Évariste Galois derrière le miroir

- De quel miroir parles-tu ? De celui d'Alice ?

- Oui, c'est te dire le dépaysement auquel ce génie nous invite.

- Avec toujours une question de symétrie à la clef, n'est-ce pas ?

- C'est le maître mot ! Symétrie ! Mais pour être en mesure de recevoir ce qu'il a à me dire, je comprends qu'il me faut procéder à une profonde remise en cause de ma propre façon de penser.

- Tu y vas un peu fort, ce n'est quand même pas un baptême !

- Non, mais il s'agit malgré tout de revivre à un degré plus élevé ce fameux "stade du miroir" que j'ai traversé à l'âge d'environ 3 ans.

- Est-ce si radical ?

- Tu vas en juger par toi-même, mais je te préviens qu'il va te falloir pour cela revenir sur ce qui a marqué au plus profond ta façon de penser.

- Là tu es encore parti dans une dramatisation hors de propos.

- Absolument pas : Évariste, ce génie mort à la fleur de l'âge m'oblige, moi, un vieil homme, au seuil quasiment de sa propre mort, à me retourner la cervelle comme on retourne un gant.

J'ai déjà exposé le trauma initial qui m'a conditionné depuis mon plus jeune âge, l'angoisse de ma mort, et mon obsession du temps. Tout ce que j'ai développé ensuite en est la conséquence. Pour faire court, cette recherche m'a conduit à la distinction Saussurienne synchronie/ diachronie, et j'ai fait le rapprochement :

• Espace <=> synchronie
• Temps <=> diachronie

Toute cette démarche s'est cristallisée dans mon bouquin "l'Homme Quantique".

Puis Roger est mort, et je me suis autorisé à prolonger ma réflexion, en questionnant le langage  mathématique, à partir de la théorie des catégories.

Cette approche n'a fait qu'étayer ce que j'avais développé à partir du triptyque Réel/ Imaginaire/ Symbolique, en me permettant de préciser certains niveaux Imaginaires remarquables, fondamentalement:

• I0 le niveau où se conçoit l'objet initial;
• I1 le niveau où se conçoit l'objet final;
• I01 le niveau intermédiaire permettant de concevoir à la fois 1 et ses parties (0,1);
• IR le niveau permettant de passer de l'ensemble N (en I01) à l'ensemble des nombres réels R (en IR) avec l'hypothèse du continu.

Avec cette idée, que je raccroche à Cantor, qu'il n'y a pas de niveau intermédiaire entre I1 et I01, comme il n'y a pas de niveau intermédiaire entre I01 et IR.

La conséquence en étant que toute la logique s'inscrit entre I1 et I01, et que le "topos élémentaire" tel que défini par Lawvere est concevable en I01.

Ce qui nous donne l'arrangement suivant : R <... < I1 < I01 < IR <...< I0 < S

Les pointillés indiquant des zones encore indéterminées de l'Imaginaire. 

- Tu nous a déjà dit tout cela.

- Oui, oui, mais il importe de balayer tout ceci d'un seul regard pour bien comprendre en quoi Évariste Galois est novateur. Revenons donc à la circulation du Sujet dans son propre Imaginaire.

1. Nous avons vu que la plus haute conception rationnelle que le Sujet puisse se faire de lui-même, le situe en I0, puisqu'il est la propre source de ses pensées. Nous avons donc Im < ou = I0 ;
2. Par ailleurs, dans son propre développement, l'enfant, lorsqu'il prend conscience de l'objet, aux environs de 2 ans, "joue avec", comme le petit Ernst de Freud joue au "fort/ da". Cette situation de jeu est ce que nous définissons comme une situation "synchrone", c'est-à-dire que Im est au même niveau que son objet et donc : Im = I1;
3. Ensuite, la pensée rationnelle se développe à partir du moment où le Sujet prend conscience de la pérennité du concept (référant), lorsque l'objet référé disparaît. Autrement dit, Im est en position ex post par rapport à I1, et recule de I1 en I01; et donc I1 < I01 = Im. C'est à ce niveau, dans cette situation que le Sujet peut "choisir" l'objet de son attention. Nous avons longuement discuter à ce sujet de "l'axiome de choix";
4. Enfin, le Sujet peut concevoir à la fois l'objet de son attention ET les critères de son jugement : I1 < I01 < Im. C'est dans cette position, au-dessus de DEUX niveaux de discours, que nous pouvons pleinement parler de "pensée rationnelle logique".

