Des ensembles et des groupes

Je suis tombé du lit ce matin, pour courir à mon clavier et cueillir mes cogitations d'avant l'éveil, vous savez, cet instant flottant où vous ne dormez plus sans être tout à fait rassemblé. Hier soir, j'avais laissé en plan mon dernier billet sur un méli-mélo de groupes et d'ensembles, et je comprends ce matin que la clef tient à la place du Sujet dans son discours, lorsqu'il parle des uns ou des autres dans les tous premiers niveaux de son Imaginaire, à l'extrême limite du Réel.

On pourrait même rattacher la différence d'approche entre groupes et ensembles à une façon de parler, de penser allemande ou française dont nous avions déjà discuté sur ce blog (cf.: "Réalité vs Wirklichkeit").

Tandis que Galois s'intéresse aux symétries, c'est-à-dire aux articulations et aux mouvements du discours, Cantor entraîne une moitié de l'Allemagne à s'intéresser aux "objets" en mathématiques, quand l'autre parle du "sujet" et d'ontologie à la suite ou contre Kant. En mathématiques, les deux courants se mêlent d'une rive à l'autre du Rhin, et si l'on ne peut dire que Jean Leray ait baigné dans la culture allemande du fait qu'il a développé le concept de faisceaux dans un camp de prisonniers en 41, il est plus raisonnable de penser que Grothendieck, bien qu'éduqué en France, pensait en allemand.

- Tu es en pleine forme ce matin !

- Oui, car tout m'apparaît clairement à partir du point de vue que je développe ici et très sincèrement, je ne vois même plus comment les matheux peuvent se passer de mon approche pour rendre leur démarche plus lisible...

- Et optimiste avec ça !

- Oui, comme à chaque fois que je dénoue quelque chose.

- En l'occurrence de quoi s'agit-il ?

- Du constat que j'ai fait hier au fil de ma plume, à savoir que les concepts développés par la pensée primitive restent purement duaux, quand le concept de symétrie en mathématique se développe autour de l'existence d'un élément neutre. 

- Tu rédiges toujours avant de savoir ce que tu vas dire ?

- Bien sûr, et c'est même devenu pour moi une façon d'avancer, car la nécessité de passer explicitement par le langage me force à clarifier ma pensée, et mon incapacité à y parvenir oriente ma réflexion.

- En somme c'est une façon très française de commencer une phrase sans la nécessité allemande d'en connaître la chute ! Tu n'es pas près d'une traduction allemande.  Mais vas-y, développe car en digressant comme tu le fait, tu vas perdre le fil de tes idées.

- Il faut commencer par définir un Ensemble en partant des axiomes de Zermelo-Fraenkel. Rassure-toi, les définitions qu'en donne Wikipedia vont nous suffire pour ce qui nous intéresse ici. Il y en a neuf faisant plus ou moins consensus, le dixième étant l'axiome de choix, déjà croisé ici à moult reprises. On parle de théorie ZF pour les 9 premiers axiomes et de ZFC en y incluant le dernier.

La théorie ZF s'énonce à l'aide de calculs des prédicats du premier ordre. Autrement dit, nous passons par un langage élémentaire développé par Gottlob Frege (dont il faudrait parler, tant son questionnement philosophique reste actuel)! Retenons que ce langage peut se ramener, grâce à la théorie élémentaire des catégories, à une logique circonscrite aux niveaux {I1; I01}, marquant ce que nous avons décrit comme la "pensée logique" d'un Sujet en Im, avec I1 < I01 < Im.

Donc, à partir de cette position limite (i.e.: au plus proche du Réel, tout en restant rationnelle et permettant la logique), le Sujet porte un discours n'utilisant que le seul symbole primitif d'appartenance "∈" pour décrire une relation binaire entre deux éléments. Le jeu auquel je te convie consiste à vérifier, pour chacun des axiomes ZF, où se trouve le Sujet Im qui en parle !

- Ça risque d'être long pour un petit billet de blog.

- Désolé mais c'est ici et maintenant qu'il faut le faire. C'est nécessaire pour tester la cohérence de mon approche.

- C'est un axiome extrêmement intéressant, car il exprime parfaitement le fait que "comprendre" quelque chose implique un changement de niveaux diachronique.

- Tu t'emballes peut-être un peu vite, non?

- Je t'en laisse juge : il s'agit de dire qu'un prédicat P pourtant sur les éléments x d'un ensemble A définit un ensemble B répondant au prédicat.

Formellement : B = {x ∈ A | P x}.

