De l'axiome de choix en mathématiques à l'indétermination en physique

- Je n'arrête pas de penser à mon schéma d'hier (note 0) destiné à mettre en évidence une relation entre la brisure de symétrie covariance/ contravariance et celle relative au sens de rotation.

Si tu laisses un peu de mou à ton imagination, tu verras sans doute comme moi, qu'à la limite inférieure I01 de la pensée rationnelle, lorsqu'approche locale (en I'm) et globale (en Im) se rejoignent : I'm=I01=Im, alors, la notion de "rotation" se radicalise: de spatial à l'origine, elle ne relève plus que de la succession :

Produit (multiplication) : p_i◦f=f_i
Co produit (somme) : g◦j_i=g_i

- C'était la chute de ton dernier article, et je pensais qu'aujourd'hui tu poursuivrais, mais j'ai l'impression que tu pars encore le nez au vent !

- ll sera toujours temps de faire les coutures définitives, je préfère pour l'instant continuer d'assembler les pièces à grands points de bâti, et puis je dois saisir au vol l'idée que j'ai eue ce matin en me brossant les dents:

"Le Sujet est libre de choisir entre les positions I'm et Im".

- Il n'y a rien de nouveau là-dedans ! Bien sûr qu'il peut choisir, puisqu'il est l'auteur du discours.

- Tu ne comprends pas l'enjeu de cette évidence.

L'une des grandes controverses en mathématiques tourne autour de l'utilisation ou non de l'axiome de choix (note1), et nous avons situé le problème au niveau I1, comme l'affirmation par Im de l'existence d'un objet : ∃(*) dans la position R<I1≤Im.

Ensuite, après un premier recul de Im, il est facile d'entrer dans le domaine des maths, en partant de la logique qui s'établit entre I1 et I01, par un choix entre les deux morphismes élémentaires allant de l'objet final (*) vers les éléments de l'objet discriminant {{*};{}} en I01, dans la position R<I1<I01≤Im :

Id : (*) → {*}
¬ Id : (*) → { } (note 2)

À partir de là tu peux écrire des bibliothèques entières sur le sujet.

Il restait malgré tout une ambiguïté résiduelle dans cette description, qui tient à la définition précise des positions extrêmes du Sujet, à savoir R<I1<I01=Im, c'était l'objet de notre dernière discussion, mais plus primitivement R<I1=Im, qui est proprement l'instant de l'émergence de l'objet à la conscience du Sujet, dans le mouvement de bascule qui le porte d'une position ex ante à ex post : R<Im=I1<S<DM => R<I1<Im.

Dans le premier cas, tu retrouves la liberté fondamentale du Sujet qui est de choisir, comme dit Lacan, de mentir ou pas, dès qu'il peut s'exprimer; le langage offrant fondamentalement au Sujet la liberté de mentir.

Maintenant, nous venons de mettre en lumière une autre liberté du Sujet, ne concernant plus ce qu'il dit, mais ce à quoi il se réfère pour le dire. Ceci nous ramène au geste littéralement révolutionnaire de Descartes consistant à tourner son regard vers l'objet final, en l'occurrence lui (je pense), dont il choisit d'affirmer l'existence (je suis). Je vais un peu vite, mais encore une fois, de tout ceci nous avons discuté jusqu'à plus soif.

- Il n'a pas été le premier à le faire.

- Mais il fut le premier à affirmer sa propre position dans son discours. Le choix de Descartes est double:

Il abandonne une position ex ante tournée vers le niveau Symbolique (locale : je suis à l'image de Dieu), pour assumer une position ex post (globale : la méthode), i.e.: rationnelle-logique; ce qui nous conduit rétrospectivement à réfléchir à la dualité des points de vue de Im et I'm.
Il affirme l'objet de sa pensée (son ego). (note 5)

Or, cette liberté première se traduit dans le langage mathématique par une différence entre covariance et contravariance dont nous avons remonté la trace en I01, jusqu'aux opérations élémentaires que sont l'addition et la multiplication.