Je fais ici ce rappel pour bien te montrer à quel point le Sujet est limité dans ses mouvements. En particulier, il n'a pas la capacité de vivre le stade du miroir.

- Qu'est-ce que le stade du miroir vient faire là-dedans?

- Je crois qu'il faut revenir sur ce que j'ai déjà pu développer à ce sujet, maintenant que nous avons une idée plus claire de l'étagement des premiers niveaux Imaginaires. Quelle est l'essence même de cette étape importante du développement du Sujet ?

- Eh bien, le Sujet prend conscience qu'il forme un tout identifiable à l'image que lui renvoie le miroir.

- Oui, mais il faut aller un peu plus loin: en se voyant lui-même comme un "objet" possible, il comprend qu'il puisse être un objet pour l'Autre, au même titre que l'Autre est un objet pour lui. Il y a là encore affaire de symétrie, il devient un objet de réflexion. Nous avons défini cette Image objectivée de lui-même par Im', et le stade du miroir comme l'étape du développement du Sujet lors de laquelle le Sujet prend du recul pour parler de lui-même comme d'un objet : Im => Im' < Im.

La question est maintenant de situer Im', ce nouvel objet du discours, dans la grille générale précédente I1 < I01.

1. I1 = Im ? Non, l'enfant en est seulement à l'acquisition de la notion générale d'objet;
2. I1= Im' < I01= Im ? Il se voit alors comme simple objet rapporté à lui-même : "bébé a faim". Mais il ne peut pas se voir dans le regard de l'Autre. Il n'est qu'une pulsion qui s'exprime.
3. I1 < I01= Im' < Im ? 

C'est là que le mathématicien permet au psychanalyste d'avancer : Im en reculant de la phase 2/ à la phase 3/ passe nécessairement de I01 à IR, car il n'y a pas d'intermédiaire entre ces deux niveaux !

Lors du stade du miroir, le Sujet change radicalement de monde ! Pouvoir se situer dans le discours de l'Autre, est une approche non plus logique (i.e.: entre I1 et I01), mais topologique, impliquant:

• l'hypothèse du continu, permettant de concevoir des proximités comme des distances par rapport à l'Autre;
• Le principe d'inertie, permettant de s'affranchir de la simple succession temporelle, pour envisager la durée, comme le futur et le passé;
• Une logique non limitée au "fort/ da", permettant en particulier de mentir à l'Autre.

- À t'entendre on croirait que la logique élémentaire est une dégénérescence de la pensée, alors qu'au contraire, c'est grâce à elle que le Siècle des lumières nous a permis d'évoluer !

- Entendons-nous bien: Galilée, Descartes, Newton, Leibniz ont initié la démarche scientifique et le nettoyage auquel ils ont procédé était absolument nécessaire. Cependant, et c'est ce dont je m'aperçois sur le tard, la pensée scientifique ne peut pas se limiter à ces premiers développements.

Mais nous n'en avons pas fini avec ce stade du miroir, car je te disais que pour comprendre Évariste Galois, il me fallait, moi qui te parle et construis ce discours, revivre une seconde expérience du miroir. Il faut donc que j'explicite ma propre place, celle du Démon de Maxwell (le DM) dans mon propre discours, son porteur ultime, souvent implicite, sans en être l'objet. Autrement dit, la situation I1 < I01= Im' < Im  en 3/ s'explicite ainsi :

I1 < I01= Im' < Im = IR < DM

Lorsque j'écris, en position ex post: Im' < Im < DM, je (i.e.: DM) décris rationnellement un discours lui-même rationnel du Sujet Im sur lui-même, objectivé en Im'.

Maintenant, qu'implique le stade du miroir pour mon Sujet ? Qu'il puisse être un objet à ses yeux, comme à ceux d'un autre Sujet, et donc, qu'il puisse également se définir par le regard de l'Autre. Toute l'ambigüité, l'incertitude du Sujet quant à son Moi, tient au basculement d'une position à l'autre. L'image qui me vient est celle du point de retournement de la fusée de Tintin dans "On a marché sur la Lune", avec un flottement lors de la bascule et le gag des Dupondt qui se prennent leurs chaussures mal attachées dans la figure.

- Autrement dit, tu en viens au schéma en L de Lacan ?

