En roue libre

- J'ai un goût de manque en relisant mon dernier article "Dialectique et orthogonalité #2".

- Reprends-le.

- Non, je le trouve très bien tel quel, mais cette idée d'une orthogonalité entre Relativité, comme aboutissement d'un mouvement → en mode ♧ et Méca Q liée à un mouvement ♡↓♧, d'où un hiatus en [♲]^♧:

appelle des développements, qui relèvent plus du rêve ou de l'association libre d'idées que d'une démarche rationnelle. Il est temps de laisser les rennes au cerveau droit.

- D'accord... Mais qu'est-ce qui te vient, là immédiatement à l'esprit?

- Une question : qu'est-ce qu'un objet ? Et d'abord, comment un simple point (*) comme objet final en [∃]^♧, va-t-il aboutir à une loi de conservation de sa vitesse propre v̅.v= c² en [♲]^♧? Dans l'aventure, l'objet s'évanouit en cours de route, sa substance même n'étant plus qu'un pli de l'espace-temps en [♲]^♧.

- C'est assez cohérent avec la suite : en [∃]^♢ tu réifies le mouvement lui-même comme objet final, qu'il s'agisse du morphisme élémentaire en théorie des Catégories, ou de la quantité de mouvement  p⃗=mv⃗ en physique.

- C'est moins une réponse qu'une fuite en avant. Si donc ce que je perçois de l'objet résulte ou est un mouvement, qu'est-ce alors qu'un mouvement?

- Il faut rapporter ce qui est de l'objet à ce qu'il n'est pas.

- Reste simple...

- Pense à la chasse. La cible qui t'intéresse, c'est ce qui bouge sur un fond diffus, comme le lièvre qui saute dans un terrier...

- Ça fait donc un rapport à 3, entre Alice qui perçoit l'un et l'autre et rapporte le mouvement du lièvre au terrier où il s'échappe.

- Oui, et c'est en cela que le mode syntaxique ♡ est celui du Sujet. La syntaxe structurant les choix qu'il opère.

- D'accord, mais tu rabâches ce que nous savons depuis longtemps... Tu tournes en rond mon ami. Qu'est-ce qu'il fait, concrètement, ton Sujet pour repérer son objet ?

- Nous avons vu qu'il opère trois choix :

Choix d'une base	Choix d'une topologie	Choix d'une mesure
Descentes de Grothendieck	Préfaisceaux	Théorie de la mesure

- C'est une proposition qu'il faudrait argumenter un peu plus sérieusement !

- Bien sûr, mais aujourd'hui, c'est relâche, laisse-moi vagabonder à ma guise. J'ai envie d'essayer ceci :

• La mesure comme le questionnement auquel elle répond sont tournés vers l'objet "en soi", si tant est que cette expression est un sens;
• La base serait un repérage général de son environnement.

- Qu'entends-tu par un repérage de l'environnement de l'objet ?

- Je pense toujours au triangle de Penrose (voir ici dans "Parole et création #1"). On détermine d'abord un univers des possibles, et ensuite, par une restriction_⚤^♢, on tente de cerner l'objet. En l'occurrence, il est impossible de définir ce triangle en 3D.

- Et le niveau [#] ?

- Il est coincé entre les [⚤] et [♲], et le niveau [#]^♢ de la topologie proprement dite, entre les modes ♧ & ♡ est au centre de tout. En physique (voir "Le discours du physicien"), c'est là que je situais l'énergie potentielle en regard de l'énergie cinétique en [#]^♧. Les équations de la physique traitant du passage de l'un à l'autre.

- Là encore, l'objet est situé en creux en [#]^♢, défini par sa place dans son environnement. En topologie, il est également défini par ses vides.

- Oui, c'est comme si le vide ∅ gagnait du terrain à chaque tour dans notre Imaginaire.

- Prolonge cette idée, de quoi s'occupe Grothendieck ?

- De la permanence de l'objet lorsque l'on change de base... (voir "Parole et création #1")

- Tu tiens quelque chose, là !

- Oui, il semble y avoir un glissement que j'ai surligné en bleu dans le schéma ci-dessous; qu'il faudrait rapprocher de celui que nous avions vu dans "S'imaginer un topos",  surligné en jaune concernant le concept d'orthogonalité :

- Autrement dit, en mode ♡, l'objet serait en creux, comme ce qui reste à travers des changements de bases, et l'objet final, une "orthogonalité" entre deux mouvements ? Et tu trouves ça éclairant ? 

