Après la représentation du temps, celle de l'espace

- Alain Connes m'obsède ces temps-ci, je sens qu'il dit quelque chose d'important(voir "géométrie non-commutative et physique") à propos de la représentation de l'espace, mais ça m'échappe.

- Peut-être faudrait-il que tu bosses sérieusement sa géométrie non-commutative pour espérer le comprendre ?

- Écoute, je suis si encroûté qu'il m'est difficile d'assimiler toute nouvelle idée, d'autant plus qu'elle toucherait aux strates les plus profondes de mon Imaginaire, et tu comprendras que cette perspective ne va pas sans quelque appréhension!
Depuis ma plus tendre enfance, j'ai été si préoccupé par la question du temps qu'il m'a fallu au bas mot quarante ans pour m'en faire une représentation à peu près acceptable, et tout d'un coup, au soir de ma vie, je suis interpelé par cette proposition d'avoir à reconsidérer ma représentation de l'espace lui-même. 

Que faire ? Abandonner ou suivre le lapin dans son terrier ?

- À mon avis, tu n'as rien d'Alice, et ta poursuite me fait plutôt penser à la chute de John Diffol dans "Suicide allée"; mais n'est-ce pas ce lâcher-prise lui-même qui te grise, comme la mort te fascine ?

- Tu as raison: ce qui est excitant, c'est d'aller chercher derrière le miroir. 

- Par où vas-tu commencer ?

- Par me rassembler un peu avant d'attaquer la falaise. Tout d'abord une question toute simple: pourquoi est-il plus commun de remettre en cause notre représentation du temps, que celle de l'espace?

- Je ne comprends pas?

- Mais si : le premier philosophe venu s'intéresse au temps, et y va de sa théorie, par contre la remise en cause de notre espace est plus rare.

- Tu peux toujours remonter jusqu'à la Renaissance Italienne.

- Oui, et je m'étonne d'emblée de voir que la géométrie perspective, issue d'un questionnement de peintres, soit LA géométrie servant de cadre pour repenser de façon très moderne la relativité. Et la question qui y est intimement liée est celle d'une double représentation "locale" ou "globale".

- Ça, tu nous l'as déjà dit maintes fois.

- Parce que ce point de départ s'impose de plus en plus; or la question n'a de sens que pour un être de langage, apte à prendre conscience de son individualité au sein de sa communauté. Prise de conscience qui commence à se cristalliser au stade du miroir pour chacun d'entre nous.

- Tu tournes en rond.

- Laisse-moi prendre du champ. Je disais donc que la géométrie "moderne" commence à questionner Euclide en rapportant la scène observée au point de vue de l'observateur. C'est vrai chez Piero della Francesca, puis chez Giordano Bruno:

"Toutes choses qui se trouvent sur la Terre se meuvent avec la Terre. La pierre jetée du haut du mât reviendra en bas, de quelque façon que le navire se meuve". (le banquet des cendres)

et bien entendu, dans les expériences de pensée chères à Einstein. Autrement dit, la relativité de nos représentations prend racine dans le concept d'espace, pour s'étendre progressivement à la vitesse, l'accélération et in fine, à la gravitation comme à la mécanique quantique (avec la notion d'observable). Alain Connes, en ramenant les derniers développements de la physique à notre point de départ, nous force à une réflexion sur cette évolution et sur le rôle véritablement originel de la géométrie dans l'histoire. Mais le chemin est ardu, car il passe par la physique et le langage mathématique.

Notre réflexion sur la représentation du temps, quant à elle, ne relève jusqu'à Einstein que de la pure philosophie, voire de la psychologie. C'est dire que lorsque Poincaré ramène le temps au concept d'espace, ce dernier est déjà le fruit d'une longue réflexion scientifique.

Pourtant, ce temps nous touche au plus profond puisqu'en nous rendant conscients de notre propre mortalité, il nous pousse à tous les fantasmes pour habiller notre angoisse existentielle du mieux que nous pouvons. Histoire universelle, qui m'a percuté très tôt.

Il me (i.e.: en Im) touche si durement qu'il n'est pas surprenant de le retrouver au plus près du Réel (i.e.: en R), comme un battement (b) entre les niveaux I1 et I01 les plus primitifs de notre Imaginaire (i.e.: R<I1<I01≤Im). La "tûché" ou le choc du Réel étant le point de contact avec le Sujet, lorsque ce dernier, précisément, "manque de temps" (i.e.: R<I1​​​≤Im).

- Autrement dit, ce temps qui est une dimension d'un espace très élaboré dans les développements récents de la physique, se retrouve chez toi comme le concept le plus élémentaire qui soit.

- Oui mais, et c'est là que ça devient intéressant, Alain Connes nous permet de faire le raccord entre les deux approches.

- De quelle façon ?

- Tout simplement en insistant sur le fait que la notion de longueur se reporte à celle d'une fréquence. C'est quasiment en introduction de sa présentation (à 7'40"). Autrement dit, il arrive là d'où je suis parti il y a bien longtemps pour initier ma réflexion. Je te renvoie en particulier à l'article sur l'indétermination (voir "Le principe d'incertitude d'Heisenberg sans les maths").

