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L'Homme quantique

Sur les traces de Lévi-Strauss, Lacan et Foucault, filant comme le sable au vent marin...

L'Homme quantique

Schéma en L de Lacan et Forme canonique des mythes de Lévi-Strauss

- Il est temps de reprendre ce que j'ai dit de ces deux mouvements diachroniques il y a déjà longtemps, à la lumière de ce que nous avons développé au sujet des foncteurs (1). (voir note du 11/02/2020)

- Drôle de mélange entre psychanalyse, anthropologie et mathématiques !

- Vois les choses plus simplement: il s'agit dans les trois cas du rapport d'un Sujet à son langage.

- Sauf que le langage mathématique, jusqu'à preuve du contraire, s'intéresse aux objets.

- Je défends précisément la thèse selon laquelle les mathématiques elles-mêmes ne peuvent se passer du Sujet. Qu'il s'agisse de géométrie projective, de l'axiome de choix, ou encore de la dualité d'approche locale/ globale en topologie, voire de la notion duale d'objet initial/ final, qui n'a de sens qu'aux yeux d'un spectateur.

En suivant Alain Connes dans mon dernier billet (2) nous avons même situé le Sujet dans sa représentation du temps comme de l'espace.

Ce point de vue nous a permis de définir une caractérisation générale de l'organisation Imaginaire du Sujet: R<I1<I01<IR<I#<I0<S, basée sur des ruptures nettes dans le discours et la pratique des mathématiques. Nous en avons même suivi la genèse individuelle dans le développement de l'enfant avec Jean Piaget (3):

Pour mémoire:

  • R : le Réel, selon Lacan, ce qui dérange l'Imaginaire, et lui échappe;
  • I1 : le niveau où se repère l'objet, en mathématique le singleton (*) et où s'exprime l'axiome de choix;
  • I01 : le niveau où se repère l'objet classifiant de la logique {{*};{ }};
  • IR : le niveau où s'exprime l'hypothèse du continu;
  • I# : le niveau où l'espace est symétrique;
  • I0 : le niveau où se conçoit le vide ( )
  • : le Symbolique, niveau auquel le Sujet s'intrique dans (SujetAutre), toujours selon Lacan.

Le mathématicien nous assure que les sauts Imaginaires sont "francs", sans niveau intermédiaire. Par exemple N, Z et Z/nZ sont imaginables en I01, mais R et C ne le sont qu'en IR

Dans ce théâtre Imaginaire, nous avons longuement mis en scène notre Sujet (représenté en Im) et son double (en I'm), dont il prend conscience en s'identifiant à son reflet dans un miroir.

Pour mémoire encore :

  • Im est toujours en position ex post par rapport à son discours ou sa représentation en Ik : Ik< Im;
  • Un discours rationnel consiste à rapporter un niveau sémantique à un autre niveau syntaxique:
    • Soit globalement par rapport à Im : Ik<Ik+1<Im; (la sémantique est en Ik et la syntaxe en Ik+1);
    • Soit localement par rapport à I'm : I'm<Ik<Ik+1, (la sémantique en Ik+1, la syntaxe en Ik); ce qui n'a plus de sens en deçà de Im=I01, avec I'm=I1, puisque toutes les flèches d'un objet en I01 vers I1 mèneraient  au Sujet, ce qui est une propriété universelle et non pas locale.
  • Pour I01≤Im; la rationalité de Im est réduite à la logique (5);
  • Pour IR≤Im, la rationalité de Im s'étend à la topologie.

- Merci du rappel, mais quid de Lévi-Strauss et Lacan dans ton tableau ?

- Nous nous sommes beaucoup intéressés aux étages inférieurs de l'Imaginaire, au plus près de R, jusqu'à imaginer les bosons de jauges comme concepts synchroniques en I1 et I01, avec le boson de Higgs (boson scalaire) comme concept diachronique entre les deux nivaux (2). Nous en sommes arrivés à l'idée que notre représentation la plus élémentaire, au contact du Réel est avant tout d'ordre quantique, et que la bascule avec la relativité se passe entre I01 et IR (6). Avoue que l'on ne peut pas aller beaucoup plus loin sans être plus équipé que je ne suis pour suivre nos physiciens.

Mais tournons-nous maintenant vers la limite Symbolique S de l'Imaginaire.

- Là tu sors des mathématiques, puisque le référé du discours est au-dessus de Im.

- Oui, bien entendu et il est temps de faire appel à mon joker : DM, mon Démon de Maxwell, celui qui tient la plume et se permet de parler du Sujet en lui assignant l'étiquette Im dans un discours dont il s'exclut; c'est-à-dire : Im<S<DM. (4).

Or donc, en m'extrayant de mon discours, Im est pour notre DM, comme I'm pour Im.

- Tu nous refais le coup des neuf points à relier par quatre traits !

- Exactement : mon discours est circonscrit à l'enveloppe des neuf points, mais pour tracer mes traits, je suis obligé de sortir du cadre, et donc, passer de Im à l'intérieur à DM à l'extérieur. Ceci me permet de comparer (en DM) ma relation à Im (i.e.: Im<DM) à celle de I'm par rapport à Im (i.e.: I'm<Im).

