜[#]𓁝⊥𓁜[♲]𓁝⇆𓁜[∅]☯)𓂀^♧), ce qui m'a pris quelques années il faut bien le reconnaître, et depuis peu, je me préoccupe de passer d'un mode à l'autre. Ce passage se traduisant, en langage des catégories par un changement d'objet final en [∃]. 

- Tu as fait un peu plus (note 1), concernant le secteur au plus près du Réel :

 - Oui, et c'est bien peu !

Mais, OK, partons de là, en prenant comme champ du discours les théories "physiques", exprimables dans un langage catégorique. C'est un objectif que je me fixe je ne sais trop à quel niveau Imaginaire, mais en tout cas, en mode 𓂀^♤, consistant à faire un "pont", entre

• des théories physiques, qui s'expriment a priori entre 𓂀^♢, et 𓂀^♧.
• le langage catégorique, structuré par des règles de niveau 𓂀^♡, nous venons d'en parler dans l'article #3, avec des concepts tels que la propriété universelle ou les transformations naturelles, etc.

Dans ce cadre très, très général, nous avons pu dégager l'idée que la Relativité s'exprime en ([♲])𓂀^♧ et le modèle standard de la physique quantique, à partir de concepts de symétrie de niveau ([⚤])𓂀^♢.

Mais j'ai laissé un peu dans l'ombre un triptyque de Noether sur lequel je n'ai cessé de l'appuyer dans toutes mes réflexions en ([♲])𓂀^♧.

- Autrement dit, que devient-il en ([♲])𓂀^♢ ?

- Effectivement.

1/ Indétermination :

Nous avons déjà une vague idée de l'évolution du concept l'indétermination :

• Au plus près du Réel, en ([⚤])𓂀^♧, nous avons vu qu'il découle directement de la dualité synchronie/ diachronie; (note 2)
• Au plus haut de l'Imaginaire en  ([♲])𓂀^♤ , l'incertitude de Noether rejoint ce que l'on pourrait voir comme le libre arbitre du Sujet.

- Quel libre arbitre vois-tu dans un discours mathématique ?

- Celle du mathématicien qui choisit en 𓂀^♤ de construire tel ou tel "pont" entre théories de mode 𓂀^♡, nous venons de le voir dans le dernier article #3.

Ceci dit, si j'ai l'alpha et l'oméga du concept, tu vois qu'il y a encore du travail pour en tracer l'évolution d'un mode à l'autre.

2/ Symétrie :

Nous avons vu que le besoin de symétrie en ([♲])𓂀^♧ se traduit :

• Par la logique du 1^er ordre en ([⚤]𓁜)𓂀^♧;
• Par le concept de groupe de symétrie en (𓁝[⚤])𓂀^♧;
• Toutes les approches géométriques (𓁝[#]𓁜)𓂀^♧ sont basées sur des principes de symétrie, en particulier :
  • Les solides de Platon;
  • La géométrie de Bachmann (voir "Aspects de la géométrie");
  • La géométrie projective, etc.

De façon extrêmement générale, en ([♲])𓂀^♤, cette recherche de symétrie correspond à une aspiration à l'ordre (ordo ad chaos), jamais assouvie et se tournant in fine vers le Symbolique ([♲]𓁝[∅]☯)𓂀^♤, que nous retrouvons dans la "pulsion unaire" de Lacan, et même assez tôt dans son Séminaire : (note 3)

"Quoi que puissent en penser les esprits qui s’en tiennent aux apparences, ce qui est souvent le cas des esprits forts vous auriez tout à fait tort de croire, même disons ceux qui constituent les esprits les plus positivistes d’entre vous, voire les plus affranchis de toute idée religieuse, vous auriez tout à fait tort de croire que du fait que vous viviez à ce point précis de l’évolution des pensées humaines, les éléments stables ne participent pas de ce qui s’est très franchement et très rigoureusement formulé dans la méditation de Descartes, comme Dieu en tant qu’il ne peut pas nous tromper. (Lacan, Le Séminaire. Livre III. Les psychoses) p. 77 »

Ici aussi, nous avons l'alpha et l'oméga, sans trop connaître le cheminement entre les deux.