- Tu as raison, ça brouille plus les idées qu'autre chose (le 09/ 04/ 2024)

Le 07/ 04/ 2024 :

- En repensant à Alice ce matin, j'ai cherché à illustrer mon propos, et au lieu du lièvre, c'est le chat du Cheshire qui s'est imposé :

♡			♢
		=>
	⇘		⇙
	♧

- Tu as toujours eu un coup de coeur pour Alice...

- Facile... Mais plus sérieusement, je pense que l'on peut caractériser nos trois modes en termes "catégoriques" de cette façon :

• ♧ : la catégorie Ens, autrement dit, les ensembles, (sans structure de groupe) avec (*) comme objet final en [∃]^♧;
• ♢ : la catégorie des 1-Catégories avec le monoïde "•⟲" en [∃]^♢;
• ♡ : la catégorie des 2-Catégories avec le cône "•<" comme objet final en [∃]^♡.

- C'est quoi ce cône ?

- Quelque chose dont j'ai vaguement entendu parler mais qui d'un coup me semble nécessaire. L'idée étant qu'une flèche cartésienne (voir ici) serait un cône avec une "restriction", vue comme une "orthogonalité" entre les deux flèches d'un bi-morphisme.

- Tu avais parlé d'orthogonalité en [∃]^♡ ?

- Oui, mais je me demande s'il ne faudrait pas élargir le champ, et considérer l'orthogonalité comme une restriction algébrique, en [⚤]^♢. Je tâtonne, et c'est un simple article de défrichage, nous restreindrons ensuite le champ des possibles.

Le 08/ 04/ 2024 :

- Il y a quelque chose qui coince dans ma représentation de la physique. 

- On peut savoir ?

- J'ai établi une hiérarchie implicite entre mécanique newtonienne et Méca Q qui ne tient pas la route.

- On peut savoir ?

- J'ai écrit que l'équation de Lagrange, qui est à la racine de toute la physique, établit une correspondance entre énergie potentielle en [#]^♢ et énergie cinétique en [#]^♧ quand, par ailleurs j'ai organisé les objets finaux de la physique dans cet ordre : (°) en [∃]^♧,  p⃗=mv⃗ en [∃]^♢, et ih en [∃]^♡; mais ça ne colle pas, car l'orthogonalité espace⊥temps qui s'introduit dans l'équation de Schrödinger avec ce "i" est une restriction d'une écriture plus générale que l'on retrouve dans l'expression newtonienne de la quantité de mouvement p⃗=mv⃗.

- C'est l'idée de morphisme cartésien, comme restriction du concept de cône qui t'as mis la puce à l'oreille?

- Sans doute, car ce matin au réveil, j'ai eu l'impression que tout se brouillait. Au point de me dire qu'il fallait peut-être recourir à un Imaginaire sur 4 modes avec l'idée de "pont" d'Olivia Caramello pour m'en sortir, mais je ne me sens pas prêt.

- Et donc ?

- C'est toujours pareil : tout nouveau concept doit se représenter comme restriction au sein d'une conception de portée plus générale. La démarche n'a pas changé depuis Galois. 

Historiquement, l'équation de Lagrange reprend le principe de moindre action de Maupertuis, qui se réfère à l'Être Suprême pour le justifier. Autrement dit quelque part en [♲]^♡, si nous nous limitons à un Imaginaire sur 3 modes. Et le passage relativiste, non quantique, se représente bien par un passage direct de [♲]^♧↑[∃]^♡, avec p⃗=mv⃗ comme objet final.

- D'où, si je te suis bien, l'objet final ih de la Méca Q qui doit être vu comme une restriction de p⃗=mv⃗ en [∃]^♢?

- Voilà : la Méca Q, qui est historiquement une avancée par rapport à la mécanique classique, n'en est pas moins une restriction de celle-ci. Il faut donc situer les différentes postures du Sujet parlant de physique, de cette façon:

- Et l'orthogonalité entre Relativité et Méca Q ?

- Elle est plus complexe à représenter que je ne me l'imaginais : non seulement il y a une différence de type S↑/ S↓, comme indiqué sur mon premier schéma, mais de plus la Relativité se déploie entre ♡ et ♧ en ignorant le mode  ♢ !