- Dans ce dispositif, que devient le rapport du Sujet au Symbolique ?

Le schéma en L de Lacan:

- Pour mémoire, il s'agit d'une figure à 4 pôles : Sujet / Autre au niveau Symbolique et "s" / "objet a" au niveau Imaginaire. Les puristes verront s comme le "s" ou "s barré" de Lacan, pour indiquer que le Sujet au niveau Imaginaire est coupé de l'autre, mais la typographie de ce blog ne rend pas cette écriture très lisible; nous avons déjà longuement discuté de tout ceci (1), , et je n'y reviens plus

Or, cette figure à quatre pôles nous est maintenant familière: il s'agit d'une transformation naturelle, ou d'un foncteur entre deux catégories qu'il reste à déterminer.

  • La Catégorie du Sujet avec des morphismes Sujet => s
  • La Catégorie de l'Autre avec des morphismes Autre => objet a

(Relecture au 25/11/2019 voir note)

Tu remarqueras que les définitions de s et a se font par des morphismes descendant de Symbolique => Imaginaire; ce qui se rapproche d'un point de vue local en I'm avec I'm<Im. Ce qui est tout à fait cohérent, avec notre expérience vécue, lorsque nous restons en position ex ante par rapport à ce qui nous définit et dépasse notre Imaginaire.

Autrement dit s se définit en Im par des "comorphismes", dans une approche de lui-même qui est :

  • Pour DM une construction rappelant notre "rationalité topologique";
  • Pour Im une expérience en position ex ante, non rationnelle.

- Nous sommes ici à l'opposé du cogito cartésien. Dire "j'existe", c'est se choisir avant tout comme objet en rapport à l'objet final (*) et à l'axiome de choix, en I1, au contact du Réel.

- Tout à fait, et tu remarqueras que dans le schéma en L, à l'inverse, le Sujet auquel se réfère s en Im n'est jamais complètement cerné par Imaginaire, et se dilue dans l'Autre au niveau Symbolique dans (SujetAutre). À l'extrême limite de l'Imaginaire, ce référé qui s'échappe et d'où tout découle est évidemment l'objet initial, vide ( ), en I0 avec Im≤I0<S<DM.

- En fait, tu nous a déjà dit tout ceci au fil de tes billets.

- Oui, rien de nouveau là-dedans, mais il me semblait utile d'en faire la synthèse. Cet exercice nous permettra peut-être de clarifier nos idées comme notre vocabulaire. Par exemple, j'entends de plus en plus souvent les matheux parler de niveaux sémantique et syntaxique.

Pour notre schéma en L, cela aurait un sens de dire que s est une expression sémantique Imaginaire, d'une syntaxe Symbolique qui échappe au Sujet.

- Tu enfiles des perles pour faire joli.

- Oui, mais il faut bien se faire plaisir, et puis c'est en jouant avec les concepts que l'on peut voir s'ils s'accommodent bien les uns aux autres. Ici, tu peux voir que cela fonctionne assez bien.

Il y a malgré tout quelque chose à en tirer en retour. Lorsque je passe de la sémantique à la syntaxe, je perds de vue chaque arrangement sémantique particulier, pour ne garder qu'un schéma syntaxique d'ensemble, et d'une certaine façon, les objets sémantiques sont intriqués au niveau syntaxique, de même que s se voit intriqué dans (SujetAutre).

Corrélativement,  les sauts diachroniques qui nous amènent par degrés de S vers R. sont autant de "brisures de symétrie".

- Tu retrouves l'arbre de la connaissance de Lévi-Strauss , ce n'est pas neuf (7).

- Certes, mais ce billet est une sorte de mise au net de ma démarche, un dépoussiérage avant de poursuivre.

Ce qui me séduit, ici, c'est de retrouver depuis le contact au Réel, jusqu'à la sortie Symbolique, depuis le boson de Higgs jusqu'au Sujet lui-même, une organisation pour ainsi dire "fractale" de nos représentations, avec ce mécanisme intrication/ décohérence qui se répète d'étage en étage et implique, bien entendu, le triptyque d'Emmy Noether sur lequel je ne reviens pas ici (8).

- Et quid de la montée diachronique ?

La forme canonique des mythes de Lévi-Strauss:

- Merci de me servir la soupe ! C'est l'utilité de cette présentation à deux voix; toi en I'm et moi en Im.

- En es-tu si sûr ? Pense au rêve de papillon de Chuang Tzu ! (9).

- Arrête tes considérations littéraires, sinon nous n'allons pas nous en sortir; n'est-ce pas lecteur ?

La toute première montée diachronique, c'est bien entendu une flèche de morphisme : "→".

- Avec la notion d'objet ?

- Pas forcément: en dessous de I1, je peux encore imaginer une "flèche" de liaison entre R et I1, sans objet dans R puisqu'inaccessible. L'objet (*) en I1 est alors la réification de cette flèche sur elle-même.

Ceci dit, dès I1, le plus élémentaire des morphismes est l'identité : (*)→{*} qui porte (*) de I1 à {*} en I01.