3/ Quantité conservée.

C'est précisément ce qu'il s'agit de mesurer.

- Ah ! Tu y arrives enfin !

- C'est encore très flou...

Nous savons, depuis les travaux de Piaget (voir son "épistémologie génétique"), qu'il faut attendre les derniers stades du développement de l'enfant, vers 10 ans, pour comprendre la notion de "conservation de volume", lorsque par exemple, il transvase de l'eau d'un verre étroit dans un bol.

En fin de compte, il semble bien que le volume d'un objet soit une étiquette commode, associée à une figure géométrique pour en discuter sans la dessiner. Lorsque je te parle d'une ferme de 10 hectares dans le Berry, tu comprends tout de suite qu'il ne s'agit pas du même "objet" qu'une autre ferme de 10.000 hectares dans la pampa Argentine. Avec toutes les difficultés liées à cet acte purement intellectuel qu'est la mesure, je te renvoie au Menon de Socrate.

- Tu nous parles de volume ou de surface ?

- "Volume" est un terme générique. Concernant une surface, l'idée de "volume" se réduit à celle "d'aire" de la surface. Pour un bâton, on parlerait de "longueur". D'une façon générale, il s'agit d'une "norme" associée à une forme géométrique.

Autrement dit, il s'agit d'un discours ex post du Sujet  𓁜, concernant un "objet" géométrique, qu'il peut appréhender, soit ex post (globalement) 𓁜, soit ex ante (localement) 𓁝.

- Tu veux dire (𓁝[#]𓁜)𓂀^♧ ?

- Oui, c'est la position de base, pour parler de géométrie, mais nous avons vu toutes les discussions qui surgissent à ce niveau (cf. : "axiome de choix et continuité").

Il y a fondamentalement une incertitude_♲ liée au changement de posture 𓁝/𓁜, lorsque je passe d'un discours où le Sujet se voit :

• en 𓁝 comme "^𓁝partie d'un tout";
• en 𓁜 comme "élément^𓁜 d'un ensemble".

Avec la prise de conscience, au stade du miroir, qu'il y a conservation_♲ du Moi malgré ce changement de posture, les deux  𓁝/𓁜 étant symétriques_♲ par rapport au miroir.

Si donc chacun d'entre nous a vécu cette expérience intime dans sa prime enfance, si même certains animaux supérieurs peuvent également prendre ainsi conscience d'eux-mêmes, je fais le pari philosophique en ([♲])𓂀^♤ que le lien entre incertitude_♲, et symétrie_♲, est le ciment de ce que l'on conserve_♲ en mémoire, l'objet de notre attention et de nos discours.

Là encore, comme tu le vois, j'aurais donc :

• Mon alpha dans l'expérience du miroir, en  (𓁝[#]𓁜)𓂀^♧, avec une expression mathématique du triptyque de Noether en ([♲])𓂀^♧;
• Mon oméga en ([♲])𓂀^♤ comme principe philosophique extrêmement général, gardant une ouverture sur le Symbolique ([♲]𓁝⇆𓁜[∅]☯)𓂀^♤.

- D'accord, il nous resterait donc, pour parler pleinement de physique en termes catégoriques à expliciter ce triptyque en ([♲])𓂀^♢ ?

- Tout juste, Auguste.

- En ce qui concerne la symétrie_♲^♢, nous avons déjà une piste : avec la théorie de jauge et cette distinction nouvelle entre symétries locales et globales, non ?

- Certainement, et concernant l'incertitude_♲^♢, nous avons vu qu'aux 3 types de "sauts" diachroniques de mode 𓂀^♧, à savoir : ⇅,⊥ et ⇆, il faut ajouter le passage d'un mode à l'autre, ce qui équivaut à traverser la feuille de papier qu'utilise Alain Connes dans ses conférences, pour illustrer la dualité de son espace non-commutatif.

