De la "propriété universelle" en théorie des catégories

Note du 20/ 01/ 2022 :

Tout ceci est à revoir après la définition des "modes Imaginaires". Voir l'article "cohérence épistémologique".

- Fini les vacances, retour aux maths ?

- À l'insu de mon plein gré, crois-le bien! J'ai passé hier une bien mauvaise journée à reprendre mon article sur l'addition et la multiplication, avec le sentiment grandissant au fil de l'écriture de n'y avoir toujours rien compris.

- Attends, quelle est l'urgence de revenir maintenant aux opérations élémentaires, alors que tu as à peine entamé une lecture encore très superficielle de la relativité ? Es-tu incapable de te concentrer sur un sujet ?

- Je t'explique : le point central de cette théorie est pour moi l'utilisation de tenseurs, et donc leur différence covariant/ contravariant. Et comme dans un "jeu de queues" où un mot entraîne le suivant, cette différence entre tenseurs me rappelle celle qui se définit entre morphismes (note 1) et, dans cette régression, j'en arrive à notre duo de choc : addition/ multiplication.

Je reprends donc mon article (note 2) sur le sujet, pour m'apercevoir qu'il est bancal. Je commence par la multiplication, bien entendu, l'opération la plus élémentaire, et je rame toute la journée.

- Tu cales sur la multiplication et prétends avaler 25 vidéos sur la relativité générale en trois jours ?

- Ben oui. Le plus dur n'est pas d'apprendre, mais de dé-apprendre ce que l'on croit savoir. En l'occurrence, je m'arrangeais dans ma ré-écriture pour retomber toujours sur ce que je savais déjà, et je manquais l'essentiel.

- Ne nous fais pas attendre, accouche !

- Dans l'idée de Lawvere, ce schéma de la multiplication ne représente pas une multiplication particulière mais LA multiplication en son essence. 

Quant à ma présentation, elle ne s'appuyait pas suffisamment sur la "propriété universelle" de la théorie des catégories.

Bref, je me voyais hier soir, seul dans cette grande maison, ayant perdu une belle journée à ne pas la vivre, et j'en étais déprimé.

Et, bien entendu, ce matin, un lapin, ou plutôt cette idée :

"Le sens de rotation dépend du point de vue."

- C'est un peu loin du sujet, non ?

- Attends la suite. Le concept central reste cette propriété universelle, qu'il faut absolument s'approprier, comme une  nouvelle façon de voir les choses. D'ailleurs, je me souviens qu'en rédigeant ma présentation du 12 juin, j'avais eu un flash à ce sujet.

Je te propose de rembobiner le film pour revenir à ce que j'en disais alors :

Nous sommes de plain-pied dans la situation I'm <I01 <IR, avec une approche locale d'une propriété à caractériser par un foncteur F: C→Ens, avec ici (note 7) :

• C en IR;
• Ens en I01;
• F représentant le saut IR => I01.

À noter que :

1. La position ex ante de I'm est implicite dans la façon de présenter F qu'il s'agit de définir en extension à partir du niveau sémantique;
2. Le mouvement (i.e.: défini comme un concept dual synchronique/ diachronique) s'exprime ici par :
3. Le morphisme g entre A et X au niveau IR;
4. Les morphismes h et f de source respective A et X entre IR et I01.

La condition à satisfaire est la suivante ; 

À tout X de C, lié à A par un morphisme g "horizontal", correspond un morphisme "plongeant" f dans Ens tel que F(g)h = f.

Du point de vue de I'm : à tout morphisme de C en IR: g: A⟼X correspond une image par F(g) : F(A) ⟼ F(X) de niveau I01, en Ens, ce qui achève de définir une "transformation naturelle".

Mon intuition me portait à l'image suivante :

Je ne peux m'empêcher de rapprocher ce morphisme h: A ⟼ F(A) du "point de capiton" dont nous parle Lacan, comme rattachant l'Imaginaire au Réel, ce qui nous permet de temps en temps de nous "raccrocher" à lui.