Ensuite, nous avons vu qu'il est possible de passer de l'objet (*) à l'ensemble de ses parties {{*};{ }} grâce à la forme canonique des mythes, en considérant { } comme construit en inversant l'idée de {*} (10).

Schéma qui se répète de niveau en niveau, et conduit à étoffer notre compréhension du concept de "symétrie":

  • Le passage de I1 à I01 est associé à la dichotomie élémentaire 0/1; historiquement la plus ancienne puisqu'on la retrouve déjà dans la pensée mythique, voire chez les mammifères et autres animaux supérieurs.
  • Le passage de I01 à IR est associé à la symétrie des racines d'un polynôme. qui aboutira à la notion de groupe de symétrie. Historiquement, c'est lié aux travaux de Gauss (i.e.: le théorème fondamental de l'algèbre impliquant l'hypothèse du continu), d'Évariste Galois (différence entre nombres algébriques et complexes) et Cantor (et sa diagonale). En parallèle, Descartes  fait le lien entre la géométrie d'où vient cette notion de symétrie, et l'algèbre d'où elle envahit tout le champ des mathématiques. On peut donc dire que cette caractérisation Imaginaire prend racine à l'époque Classique, selon la terminologie de Foucault. 
  • Le passage de IR à I# est quant à lui associé à la notion de commutativité en géométrie. Si sa caractérisation est contemporaine, due en particulier aux travaux d'Alain Connes, la motivation de cette construction Imaginaire remonte à Fermat et Maupertuis, en passant par Lagrange, Bohr, Heisenberg et Dirac. Dans le développement individuel de l'enfant, cette structure se met en place lorsqu'il fait la différence entre la hauteur de l'eau dans un verre et son volume.

Voilà où nous en sommes.

- Ton étagement Imaginaire est assez limité, mais est-il complet ? 

- L'idée c'est que chaque nouvelle symétrie amène un lot de concepts, dont on peut constater (au niveau où ils émergent) la conservation, à travers leurs transformations, accompagnée d'une certaine indétermination due au sauts diachroniques associés. Il s'agit bien entendu du triptyque de Noether (8). En ce sens, l'étagement présenté suffit à représenter toute la physique que nous connaissons.

- Mais tu ne nous dis rien du saut I#/I0.

- J'ai le sentiment que la physique se déploie entre I1 et I#, quand le langage mathématique se déploie jusqu'à I0. Il y a en effet une terra incognita entre I# et I0 qui échappe à notre expérience des objets. Un terrain de jeu à explorer sans doute...

Mais je voudrais sortir des emplois particuliers que j'ai pu faire de cette forme canonique, de ses productions sémantiques, pour m'intéresser ici à sa syntaxe.

Tu remarqueras que, comme le schéma en L de Lacan, cette forme canonique joue avec quatre pôles, dont le sens de l'un n'est pas donné. Pour mémoire : dans le mythe de la potière jalouse,

  • Les deux éléments sémantiques du mythe sont les concepts de femme et de potière
  • Au niveau de la syntaxe,  l'engoulevent explique le caractère de la femme,  mais il manque un concept dual pour expliquer le fait que la femme puisse faire de la poterie (i.e.: ce principe caché, c'est le fournier).

Mythe qui peut se schématiser comme nous l'avons vu par :

Schéma en L de Lacan et Forme canonique des mythes de Lévi-Strauss

Et tu vois que là encore, nous retrouvons, derrière ce schéma, la forme plus générale d'un foncteur entre deux catégories:

  • La catégorie de l'engoulevent : engoulevent => femme
  • La catégorie du fournier : fournier => poterie

La résolution de l'énigme connotée par le mythe, et sa réduction à l'Imaginaire, se fait en identifiant le fournier, vu par Lévi-Strauss (son "inventeur") comme:

  • l'inverse de l'engoulevent.
  • Cette inversion elle-même étant l'acte de création pure. 

Le foncteur entre ces deux catégories détermine une transformation naturelle entre nos quatre objets.

Tu peux alors faire le parallèle entre le schéma en L et la forme canonique: 

  • La montée diachronique est un mouvement bottom/up, qui crée la syntaxe à partir de la sémantique, en créant une symétrie ;
  • La descente diachronique est un mouvement top/down, qui détermine une production sémantique particulière en brisant une symétrie syntaxique.

- Tu renonces à la dualité immanence/ transcendance?

- Immanence me va bien, mais transcendance prête à confusion.

Je suis le produit d'une transcendance si, par exemple, je me considère comme un enfant de Dieu, ou le fruit de SujetAutre, dans un  mouvement top/down qui pourrait être vu comme une décohérence; mais on parle également de transcendance lorsque le Sujet s'adresse à Dieu, ou qu'il aspire à la sainteté; or il s'agirait là d'un mouvement bottom/up ou d'une sorte d'intrication du Sujet à ce qui le dépasse.

Peut-être serait-il plus juste de parler d'entendement du premier ordre et du second ordre chez Spinoza pour éviter cette confusion? Réflexion faite, il me paraît plus simple d'en rester aux termes bottom/up et top/down.