- Dans ce cas, ça permet de voir la construction du Lagrangien du modèle standard dans le même esprit que les extensions de Galois? (Note 1)

- Oui, avec une additivité qui cadre bien avec la superposition des états quantiques dans l'approche de Dirac... Ça semble d'équerre si j'ose dire. Mais je te propose de laisser là ce chantier, pour nous concentrer sur la représentation d'un topos, car nous n'en avons toujours pas fini avec lui.

- OK, et donc, dans un langage catégorique :

• Le cône "•<" serait l'objet final en [∃]^♡;
• Le monoïde "•⟲" reste l'objet final en [∃]^♢;

Et le foncteur cartésien de Jean Bénabou apparaîtrait en [⚤]^♢?

- Oui, l'idée que je m'en fais a priori, est que la flèche verticale ↓, doit se traiter en utilisant les préfaisceaux en [#]^♢, et la flèche horizontale ← comme une restriction des possibles, en termes algébriques en [⚤]^♢.

- Et le topos ?

- On peut le comprendre comme "le lit commun du discret et du continu" c.-à-d. en [♲]^♢. C'est l'approche de Grothendieck, que tu retrouves chez Laurent Lafforgue (voir"S'imaginer un topos").

- Mais  je présume qu'il faudrait voir ceci comme une restriction des possibles imaginables en mode ♡, non?

- Oui, c'est du moins ce que je retire des interventions de René Guitart. (Note 2)

- Stop ! Avant d'aller plus loin, il te faut reprendre ton joli schéma de l'Imaginaire (ici), sur lequel tu avais repéré un glissement des concepts d'orthogonalité et de vide.

Le 09/ 04/ 2024 :

- Petit coup de blue depuis hier : l'idée d'une régression du concepts d'orthogonalité en passant d'un mode à l'autre ne tient pas la route (voir schéma ci-dessus).

L'orthogonalité est une idée tardive, et le mode ♢ s'intercale dans un Imaginaire pré-existant limité à ♡ & ♧.

- Pourquoi ne pas réorganiser les modes en intervertissant ♡ et ♢ ?

- Mouais, avec une expression algébrique de l'orthogonalité en [⚤]^♡, connue depuis longtemps. Mais c'est compliqué, et puis le niveau [#] lui-même s'introduit tardivement dans le schéma... Non, oublions tout ceci qui nous encombre l'esprit sans grand profit. Je raie le passage dans l'article.(Note 3)

L'idée qu'il faut mettre en avant est sans doute celle d'une approche du mode ♡, par une série d'extensions orthogonales de mode ♢. Cette voie ♢ étant le médiateur entre  ♡ & ♧. D'où le schéma inspiré de la physique :

- Je ne comprends pas pourquoi tu te prends la tête avec ça ?

- Parce qu'il y a une seconde approche du topos .

- Tu n'as toujours pas décollé de l'article "Géométrie arithmétique - analytique Michel Raynaud" en fait...

- Je pensais plutôt à une présentation d'André Joyal (voir "Cohomologie #2 Reprise")

• "Une sous-catégorie ℂ d'une catégorie 𝐄 est réflexive si l'inclusion ℂ→𝐄 a un adjoint à gauche L: 𝐄→ℂ;
• ℂ est dit être une réflexion à gauche exacte si L préserve les limites finies;
• Définition : un topos est une réflexion exacte à gauche d'une catégorie Set^ℂ."

L'objet Set^ℂ. est ce que l'on pourrait appeler un "gros objet" ; à situer en mode ♡, quand Set est en [⚤]^♧.  Dans ces conditions, le topos vu comme partie de Set^ℂ, préservant les limites finies, et donc dans un passage [⚤]𓁝𓁜[#] serait en mode ♢.

-Acouche ! 

- Et bien je vois le topos dans une définition duale :

• Défini en mode ♢: c'est le lien en [♲]^♢ entre discret [⚤]^♢ et continu [#]^♢;
• Défini comme "passerelle" entre modes ♡ et ♧, sa structure se décrit en [⚤]^♢;
• Les deux points de vue sont orthogonaux.

- En bref, c'est une crucifixion ?

- Amen

Hari

Note 1 :

J'ai en tête une présentation d'Alain Connes à des physiciens. Voir :

• "Comment aborder la géométrie non commutative #1"

Note 2 :

Voir en particulier : "2^è colloque Lysimaque #1"

Note 3 : du 10/ 04/ 2024

Dans mon coup de blues d'hier, j'ai effacé un passage dans lequel je présentais les 2 constituants du monoïde "•" & "⟲" comme "orthogonaux", pour garder cette idée de régression du concept d'orthogonalité figuré par cette zébrure jaune sur mon schéma de l'Imaginaire.