Il y a ici quelque chose de cet ordre: tout le "tissu" de C est pour ainsi dire rattaché à A, qui lui-même est rattaché à F(A).

"Vu de dessus", pour employer un terme de dessinateur, en écrasant I01 et IR, et en faisant coïncider A sur F(A), ce point particulier rappelle le "point fixe de Banach".

Je pense aujourd'hui encore que cette image est pertinente, car il s'agit bien de passer d'un niveau Imaginaire à un autre à partir d'un "point de contact" entre les deux. Opération qui s'apparente en géométrie, à la représentation locale en un point donné d'une courbe par sa tangente. 

- Je ne vois pas bien le rapport avec le rapprochement que tu fais entre rotation et point de vue ?

- Nous y venons, mais avant de te répondre il faut encore exposer le point suivant : 

La notion est simple à comprendre: un foncteur F tel que défini précédemment entre C et Ens, est "représentable" par un morphisme h,  si nous avons réussi à rattacher à son domaine A chacun des objets de C, et si toutes les transformations naturelles ainsi définies commutent.

Avec les théorèmes de Brouwer en tête, la représentation qui me vient, c'est qu'il est équivalent de dire qu'un foncteur est représentable, ou bien que la "carte de C" en Ens coïncide en F(A) avec le point A en C qu'elle "représente".

Foncteurs covariants et contravariants

Maintenant, il faut distinguer entre deux façons symétriques de faire ce rattachement. Notre objet A étant un élément du domaine de F, alors :

• F est dit covariant : lorsque A est le domaine commun de Â;
• F est dit contravariant : A est le codomaine commun de Â.

 =Hom (- ;A) : X⟼Hom (X ; A)	 =Hom (A; -) : X⟼Hom (A ; X)
F contravariant	F covariant

Tu noteras une différence fondamentale sur laquelle nous reviendrons:

• Soit un Foncteur F : C → D;
• Soit X, Y, Z de C tels que f : X → Y et g : Y → Z
  • Si F est covariant alors : F(g◦f) = F(g)◦F(f)
  • Si F est contravariant : F(g◦f) = F(f)◦F(g).

Eh bien, il est temps d'y revenir, justement, en précisant  les deux situations entre X, Y et Z par les schémas suivants :

F(g◦f) = F(f)◦F(g)	F(g◦f) = F(g)◦F(f)
F contravariant	F covariant

Vois-tu comme moi cette différence entre nos deux foncteurs représentée par une différence entre les sens de rotation autour de A et F(A) ?

- Pas vraiment.

- Regarde mieux: (nota du 30/12/2019)

• J'ai situé X, Y et Z "autour de A" et tu passes de l'un à l'autre par rotation dans le sens positif (c'est une convention);
• Maintenant, si tu regardes le niveau inférieur, la rotation autour de F(A) dépend du type de foncteurs:
  • Covariant: les rotations entre les deux niveaux sont de même sens;
  • Contravariant: les rotations sont de sens contraire.

- Mais il ne s'agit que d'une représentation ! Cette différence n'a rien de mathématique.

- C'est toute la question ! Bien entendu, lorsque tu te hisses au niveau I01, à partir de I1, et qu'à force de répétitions, tu arrives tout juste à imaginer l'ensemble des entiers N, cela n'a pas grande signification, pas plus que la notion de "courbure" pour un vermisseau ponctuel se traînant sur un fil... Ceci dit, I01 suffit, comme nous l'avons vu, à exprimer des symétries, et la notion de "groupe de symétrie" (note 3).

Cependant, l'idée plus riche de "rotation" me plait davantage parce qu'elle laisse entrevoir des perspectives de rotation géométrique, voire de courbure à un niveau supérieur de l'Imaginaire.

- C'est surtout une question qui te hante depuis des années ! (note 4)

- Bien entendu, mais je me faisais dernièrement (note 5) la remarque qu'il y a deux façons de couper un oignon, et que faute de le couper en lamelles, une coupe en rondelles ne permet pas de comprendre sa nature de plante: avec des racines en bas et une germination au sommet.

