Sur les traces de Lévi-Strauss, Lacan et Foucault, filant comme le sable au vent marin...
10 Novembre 2020
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- Il n'y a pas de hasard!
- Je sais, je sais...
- Toujours est-il qu'hier, alors que je voulais finir l'article précédent "point #7 sur Galois", j'ai relu "Axiomes de choix et de continuité" pour me perdre à nouveau dans le premier saut Imaginaire entre [⚤] et [#], et revenir dans une longue note de lecture (inachevée) au concept d'espace topologique.
La première question qui me vient à la relecture est celle-ci :"pourquoi 4 façons de définir un espace topologique"? Ce qui m'amène à la suivante : "y a-t-il une différence de posture du Sujet entre la perception d'un ouvert et celle d'un fermé"?
- Tu ferais peut-être mieux de reprendre tout à zéro...
- D'accord, repartons des définitions.
1/ Définition par les ouverts :
"Un espace topologique est un couple (E,T) où E est un ensemble et T une topologie sur E, à savoir un ensemble de parties de E -que l'on appelle les ouverts de (E,T)- vérifiant:
1/ L'ensemble vide et E appartiennent à T;
2/ Toute réunion quelconque d'ouverts est un ouvert, c.-à-d. que si (Oi)i∈I est une famille d'éléments de T, indexée par un ensemble I quelconque (pas nécessairement fini, ni même dénombrable), alors ∪i∈IOi∈T;
3/ Toute intersection finie d'ouverts est un ouvert, c.-à-d. que si O1,...On sont des éléments de T, alors O1∩...∩On∈T"
A priori, je dirais que l'idée de réunion quelconque est vue de𓁝[#][∅], en effet:
D'autre part l'intersection finie renvoie à [∃][⚤]𓁜, en effet :
Il y a un hiatus entre les deux axiomes de la définition : le passage de 𓁝 à 𓁜, s'accompagnerait d'un saut entre [#] et [⚤] : 𓁝[#][∅]⏩[∃][⚤]𓁜.
- En fait, la gap en question (en 𓂀) tient au retournement du Sujet :
([⚤]𓁝|𓁜[#]⏩[⚤]𓁝|𓁜[#])⇅𓂀 (1)
- Oui, en résumé.
2/ Définition par les fermés :
1/ Les ensembles E et vide sont des fermés;
2/ Toute intersection quelconque de fermés est fermée;
3/ Toute réunion finie de fermés est fermée.
Il semble ici que nous ayons un mélange des genres :
et d'autre part :
Le changement de posture du Sujet pour passer de 2/ à 3/ n'est pas très "naturel":
([⚤][#]𓁜⏩𓁝[⚤][#])⇅𓂀 (2)
Instinctivement, il faudrait rajouter une bascule intermédiaire du Sujet 𓁝|𓁜 entre [⚤] et [#] pour que l'opération soit décomposée en sauts élémentaires, ce qui nous donnerait :
([⚤]𓁝[#]𓁜⏩([⚤]𓁝|𓁜[#]⏩[⚤]𓁝|𓁜[#])⏩𓁝[⚤]𓁜[#])⇅𓂀 (3)
Comme tu le vois, cette approche est plus complexe que la première, comme si elle "en rajoutait une couche" ou comme si elle l'encapsulait, c'est pourquoi j'ai identifié (1) entre parenthèses bleues dans cette séquence (3).
- Et quel en serait l'intérêt ?
- Je présume que c'est pour tenter de clore la définition par une posture ex post, c.-à-d. affirmer une perspective purement logique.
- Mais c'est un échec, puisque tu retrouves l'ouverture ex ante 𓁝 au final...
- Oui, il y a toujours une inversion des perspectives:
Mais dans l'affaire, tu as malgré tout réussi à rabaisser la posture locale initiale de [#] à [⚤], ce que tu vérifies par 1/ car le zéro "fermé", te renvoie au zéro de l'objet discriminant élémentaire {1;0} en [⚤].
Reviens à notre film (3), et repasse-le à l'envers, ça te donne (4) :
Or, comme l'indique la ligne (4) il est facile de ramener:
- Nous sommes ici en topologie, pas à rechercher des extensions galoisiennes...
- Sans doute, mais je pense que le processus est du même ordre.
