Du morphisme au foncteur- théorie des catégories # 3

Je relis ce que j'ai écrit récemment dans l'article "#2" à propos des morphismes et des foncteurs pour me rendre compte que je dois le reprendre, après avoir écrit ma présentation au groupe CLE, afin de continuer ma lecture de Mc Lane.

- Pitié ne nous inflige pas de suivre les méandres de ta pensée, donnes moi simplement le résultat de tes cogitations !

- Il s'agit effectivement de simplifier mon approche.

Dès que j'ai réifié la succession des instants (concept diachronique entre I1 et I01) par une simple flèche → dessinée sur une feuille de papier (imaginable ex post R<I1 <I01 ≤Im), alors je peux développer tout l'outillage nécessaire pour traiter des catégories simples telles que Ens et Grap : les ensembles et les graphes.

Par ailleurs nous avons vu que, grâce à la notion de tribu, l'approche "topologique" gardait un sens en I01, même en l'absence de l'hypothèse du continu, nécessaire en IR.

De tout ceci, il découle que le concept de foncteur lui-même, vu comme un "morphisme de morphismes" est représentable "à plat" en I01.

Le véritable gap entre I01 et IR resterait donc l'axiome qui s'exprime en IR à savoir l'hypothèse du continu joint à celui de séparabilité (i.e.: on peut passer continûment d'un point à l'autre de l'espace, bien que ce dernier ne soit constitué que de points).

Autrement dit, je vais considérer que:

En I01, je peux parler des topos élémentaires, au sens de Lawvere;
En IR, je peux parler des topos au sens de Grothendick, comme du "lit commun du discret et du continu".

Quant aux outils que j'utilise pour en parler, ils sont a priori tous représentables en I01.

La question philosophique qui se pose est alors de mieux comprendre la place du Sujet dans toute cette approche.

Reprenons ce que je disais de l'ego cartésien:

Descartes veut constituer le sujet comme "premier", c'est le "je suis", une déclaration d'existence du Sujet, comme le mathématicien amorcerait un discours par "∃ Je", au plus près du Réel, en I1 selon notre terminologie.

Cependant, il ne peut le faire qu'en choisissant cette idée particulière, d'un lieu Im d'où il puisse engendrer cette pensée, autrement dit "Je pense" est quelque part au-dessus de I1 et donc : R<I1=I'm<Im.

L'existence de "Je" découle d'un comorphisme: Je suis←Je pense;
Qui ne peut s'exprimer que par la prise de conscience d'un morphisme identité : Je suis →Je pense.

Nous sommes ici entre I1 et I01, au plus près de l'expérience du Réel. À ce niveau Imaginaire, Lévi-Strauss, nous indique bien que la pensée s'élabore en regroupant les concepts par paires dichotomiques, ce qui mènera la philosophie Grecque au principe du tiers exclu, et la logique du premier ordre, les ensembles et la catégorie Ens... Bien.

Mais à partir du moment où le Sujet arrive à se prendre comme objet de son discours, et développer une pensée duale locale/ globale (avec I'm< Im), il semble que la substance du Sujet s'accroche à I'm quand Im s'envole dans ses propres pensées, jusqu'à se vider de substance (i;e.: en I0=Im) (note 1). (note du 07/ 12/ 2021)

- Tu nous amuses là, où veux-tu en venir?

- J'ai écouté hier des vidéos du groupe CLE, un exposé de Christophe Chalons et d'autres d'Anatole Khélif sur les "degrés ludiques" (note 2); et j'ai entendu ce dernier parler quelque part de "degré de localité".

Et ce terme résonne en moi depuis hier.

Je disais plus haut à propos de Descartes que l'on ne savait plus trop où le situer précisément, puisqu'il se définissait finalement par une idempotence. Il y a bien vision binoculaire (I'm et Im), mais lorsque je vise, c'est-à-dire lorsqu'il me faut privilégier un oeil plutôt que l'autre j'ai ce qu'on appelle un "oeil directeur"; en l'occurrence j'ai toujours assujetti I'm à Im, le local au global.