- Il te faudrait un nouveau symbole...

- Je propose "⥀" à titre provisoire, avec 𓁝⥀𓁜, pour symboliser l'idée de "rotation" du Sujet passant d'un mode à l'autre :

- Je te vois venir avec tes gros sabots : tu penses au "spin" qui se révèle en mécanique quantique !

- Avoue que, d'un point de vue esthétique, l'idée serait séduisante. En passant de 𓂀^♧ à 𓂀^♢, nous aurions :

• une extension du concept de symétrie_♲^♢, avec cette dualité entre symétries locales/ globales que l'on introduit avec la théorie de jauge;
• un nouveau type d'incertitude_♲^♢, associé au "saut" ⥀ entre modes Imaginaires ♧ et ♢, lié à la représentation sur un ruban de Moebius Imaginaire d'un espace lui-même dual.

- D'accord, et donc, pour en revenir à Noether; de ces deux extensions devrait découler une nouvelle conception de la conservation_♲^♢ ou de la mesure_♲^♢ d'un objet_#^♢ ?

- Tu vois bien que ce n'est pas si compliqué... Nous commençons donc à nous faire une idée de ce que doivent recouvrir les cases Imaginaires en bleu :

- Quid de [#]^♢ ?

- Ah ! J'avoue que jusqu'à présent, j'ai parlé légèrement de géométrie, de topologie, et de groupes d'homologie (note 4). Le moment est venu de faire le tri ! 

Mon idée est la suivante :

• La géométrie se discute en mode 𓂀^♧;
• La topologie se discute en 𓂀^♢.

- Ça fait pourtant un bout de temps que tu parles "d'approche topologique"...

- Oui, mais faute d'avoir différencié les deux modes ♧ et ♢, il y avait comme de la diaphonie dans mon discours, et j'avais du mal à situer la géométrie par rapport à la topologie. En fait, je m'attachais surtout à la double approche du Sujet 𓁝𓁜, qui disparaît dans la rationalité logique limitée à la posture ex post 𓁜.

Le 21/09/2021 :

Pouf pouf, on reprend tout.

- Un problème ?

- Si je continue sur ma lancée d'hier, j'en ai pour des mois de discussions byzantines à caler de force topologie et géométrie sous l'une ou l'autre de mes étiquettes... La démarche est artificielle, et je dois tenter une autre approche.

• En 𓂀^♧ je n'ai finalement_∃, réifié que le singleton (*);
• En 𓂀^♢ je reprends le discours avec deux éléments irréductibles l'un à l'autre : 
  • le singleton (*);
  • le lien, que tu représentes comme tu veux : ⇅, ⊥, ⇆, ⥀

Elle est là l'essence même de la différence entre ces deux modes de pensée :

• En 𓂀^♧ tous les développements sont focalisés sur un objectif : tout ramener au point élémentaire;
• En 𓂀^♢ j'ai d'emblée la notion d'un lien entre-deux, qui n'est pas de même espèce que le point, et lorsque je trace une ligne entre deux points, mon discours s'adapte à la nature de ce lien.

- Tu deviens lourd, à insister comme ça...

- J'insiste parce que justement, c'est tellement au ras des pâquerettes que ça passe sous les radars.

En 𓂀^♧ le géomètre s'épuise à comprendre le passage du point à la droite, puis à la surface et au volume :

• soit dans une démarche immanente, à partir de la théorie des ensembles en [⚤]^♧, ce qui mène à des difficultés sans nom pour passer du discontinu au continu;
• soit dans une démarche transcendante, à partir de principes de symétrie en [♲]^♧, avec Bachmann, et tu définis la droite en pliant une surface et un point à partir de deux droites...
• et tu te retrouves au milieu à traiter du passage (𓁝⇅[⚤]𓁝⇅𓁜[#]⊥𓁜)𓂀^♧.