- De cette façon, tu fais un strict parallèle entre les outils qui te servent à parler du Sujet naviguant dans son propre Imaginaire, et la façon qu'il a de se représenter l'objet?

- Oui, et c'est le très grand intérêt que je vois au langage mathématique. En parlant d'autre chose, le matheux nous parle avant tout de lui ! Et ce avec une clarté, une précision dans le langage, qui laisse tous nos philosophes et autres psychanalystes loin derrière, pour ne pas dire sur le cul ! À tel point qu'il me semble intéressant de représenter le Sujet lui-même comme un topos.

Les représentations mathématiques du Sujet.

Nous en avons déjà fait l'exercice à chaque étape de nos investigations (11), mais j'ai en tête cette idée de Grothendieck présentant, dans "Récoltes et semailles", le topos comme le "lit à deux places où s'épousent le continu et le discret". Alain Connes nous le rappelle encore dans ces vidéos (12).

Pour nous, le discret, c'est I01 et le continu IR, avec l'émergence dans le mouvement portant de l'un à l'autre, d'une approche duale du Sujet (en I'm<Im) correspondant au stade du miroir dans sa propre genèse. Ce qui correspondrait assez à l'idée de Jean-Pierre Changeux selon lequel la prise de conscience est la rencontre d'un percept (ici l'objet) et d'un concept (et là sa topologie).

Autrement dit, dans cette phase, le Sujet peut se voir comme un objet  (en I'm) dont il est également le lieu où il se situe (en Im). En cela, la représentation du Sujet se développe en parallèle avec celle de l'objet (il faudrait reprendre et compléter nos commentaires relatifs à la démarche de Piaget (3)).

  • En I1 : nous avons juste le cogito cartésien et l'objet final (*);
  • En I01 : objet et Sujet sont représentables par des catégories;
  • En IR: objet et Sujet sont représentables par des topoï.

- Resterait à définir à quelle catégorie se rattacherait ton "topos Sujet"?

- Je crois que je vais m'arrêter là pour aujourd'hui, il me semble que nous avons déjà pas mal regroupé nos idées, non ?

Disons juste que cette catégorie est un monoïde, dont il reste à définir l'objet élémentaire, soit (*), soit (), soit le mouvement lui-même, la flèche "→".

- Ce serait intéressant de voir l'homme comme simple "mouvement", ça nous ramènerait au "livre des transformations", le Yi King...

- Merci pour la chute ! Et bonne rumination à tous, en attendant la suite !

Hari

(1) voir respectivement :

(2) voir "après la représentation du temps, celle de l'espace".

(3) voir "l'épistémologie génétique de Jean Piaget".

(4) Nous en avons déjà parlé bien souvent, mais il y a longtemps, puisque ces temps-ci je me suis plutôt intéressé au langage mathématique. Voir par exemple "Le stade du miroir", et plus généralement ce que j'ai pu écrire à cette époque, en 2014.

(5) Voir "Les 4 discours de Lacan #2".

(6) Voir "L'impossibilité d'une théorie physique unifiant relativité et mécanique quantique".

(7) Voir "l'Homme Quantique".

Lévi-Strauss lui-même emprunte l'image de l'arbre à bien d'autres avant lui, et en particulier à Descartes, bien entendu.

(8) Voir "De Descartes à Emmy Noether", mon dernier article en date sur le sujet.

(9) Voir "L'éveil de Chuang Tzu".

10 Voir "Les matheux n'aiment pas les objets".

11 Voir la dernière en date "métaphysique".

12 Voir "Après la représentation du temps, celle de l'espace".

Note de relecture le 11/05/2019

Concernant la forme canonique:

Dans tout ce que j'ai écrit sur le sujet, j'ai adopté un point de vue global (i.e.: le niveau sémantique en dessous du niveau syntaxique), depuis DM.

Or, si la forme mythique est semblable à une approche topologique d'un point de vue local, rapporté à Im en position ex ante, alors, le niveau sémantique devrait être au-dessus du niveau syntaxique.

Je dois encore y réfléchir, et je laisse la suite comme un pense-bête pour y revenir à loisir :

________________________________________________________

Il faut repartir de la fonction du mythe pour clarifier le dilemme.

Dans le récit mythique: 

  • Le référé est d'ordre Symbolique, soit en Ik+1 pour DM;
  • Le récit est d'ordre Imaginaire soit en Ik pour Im comme pour DM
  • Lors du rituel ou du récit mythique: IkIm<Ik+1<DM;
    • On peut dire que l'on est à la limite d'un point de vue local depuis Im en "topologie"; mais il manque la distanciation nécessaire à une véritable expression topologique  locale Im<Ik<Ik+1<DM !
  • En figeant le fournier dans le récit : Ik<Ik+1<Im<DM.
    • La situation est tout à fait rationnelle, et présente un point de vue global de Im.

La question étant, in fine, de savoir si nous traitons d'un problème de choix ou de détermination (voir "Section / rétraction" et "#8-choix et détermination"). Je reprends dans "#10 Rétraction et idempotence" les exemples de Lawvere:

  • Choix : Le problème du directeur de musée:
    • Ce serait le choix d'une figure (engoulevent ou fournier) comme totem ou emblème représentant la classe des potières.
  • Détermination : le problème du chasseur de papillon
    • Une potière est-elle représentable par l'engoulevent (fait-elle partie de la classe qu'il représente)?

