Ordre et chaos

- Je prenais une petite pose en préparant ma valise pour demain lorsque, affalé sur le canapé rouge de mon bureau, le dos de ce livre "L'ordre du chaos", que je cherche désespérément dans les rayonnages de ma bibliothèque depuis deux mois, se jette sous mes yeux.

- Tu fatigues mon vieux, tu fatigues...

- Oui, bon, je te retranscris ici le commentaire de la figure :

"Un chaos apparent résulte de opération géométriques successives d'étirement et de repliement. On a pratiqué ce type d'opérations sur une peinture du mathématicien Henri Poincaré. On a d'abord numérisé l'image (en haut à gauche) afin de la traiter par ordinateur. Puis on a appliquer un "étirement-repliment" dont le résultat est analogue à celui que l'on aurait obtenu en plaçant l'image sur une bande de caoutchouc, en le tirant, puis en coupant les parties de l'image qui débordent du cadre est en Les réintroduisant sur le côté opposé ; le résultat de cette première opération est représenté sur l'image 1 (le nombre au-dessus de chaque image indique le nombre d'opérations effectuées). Quand on effectue cette transformation plusieurs fois, le visage se brouille (images 2 à 4), les couleurs se mélangent et l'image toute entière prend une teinte homogène (image 10 et 18). Certains points reviennent cependant, parfois, au voisinage de leur position originale, et l'on voit alors réapparaître brièvement l'image originale (images 47 et 48 et 239 à 241). Dans cette transformation la fréquence de "récurrence de Poincaré", ou réapparition de l'image initiale ; est bien supérieur à ce qu'elle est en général; dans les systèmes chaotiques, ce type de récupération est très rare." 

- D'accord, c'est intéressant, mais quelle est l'urgence de cet article?

- Je relisais ce matin mon premier article sur le livre d'Alain Connes et Patrick Gauthier-Lafaye (voir "À l'ombre de Grothendieck et Lacan #1") où j'ai beaucoup insisté sur la notion de clôture de l'Imaginaire, dès lors que tu es passé par la case [#]𓁜^♧ (i.e.: le point à l'infini de R, d'ordre spatial), même lorsque, ainsi qu'Alain Connes le rappelle dans son introduction, tu clos rétroactivement N⁺ en [⚤]𓁜^♧ par un point à l'infini, mais de l'ordre d'une succession temporelle, celle-ci.

J'aurais voulu donner une image de cette clôture imaginaire propre à frapper les esprits, et j'avais cette planche photographique en tête, sans arriver à remettre la main dessus.

- C'est chose faite, donc. Mais qu'en tires-tu ?

- Alain Connes nous parle d'une démarche infinie, mais comme tu peux le constater sur cette série d'images, lorsque tu construis une procédure telle que cet enchaînement d'étirements-repliements, tu restes malgré tous tes efforts, coincé dans ton Imaginaire, qui va te représenter des états du processus, déjà vécus. C'est tout à faire cohérent avec ce que nous avons vu du processus de lecture chez Dehaene (voir mes articles sur son livre "Les neurones de la lecture" à partir d'ici).

- Il y a le nombre π...

- Oui, bien sûr... Cependant, le cercle est "représentable" en mode ♧:

• Au niveau [♲]𓁜 tu as l'idée que l'écartement entre les pointes du compas est "constant", quelque soit l'orientation du compas lorsque tu dessines un cercle;
• Au niveau [⚤]𓁜 tu peux "mesurer" cet écartement;
• Au niveau [#]𓁜 tu peux tracer le cercle sur une surface en 2D.

La difficulté tient à la comparaison que tu voudrais faire en [♲] entre l'aire d'un carré_# et celle d'un cercle_# qui sont "sans commune mesure" au niveau [#] (i.e. (carré_#⊥cercle_#)_⊥𓂀^♧) par une mesure commune en [⚤]. L'infinitude de π tient au sauts diachroniques du Sujet passant de [⚤] à [#], mais d'une certaine manière, son parcours est "balisé" dans son Imaginaire et tu peux le voir sauter de [♲] à [#] et [⚤]. (Note 1)

Là, il s'agit d'autre chose : l'idée c'est que la répétition du même ne pourra jamais te faire sortir de ce que tu as déjà conceptualisé.

Et cela tient à notre façon d'organiser notre Imaginaire pour y repérer des "symétries"...

- Toujours Noether ?

- Plus que jamais, de plus c'est repérable de nos jours par l'imagerie du cerveau ! 

Hari.

Note 1 :

- À la relecture, ce n'est pas si évident, mais considère ceci :

• En passant de [⚤]⇅[#], on passe de N à R et l'argument de Cantor permet de comprendre que R n'est pas dénombrable;
• Ensuite, la répétition de R⊥R en [#] donne C (ou l'espace en 2D);
• Une "approche algébrique" d'un nombre en C (tel que π) consiste à établir une série de sauts [⚤]⇅[#](i.e.: une procédure), par exemple en approchant le cercle par une famille de polygones.

Or cette "série" ⇅ est dénombrable (i.e.: chaque élément est repérable par un indice∈N⁺). En suivant cette procédure, le Sujet reste bloqué en [⚤]𓁝⇅𓁜[#]; et le passage en [#]𓁜 marque le passage des nombres algébriques à C, qui peut se traduire par un "passage à l'infini" (i.e.: de cet infini temporel qui clôt N⁺).

En ce sens, désigner un nombre en C par le signe "π" revient à clore notre Imaginaire en forçant le saut : ([⚤]𓁝⇅𓁜[#]⏩𓁝[#]𓁜)_⇅𓂀^♧.

- Cependant, il n'y a aucune répétition dans les décimales de π, contrairement à cette image de Poincaré qui revient assez vite, quelque centaines d'itérations, je maintiens donc ma réfutation.

- Sans doute, et cette planche de photos n'est pas une démonstration... Mais sans aller trifouiller jusqu'aux fin fond des mathématiques, avoue qu'au quotidien, lorsque tu es coincé dans un automatisme de répétition en [⚤]𓁝⇅𓁜[#], tu as bien souvent le sentiment de repasser par les mêmes expériences, non ?

D'ailleurs, si l'on n'a pas pu trouver à ce jour de séquence de répétition dans les décimales de π, à tout le moins en existe-t-il au moins une : celle des signes (par exemple 10 en notation décimale : "0"_⚤, "1"_⚤,..., "9"_⚤) qui servent à le représenter en [⚤]; ce qui correspond à la pixelisation opérée sur la photo avant de la transformer...

- Mouais, j'ai plutôt le sentiment d'une pirouette pour t'en sortir... Cette impossibilité de comprendre la succession des décimales dans le nombre π, n'est-ce pas plutôt le choc d'un Réel qui te rattrape en [#] ? D'ailleurs l'abondance des réflexions que tu es amené à aligner pour t'en sortir en est le symptôme.

- C'est-à-dire ?

- Le Réel vient te chercher dans cet Imaginaire que tu commences à construire en [⚤] pour le rationaliser, à l'aide de ta logique du 1^er ordre. Mais dès que tu passes en [#], il t'échappe, dans les termes mêmes que tu utilisais pour l'apprivoiser...

- Je pense qu'il va me falloir y méditer quelque temps encore...