- Une autre question : si le mouvement à l'intérieur de () peut être vu comme une itération d'un morphisme ↑ au sens propre, primitif de successeur, et le mouvement à l'intérieur de () comme ⊥, puisque c'est ainsi que tu caractérises la répétition en [#], quelle est la nature de la répétition du mouvement global portant d'un type de répétitions à l'autre ()⏩()?
- Il s'agit de concilier ce qui est radicalement différent, comme ici le discret et le continu, donc d'une pensée de niveau supérieur [♲] bien entendu !
- Tu prépares le terrain pour passer aux topos et aux ponts d'Olivia Caramello ?
- Effectivement : un espace topologique (E,T) conjoint un Ensemble E et une topologie T ce qui rappelle fortement le topos de Grothendieck (C,T) qui conjoint une Catégorie C à une topologie T reprenant pratiquement la même approche. Quant aux "ponts" entre topos, nous les avons déjà situés en [♲].
Mais je voudrais attirer ton attention sur un autre phénomène de portée générale en comparant les lignes (1) et (6) : l'évolution qui fait passer le Sujet 𓁜[#] en (1) à [#]𓁜 en (6), lui permet en retour d'explorer ce qu'il connaît déjà [⚤]𓁜 dans une nouvelle approche 𓁝[⚤] (ici une approche topologique nouvelle par rapport à la logique déjà connue).
=> C'est comme si le regard du Sujet se creusait dans le même mouvement qui le porte à une nouvelle hauteur. (A)
Et cette opération double commence par un retournement de perspective générale (ici le renversement de (3) et (4)) qui est une réflexion de niveau [♲] :
Ce que suggèrent encore ces deux lignes (1) et (6), c'est que le passage de [⚤]⏩[#] pourrait se voir comme la limite d'une suite indéfinie de pas élémentaires (3)⏩(4); ce qui serait une abstraction de niveau [♲] de la démarche Galoisienne.
- Soit pour cette perspective, mais concrètement, pour en revenir à notre topologie ?
3/ Définition par les adhérences :
Après avoir décrit le passage de la définition d'une topologie par des ouverts à celle par des fermés comme une "encapsulation" d'un changement de posture élémentaire du Sujet 𓁝|𓁜, il serait temps de se pencher sur cette limite | entre intérieur et extérieur qui se définit en termes de postures comme le miroir dans lequel se reflète le Sujet.
Et nous en arrivons à nos histoires de clôtures et de patates chaudes ("Axiomes de choix et de continuité") :
"Toutes les discussions tiennent à la limite entre un ouvert et un fermé, à savoir quel est le plus petit fermé qui puisse contenir un ouvert (ou quel est le plus grand ouvert contenu dans un fermé). La question n'est pas que mathématique: lorsque tu manges une patate cuite sous la braise, jusqu'où peux-tu gratter la peau de l'intérieur avant d'attaquer la partie brûlée? Tu conçois bien que cette limite soit floue, mais que de toute façon, tu ne peux pas aller au-delà de cette peau. La question est de cet ordre: tu ne sais pas trop jusqu'où s'étend la partie comestible de ta patate, les seules choses que tu saches avec certitude étant qu'elle est contenue dans sa peau, et qu'une fois mangée, tu n'auras plus en main qu'une épluchure vide.
Mais, au-delà de cette expérience sensible, le problème résiduel tient à la filiation qu'il y a entre la notion de limite, proprement topologique (ton épluchure), et celle d'ordre, liée à la logique.
- Je ne te suis pas ?
- Pour approcher d'une limite sans la toucher, il faut définir une procédure, c.-à-d. construire une suite, et donc ordonner les éléments de cette suite pour passer d'une étape de la procédure à la suivante. En mangeant ta patate, tu la creuses en te rapprochant de la peau au fur et à mesure que tu l'entames par tes coups de cuillères.
- Mais tu introduis une notion de temps là où il n'y en a pas forcément !
- C'est tout le problème ! La topologie voudrait ne traiter que d'espace, voire traiter le temps comme un espace, mais son langage ensembliste induit d'une manière ou d'une autre une notion d'ordre qui implique elle-même l'idée d'un déroulement en étapes successives."