- Oui bien sûr, le schéma en L implique que le Sujet a fait l'expérience du stade du miroir. Sauf qu'ici les niveaux Imaginaires ne sont plus les mêmes. Le schéma en L est l'explicitation par DM (typiquement l'analyste ou Lacan) de l'articulation du Sujet (l'analysant) par rapport à son système Symbolique, au niveau Im = I0 < S < DM, avec le Moi du Sujet en position ex ante.

Mais tu vois que le Sujet peut tenter d'éviter cette vacuité essentielle de son Moi, (ce que signifie précisément Im = I0), en se définissant en Im' en position ex ante par rapport à un déterminant en Im qui lui échappe. C'est typiquement ainsi que le primitif se définit par la position sociale qu'il occupe au sein de son clan. La différence par rapport à la position Im < S, c'est qu'ici, la loi est articulée en discours ou en rites (i.e.: avec Im < I0 on peut rester à un niveau Imaginaire en-deçà du Symbolique).

La bascule Im'/ Im signe une possibilité de changer de rationalité : 

• Tourné vers le Réel, et I1, je me définis logiquement comme l'ensemble de mes parties : I1= Im' < I01= Im ;
• Tourné vers le Symbolique et I0, je me définis en Im', topologiquement par des proximités, filiations, appartenances, comme représentations (ou cribles) d'un Moi qui s'échappe, voire d'un vide existentiel : Im' < Im < ou = I0 ;

- Tout ceci me semble bien compliqué.

- Oui, ça l'est, et c'est bien pourquoi c'est occulté par les mathématiciens qui n'explicitent pas pourquoi ils passent sans sourciller de la logique à la topologie, en utilisant dans un cas des foncteurs covariants et dans l'autre des foncteurs contrariants, pour rapporter leurs objets en I01, là où je peux les voir et les juger.

- Tu en reviens aux topos de Grothendieck ?

- C'est l'objectif final, sur lequel je reviendrais, oui, mais restons-en à Galois.

Ce qui est absolument extraordinaire dans ce qu'il nous dit, c'est que dans une situation Im = Ik < Ik+1, je puisse voir en Ik des symétries résultant de ce qui se passe à un niveau Imaginaire Ik+1 qui m'échappe (i.e.: Im < Ik+1). Galois ouvre la possibilité d'une topologie !

- C'était déjà l'objet de la pensée mythique, repérée par Lévi-Strauss et qu'il a structuré  dans la forme canonique des mythes, puisque l'on créé le complément d'un concept pour "arranger" nos représentations.

- Certes, mais Galois va plus loin: il ne se contente pas de symétriser un concept en le conjoignant à son contraire, un peu à la manière de Derrida et de sa déconstruction, car en généralisant le concept de "symétrie", il ouvre complètement une perspective limitée dans la pensée mythique à une recherche de cohérence logique...

Et moi, ici et maintenant, je n'ai pas encore fait le saut ! J'en reste, si tu veux, à cette attitude ex ante du Sujet face à son système Symbolique, ne comprenant pas ce qui le définit : Im < S. Le pas qu'il me reste à franchir est de comprendre comment justifier des symétries repérables en Ik par une cause qui m'échappe en Ik+1, tout en restant rationnel !

J'ai, je le crois, cerné le problème, y a plus qu'à... Généralement, ça se décante en dormant, je vais donc faire la sieste là-dessus !

Bonne rumination !

Hari

Nota du 14/10/2018:

Il faudrait raccrocher ceci à une problématique générale en mathématique, dont nous avons déjà parlé; il s'agit de la distinction local/ global.

• Décrire Im' à partir de Im, en position dominante (en position ex post), c'est une approche globale;
• Retrouver la trace de Im à partir de Im' (en position ex ante), c'est une approche locale.

On pourrait également y voir le fondement "anthropomorphe" de ce qui occupe tant la démarche de Viliani, et qu'il expose fort bien dans différentes conférences; à savoir une opposition analytique/ synthétique. Je me réfère à ce qu'il dit en prélude à l'un de ses cours à l'IHÉS portant sur la courbure de Ricci, comme dans une autre intervention "of triangles, gas, prices and men".

Nota du 15/10/2018:

- Il y a un passage que je ne trouve pas très clair dans ton développement: pourquoi, à un moment donné es-tu obligé de te référer explicitement à ton démon de Maxwell (DM).