En 𓂀^♢ la définition d'un "objet" par ses groupes d'homologie emprunte une voie radicalement différente en assumant d'entrée de jeu un double regard sur l'objet (voir "point #9 - symétries") :

• [∃][⚤]𓁜 pour compter des éléments;
• 𓁝[#][∅]  pour délimiter les "vides" dans l'objet.

- Il faudrait expliciter...

- J'avoue que j'étais fasciné par la présentation de Wildberger :

D'une certaine façon, ça me semblait tellement simple que j'y retrouvais la parole millénaire de Lao Tseu (voir "Tao Te King et Dharma"):

"On pétrit de la terre glaise pour faire des vases.
C'est de son vide que dépend l'usage des vases.
On perce des portes et des fenêtres pour faire une maison.
C'est de leur vide que dépend l'usage de la maison.
C'est pourquoi l'utilité vient de l'être, l'usage naît du non-être."

Mais d'un autre côté, je peinais à situer correctement cette démarche qui me semblait fondamentalement étrangère à la géométrie, et même à la topologie algébrique. Rétrospectivement, je pense que c'est parce que je n'avais pas alors pris conscience d'un discours sur deux modes de pensée radicalement différents.

- Quel rapport avec Lao Tseu ?

- Reviens en détail à cette vidéo de Wilberger.

- Désolé, mai je ne vois toujours pas...

- Parce qu'il adopte une démarche immanente, dans un souci didactique, mais qui masque l'essentiel. Il commence par poser des "points" au tableau, qu'il relie ensuite d'une certaine manière, avant d'arriver au principal : la notion de "bordure".

Or elle est là l'idée géniale de simplicité : oublie les surfaces, et compte les circuits fermés. Chacun d'eux délimite un "trou" dans l'objet. Après ce décompte, tu remets à leur place les "surfaces" dont tu as besoin pour définir ton objet, comme un sculpteur projette du plâtre sur une armature en treillis métallique pour faire une statue. Elle est là l'astuce : tu ne sais toujours pas ce qu'est une "surface", mais tu peux les dénombrer comme "manques de trou". Ensuite, par récurrence, tu passes de la surface au volume, etc.

- Mais quel intérêt ?

- En partant du "vide", tu n'as plus besoin de définir ce qu'est un volume, une surface, ou un lien entre deux points, contrairement à la géométrie où l'on cherche une filiation d'un concept à l'autre.

Je ne vais pas refaire tout son exposé, extrêmement clair, mais essaie de revoir sa vidéo avec cette idée en tête : la démarche est essentiellement régressive, à partir de ([∅])𓂀^♢.

- Bon, soit, mais ta régression aboutit malgré tout à des points et des lignes, ou "liens" entre points, non?

- Oui mais tu ne cherches plus à réduire une ligne à une suite de points, en passant directement au mode inférieur, en ([⚤])𓂀^♧ :

1/ Le passage [∃]^♢→[⚤]^♢⥀[⚤]^♧ permet de doter les points (dans la vidéo:  x, y et z) et les liens (i.e.: a, b, c et d) d'une structure de groupe, parfaitement définie en [⚤]^♧: chaque élément renvoie sur Z, sans que les liens ou les points en question aient une quelconque structure géométrique.

2/ Ensuite, la répétition du processus de construction (ou déconstruction) de l'objet permet de situer les divers éléments points⊥ lignes⊥ surfaces⊥ volumes, comme orthogonaux entre eux, en [#]^♢.

3/ L'arrêt du processus ne manque pas d'intérêt : l'objet est parfaitement défini lorsque le groupe d'homologie est vide, autrement dit, on ne peut plus rien ajouter à ce qui a déjà été dit... Ce qui rejoint notre discussion sur la clôture du discours.