Comme tu le vois, il va nous falloir éclairer ce passage de l'ordre à la clôture, commençons donc par le commencement :
Relation d'ordre sur un ensemble :
Jusqu'à présent la seule façon d'établir un ordre entre des éléments, s'était grâce à la notion de successeur, en relation avec l'idée très primitive de "temps" comme succession d'événements. Autrement dit, nous sommes dans l'action et décrivons une procédure.
Partons alors de l'idée que l'ordre entre les éléments résulte d'un regard porté ex post par le Sujet, après l'exécution de la procédure.
- Je suis perdu, dans quelle posture se trouve le Sujet pour exprimer cet ordre ?
- C'est délicat à préciser : N en [⚤] comme R en [#]1 sont ordonnés, mais pas C en [#]2 ! C'est comme si la notion de successeur, que nous avons établie en [⚤] subsistait jusque dans le premier saut [⚤]⏩[#] avec la notion d'ordre, pour disparaître ensuite dans la répétition du même en [#] dans [#]i⏩[#]i+1.
Dans l'attente d'en discuter avec quelques matheux, j'aurais tendance à écrire:
De ce point de vue, on pourrait définir un éventuel "ordre" dans un espace supérieur ou égal à 2D en définissant une priorité entre chacune des dimensions. Par exemple, sur un échiquier, on peut choisir par convention que l'ordre sur les colonnes (a, b, ...,h) est subordonné à celui des lignes (1, 2,...,8), pour donner un sens à "la tour du roi blanc en a1 est avant le pion du cavalier de la reine noire en g7".
- D'où faire ce choix ?
- Puisqu'il s'agit de réduire une rupture de symétrie (i.e.: des "ordres" irréductibles entre eux en [#]𓁜), il faut monter en [♲]𓁜 et ce choix s'exprime en [⚤]𓁜, nous retrouvons ici l'idée qu'en s'élevant, le Sujet peut creuser sa représentation cf. (A).
Ce point étant fait, abordons la suite :
Opérateur de pré-clôture :
"Si l'ensemble E ordonné considéré possède un zéro, et si toute paire {x,y} possède une borne supérieure x∨y, un opérateur de préclôture est une application pc: E→E vérifiant, pour tout x,y de E:
le dernier point implique la croissance car si x≤y, alors pc(y)=pc(x∨y)=pc(x)∨pc(y)≥pc(x)."
Comme la pré-clôture pc est une application de E→E, on comprend facilement l'intention derrière cette définition : c'est de chapeauter tout élément x ou paire (x,y) par un élément qui soit d'un rang supérieur au plus grand de ceux de x ou y. C'est l'idée de "clôture" prise dans un sens très élémentaire, en dimension 1D.
Opérateur de clôture :
"Un opérateur de clôture sur un ensemble ordonné (E,≤) est une application c:E→E vérifiant les trois propriétés suivantes pour tout x, y de E:
1/ x≤c(x)(c est extensive)
2/ si x≤y alors c(x)≤c(y) (c est croissante)
3/ c(c(x))=c(x) (c est idempotente)"
Tu vois explicitement se pointer en 3ème position la notion d'idempotence qui nous a déjà bloqués pas mal de temps (note 1) et que nous avons vue comme le marqueur du changement de posture logique/ topologique !
C'est la contraposition d'une idée que l'on retrouve en homologie : un bord n'a pas de bord.
Ce point me semble extrêmement important, car, pour en revenir à notre patate sous la cendre, ça revient à dire qu'au premier coup de cuillère j'attaque déjà la peau, et qu'ensuite il n'y a plus rien à gratter.
En termes de postures du Sujet 𓁝|𓁜, cela revient à affirmer qu'un seul passage de 𓁝|𓁜⏩𓁝|𓁜 suffit à définir le "miroir |" (ici notre épluchure) entre les deux.
Nous pouvons maintenant attaquer la définition :
Adhérences :
"Dans un espace topologique, les adhérences vérifient :
Cette adhérence est une préclôture."
Je repique tel quel ce que j'avais écrit à l'époque pour tenter de comprendre ce qui m'avait échappé alors, et ce faisant, je m'aperçois qu'il n'y a pas de référence directe à un ordre quelconque !
- L'adhérence reprend le vocabulaire et la syntaxe de l'opération de pré-clôture à ceci près qu'il n'y a plus d'ordre, et ce qui m'avait fait tiquer à l'époque, c'était cette opération d'addition sur les adhérences X̅∪̅Y̅=X̅∪Y̅, renvoyant à pc(x∨y)=pc(x)∨pc(y) sur un ensemble ordonné.