Il vient immédiatement que ce discours porte sur deux niveaux Imaginaires, le Sujet étant ex post : Ik < Ik+1 < Im; avec :

• A en Ik;
• B en Ik+1;
• P portant x ∈A en Ik à x∈ B en Ik+1.

Cet axiome est dit également de "séparation", en ce sens qu'il discrimine dans A ce qui correspond à P de ce qui n'y répond pas.

Que peux-tu espérer de plus quand un axiome de compréhension s'inscrit aussi clairement dans ce que nous présentons comme une situation de pensée logique ? Cerise sur le gâteau, tu vois immédiatement la nécessité, en théorie des catégories, du morphisme identité qui exprime le fait qu'en passant de Ik à Ik+1, notre élément x reste le même !

- C'est le pendant du précédent, qui recoupe l'entendement usuel que nous en avons: on définit un objet soit comme précédemment, par une propriété caractéristique, en compréhension, soit en identifiant chacun de ses éléments, en extension. 

Formellement : ∀A ∀B [ ∀x (x ∈ A ⇔ x ∈ B) ⇒ A = B ].

Or, "identifier" chaque élément x, c'est très précisément le porter d'un niveau Ik à Ik+1, ce qui nous ramène au schéma précédent :

• A (resp. B) en Ik
• B (resp. A) en Ik+1
• (x ∈ A ⇔ x ∈ B) fait passer chaque x de Ik à Ik+1
• A = B s'exprime en Ik+1

L'idée c'est qu'une série de sauts individuels Ik => Ik+1, portant chacun sur un élément x, se résume, une fois tous les sauts effectués, par une identité A=B au niveau supérieur. 

La propriété P entrant dans la définition précédente est l'étiquette donnée à un ensemble de sauts diachroniques portant sur des éléments x de l'un ou l'autre des objets A ou B. Mais une approche en extension est plus étriquée, puisqu'elle ne peut que constater une égalité entre A et B. Dit autrement: l'axiome précédent me permet de définir B à partir de P donné, déjà là en Ik+1, celui-ci me permet de construire P (entre Ik et Ik+1) comme une étiquette regroupant les sauts diachroniques des éléments concernés. J'ai l'image des allumettes que mon instituteur me faisait regrouper par paquets de 10 en les entourant d'un élastique.

Je m'attarde un peu sur ces axiomes car cette idée d'étiquetage d'un ensemble de morphisme (flèches entre Ik et Ik+1) recoupe assez précisément ce que nous avons vu en théorie des catégories à propos des exponentielles.

- Ce n'est pas strictement à proprement parler un axiome, puisqu'il se définit à partir de l'axiome de compréhension.

Formellement : ∅ = { x ∈ A | x ≠ x }

La lecture est assez immédiate, et recoupe étroitement les notions déjà vues en théorie des catégories avec les morphismes portant le singleton (ici x) de I1 à l'ensemble de ses parties en I01. Mais on remarquera que le ∅ exprimé ici n'a évidemment pas la portée générale de l'objet initial, qui lui est en I0, au-delà de I01 !

- Cet axiome exprime le fait qu'à partir de deux ensembles x et y, on peut toujours en former un autre dont ils sont les deux seuls éléments notés {x,y}. C'est ce que nous avons exprimé en théorie des catégories en parlant du produit. Là encore le discours s'exprime sur deux niveaux :

• x et y en Ik;
• {x,y} en Ik+1.

- Cet axiome est intéressant parce qu'il nous permet de faire du yo-yo entre des niveaux Imaginaires, en renvoyant en Ik, des éléments que nous avons précédemment déterminés par un moyen ou un autre en Ik+1.

- Qu'entends-tu par "faire du yo-yo"?

- Souviens-toi de mon embarras, à propos de la diagonale de Cantor (voir "etc."), pour savoir si passant de R à R², nous "grimpions" dans notre Imaginaire, c'est-à-dire en passant d'un niveau où j'imagine une droite à un autre où j'imaginerais une surface, ou bien si nous répétions un même geste. Eh bien cet axiome me permet l'itération que j'envisageais.

Nous sommes, bien sûr dans un contexte où tous les objets sont des ensembles. Cet axiome nous dit simplement que pour tout ensemble X, il existe un ensemble R dont les éléments sont exactement ceux de X. Autrement dit:

• X est défini en Ik+1;
• R est défini en Ik;
• les éléments x de R (en Ik) définissent X en Ik+1. 

Nous sommes toujours dans la position Ik< Ik+1< Im, mais le prédicat porte cette fois-ci sur le niveau Ik du discours.