Le 22/09/2021 :

- J'ai en tête cette image d'un tore illustrant ce qu'est le groupe fondamental de Poincaré en topologie (voir : point #9 - symétries)

La place du Sujet est en p, et les deux chemins indépendants qu'il peut suivre sont a et b, et nous sommes dans la posture [⚤]𓁝𓁜[#]. La définition du groupe fondamental π_p=(1,a,b) quant à elle s'inscrivant en [⚤], après le retournement du Sujet [⚤]𓁝𓁜[#]⏩[⚤]𓁝𓁜[#]...

Et je me dis que Poincaré pourrait utiliser une chambre à air aussi bien qu'un donut, et en faire le tour, en a ou b, avec du fil à ficeler les rôtis ou une corde à piano, et que cela ne changerait strictement rien à sa démonstration.

- La subtilité de ta remarque m'échappe un peu...

- Lorsque le géomètre trace une figure au tableau, voire sur le sable, il sait que sa figure est "fausse", et tout son art consiste à faire des démonstrations "vraies" à partir de ces figures "fausses".

En topologie, le rapport de la représentation (la figure) au raisonnement n'est plus du même ordre : je peux effectivement faire des "tours" selon a ou b autour de ma chambre à air : le vide, impossible à franchir est bien là et je ne peux faire autrement que de tourner autour. (note du 24/09/2021)

Je te propose de le voir de cette façon : à partir du vide, qui est l'objet initial, (ou ce qui est indicible, hors du discours) je peux utiliser n'importe quoi pour le "connoter" 𓁝[#][∅]. Et ce n'est pas une découverte, mais prendre en considération que cette attitude est celle-là même du conteur connotant un symbole inaccessible 𓁝☯. Souviens-toi de Lévi-Strauss parlant d'une série de mythes du lynx et du coyote :

« … On part d’une opposition majeure entre absence d’arbres (…) et leur présence. (…) Présent, l’arbre est soit concave (la pirogue qui bascule), soit convexe. Convexe, l’arbre se matérialise sous deux formes entre lesquelles existe un rapport de corrélation et d’opposition : la bille de bois à l’extrémité de laquelle la fille s’assied et qu’elle fait basculer, et l’arbre tombé en travers du sentier qu’elle enjambe maladroitement et qui la fait trébucher (c’est alors elle qui bascule).» Extrait de «L'Homme Quantique» Apple Books.

En 𓂀^♢ il faut strictement s'en tenir aux "rapports" entre les objets et non aux objets.

- J'ai compris, mais pourquoi insister si lourdement ?

- Parce que, dans cette présentation d'Étienne Ghys du concept de "revêtements" en topologie algébrique, ce n'est plus le cas :

Les "objets" dont il traite en X et B se définissent à partir de R de niveau [#]^♧. 

Il provient de là mon sentiment d'un discours "diphonique" qui me donne des maux de tête en écoutant un matheux !

La topologie de Poincaré, de même que l'homologie, traite de relations^♢ en 𓂀^♢ quand la "topologie algébrique", avec l'idée de recouvrement_#^♧ est une démarche de niveau 𓂀^♧, avec l'idée cartésienne de ramener l'objet_#^♧ géométrique à une description algébrique_⚤^♧.

Ce qui donnerait quelque chose comme ça :

• L'homologie s'inscrirait dans une démarche : [#]^♢→[⚤]^♢⥀[⚤]^♧
• La topologie algébrique serait une démarche : [#]^♢⥀[#]^♧→[⚤]^♧

Avec ce schéma en tête, je devrais pouvoir compréhendre plus simplement les maths...

- Je croyais que tu t'intéressais à la physique ?

- De façon tout à fait contre-intuitive pour moi, en nous élevant dans l'Imaginaire du Sujet, et donc, en nous éloignant du Réel, il semble plus aisé de traiter des "objets", qui prennent de l'épaisseur.

L'objet de la relativité en [♲]^♧ nous ramène à la géométrie en [#]^♧, mais nous avions déjà noté que nous pouvions amorcer notre second tour Imaginaire, en dotant le domaine/ codomaine • du monoïde •⟲ en [∃]^♢ d'une "masse" si chèrement acquise etc., puisque nous nous intéressions plus aux relations qu'aux objets.