- Certes, mais, la croissance de l'opérateur pc comme nous l'avons vu, ne s'en déduit que si les éléments de E sont originellement ordonnés avec [⚤][#]𓁜, quand l'écriture X̅∪̅Y̅=X̅∪Y̅ renvoie très directement à l'addition, et donc au Sujet en posture 𓁝[∅], il y a donc un hiatus dans le discours, et mes échanges avec Samuel ne m'ont pas permis de combler le gap.
- Vérifie tes sources...
- D'accord, replongeons... Je trouve ceci pour nous guider :
"En topologie l'adhérence d'une partie d'un espace topologique est le plus petit ensemble fermé contenant cette partie. Lorsque l'espace est métrisable, c'est aussi l'ensemble des limites des suites convergentes à valeurs dans cette partie."
Laissons de côté les espaces "métrisables", qui nous renvoient à une métrique en [♲], pour nous en tenir à ce "plus petit ensemble fermé contenant une partie de E". Cela a un sens si les éléments de E peuvent être référencés dans R, mais plus au-delà... Non, il y a véritablement un problème.
- Reviens à ta présentation des quatre définitions d'un espace topologique, tu semblais déceler une logique dans leur succession?
- Tu as raison, reprenons le fil. J'en étais à une comparaison entre les deux premières approches :
J'avais émis l'hypothèse que le passage de l'une à l'autre pourrait résulter d'une série indéfinie de réflexions du Sujet 𓁝|𓁜, or nous venons de voir, avec c(c(x))=c(x) qu'une seule réflexion suffit.
Je pense que c'est là l'essence même de cette adhérence: c(c(x))=c(x) coupe les ailes d'une série indéterminée en lui assignant d'emblée sa limite pour nous dire que "ce qui est vu de l'intérieur" est comme "ce qui est vu de l'extérieur". Pour reprendre la métaphore de notre patate sous la cendre : d'un coup de cuillère tu atteins, de l'intérieur la peau qui se présente immédiatement à tes yeux de l'extérieur.
Il faut malgré tout passer de la définition d'un pré-ordre ou d'un ordre en [⚤][#]1𓁜 à une approche strictement topologique, plus générale 𓁝[#]n, et c'est l'objet de cette définition de l'espace topologique par les adhérences, autrement dit :
(𓁝[#]1𓁜⏩(𓁝[#]1𓁜)⏩𓁝[#]2𓁜)𓂀 (7)
Si l'on garde en tête que la posture 𓁝 ex ante est locale et la posture ex post 𓁜 est globale, alors on peut considérer les deux mouvements ()et () comme
Bien entendu l'emploi des flèches orientées haut/bas n'est pas innocent :
De ce point de vue la propriété c(c(x))=c(x) nous permet de ramener une idempotence à une identité et détermine l'équivalence entre les deux points de vue :
𓁝↓𓁜⏩𓁝↑𓁜 (8) (relecture du 08/01/2021)
- Autrement dit, tu privilégies ici l'approche ex post, tournée vers l'objet final [∃]𓁜, et en particulier, l'addition X̅∪̅Y̅=X̅∪Y̅ est vue ex post.
- SI nous replaçons cette notion d'adhérence par rapport à celles d'ouvert et de fermé, j'avance l'hypothèse que cette 3è approche met l'accent sur la frontière entre ouvert/ fermé, en privilégiant une approche par les fermés, d'un point de vue ex post [∃]𓁜, plus proche de la rationalité logique que d'une approche topologique, 𓁝[∅].
Je m'attends donc à ce que la 4è définition nous ramène aux ouverts.
4/ Définition par les voisinages :
"Un espace topologique est un couple (E,V), où E est un ensemble et V une application de E vers l'ensemble P(P(E)) obéissant aux 5 conditions ci-après, dans lesquelles les éléments de V(a), pour a∈E sont appelés "voisinages de a":
Il existe alors une et une seule topologie sur E (au sens de la définition par les ouverts) telle que pour tout point a de E, V(a) soit égal à l'ensemble des voisinages de a pour cette topologie, c'est-à-dire à l'ensemble des parties de E incluant un ouvert qui contient a.