Comprends-tu maintenant pourquoi je lui tourne autour? D'autant plus qu'il s'intéresse lui aussi au langage des Catégories (c).

Cependant, le "raccord" entre topologique au-delà de I01, et pensée logique (entre I1 et I01) pose la question de l'oubli de la relativité dans notre régression Imaginaire vers la pensée logique. 

- Comment cela ?

- Alain Connes, dans une autre vidéo (0), emploie une image très frappante pour nous faire comprendre que l'espace se manifeste à nous sous forme de fréquences, comme un corps rayonnant par son spectre lumineux : il parle des frettes sur un manche de guitare qui lorsque l'on pince la corde contre l'une d'elles, détermine la hauteur du son produit par le joueur.

- Et ?

- Il ne voit pas que l'espace premier où se situe son manche de guitare, échappe à sa description purement locale de l'espace.

- Tu plaisantes ! Il ne s'agit que d'une métaphore.

- Non pas, je dirais même à la réflexion, que cet espace premier se situe très haut dans son Imaginaire, puisqu'il part du Lagrangien de l'action pour en déduire les concepts d'espace et de temps.

Pour mémoire, le Lagrangien est destiné à manipuler le concept d'action qui nous vient de Maupertuis:

"L'action est proportionnelle au produit de la masse par la vitesse et par l'espace. Maintenant, voici ce principe, si sage, si digne de l'Être suprême: lorsqu'il arrive quelque changement dans la Nature, la quantité d'Action employée pour ce changement est toujours la plus petite qu'il soit possible"

Eh bien, à travers tous ses avatars, c'est encore à cette idée qu'Alain Connes rapporte ses réflexions, même si au passage, il doit passer d'un minimum à un supremum (1) en parlant de renormalisation (à partir de 52'). Idée que je situe a priori en I#, où se pose la question de la commutativité de l'espace, et c'est de là que Im peut se faire une représentation globale d'un objet dans son contexte : I#≤Im.

Quant à l'espace de Hilbert, ou n'importe quel autre, impliquant l'hypothèse de la continuité, ils sont tous représentables en IR, dans un espace non-nécessairement commutatif, avec IR<I#≤Im. De ce fait, toute la dualité de point de vue local/ global (i.e.: dédoublement I'm/ Im) se développe dans le champ : I01​​ ≤I'm <IR <I# ≤Im.

En particulier, le changement de point de vue purement topologique (a), consistant, soit à changer de repère, soit à se mouvoir dans un repère donné, se traite entre I01 et IR, aisément par une écriture matricielle, et nous ramène à nos premières considérations concernant Évariste Galois (voir ici le début).

- Autrement dit le modèle standard, qui tourne autour de la théorie des jauges, se ramènerait à la discussion que nous avons eu concernant un tirage de cartes (voir "Évariste Galois part 4")?

- Oui, et cette constatation me rassérène. Après avoir fait ce recadrage, il me semble plus aisé d'entrer pleinement dans le développement d'Alain Connes, même s'il me faut à chaque concept qu'il avance, me replonger des heures dans une théorie dont je ne maîtrise pas le vocabulaire.

- D'accord, tu as du pain sur la planche, mais comment comptes-tu ravauder ton ouvrage, en I01, avec la perte de cette dualité d'approche typiquement topologique, local/ global ? En as-tu seulement la moindre idée ?

- Juste une intuition, qu'il me faudrait étayer. J'associe le travail de "renormalisation" de la physique à l'idée d'optimisation, qui est le propre du principe de moindre action de Maupertuis; or, comme y insiste Connes, la gravitation n'est pas renormalisable (voir 58').

Et ceci apparaît lorsqu'il nous parle des fermions et des bosons. Il faudra y revenir en détail, mais sa façon de les lier me ramène irrésistiblement à une différence synchronie (fermions) / diachronie (bosons).

- À ceci près (voir à 1h10') qu'il présente les bosons de jauge sur les deux faces d'une feuille de papier à l'exception du boson de Higgs qui en serait l'épaisseur. Pour reprendre ton système de représentation, les premiers seraient des principes "synchroniques" quand celui de Higgs serait "diachronique".

- J'y viens. Imagine une structure à 3 niveaux Ik-1 <Ik <Ik+1. Connes nous dit (voir 58') que l'action des fermions explique tout le système, y compris l'action des bosons sur les fermions, ce qui se traduit par : une action diachronique entre Ik et Ik+1 est repérable en Ik+1 (avec le triptyque usuel de Noether). Maintenant, une observation plus élémentaire permettrait peut-être de décomposer l'action diachronique elle-même en un couple de concepts plus élémentaires entre Ik et Ik-1.

Dans mon analogie:

• Fermions en Ik et Ik+1;
• Bosons de jauge entre Ik/ Ik+1;

Dans une représentation "orthogonale":

• Bosons de jauge en Ik et Ik-1;
• Boson de Higgs entre Ik/ Ik-1.