Et ce matin, en route pour Freiburg, parti acheter des "Fin Comfort" introuvables en France, me vient la réflexion suivante : et si l'on prenait au sérieux cette idée que le "mouvement" est orthogonal à "l'objet", le pas suivant consisterait à considérer le "mouvement du mouvement", soit l'accélération comme orthogonale à la vitesse... Autrement dit, on retrouverait pour la masse ce que l'on a déjà pour la charge électrique, avec une orthogonalité entre champs électrique et magnétique....

Et si les questions de masse noire et énergie noire étaient tout simplement dues à ce manque de perspective? N'est-ce pas d'ailleurs l'essence même de la différence qui m'avait offusqué à l'époque dans le traitement du temps dans l'équation de Lagrange, entre d(...)/dt et ∂(...)/∂t ? (voir "Newton Lagrange Legendre Hamilton Poisson et les autres").

Cette question du "temps" de la vitesse et du "temps de l'accélération" m'avait déjà titillé les neurones lorsque j'écrivais "L'Homme Quantique", où j'avais fait une longue note sur la différence entre "masse inerte" et "masse grave" :

«Newton établit l’équivalence entre ces deux masses sans toutefois en avancer de justification théorique (principe d’équivalence faible). Depuis lors, leur égalité a été expérimentalement vérifiée à 10-12 près (c’est en fait leur proportionnalité indépendante de la nature du corps qui est vérifiée, d’où leur égalité par un choix judicieux d’unités de mesure). 
...
Maintenant, lorsque fin 1905, Einstein écrit sa célèbre formule : E = m.c² il nous offre la possibilité d’abaisser d’un cran le niveau Imaginaire où s’effectue la comparaison, à savoir celui où s’exprime la vitesse (comme l’énergie) et donc à un niveau Ik = Ix.
Mais il reste toujours un saut diachronique à effectuer pour comparer la masse inerte (en Ix-1) à la masse grave (en Ik = Ix) car, tout ce que nous avons vu, jusqu’ici, ce résume à ceci :

• Une masse inerte mi en Ix-1, dont l’évolution en Ix s’exprime dans les termes temporels propres au saut Ix-1/Ix, c’est-à-dire la vitesse et le moment (i.e. : mv) ;
• Une masse grave ma en Ik, dont l’évolution en Ik+1 s’exprime dans les termes temporels propres au saut Ik / Ik+1, c’est-à-dire la variation de vitesse dans le temps, ou accélération. 

En d’autres termes, il s’agirait de deux référents (Imaginaires) se distinguant par leur niveau diachronique, et renvoyant à un seul et même référé (Réel).» L'Homme Quantique note VI

Bon, il faudrait reprendre toute la note dans notre perspective actuelle, toujours est-il que la différence entre masse grave et masse inerte n'a toujours pas été démontrée théoriquement.

Dans la perspective qui s'offre à nous, on pourrait considérer le rapport entre objet/ mouvement/ accélération comme celui qui s'établit, pour une approche de la topologie par les simplexes, entre ∆⁰, ∆¹, ∆².

Par ailleurs, et j'arrête là mes délires du jour, si l'on pouvait retrouver ainsi une similitude entre gravité et électromagnétisme, la notion de quarks, avec les couleurs, viendrait comme une sorte d'écho, ou de réplique à ce qui se donne avec

1. La gravité (un pôle : 1 la masse),
2. L'électromagnétisme (2 pôles électriques),
3. La couleur (3 états des quarks)...

Bon, j'arrête là mes délires pour aujourd'hui, mais l'idée d'orthogonalité entre vitesse et accélération me semble intéressante, d'ailleurs on la retrouve dans l'effet gyroscopique. La question étant dès lors: pourquoi ne l'observe-t-on que pour les "mouvements circulaires" ou mieux: pourrait-on penser, comme pour les ondes magnétiques que toute "variation" de vitesse est par essence circulaire, à rapprocher du ralentissement de l'expansion de l'Univers ?

