Histoire de spin et de logique

- Il faut prendre l'habitude de considérer les "objets" de notre réflexion comme une marque posée par un policier sur une scène de crime. Juste une étiquette posée là pour s'y référer ou l'utiliser dans une chaîne d'arguments. C'est ce que nous avons posé au niveau I1 comme "objet final", et n'est en fin de compte que ma propre liberté d'affirmer d'une chose qu'elle existe, qu'elle se différencie du chaos ambiant, la marque d'un mouvement, la flèche d'un morphisme originel se bouclant sur elle-même. On peut même y attacher une certaine consistance, une masse pourquoi pas, que l'on mesurera ensuite en I01, puisqu'en ce niveau on est capable d'additionner.

Mais qu'est-ce qui pourrait en I01 jouer ce rôle d'élément final pour le niveau IR où nous pouvons exprimer l'hypothèse du continu ?

Dans notre dernier billet "extension philosophique" nous avons caractérisé les différences essentielles entre les champs {I1;I01} et {I01;IR} qui se sont révélées lors de notre exploration de la théorie de Galois (voir "l'action et sa représentation"); mais il faudrait réifier tout ceci en un objet émergent en I01, pour être manipulé en IR.

Et s'il s'agissait du "spin" ?

- Voilà que tu mêles encore une fois mathématiques et physique !

- Tu ne peux pas t'empêcher de considérer les concepts de la physique comme un reflet du Réel ! Mais il y a une autre façon, bien plus proche du développement historique de la science, qui est de voir nos concepts se fixer progressivement pour déterminer le schéma de nos discours. Il a fallu attendre Galilée pour avoir le principe d'inertie, comme il a fallu les équations de la physique pour déterminer la notion de spin. Suspends un instant ton jugement pour voir combien cette voie est fructueuse. Quelle est l'intuition qui se développe en IR et reste inimaginable en I01 ?

- Tu as beaucoup insisté sur la notion de rotation, notamment concernant le théorème fondamental de l'algèbre, et ensuite pour les diviseurs de l'unité; avec zⁿ=1. Toutes les démonstrations consistent à "tourner autour de"; et il en sera de même chez Poincaré, entre autres pour les fonctions fuschiennes.

- Précisément, et ce qui différencie les niveaux I01 et IR, c'est qu'en dessous du degré 5 d'un polynôme, on ne peut plus repérer en I01 une symétrie d'ordre 5 entre ses racines, pourtant facilement représentable au niveau IR. La dégénérescence lorsque l'on passe de IR à I01 porte sur :

Perte de la continuité,
Perte de la distinction local/ global,
Perte de la notion de rotation (qui devient simple torsion: un morphisme étant soit l'identité 1, soit la permutation τ(1,2).

De ce point de vue, le "spin" est bien une "rotation dégénérée" en I01, de ce que l'on se représenterait en IR comme une "toupie". Le spin:

Varie par valeur discrète +1/2 ou -1/2;
Ne dépend par de son repérage dans un repère cartésien (le distinguo local/global est inconsistant)

- Pourquoi dans ces conditions fixer le spin en I01 et non en I1 ?

- Parce qu'il y a une notion de symétrie entre deux valeurs, autour d'un élément neutre, 0 en l'occurrence : +1/2 +(-1/2) = 0, qui n'aurait aucun sens au niveau I1.

- Mais comment, à l'aide de cet "objet", pourrais-tu exprimer cette dégénérescence que tu vois dans la descente IR=>I01 ?

- Il faudrait me semble-t-il suivre un raisonnement du même ordre que celui suivi par Évariste Galois pour établir qu'un polynôme de degré 5 n'est pas résoluble par racines. Trouver l'expression d'une symétrie ou quelque chose d'équivalent, repérable en IR, qui disparaîtrait en I01.

- Et tu l'as trouvé ?

- Pas moi, mais d'autres bien plus malins que moi. J'avais l'intuition qu'il devait s'agir de la violation des inégalités de Bell, mais ce qui m'a scotché, c'est la lecture d'une petite présentation "violation des inégalités de Bell et logique quantique". Je te la fait courte.

Tout d'abord cette idée (reprise de d'Espagnat) d'une présentation des inégalités de Bell sous une forme ensembliste (qui n'aurait pas déplu à Lacan ! - private joke) : soit 3 ensembles finis A, B, C : on a A∩B ⊆ (A∩C) ∪(B∩¬C), comme tu pourras t'en convaincre en coloriant le schéma ci-dessous (sinon reporte-toi au document) :

Or, cette inégalité (ou toute autre démonstration) peut se représenter en I01, car nous parlons ici d'ensembles finis, sans hypothèse du continu ou quoi que ce soit d'autre.

Bien, maintenant, l'autre partie de la présentation nous invite à nous représenter une logique quantique à l'aide de la notion d'espace vectoriel ! C'est-à-dire, comme nous l'avons vu (cf.: "camp de base avant escalade") très précisément ce qui permet de passer de I01 à IR ! Suivons maintenant l'auteur :

"La valuation d'une proposition quantique est donnée par un sous-espace d'un espace vectoriel munie d'une notion d'orthogonalité.

Le & est capturé par l'intersection (l'intersection de sous-espaces est un espace) ; le « v » est capturé comme la somme de sous-espaces (c.-à-d. Le plus petit sous-espace engendré) ; la négation "¬" est capturée par la relation d'orthogonalité vectorielle) (étendue aux sous-espaces : un espace vectoriel est orthogonal à un autre si tous les vecteurs de cet espace sont orthogonaux à tous les vecteurs de l'autre espace). De plus, comme il est usuel dans les sémantiques algébriques, la déduction « => » est capturée par la relation « être sous-espace ».

L'espace Euclidien R³ suffit ici pour réfuter la relation «booléenne» correspondant à l'inégalité de Bell. B est un sous-espace de A, et A∩B =B. Il suffit de prendre C de telle façon qu'il soit unidirectionnel et non orthogonal à A. Dans ce cas (A∩C) et (B∩¬C) se réduisent au sous-espace vectoriel nul comme on voit sur la figure suivante :

La somme des deux vectoriels est le vectoriel nul, et A∩B=B n'est pas un sous-espace du vectoriel nul."

Ce qui est intéressant ici, c'est que cette "logique quantique" ne soit pas réductible à une autre logique "intuitionnisme" pouvant s'exprimer par un "objet classifiant" autre que {{ };{*}}, à cause de cette notion d'orthogonalité !

Notion qui elle-même découle de celle de mesure en I# ! (je le rappelle pour mémoire : I1<I01<IR<I#). Autrement dit, cette logique, plus primitive que la notion de mesure s'exprime avant celle "d'objet observable" et après celle "d'objet classifiant".

Je te laisse flâner sur le web pour regarder de quelle façon l'expérience d'Alain Aspect en 1982 a permis de réfuter l'argument EPR et donné raison à l'interprétation de Copenhague contre Einstein - ça fait partie de la saga de la physique du XX^e siècle - pour t'inviter à méditer sur la façon que nous avons, petit à petit, de structurer nos 3 premiers niveaux Imaginaires fondamentaux I1, I01, IR, en y faisant jouer symétries et ruptures, et comment de tout ceci émergent petit à petit les "objets" sur lesquels nous nous appuyons pour nous représenter le monde. L'important étant pour nous de constater cette dégénérescence des concepts au fur et à mesure que nous nous rapprochons du Réel, qui subvertit absolument notre Imaginaire.

Hari