Pour que la représentation de la potière soit stable, il faut que j'arrête d'aller d'un type de question à l'autre et que la représentation de cette potière soit indempotente. Cela passerait par le choix du fournier pour représenter les potières, et détruirait du même coup la nécessité de raconter le mythe ou de lui trouver des variantes.

Retenons que le mythe, tant qu'il est "vivant", non élucidé, n'est pas strictement réductible à une approche topologique; quoique la façon d'approcher sa signification symbolique par de multiples expressions locales, fasse penser à une collection de cartes en 2D pour représenter la Terre en 3D.

Mais quelque soit ma position dernière, la discussion peut se poursuivre dans les termes de la théorie des catégories et notre analogie avec un foncteur me semble tenir le coup, c'est ce qui m'intéresse ici !

Note de lecture du 11/05/ 2019 suite:

Quel con je fais ! Vouloir appliquer des notions de syntaxe et de sémantique à des récits mythiques... Je me suis laissé embarquer par ces mots à l'honneur dans le langage mathématique moderne!

Je fais exactement ce que j'ai reproché à Foucault dans ma lecture des mots et des choses !

Il est évident que le récit mythique se situe avant toute idée d'un tel étiquetage, dans un Imaginaire ou les mots sont des choses, les choses des signes etc, en bref, dans ce que Foucault décrit comme l'avant période classique. Voir "Représenter" et les trois articles suivants sur Foucault.

Oublions donc ce vocabulaire hors contexte; par contre, le reste, beaucoup, plus élémentaire, donc fondamental reste consistant... Et c'est le principal.

Note du 12/05/2019

Il y a entre la pensée mythique et ce que j'appelle "pensée topologique" une évolution historique à prendre en compte. on pourrait certainement caractériser une telle évolution assez facilement. Peut-être faut-il revenir à Foucault pour la caractériser ?

Problème qui n'apparaît pas dans le schéma en L, qui n'a sans doute pas évolué dans sa structure, depuis que le chimpanzé vit en société. Il faudrait bien entendu le vérifier sur le terrain...

Évolution dans le sens bottom/ up; stabilité dans le sens top/ down, cela semble cohérent; on doit pouvoir dérouler le sujet assez aisément...

Note du 26/05/2019

Après avoir repris Le schéma en L de Lacan et la forme canonique de Lévi-Strauss, pour les définir par rapport au concept de "transformation naturelle", il me semble évident que tout mon développement autour de la structure sénaire d'Abellio réduit celle-ci à une transformation naturelle (voir: "L'abandon d'Abellio").

En effet,  les états actuels (A pour l'objet et S pour le Sujet), mis en relation dans le plan synchronique de la structure Abellienne avec l'ensemble des états potentiels qu'ils peuvent prendre (ai pour l'objet et sj pour le Sujet), peuvent être vus comme deux préfaisceaux (ai sur A et sj sur S) mis en relation par un morphisme autrement dit, la "transformation naturelle" dont je parle dans le texte pré-cité.

Présentation condensée de tout ce que j'ai pu en dire !

Réduction un peu morose qui me fait dire rétrospectivement qu'Abellio est sans doute passé à côté d'une expression beaucoup plus riche de ses idées que celle qu'il a pu développer.

Je ne sais pas si la philosophie-fiction est un genre littéraire, mais cela aurait pu être intéressant d'imaginer un dialogue Abellio/ Grothendieck...

Note du 31/08/2019

Une chose que j'oublie ici, et qu'il m'a pris du temps à conceptualiser : il y a une rupture de symétrie entre I'm et Im qui a les caractéristiques d'une rotation : Im lévogyre renvoie à I'm dextrogyre et réciproquement. Voir :

Je m'en rends compte immédiatement en me rasant le matin devant ma glace, et le mécanisme se retrouve dans la nécessité de distinguer en mathématiques entre principes "covariant" et "contravariant". Voir à ce sujet :

Note du 25/11/2019
Mais quel con ! 

Je me plante complètement : il ne s'agit pas d'opposer une "catégorie" du Sujet à une "catégorie" de l'Autre, mais une catégorie qui serait le "rapport" de S à A au niveau Symbolique à un autre discours Imaginaire cette fois-ci qui serait le rapport de s à a: les catégories sont orthogonales à ce que je présente.

Le pire étant de me souvenir très bien du malaise ressenti en écrivant cet article, parce qu'au lieu de me laisser porter par la notion de transformation naturelle, je "forçais" mon discours pour relier des catégories a priori, qui ne sont évidemment pas les bonnes, comme un gosse qui voudrait à tout prix faire rentrer un cube dans le trou en étoile d'un jouet Fisher Price ! 

Le reste file à peu près d'équerre et je laisse cet article uniquement pour me souvenir de mes errances avant d'arriver à une pensée simple !