Les ouverts de cette topologie sont les parties O de E telles que pour tout a de O, O appartienne à V(a)."
Relisons la définition avec cette question en tête : "quelle est la différence entre un ouvert et un voisinage"?
- Il faudrait déjà comprendre ce que l'on entend par P(P(E)) !
- Oui, ce n'est pas si évident. Considérons (E,T) un ensemble E muni d'une topologie T( i.e.: un ensemble de ses parties P(E)).
Si V(a) était un élément de P(E), et si je me représente l'élément a comme une fève perdue dans une galette des rois V(a) parmi d'autres sur l'étal E d'un boulanger, j'imagine bien pouvoir choisir V(a) parmi E et en couper un morceau ne contenant pas a; or ce n'est pas ce que nous avons ici.
Il faut donc comprendre ces "sous-ensembles" de V(a) comme une collection de tamis, et ça me rappelle ceux que nous utilisions pour vérifier la qualité des agrégats entrant dans la fabrication du béton: tu filtres avec la plus grosse des mailles, pour peser les cailloux, ensuite tu filtres le reste avec une maille plus petite et ainsi de suite pour arriver au sable pulvérulent. Les différents éléments du tamis peuvent être considérés comme des "parties" dans P(P(E)) d'un tout appelé "le" tamis V(a) permettant de filtrer des parties P(E) de E.
Il y a bel et bien une différence de nature entre P(E) ou l'ensemble des "parties" de E et les parties du voisinage V(a) ou P(P(E)) :
Une fois ceci en tête, le reste semble assez évident : tu retrouves les propriétés des ouverts pour V(a), à ceci près que tu a muni V(a) d'une structure de "filtre".
- Merci pour la relecture, mais qu'en est-il de la position du Sujet ?
- Ah ! C'est la question. Dans la première opération de découpage en 1/ tu es dans la même position que pour définir des ouverts :
[⚤]𓁝|𓁜[#]⏩[⚤]𓁝|𓁜[#]𓂀 (1)
Maintenant, cette histoire de "filtrage" en 2/ amène l'idée d'une série de tamis qui te permettrait de sélectionner ton objet "a" en utilisant successivement des mailles de plus en plus fines pour le récupérer, comme un chercheur d'or tamisant la terre pour récupérer une pépite. Autrement dit tu reconstruis un processus, et nous nous retrouvons avec un problème d'ordre, et in fine une succession d'actions.
Le processus est un peu à l'inverse de la situation précédente :
Strictement parlant, tu n'as plus de problème d'idempotence car dans cette dernière opération tu as une posture rationnelle logique, puisque tu rapportes ton observation ↑ de l'objet à un critère de jugement (i.e.: ton tamis ou ton crible), en position 𓁜.
- Et le changement de tamis, ou de critère ?
- Ce n'est plus le concept de successeur en [⚤] qui mène à celui d'ordre en [#], mais un choix du Sujet [♲]𓁜. Nous avons toujours cette bascule 𓁝↓𓁜⏩𓁝↑𓁜, mais cette fois-ci, initiée en [♲] d'où : 𓁝[♲]𓁜⏩[#]𓁝|𓁜[♲]⏩ [⚤][#]𓁝|𓁜.
- Soit, en tout cas il ne s'agit que de la seconde étape du mouvement, après (1).
- Oui, mais pour décrire l'ensemble du mouvement, il nous reste à savoir si nous terminons en [#]𓁜 ou en [⚤]𓁜?
- Et ça dépend de quoi ?
- De la définition de l'ordre entre les parties de V(a), et ça nous ramène à nos considérations précédentes sur la différence entre succession et ordre (voir B) :
L'enchaînement des deux actions :
donnerait alors :
([⚤]𓁝|𓁜[#]⏩([⚤]𓁝|𓁜[#])⏩[⚤]𓁝|𓁜[#]⏩[⚤]𓁝[#]𓁜)𓂀 (12)
ou après réduction : [⚤]𓁝|𓁜[#]⏩[#]𓁜𓂀 (13)
Ceci étant établi, nous pouvons tenter de comparer nos 4 définitions d'une topologie, en fonction du point de vue du Sujet.