Disons que j'ai le sentiment d'avoir trouvé le bon "axe diachronique" permettant de structurer simplement nos différents "niveaux synchroniques". Je fais donc le pari que cette approche fait sens au niveau le plus élevé de la physique, à savoir I#, et je me propose de voir de quelle façon ce point de vue dégénère en IR puis en I01, quitte ensuite à re-tricoter le tout dans l'autre sens.

Et voici le corollaire à l'évidence de ce matin:

Si I'm est l'image en miroir de Im, alors ce qui tourne dans un sens pour Im, tourne dans le sens contraire pour I'm.

- Ça me paraît bien compliqué, pourquoi ne pas en rester à ce que tu as déjà développé?

 - Parce qu'il y a une difficulté de principe à exprimer la situation I'm<I01<IR,  à partir de laquelle j'introduis la propriété universelle. En toute rigueur, lorsque le Sujet est en position ex ante, ce qui est au-dessus de lui ne peut pas être structuré de son point de vue local, puisque précisément "ça lui échappe". Dans les schémas précédents, la catégorie C, au-dessus de Ens échappe à un Sujet qui se limiterait à comprendre Ens. En toute rigueur, de cette position, il ne peut percevoir que les indices i∈N de catégories dénombrables. C'est pourquoi la situation complète I'm<I01<IR<Im, est rapportée en dernier ressort par Im.

Et ce que nous venons de voir, c'est que le passage de I'm à Im implique un changement de sens: Im se rase de la main droite en voyant son image I'm se raser de la main gauche.

- Mais tu fondais la différence morphisme/ comorphisme comme différence entre montée et descente diachronique.

- J'allais trop vite en besogne ! J'ai déjà expliqué à mainte reprises qu'à partir de I01, nous pouvons adopter une approche "topologique". Mais il faut aller plus loin et comprendre qu'en fait c'est la façon privilégiée de monter de I01 à IR.

- Mais pour quelle raison ?

- Parce que la position fondamentale, à partir de I01 et au-dessus, est une approche primitivement locale, ex ante rapportée à I'm, avec des comorphismes "descendant" ↓ vers I'm.

C'est de ce point de vue que nous avons introduit la notion de transformation naturelle, et son rapport avec la propriété universelle.

Cependant, comme je viens de le rappeler, cette position ex ante du Sujet en I'm est intrinsèquement non-rationnelle, ce qui impose pour la rationaliser, d'adopter le point de vue global, ex post, de Im, s'exprimant à l'aide de morphismes "montant" ↑ vers lui.

Mais la différence haut/ bas ↑↓ devient inopérante dans les situations extrêmes où la distance diachronique s'efface. Malgré tout, même lorsque I'm=I01=Im, Im a toujours le regard tourné vers l'objet initial (*) en I1, et I'm vers l'objet final ( ) en I0 avec : I1<I'm=I01=Im<I0, i.e.:

• en I'm=I01 : I'm s'exprime de façon ex ante en référence ultime à l'objet initial : ( )_∈I0↓{0}_∈I01 ;
• en Im=I01 : Im s'exprime de façon ex post en référence à l'objet final : (*)_∈I1↑{1}_∈I01 .

Et la différence que je pointe ici entre les sens de rotation ⇄, selon que l'on regarde vers ( ) ou vers (*), permet de considérer la différence entre multiplication et addition comme la trace synchronique en I01 d'une différence diachronique ⇅plus aisée à mettre en évidence, dès que Im décolle de I01.

- Ça me fait penser à la présentation du boson et du champ de Higgs qu'Alain Connes fait à l'aide d'une feuille de papier (note 6).

- C'est sans doute ce qui m'en a donné l'idée. Donc, pour en revenir à nos moutons, lorsque le Sujet prend du recul, passant de I'm=Im à I'm<Im :

• Un foncteur covariant indique une expression globale ↑ vue ex post de Im;
  • ⇇ même sens de rotation sur chaque niveau imaginaire.
• Un foncteur contravariant  indique l'expression globale ↑ par Im d'un point de vue local ex ante ↓ de I'm.
  • ⇄ changement de sens de rotation entre niveaux imaginaires.