Je reprends la constitution du Sujet à partir de là dans cet article:

Note du 11 02 2020

Il faudrait reprendre cet article, après l'avancée que j'ai faite en revenant sur le rôle du stade du miroir dans la constitution de l'Imaginaire du Sujet. Avant le lemme de Yoneda, je pars :

pour comprendre la différence d'attitude fondamentale entre la représentation du Sujet en Im et sa représentation redoublée, en I'm comme son reflet dans le miroir.

Les conséquences en sont nombreuses et fondamentales, qu'il s'agisse des liens de causalité comme de la conception du temps. Voir à ce sujet tous mes articles, depuis le précédant daté du 26 août 2019 jusqu'à 

daté du 07 février 2020. Autrement dit il s'agit d'une lente progression dans ma propre compréhension des choses !

Et ce matin, il m'est venu cette idée qui se rapporte au schéma en L:

De quelle nature est le rapport de s à a ?

En effet, tout mon développement tend à montrer une différence fondamentale extrêmement marquée entre la représentation du Sujet en Im et en I'm. En est-il de même des représentation de a ?

Avec cette particularité, par rapport au pure domaine Imaginaire où se situe le discours mathématique que là, nous sommes juste au contact du Symbolique.

Il faudrait donc mieux préciser la nature de la première distanciation du Sujet d'avec le Symbolique. Je parle ici de s. Mais comme il est de facto en position ex ante par rapport au niveau Symbolique, vu comme résultant d'une décohérence de S∪A, et en cohérence avec tout mon développement ultérieur, on peut dit que le Sujet se représente en I'mI0<S. Ce qui est une façon symétrique de comprendre le dernier stade de la représentation du Sujet face au Réel, en Im (position ex post) avec : R<I1≤Im

Maintenant, à partir de là, lorsque le Sujet comprend qu'il est la cause de son propre reflet, c'est à ce moment qu'il "fabrique" son image en Im, comme "sujet", avec la distanciation I'm<Im. , avec toutes les conséquences qui en découlent (voir "De la propriété universelle en théorie des catégories").

L'histoire de cette construction à partir du Symbolique, c'est la pensée de seconde espèce de Spinoza, qui est comme en miroir de celle de première espèce, immanente à partir du Réel, et nous avons vu, en suivant Descartes, puis Évariste Galois, comment de la pensée rationnelle logique, rapportée à Im, nous passons à la pensée topologique, utilisant une double approche locale (vue de I'm) et globale (vue de Im).

Bien, tout ceci étant remis en ordre, la question reste de savoir comment se construit l'image de l'autre, le "petit a" de Lacan?

Or que fait l'enfant à l'âge du miroir ? C'est l'âge où il dit non, où il pousse les autres à bout de nerfs en expérimentant sur eux les limites de son pouvoir, le moment également des questions sans fins. En bref, il se construit visiblement en rationalisant ses contacts avec autrui comme dans le monde: il est en Im.

Et donc, et c'est là où je voulais vous mener: l'objet a, qu'il construit "à son Image", ne peut être qu'un autre reflet de lui-même, autrement dit de niveau I'm.

En conséquence, le schéma en L de Lacan est un peu bancal, en ce sens que petit s et petit a ne sont pas au même niveau Imaginaire !

Mais, la représentation de "petit a" peut s'étoffer: jusqu'à le voir comme un "maître" et se voir, lui "petit s" comme son élève... Mais ceci restant pour le coup au niveau Imaginaire, sans rapport avec la pure décohérence de  (S∪A) au niveau Symbolique en (s et a) au niveau Imaginaire.

Nous avons alors une double représentation de s et a en Im et I'm, soit 4 pôles entre lesquels peuvent se jouer les 4 discours que vous connaissez, mais ceci est une autre histoire... J'en parle ici:

 

 

 

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jc 25/03/2020 10:34

Prédicat: ce qui est dit du sujet. Dans le calcul des prédicats les termes peuvent varier et on peut les quantifier et calculer avec. Si on renverse le sens des flèches (si on prend la catégorie opposée, le sujet devient objet, lui aussi soumis évidemment au même type de calcul. Par contre, si on échange les rôles de termes et de relations (réduites ici à des relations fonctionnelles) on voit apparaître un nouveau calcul, un calcul fonctionnel où ce sont les fonctions qui peuvent varier, les termes restant fixes. La bonne dualité en théorie des catégories comme étant celle qui échange sujets/objets et flèches? Jorion, Lambert et Hespel ouvrant les portes d'un nouveau monde logique? Vive la Belgique?

J'en profite pour reproduire ici un commentaire (écrit avant de connaître entropologie.fr) fait sur un article de E. Morin paru sur le site tiersinclus.fr:

"Je commente ici non pas l’article de E. Morin mais, en prolongement de mes commentaires du topo sur les topos d’Alain Connes, la figure de l’entête de l’article, figure que l’on retrouve parfois dans les ouvrages de vulgarisation de physique quantique.