Résumé :
| Par les ouverts : | [⚤]𓁝|𓁜[#]⏩[⚤]𓁝|𓁜[#]𓂀 (1) |
| Par les fermés : | 𓁝[⚤]𓁜⏩𓁝[#]𓁜𓂀 (6) |
| Par les adhérences : | 𓁝[#]1𓁜⏩𓁝[#]1𓁜⏩𓁝[#]2𓁜𓂀 (7) |
| Par les voisinages : | [⚤]𓁝|𓁜[#]⏩[#]𓁜𓂀 (13) |
À partir de ce tableau nous pouvons établir une sorte de dynamique conduisant des ouverts aux voisinages et des fermés aux adhérences :
Ouverts → Voisinages (14):
Les deux sont liés, puisque les voisinages sont construits à partir des ouverts, ce que nous pouvons repérer dans un mouvement d'ensemble:
(1)(13)<=>([⚤]𓁝|𓁜[#]⏩[⚤]𓁝|𓁜[#])⏩([⚤]𓁝|𓁜[#]⏩[#]𓁜)𓂀 (14)
Enchaînement qui explicite simplement en (1) la position finale rationnelle à laquelle tu plonges en [⚤]𓁜, pour passer de 𓁝[#] à [#]𓁜.
Fermés → Adhérences (15):
L'enchaînement (6)(7) permet de bien distinguer le (premier saut) faisant passer du concept de "successeur" à celui "d'ordre", de sa (répétition) qui s'exprime par leur orthogonalité (comme passer de R à R2, R3...) :
(6)(7)<=>(𓁝[⚤]𓁜⏩𓁝[#]1𓁜)⏩(𓁝[#]1𓁜⏩𓁝[#]2𓁜)𓂀 (15)
- Il te resterait une dernière réduction eïdique, non ?
Réduction finale :
- C'est la question à 100 balles, et je suis tenté d'y répondre en disant que l'enchaînement de nos 4 définitions nous éclaire sur leur problématique sous-jacente.
- Parce qu'il y a une problématique ?
- Mais bien entendu, il s'agit avant tout du mariage alien (E,T) :
Problématique que nous retrouverons, j'en fais le pari, à la charnière [#][♲] avec nos topos de Grothendieck...
- Soit mais pour l'heure restons-en à [⚤][#], si tu le veux bien !
- Je te propose le film suivant :
- À ceci près que pour passer d'une posture à l'autre dans ce dernier cas, il a bien fallu quelque part faire un choix, ce qui est explicite dans la notion d'adhérence.
- Je n'ai pas la prétention d'être exhaustif, disons simplement que notre façon de repérer les changements de postures du Sujet selon le discours qu'il nous tient, nous permet de situer les questions, et de voir comment le matheux tente, par la raison, de trouver des passerelles.
Cette présentation permet par exemple de voir tout de suite que l'utilisation des voisinages demande que l'on précise de quelle façon on peut "classer" ou "ordonner" entre elles les parties de V(a).
- Peux-tu préciser ?
- Si tu veux filtrer efficacement les agrégats de ton béton, pour en vérifier la composition, tu commences par retenir les gravillons, puis les graves, les sables et laisser les fines. Il faut donc réintroduire une procédure, basée sur un choix.
- À partir de ce que nous avons vu, nous pourrions revenir à la présentation de Samuel, qu'en penses-tu ?
- Dans un autre article sans doute... Laisse-moi pour l'instant ruminer tout ceci, et puis il est temps de revenir à Galois pour terminer Le point #7 !
Hari
Note 1 :
Voir :
Se reporter à la vidéo d'Étienne Ghys (voir ici), du groupe Henri-Paul de Saint Gervais, reprises dans le blog "Analysis situs" du CNRS.
Je m'y réfère déjà dans quelques articles, en particulier :
Après avoir discuté de la structuration de l'Imaginaire de l'auteur du discours, notre 𓂀 (voir : "l'émergence du Sujet"), je pense qu'il faudrait reprendre tout cet article pour éviter certaines ambiguïtés dans l'écriture.
Par exemple dans cette écriture 𓁝↓𓁜⏩𓁝↑𓁜, le glyphe ⏩ indique une évolution de "𓁝↓𓁜" à "𓁝↑𓁜", sur un mode temporel élémentaire, de niveau [⚤]. C'est dire que dans son Imaginaire propre, l'auteur est en [⚤]𓂀 pour exprimer (𓁝↓𓁜⏩𓁝↑𓁜)𓂀,
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