Mais est-ce bien toujours le cas ?

Lorsque l'enfant fait l'expérience de voir son reflet dans le miroir, il n'y a pas de doute: I'm< Im. Mais n'y aurait-il pas comme une sorte de tension qui s'établirait entre I'm et Im au fur et à mesure que la distance de l'un à l'autre s'agrandit ?

Lorsque Im est sous la tutelle de son Symbolique, l'Autre de Lacan, n'y aurait-il un appel du vide, le poussant à s'offrir comme objet du désir de l'Autre, vu ou vécu ex ante par I'm ? Avec : I'm<Im≤I0<S
Aspiration s'opposant à l'assujettissement de "l'objet petit a" à son propre désir en I'm ? Processus auquel Im assiste et qu'il juge en position ex post : R<I1≤I'm<Im.

Et dans cette ambiguïté du désir, où dois-je finalement me situer? Tu vois que nous restons toujours dans une sorte d'idempotence portant sans fin de I'm à Im, et vis versa: de ce point de vue, rien de changé depuis Descartes !

- Tu pousses le bouchon un peu loin, en ramenant Freud à Descartes.

- Tu m'as mal compris: je dis juste que depuis Descartes, notre façon de nous représenter à nous-mêmes n'a pas changé.

- Soit, mais nous voici loin des mathématiques.

- C'est à cause de cette référence à un "degré de localité".

J'ai l'impression que le Sujet ne souhaite pas trop s'éloigner du niveau I01, un peu comme un besoin de rationalité logique, de ramener une pensée trop complexe à une suite de procédures, débouchant sur une action visant le Réel.

- Besoin que s'exprime concrètement en mathématique dans l'approche "constructiviste".

- Oui, certes, mais ce n'est pas mon objet. Il me semble qu'au-delà de I01, et quelle que soit la complexité des constructions supérieures, nous n'ayons à notre disposition que les outils déjà prêts en I01.

Pour tout dire, lorsque Im s'élève dans l'Imaginaire, le mouvement est rapporté à I'm, et non l'inverse.

- Et quelle conclusion en tires-tu, qui nous ramènerait à notre sujet?

- Que tout développement des mathématiques au-dessus de I01 est fondamentalement une approche locale.

Historiquement, Évariste Galois est le précurseur, avec le concept d'extension (voir "Évariste galois partie 5"), puis Jean Leray avec la notion de faisceaux, ensuite le topos de Grothendieck (si admiratif de Galois). Mais dans tous les cas, il s'agit de ramener des concepts de Ik+1 à Ik.

Dans cette optique, ce que développe Jean Bénabou, dans la continuité de Grothendieck me semble être le squelette même de ces développements.

Ce qui nous ramène aux "catégories feuilletées" et aux foncteurs "projectifs" et "cartésiens. (voir "présentation au CLE").

- En bref, rien de nouveau dans ton billet.

- Non rien, juste une petite mise au point pour moi-même avant de reprendre ma lecture de Mc Lane.

Avec cependant cet éclairage quant à la nature des sauts diachroniques:

Entre I1 et I01, j'utile une simple flèche (morphisme) pour le représenter, et la répétition du saut est tout ce que je peux faire.
Entre I01 et IR ou tout autre saut au-delà, le changement de position I'm/ Im me permet de concevoir toute variation de construction montante/ descendante, avec autant de changement de point de vue que souhaité; avec en particulier à partir d'un simple foncteur, I01=>IR, un co-foncteur IR=>I01 (ou projection), des adjoints à gauche et à droite, des transformations naturelles etc...
Quelle que soit ma construction, mon observation effective de ce que j'ai pu imaginer passe par une réduction à la catégorie élémentaire Ens (ou Set).

Je crois qu'il me faut veiller de très près à n'utiliser le terme de "saut diachronique" que lorsqu'apparaît un hiatus dans le discours.