- Si je te suis bien, l'axiome de choix serait la conséquence de ce retournement du Sujet ? Mais y a-t-il réellement affaire de choix dans l'histoire ?

- Tu m'entraines dans les méandres d'une dissertation philosophique sans fin! La réponse dépend certainement du niveau Imaginaire où tu places le Sujet.

Considère la première bascule : R<Im=I1<S<DM => R<I1<Im

Je ne saurais dire si le mouvement est conditionné par la volonté seule du Sujet ou s'impose à lui. Lorsque le Maître tombe de cheval et se blesse au genou, la discussion avec Jacques tourne immédiatement autour de ce trauma imposé par le Réel, et l'on en oublie ses amours. Par contre, lorsque Descartes a l'intuition de son ego, quoique conditionné par son histoire, il s'affirme sans conteste dans sa prise de conscience.

Ensuite, lorsque le Sujet monte dans son Imaginaire : R<I1<Im<I10<S<DM => R<I1<I01<Im l'emprise du Réel se relâche.

Prends par exemple la construction de l'ensemble des entiers naturels N. La première idée est d'utiliser la multiplication à partir de {*}, mais tu peux choisir une construction additive à partir de { }; moins évidente, mais faisable. Il y a bien dans toute construction mathématique plusieurs façons de définir un objet. Le choix est alors directement dépendant du Sujet, en fonction de ce qu'il juge pertinent ou esthétique.

En dernier ressort, la discussion concernant l'utilisation ou non de l'axiome de choix relève de ce recul en I01...

- Je me demande si tu ne sur-représentes pas le mouvement initial R<Im=I1<S<DM => R<I1<Im ?

- Qu'entends-tu par là?

- Jusqu'à présent tu n'as jamais fait régresser la différence d'approche locale/ globale à ce niveau I1, et somme toute, la nécessité ne s'en faisait pas sentir. Aujourd'hui, c'est après des considérations portant sur la relativité générale, que tu redescends toute la chaîne Imaginaire pour revenir à ton point de départ, avec des questions qui ne se posaient pas alors, d'où mon interrogation.

- Cela prouve tout simplement que nous sommes toujours en train de réinterpréter nos représentations, comme nos souvenirs d'ailleurs. Le processus est sans fin.

Je dirais qu'aujourd'hui j'ai enrichi mon système de représentation du Sujet en interprétant la brisure de symétrie entre les positions ex post/ ex ante qui est par essence un mouvement diachronique, en le re-présentant par une "rotation", donc une représentation synchronique, qui dégénère d'un niveau au précédent jusqu'en I1.

La précédente étape a été l'introduction de la différence de points de vue local/ global, dont la nécessité venait de la brisure de symétrie entre foncteurs variant/ contravariant. Et il m'a bien fallu une année pour en tirer toutes les conséquences, jusqu'à cette notion de rotation à laquelle nous sommes arrivés.

- Belle envolée! Je vois que tu es en pleine forme. Mais comment en arrives-tu à la physique ?

- Le spin mon ami, le spin ! Tu sais que ce concept me tracasse depuis longtemps (note 3) parce que je n'en comprends pas l'essence: imagine la rotation d'une toupie par tout ou rien !

Or, nous venons justement de voir en mathématique le même type de dégénérescence en une opposition simple : gauche/ droite en I01. (note 0)

- Une minute ! Le spin, lui, ne dépend pas d'un changement de position du Sujet, puisque précisément la différence de spin est absolue : +1/2 ou -1/2 et sa mesure aléatoire.

- Oui, mais cela me donne quand même à réfléchir.

À partir du concept de "saut diachronique" exprimable par un morphisme "↑" entre I1/I01 (note 1), nous avons déjà rapproché:
- Principe d'incertitude (note 4),
- Liberté du Sujet .
À partir de la notion de rotation (un concept synchronique cette fois-ci exprimable par des morphismes "→"), nous avons noté qu'elle dégénère en I01 en une opposition de type ⇆ / ⇉ ; ce que je tente de rapprocher de l'incertitude attachée à une mesure de spin en physique.