- À cause de la dissymétrie entre Im' et Im: dans la situation Im'< Im< DM:

• Dans une approche "globale", la référence Im est dans la même position ex post que DM par rapport à l'objet du discours, en Im', et donc il n'y a pas de difficulté à passer sous silence ce DM qui écrit le texte. Descartes n'a pas de difficulté à parler de son ego, auquel il ramène toute son expérience : son approche est rationnelle et logique.
• Dans l'approche "locale", je cherche à atteindre Im, à partir d'une position ex ante en Im', ce qui n'est pas a priori une approche rationnelle ! C'est dire que je dois explicitement en référer au DM, pour avoir un discours rationnel (i.e.: ex post) portant sur cette situation ex ante, et en particulier, pouvoir envisager Im. En fait, parler "d'approche locale", est une ruse du langage: en disant que je me déplace sur une courbe (en Im) en réduisant ma vision à l'environnement immédiat d'un point sur celle-ci, je me glisse dans la peau d'un personnage -un point en Im'- mais je garde malgré tout (en DM) un oeil sur la figure globale, que je cherche à définir d'un autre point de vue... C'est toute la question de l'éther chez Newton !

La situation est exactement de même nature que celle du psychanalyste parlant du système Symbolique d'un analysant: il peut tenter de se "mettre à la place" de l'analysant, mais en aucun cas ressentir les limites auxquelles ce dernier se heurte !

Note du 26/ 11/ 2018

Il m'a fallu 6 semaines pour éditer mon dernier billet (voir "Galois - Part 5 L'action et sa représentation"), que je boucle par une relecture de l'état de lieux fait ici, avant mon excursion. Je suis rassuré de retomber sur mes pattes !

Qu'ai-je appris en cours de route ?

Le point essentiel, c'est l'introduction des allers-retours entre deux niveaux, inaugurés par l'idée d'extension galoisienne:

• Dans l'espace Imaginaire {I1;I01}, je pouvais me contenter de sauts I1=>I01; étant entendu que tout saut rétrograde ne pouvait que me conduire à l'objet final, avec la difficulté pour Im d'en vivre l'expérience;
• Dans l'espace {I01;IR}, nous verrons que le saut se modifie dans l'itération.  Le premier permet de conceptualiser R, le second R², ou C ce qui revient au même, etc. ce qui nécessite à chacun d'eux de d'expliciter le comorphisme IR => I01.

Nous avons vu que le concept d'extension de Galois répond précisément à cette nécessité, qui se retrouvera ensuite dans les faisceaux puis les topos et enfin les "ponts" entre topoï d'Olivia Caramello. D'où sans doute le respect que Grothendieck porte à Galois.

Il faudra y revenir en détail, mais la construction des suites résolubles à partir des extension répond me semble-t-il à deux critères très fondamentaux :

1. Tout d'abord la finitude de mes concepts (même s'il s'agit du concept infini) en Ik+1 m'impose de dire que l'objet observé en Ik ne doit pas être modifié par un changement de point de vue en Ik+1. Ç'est ce que traduit la notion de "normalité";
2. Ensuite, les concepts définis en Ik+1 me permettent de regrouper sous une même étiquette certains objets en Ik. 

Lorsque je ne peux plus étiqueter convenablement les objets grâce à mes critères; c'est ce qui se passe entre les polynômes de degré ≥ 5 et leurs racines, alors c'est le signe d'une différence diachronique irréductible entre Ik et Ik+1. 

De ce point de vue la question qu'il me reste à voir en détail n'est plus "pourquoi n'y a-t-il pas de résolution par radicaux au-delà de 5", mais "pourquoi existe-t-il des nombres algébriques dans C" ! 

Dernière leçon, et pas des moindres, plus nous montons, plus l'aspect relatif de l'Imaginaire par rapport au sujet s'impose comme une conséquence de notre effort pour effacer l'aspect quantique de nos représentations. Ce n'est pas un hasard si l'hypothèse du continu s'impose dès lors que le sujet, en se décentrant par rapport à lui-même (i.e.: Im'<Im) initie du même coup une double approche locale/ globale en topologie, qui était inconnue en logique.

Note du 4 mai 2019

Voir cette vidéo d'Alain Connes parlant des "mathématiques et la pensée en mouvement", avec Évariste Galois comme premier sujet, et une conclusion de Grothendieck sur Galois.