- Soit, mais en quoi cette longue discussion peut-elle nous aider à comprendre les opérations élémentaires de multiplication et d'addition ?

- C'est le point germinal d'où toute la structure mathématique se développe, aussi était-il fondamental de trouver le bon angle de vue pour jouir du spectacle, et c'est ce qui m'échappait hier.

L'approche de Lawvere est fondamentalement accrochée à l'utilisation de la "propriété universelle", qui s'exprime aisément pour les foncteurs, au-dessus de I01. La difficulté tient donc ici à l'écrasement de la perspective en I'm=I01=Im.

Or nous avons un moyen résiduel de discriminer entre une vision dirigée vers l'objet final (*) et une autre vers l'objet initial ( ):

• Une vision orientée vers (*), conduit à une expression covariante;
• Une vision orientée vers ( ), implique une expression contravariante.

- C'est un peu rapide, il faudrait développer.

- Je t'en laisse le soin, pour me focaliser sur la trace de cette différence dans les définitions de Lawvere :

Produit	Somme
pi◦f=fi	g◦ji=gi

Comme tu peux le voir, cette différence ce traduit ici dans l'enchaînement des fonctions définissant f_i et g_i.

Je te propose d'en rester là pour aujourd'hui, je dois encore méditer un peu là-dessus.

Hari

PS: l'article qui fait suite est naturellement "Matrice", bien que je l'aie écrit avant celui-ci !

Note 1 Voir:

• "Présentation du 12 juin au groupe de travail "Logique catégorique"

Note 2 Voir :

• "Produit et co-produit"

Note 3 Voir toute notre lente et très laborieuse approche des travaux d'Évariste Galois.

Note 4 Voir par exemple :

• "Géométrie et symétries"

Note 5 Voir :

• "Maïeutique des mathématiques"

Note 6

• J'en parle dans un article : "Après la représentation du temps, celle de l'espace"

Note 7 relecture du 06/09/2019

Nota du 30/12/2019

Je relis cet article depuis hier et n'en suis toujours pas satisfait.

Mais sur ce point particulier, ce que nous avons dit dernièrement de la "chiralité du temps" pourrait nous aider quelque peu, il faudra que je reprenne mon développement à partir de ce nouveau point de vue.

L'idée que j'en ai ce matin concerne l'enchaînement des morphismes selon que le foncteur est covariant ou contravariant:

• covariant: g◦f => F(g◦f) = F(g)◦F(f)
• contravariant : g◦f => F(g◦f) = F(f)◦F(g)

Si tu penses en termes de temporalité, et de cause à conséquence, alors dans l'enchaînement des actions g◦f, f précède g.

Autrement dit, lorsque :

• F est covariant, l'enchaînement des causes à conséquences est préservé par F;
• F est contravariant, l'enchaînement des causes à conséquences est renversé par F.

Or, l'orthogonalité du temps et des dimensions d'espace, qui est la façon cohérente de représenter le temps au-delà de I01 s'écrase en I01 en une opposition simple passé/futur, qui s'accorde avec la façon élémentaire de comprendre le temps, établie à partir de la répétition du morphisme  (*)_∈I1↑{1}_∈I01 entre I1 et I01.

Ça n'est peut-être pas lumineux au premier abord, mais pense à la rotation d'un nombre z de norme 1 dans C (i.e.: en IR): n répétitions d'une action z=e^iθ font tourner z de φ=nθ dans un sens: zⁿ=e^inθ=x=e^iφ, et en régressant, c'est-à-dire en cherchant les racines ou les antécédents de x, tu tournes dans l'autre sens : x^1/n=e^{iφ​​​​​/n}=e^iθ=z et φ/n=θ. Tu vois bien dans ce cas la corrélation entre temporalité et rotation !