Autrement dit :

À chaque degré de liberté du Sujet correspondrait un degré d'indétermination de l'Objet.

- J'aimerais voir ce que cela donnera lorsque nous parlerons d'invariances et de symétries en théorie de jauges !

- Beau sujet de méditation en perspective, n'est-ce pas ?

Hari

Note 0 Lisez le précédent article pour comprendre l'objet de ce billet !

"De la "propriété universelle" en théorie des catégories"

Note 1

C'est un sujet que nous avons déjà beaucoup débattu ici, sur ce blog, à partir de ce premier article sur la question:

"Axiome due choix et création"

Le point que je présente ici en est l'aboutissement temporaire. Je rappelle que nous utilisons pour exprimer tout ceci la plus élémentaire des catégories, celle des ensembles (Ens).

Note 2 du 28/08/2019

J'ai coupé une remarque qui alourdissait le texte, mais sera utile dans un développement ultérieur:

Il serait bon de distinguer entre morphismes ↑ et morphismes →.

Les morphismes ↑ entre domaine et codomaine de niveaux Imaginaires distincts (i.e.: diachroniques);
Les morphismes → entre objets de même niveau Imaginaire (i.e.: synchroniques).

Ce qui conduit à ré-écrire nos morphismes élémentaires entre I1 et I01 ainsi:

Id ↑ : (*) ↑ {*}
¬ Id ↑ : (*) ↑ { }

Ensuite, après un premier saut diachronique I1=>I01, et l'objet (*) représenté par {*} à l'aide du morphisme identité Id ↑, on peut avoir en I01 un discours second :

Id → : {*} → {*}
¬ Id → : {*} → { }

Ceci nous permettra de faire le lien avec une distinction du même genre que l'on fait ensuite entre foncteurs.

Je pense en particulier à cette présentation de Bénabou en mai 2019 au groupe de travail "Logique catégorique" d'Anatole Khélif à Paris Diderot.

Note 3 Voir par exemple cet article :

"Histoire de spin et de logique"

Note 4 Voir:

"Le principe d'incertitude sans les maths".

Note 5 du 28/08/2019

Notre première liberté conditionnerait la seconde, et le drame initial, la scène primitive non pas de Freud, mais de la science occidentale, se jouerait alors en deux actes:

"Je me détourne de Dieu pour me représenter le Monde" => "je pense";
"Je pense" => "je suis",

En ce sens l'Église ne s'était pas trompé d'adversaire, en immolant Giordano Bruno, car ici, le "Je" se fonde sur la double inversion de Dieu:

Dieu^-1 : la mort de Dieu;
Passage d'objet à fonction: Dieu^-1 est la source de l'existence de "Je".

Rien de nouveau, nous en avons déjà parlé comme de la décohérence de "Sujet ∪ Autre" au niveau Symbolique en "s ∩ a" au niveau imaginaire. Voir :

Ce qui conduit à approfondir notre interprétation de la forme canonique des mythes de Lévi-Strauss ! Voir:

"Le mythe de la potière jalouse".

Revenons au schéma d'ensemble suivant : Im<Ik<S<DM => Ik<Im<DM.

Jusqu'ici, l'aspect "rotation" du mouvement nous avait échappé; nous pouvons donc en compléter la représentation en discernant :

Une translation de Im : Im<Ik<S<DM => I'm≤Ik<Im<S<DM
Une brisure de symétrie : Im => I'm≤Im, qui se traduit par une rotation.

De ce point de vue, I'm n'est qu'un reflet de Im, constitué a posteriori, une fois franchi le niveau Ik.

Pour se voir dans le miroir Ik l'enfant doit (1) avoir conscience d'exister, et (2) s'identifier à son image, en posant sa main droite en regard de la main gauche de cette image spéculaire, de l'autre côté du miroir.