- Tu vas avoir du boulot pour justifier tout ceci !

- Attends le plus beau !

Le boson de Higgs est un boson scalaire, le champ de Higgs est lui-même un champ scalaire, (représentable à la limite dans un espace qui ne serait, selon Alain Connes lui-même, que pures fréquences). Ceci implique que Im n'a pas besoin de se situer plus loin que I01 pour adopter ce point de vue (3). Autrement dit Ik-1≡I1; Ik≡I01; Ik+1≡IR.

Or, en I01, Im perd la possibilité de l'approche duale topologique local/ global, et c'est précisément le point sur lequel insiste Alain Connes: le champ de Higgs comme la gravitation ne sont pas appréhendables localement.

Et nous retombons sur cette idée que boson de Higgs et temps sont intimement liés, c.-à-d. qu'ils prennent sens tous deux entre les niveaux  I1 et I01 de notre Imaginaire. Ce qui nous ramène à ce slide d'Alain Connes dans une autre conférence (2) sur les anagrammes renversantes d'Étienne Klein et Perry Salkow:

"L'horloge des anges ici-bas.
Le boson scalaire de Higgs"

- Et tu en es content de celle-là ?

- Assez, oui. Ceci dit, je suis effrayé de tout ce qu'il me faut apprendre pour boucher les trous de mon ignorance et présenter quelque chose de raisonnable. Mais en ayant cadré, ainsi que je le fais, le discours d'Alain Connes dans mon approche, je suis rassuré de pouvoir y arriver, tout en espérant trouver quelques raccourcis grâce aux topos... Ma flemme, toujours cette flemme !

Sur ce, il est temps de retourner jardiner.

Hari.

Note de lecture du 23/07/2019

Une présentation très claire et complète de la géométrie non-commutative datée de 2000:

• "Mathématiques du monde quantique" par Alain Connes à l'Université de tous les savoirs.

(0) Voir à 40'39" sur la vidéo "Le quantique, les mathématiques et le temps".

(1)  Voir à 19'48" sur cette autre vidéo "qu'est-ce que la géométrie non-commutative".
(2) Voir à 38' dans "les mathématiques et la pensée en mouvement".

(3) Alain Connes me conforte dans cette idée de ramener la gravité au niveau I01, (voir à 1h06' dans "Qu'est-ce que la géométrie non-commutative"); lorsqu'il parle de l'action de la gravitation comme étant le nombre (i.e.: discret) des valeurs propres de l'élément de longueur (qui est un opérateur) plus grandes que la longueur de Planck.

(a) Le mot "topologie" me sert d'étiquette en référence à la différence que je pointe entre "pensée topologique" et "pensée logique".

Le terme n'ai peut-être pas le meilleur, car ici la question du changement de coordonnées relève de géométrie analytique, et celle du mouvement, de cinématique, les deux étant relatifs au positionnement d'un objet dans un espace; lui-même défini par une géométrie.

Alain Connes fait quelques remarques à ce sujet, en particulier concernant la difficulté de traiter dans un même espace des variables réelles (avec l'hypothèse du continu) à côté de variables discrètes, en citant Grothendieck ("le topos est le lit à deux place des épousailles du discret et du continu" voir à 45' dans "Qu'est que la géométrie non-commutative") Ceci nous renvoie évidemment à la différence de niveaux I01/ IR, mais nous nous intéressons ici à la différence d'approche locale/ globale dans tous les champs qui nous intéressent, au-delà de I01; qu'il s'agisse de géométrie, cinématique, géométrie analytique ou même topologie au sens initial, mathématique du terme.

(b) On en revient à cette métaphore d'Alain Connes (Voir à 1h06' dans "Qu'est-ce que la géométrie non-commutative"):

"l'aléa du quantique est le tic-tac de l'horloge divine"

qui est vraiment au coeur de tout, et plus modestement de ma propre approche à partir de la différence synchronie/ diachronie !

J'en profite pour faire une remarque: Alain Connes insiste sur la nécessité d'une "soupe thermique" pour pouvoir y discerner le temps (voir à 1h06 dans "Qu'est-ce que la géométrie non-commutative").

L'idée lui vient sans doute de ses discussions avec Carlo Rovelli et d'autres physiciens, mais c'est une évidence, dès que l'on remarque que "temps" et "stabilité" sont deux concepts duaux. J'en parle dans "l'Homme Quantique" ainsi que dans ce billet plus récent, écrit à la fin du colloque "les psychanalystes lisent Spinoza" à Cerisy (voir "après Cerisy") en 2016.

(c) Pour voir la convergence des points de vue, entre ce que développe Alain Connes et la théorie des catégories, voir "Du morphisme au foncteur"), où je discute en particulier de la différence entre une approche bottom/up (immanente), où l'inégalité stricte "<" apparaît en premier et une approche top/down (transcendante) dans laquelle, l'inégalité "≤" s'impose en premier.