Pour aider à rentrer dans le problème, pour se mettre dans sa peau¹, je vais commencer par planter un décor. La figure est suspendue au centre de la caverne de Platon, le flamand Dominique Lambert¹ enchaîné face au carré 2D et le wallon Bertrand Hespel¹ face au disque (également 2D). Comment concilier ces inconciliables points de vue? C’est un problème politique qui introduit leur article « De la topologie de la conciliation à la logique de la contradiction »³. Problème résolu ici géométriquement, de la façon la plus simple et lumineuse⁴ qui soit (à mon avis…).

Mathématiquement les deux images 2D -carré et disque- sont des projections et le concept de produit fibré est -je crois…- un cas particulier de celui de limite projective. Mais pour les habitants de la caverne de Platon -nous tous…- le problème de concilier nos points de vue individuels est le problème inverse, qu’il est tentant, par la méthode ci-dessus, d’essayer de résoudre en changeant le sens des flèches⁵, c’est à dire en effectuant une somme amalgamée du carré et du disque.

¹: Thom: « ‘L’intelligence est la capacité de s’identifier à autre chose, à autrui. »

²: Lambert et Hespel sont belges. Je leur attribue ici une régionalité fictive.

³: virthost.vub.ac.be/lnaweb/ojs/index.php/LogiqueEtAnalyse/article/download/1829/1608

⁴: Selon moi mieux que le vase du début de l’article.

⁵: J’ai lu que les théoriciens des catégories (mathématiques) omettent le qualitatif projectif pour les limites, et appellent co-limites ce qui était autrefois appelé -de façon à mon avis plus parlante- limite inductive, induction renvoyant selon moi à la synthèse (et donc à l’homogénisation lupascienne) et projection renvoyant à l’analyse -carré et disque comme « composants » du cylindre- (et donc à l’hétérogénisation lupascienne)

Hari Seldon 25/03/2020 11:26

Vous lisez beaucoup, mais parlez-moi de ce que vous-même avez compris, ce serait plus intéressant... ;-)

jc 25/03/2020 10:01

Complément.
Je trouve que la citation de Jorion rentre pile-poil dans le cadre saussurien que vous avez rappelé: syntaxe/synchronisme et sémantique/diachronisme, à condition de remplacer son "réseau mnésique" par "réseau syntaxique". Pour intégrer Lévi-Strauss là-dedans j'associe structure à synchronisme" et fonction à diachronisme où la fonction est ici prise au sens de fonctionnement (cf. l'article de Thom "Structure et fonction..." de AL que je crois -enfin!- commencer à comprendre, sans perdre de vue que Thom est lamarckien). Dans le cas de la formule canonique l'étoile (l'inverse) marquerait que les fonctions x et y fonctionnent, alors que sans étoile cela signifierait qu'elles sont en stand-by, en attente de fonctionner.

Hari Seldon 25/03/2020 11:24

Non !
- Sémantique niveau synchronique Ik
- Syntaxe niveau synchronique Ik+1
- Passage de la sémantique à la syntaxe : saut diachronique Ik/Ik+1

jc 25/03/2020 09:37

Remarque quantique sur la formule canonique du mythe.( Vous l'avez peut-être faite. Je débarque sur votre blog et quand je commence un article, je commente aussitôt dès que j'en ai l'occasion, sans lire la suite.)
C'est en parcourant l'article du matheux Jack Morava https://arxiv.org/pdf/math/0306174.pdf , que ça saute aux yeux puisqu'il interprète la formule en termes de quaternions. Il se range à côté de Côté et interprète la formule comme une transformation du premier membre vers le second et fait une itération de la transformation pour montrer ce que ça donne: x étant un point fixe n'étant pas mentionné on a ayb -> yba* -> ba*y*. Et il s'arrête là pour passer aux quaternions. Mais si on la continue on obtient -> a*y*b* -> y*b*a -> b*ay pour enfin boucler sur aby. On peut donc disposer a, b, y sur trois sommets consécutifs d'un hexagone régulier, placer leurs antipodes a*, b* et y* et tourner six fois de 60°, ce qui fait apparaître le système de racines A2. Et il est naturel de placer x au centre, puisqu'il est invariant dans la transformation, puis de tracer les 6 rayons. On remarque alors qu'on a un cube vu dans une grande diagonale où x écrase x*. On passe alors en 3D et on déploie la formule en
faisant apparaître x*: xayb -> x*yba* qui me semble plus symétrique que la présente...

Hari Seldon 25/03/2020 09:50

Oui, je suis sur cette piste, j'y pense en termes de transformation naturelles, mais je n'y reviendrai qu'après avoir fini de parler des foncteurs adjoints, et les topoï.

jc 24/03/2020 19:34

Petit complément. Au lieu de faire porter toute la complexité sur le groupe C, ou de répartir (a priori équitablement) cette complexité sur les deux groupes C et S (c'est-à-dire sur les flèches synchroniques), il y a une troisième possibilité qui consiste à faire porter la complexité également sur les flèches diachroniques. Quatre flèches diachroniques (deux flèches aller, deux flèches retour), et les deux groupes C et S à deux éléments? Je donne ce complément pour la raison suivante: cela laisse envisager une dualité nouvelle dans certaines catégories. Au lieu de passer classiquement à la catégorie duale par changement du sens des flèches, on peut envisager une dualité qui échange les flèches synchroniques et les flèches diachroniques.