- Mais comment caractériser ou mesurer cette distance entre moi et moi, du moi extérieur I'm=I1 au moi intérieur Im=I0 ?

- Il faudrait inventer une mesure du "degré de symétrie" lorsque l'on passe d'un niveau à l'autre, allant d'une pure dissymétrie en I1 à une parfaite isotropie en I0.

Nous avons déjà évoqué les principes de symétries attachés à chacun des niveaux que j'ai réussi à identifier, la question suivante étant, bien entendu de savoir si le décompte est complet ou non... (note 3)

Sur ces fortes paroles, bonne médiation au soleil !

Hari

Note 1

Nous abordons des considérations qui n'ont plus rien de mathématique, quoique j'y ai pêché avec avidité le concept d'objet initial!

Pour les curieux, j'en parlais dernièrement ici :

Note 2

Sur les degrés ludiques voir :

"Catégorification des degrés ludiques" de Christophe Chalons
"Caractérisation des degrés ludiques" d'Anatole Khélif

Il y aurait beaucoup à commenter. Si vous en avez la curiosité, soyez attentif aux difficultés éprouvées par les interlocuteurs pour trouver des métaphores simples illustrant les concepts évoqués.

La seule chose qui émerge clairement, c'est l'existence de hiatus dans la représentation, (voir par exemple l'impossibilité de partitionner une sphère en zones avec 4 couleurs, ou les expériences d'Alain Aspect), indiquant l'existence de "niveaux Imaginaires"; séparés par des sauts conceptuels.

Note 3

En résumé:

En I1 : l'axiome de choix différencie l'actuel du virtuel;
En I01 : au fur et à mesure des répétitions, on passe de la dichotomie à la symétrie C4;
En IR : l'hypothèse du continu fait passer, de symétries d'ordre Cn à la rotation continue;
En I# : on passerait d'une géométrie non-commutative à une géométrie commutative;
En I0 : tout est isotrope, uniformément possible.

Les 4 premiers échelons semblent à peu près cernés.

La question se pose d'éventuels niveaux intermédiaires entre I# et I0.

Note du 27/ 11/ 2021

Étonné de voir que ce texte a été lu dernièrement, je le relis pour m'en souvenir et tombe réellement stupéfait de ce que j'écrivais alors à propos de la "substance".
Je suis ces jours-ci (déjà 11 articles) dans la lecture d'un livre d'Alain de Libera sur la querelle des universaux, dans laquelle, précisément il est question des concepts de "substance" de "matière" et de "forme" dans la théorie "hyélomorphique" d'Aristote, comme évolution de l'idée de "substance" chez Platon.

Or, oui, je suis retombé sur l'idée que la "substance" était un concept abordé par le Sujet en posture ex ante (I'm ici) que j'écris ainsi aujourd'hui : 𓁝[♲]. (voir #10)

Par des voies complètement étrangères à cette question, je posais déjà ce même constat en 2019 !

D'où mon trouble :

Suis-je si fortement marqué par ma culture occidentale, et cette dernière l'est-elle encore aujourd'hui par ces idées platoniciennes, que ceci se retrouve dans une façon de voir "naïve" de ma part ?
Ou bien remontons-nous effectivement à un mécanisme neurologique, une façon de "penser" qui marquerait notre humanité ?

Il faudrait en discuter avec un Chinois ou quelqu'un d'une culture réellement non-européenne, coupée de tout platonicisme pour avancer, mais, très sincèrement j'en doute a priori.

Incidemment, tout ce que je développe ici est largement dépassé, après ma prise de conscience qu'en passant de la catégorie Ens à Grap, nous changeons de mode de pensée (visible par le changement d'objet discriminant, qui détermine le type de logique associée). Néanmoins, la discussion sur la "tension" entre niveaux, étendue aujourd'hi au changement de modes, est toujours d'actualité.

... Et je suis toujours dans ma préparation pour lire Mc Lane !