D'ailleurs, le phénomène doit s'amplifier, jusqu'à introduire le Sujet lui-même dans la description de l'objet si, comme j'en ai l'intuition, il faut arriver en 𓂀^♤ pour aborder le phénomène de "choix retardé".

- Attends une minute ! Si, comme tu le dis, nous ne nous intéressons plus à l'objet en lui-même en mode 𓂀^♢, peux-tu me dire ce qui se conserve en [♲]^♢, pour en revenir au triptyque de Noether ?

- Ah ! Ça, c'est la question à 100 balles. Et c'est faute d'y avoir répondu que je ne me sens pas encore capable d'aborder le concept de "mesure" au sens qu'il a en géométrie non-commutative...

Il faut encore y réfléchir. (note du 24/09/2021)

En attendant, bonne méditation...

Hari

Note 1 :

Je reprends ma réflexion à partir des articles suivants :

• bouclage-imaginaire
• foncteurs-et-transformations-naturelles
• mettre-un-peu-d-ordre-dans-sa-tete
• identite-et-equivalence-de-morita

Note 2 :

C'était à l'origine de ma réflexion, déjà dans "L'Homme Quantique", repris dans cet article :

• le-principe-d-incertitude-d-heisenberg-sans-les-maths

Bien entendu, il faudrait le réécrire, mais l'essentiel est déjà là.

Note 3 :

Je te renvoie à "L'Homme Quantique", où j'en discute de façon plus serrée.

Note 4 :

J'utilise d'une façon générique, mal définie, il faut le reconnaître, le mot "topologie", en particulier pour opposer une "approche topologique", caractérisée par une double approche  𓁝𓁜, à une "rationalité logique" qui est par définition exprimée ex post 𓁜.

J'ai plus rarement parlé de géométrie :

• les-objets-de-la-geometrie-d-euclide
• geometrie-et-symetries
• de-descartes-a-leibniz-et-newton
• evariste-galois-part-4-symetrie-et-rotation
• aspects-de-la-geometrie
• notes-1-the-geometry-of-surfaces-algebraic-topology-nj-wildberger
• notes-2-the-geometry-of-surfaces-algebraic-topology-nj-wildberger
• point #9 - symétries

Ensuite j'ai été fasciné un temps par l'idée des groupes d'homologie: 

• les-groupes-d-homologie-du-sujet
• les-groupes-d-homologie-du-sujet-2 Le cogito cartésien
• les-groupes-d-homologie-du-sujet-3-au-dela-de-descartes

Puis je me suis cassé le nez sur la géométrie non-commutative d'Alain Connes:

• rencontrer-alain-connes
• comment-aborder-la-geometrie-non-commutative
• geometrie-non-commutative-2-courbure-et-torsion
• geometrie-non-commutative-3-de-la-mesure

Et c'est sur cette question de mesure qu'il me faut revenir...

Note du 24/09/2021 :

Pour des raisons qui se décantent progressivement au fur et à mesure que j'avance dans cette exploration, je pense aujourd'hui qu'il faut amender ce qu'il faut retenir comme principe de conservation en ([♲])𓂀^♧.

Non pas E=mc², puisque la "masse" s'introduit directement en  ([∃])𓂀^♢ , dans une pensée "relationnelle", comme on le voit ici; mais plus primitivement la conservation de la vitesse propre V²=c², puisque c'est un principe purement géométrique, découlant de ([#])𓂀^♧.

Ce remaniment permet de comprendre qu'en ([♲])𓂀^♢, le principe de conservation concerne cette fois-ci l'énergie.

Et donc la "mesure" concerne cette même énergie, avec une équivalence entre énergie potentielle de niveau 𓂀^♢ et cinétique de niveau 𓂀^♧ grâce au principe de moindre action (voir #5).