C'est ce qu'a été amené à faire le médiatique Paul Jorion, anthropologue de formation initiale, mais éclectique, qui a écrit "Principes des systèmes intelligents". Il y écrit au chapitre X.2: "Le choix qui a été fait pour [le logiciel] ANELLA a donc été d’inverser le mode de représentation classique en matière de réseaux sémantiques et d’utiliser les arcs pour représenter les éléments (antécédent et conséquent) des enchaînements associatifs, et de réserver les sommets pour un autre usage. La démarche suivie consistait donc – par rapport à la démarche classique – en une inversion des sommets en arcs et des arcs en sommets. Lorsqu’il s’agit comme ici de graphes, une telle inversion équivaut à la construction du « dual » d’un graphe.
 Il existe en fait pour un graphe donné de nombreux types possibles de duaux.
 La forme de dual nécessaire pour le type de représentation recherché exigeait : a) qu’il privilégie l’enchaînement associatif, c’est-à-dire une séquence « sommet/arc/sommet » dans un réseau sémantique, pour le transformer en séquence « arc/sommet/ arc » dans un réseau mnésique ; b) que le passage au dual génère automatiquement la distribution du signifiant en la multiplicité des enchaînements associatifs où il s’inscrit (il serait sans intérêt évidemment qu’il faille entrer « à la main » dans le système, « pomme entre poire et prune », « pomme entre Adam et Ève », et ainsi de suite). Or, les mathématiciens n’avaient jamais décrit un objet possédant les propriétés que nous en exigions. Il a donc fallu formaliser un nouvel objet mathématique qui fut dénommé P-Dual d’un graphe."

jc 24/03/2020 14:52

Je n'ai lu que quelques lignes... Mais ça a suffi à me donner une idée nouvelle (j'ai la formule canonique du mythe dans le viseur depuis longtemps). Cette idée vient de lecture en diagonale de quelques uns de vos articles où transparaît votre insistance à considérer les mathématiques, non pas comme objectives, mais comme également subjectives, objecto-subjectives en fait, le sujet et l'objet étant indissociables. Thom a la même position¹, et très certainement Grothendieck aussi (en lisant attentivement "Récoltes et semailles" et "la clef des songes").
Thom propose un modèle explicatif du fonctionnement du psychisme d'un prédateur à l'aide de la catastrophe fronce et du lacet de prédation entourant le point fronce. Dans "Psychisme animal et psychisme humain" il examine l'expérience de Pavlov: chien -> sonnerie -> viande, de type IRS et remarque qu'il s'agit d'une catégorie au sens des mathématiciens à trois "objets". Mais puisque pour lui le prédateur affamé est sa propre proie (à la base, selon lui, de l'embryologie animale) le sujet I est identifié à l'objet R. On a donc une catégorie à deux objets: IR=C (pour chien) d'une part et S d'autre part. Le problème est de savoir combien il y a de flèches. Il me semble qu'il y en a deux décochées, diachroniques, l'une allant de C vers S et l'autre de S vers C. La clef d'un mystère -sinon du mystère- est peut-être dans le nombre de flèches qu'il y a dans les carquois synchroniques C et de S (il y a au moins id), et, bien sùr, leur organisation. Le plus simple est de considérer que les flèches des carquois de C et de S sont des éléments d'un groupe, donc, plus simplement, que C et S sont des groupes. J'ai envie de prendre le groupe identité pour S (la sonnerie, c'est presque peanuts), pour tout mettre sur le dos du chien C. Quel groupe prendre? Ça sent la torsion puisqu'il y de la lacanerie là-dessous. Le rasoir d'Occam suggère alors de prendre le groupe fini le plus simple possible avec un peu de torsion³. Une autre piste est de prendre le groupe de Weyl associé au système de racines A3, qui est associé à la fronce par le théorème de classification d'Arnold⁴. Mais peut-être faut-il aussi regarder le cas où S est aussi important que C? Mon sentiment personnel: A3 est beaucoup trop gros, il faut commencer par essayer A2 dont le groupe de Weyl est d'ordre 6.
Bien à vous, jc.
¹: Cf. Apologie du Logos p.177 ²: AL pp. ³: Lévi-Strauss insiste sur la nécessité de "torsion surnuméraire". J'ai trouvé ça dans le chapitre 5 des leçons d'Yves André à l'IRCAM: http://www.entretemps.asso.fr/maths/Livre.pdf

Hari Seldon 24/03/2020 15:16

Comme je vous l'ai déjà dit: j'ai regardé de près la théorie des catastrophes de René Thom, et lui ai même écrit à ce sujet, mais il était très vieux, au seuil de la mort. Son exemple du chien, qui réagit avec une hystéresis en passant de la colère à la joie est simplisme à expliquer en utilisant les concepts synchronie/ diachronie, sans recourir à sa théorie, et c'est en ligne avec ce que j'ai écrit sur le principe d'indétermination en mécanique Q.
Et il me semble vous avoir répondu en détail sur le sujet.
Merci de ne pas m'y renvoyer encore une fois, pour tourner en boucle.
Ce serait de l'automatisme de répétition ;-)