Le 11/ 04/ 2024 :

- Puisque cet article me sert de défouloir, une petite dernière :

• Lorsque j'exprime une loi physique par une équation dans ℂ, autrement dit un "espace" des nombres, muni qu'une métrique hyperbolique, comme l'a découvert Poincaré, nous sommes dans un mouvement horizontal ← de mode ♢ i.e.: [⚤]^♢←[#]^♢; 
• Lorsque je cherche à représenter géométriquement_#^♧ le monde qui m'entoure, il s'agit d'un mouvement vertical ♢↓♧: i.e.: [#]^♢↓[#]^♧.

Dans un monde brut en mode ♧, idéalement sans structure me rattachant à lui, hors de mon Imaginaire donc; question : qui me dit que ce monde en ♧ garde la métrique que j'ai imaginée en ♢ ?

- Tu redécouvres l'eau tiède : la relativité s'exprime dans l'espace ℍ avec sa métrique propre.

- Bien entendu, mais ℍ me semble devoir être placé en [#]^♢, quand la descente [#]^♢↓[#]^♧ est brutale, conçue comme le foncteur d'oubli qui fait passer du monoïde •⟲ au singleton "•".

Par ailleurs, ta remarque pointe la question de la compatibilité entre la Méca Q, qui s'exprime en ℂ et la Relativité, avec la norme de Minkovski en ℍ. Disons que mon interrogation du jour est plus radicale: le passage ♢↓♧ est une dégénérescence dont le résultat n'est plus exprimable en mode ♢; aux portes du Réel.

Le 12/ 04/ 2024 :

- Vois comme les choses s'enchaînent bizarrement : ce matin, en regardant les statistiques du blog, je remarque un nombre significatif de vues de l'article "L'Imaginaire fractal", écrit en 02/ 2015, pas longtemps après l'écriture de l'Homme Quantique". Je le relis par curiosité, pour tomber sur un lien avec un autre article "La gravité, une question de poids" dans lequel je reviens sur la différence masse grave/ masse inerte, qui ressurgit dans mon esprit ces temps-ci, tout bêtement, pourrait-on dire, après avoir pensé :

"et si le concept d'accélération était orthogonal à celui de vitesse, au sens où, en topologie, les différents simplexes ∆⁰, ∆¹, ∆² sont orthogonaux entre eux?"

- Tout ceci t'éloigne des topos...

- Oui, mais je ne peux pas continuer sans mettre d'équerre ma propre représentation du champ Imaginaire où situer la physique. 

- En quoi consiste cette mise au point ?

- J'ai tendance à trop investir le mode ♧ de considérations qui sont manifestement de modes supérieurs !

- Exemple ?

- J'écris depuis quelque temps que la physique doit se traiter comme le rapport d'une énergie potentielle en [#]^♢ et d'une énergie cinétique en [#]^♧, je dirais que c'est une conception qui, avant la théorie des groupes, et l'introduction du mode ♢, pouvait se comprendre comme un passage ♡↓♧, peut-être même, en l'absence du niveau [#], comme s'exprimant ainsi : [♲]^♡↓[♲]^♧.  Il faudrait le vérifier en reprenant l'histoire de la physique de ce point de vue, pour voir si ça colle, en particulier avec la Relativité. 

Toujours est-il, ici et maintenant, avec une Méca Q, s'exprimant nécessairement par le langage catégorique, que le schéma primitif  [♲]^♡↓[♲]^♧ est médiatisé en mode ♢ et niveau [#], autrement dit en [#]^♢ lieu de la topologie.

- D'où l'idée des simplexes ∆⁰, ∆¹, ∆² ?

- Exactement. 

- Que devient ton idée de la liaison énergie potentielle—[#]^♢↓[#]^♧—énergie cinétique ?

- L'énergie cinétique est associée à un corps identifiable, quand l'énergie potentielle est due à un "champ", et après ce que nous avons vu du schéma de Grothendieck, je trouverais élégant de tourner de 90° notre esprit pour y voir un "schéma" de Grothendieck : énergie cinétique—[⚤]^♢←[#]^♢—énergie potentielle; avec une loi (i.e.: le Lagrangien) établissant le lien entre les deux en [♲]^♢.

- Et l'objet dans tout ça ?

- Par analogie avec ce que nous avons vu de l'homologie, il faudrait trouver l'équivalent des groupes d'homologie pour définir :

• En ∆⁰ : la masse de l'objet ;
• En ∆¹ : la vitesse de l'objet;
• En ∆² : l'accélération de l'objet.

Les groupes d'ordre supérieur étant ∅.

Maintenant, il faut que je rumine un peu cette approche pour avancer vraiment...

Le 09/ 04 - Voilà