- C'est un axiome fondamental du point de vue que je développe, compte tenu du rôle qu'y joue le niveau I01 où nous imaginons l'ensemble des parties de l'objet final {*}, à savoir son objet classifiant { ;*}.

Le discours se développe donc, ici encore entre deux niveaux avec Ik< Ik+1< Im:

• X en Ik;
• P(X) en Ik+1.

- Sortons juste un instant des mathématiques pour revenir à l'automatisme de répétition de Freud afin de comprendre de quoi il s'agit. Nous avons vu que lorsqu'un Sujet, se représentant en Im, n'arrive pas à comprendre ce qui le détermine en Ik+1, alors qu'il souffre d'un objet perçu en Ik, nous pouvons décrire cet état, nous qui sommes hors du schéma en DM, comme ceci : Ik < Im < Ik+1 < DM.

C'est typiquement une séance d'analyse, avec le psy en DM, et l'analysant en Im, empêtré dans ses conflits. Eh bien, Freud a remarqué que le sujet ainsi coincé par une explication qui lui manque répète la situation, sans qu'il n'y puisse rien bien qu'il en souffre. Ce qui l'a conduit sur la fausse piste de l'instinct de mort, mais c'est une autre histoire. Dans cette situation, Ik< Im, le Sujet vit ou subit la répétition d'une action, c'est-à-dire la répétition d'un saut diachronique qu'il est incapable de raisonner, faute du recul nécessaire.

Mais, dès qu'il recule :  Ik< Ik+1< Im => Ik< Im< Ik+1, de lui-même ou qu'on le guide alors, il peut prendre conscience de cette répétition, et c'est toute l'approche de l'école de Palo Alto !

Eh bien ce recul permettant de prendre conscience de l'automatisme de répétition, s'exprime en mathématiques par cet axiome de l'infini à un certain niveau de langage Ik+1, pour décrire une répétition entre Ik et Ik+1. La position la plus élémentaire, qui nous intéresse au premier chef étant : I1< I01< Im.

Et dans cette position de logique élémentaire,  le concept d'infini au sens spatial du terme, me semble venir de la prise de conscience de l'infinie répétition du même, de l'automatisme de répétition freudien. (note 20/02/20)

- Ceci dit, comment l'exprimer ?

- Je procéde comme si je découpais les images qui se succèdent sur une bobine de film pour les aligner côte à côte.

Ceci s'exprime formellement ainsi : x  ↦  x ∪{x}. 

Expression difficile à comprendre tant elle brasse des concepts de niveaux différents. Je t'en propose la lecture suivante:

• x est en Ik;
• {x} est un discours porté sur x : on le définit comme "ensemble" en Ik+1;
•  x  ↦  x est un saut diachronique entre Ik et Ik+1, ce qui implique l'identité de x-domaine en Ik et de x-codomaine en Ik+1 ;
• x ∪{x} est le constat à plat, en Ik+1, du saut précédent.

Et donc, on représente par un concept synchronique "∪", une action "↦" diachronique.

Maintenant, l'axiome de l'infini nous dit qu'il existe un ensemble auquel appartient l'ensemble vide et clos par application du successeur.

Formellement :  ∅ ∈ Y  et ∀ y  (y ∈Y  ⇒ y ∪ {y} ∈Y) 

On construit Y comme un ensemble contenant y et son successeur, avec l'élément ∅ en prime. La formulation n'est pas très élégante, avec ce rajout à la hussarde de l'élément vide, tout simplement parce qu'il est mal situé: on le voudrait en I1, alors qu'il est au-delà de toute conception logique, en I0> I01. On lui assigne donc d'autorité sa place en I01 par la déclaration "∅ ∈ Y".

- Autrement dit il s'agit du choix de Im, directement au-dessus : I01 < Im.

- Bravo ! Tu vois que ce n'est pas si compliqué ! On en appelle à l'axiome de choix lorsqu'en position rationnelle, le Sujet rapporte son discours à lui-même sans aucune médiation (cf.: "Axiome de choix et création").

Et donc, en réifiant le concept de successeur, nous avons pour ainsi dire deux façons orthogonales de considérer les choses.

- Peux-tu préciser ? Car j'ai du mal à te suivre.

- Nous en revenons toujours à la différence de niveau entre I1 où je repère l'objet final et I01 où je prends conscience de ses parties, et à la différence de nature entre l'addition (équivalent au OU logique et à l'inclusion), synchronique et la multiplication (équivalent au ET logique), diachronique.

L'exemple le plus clair que l'on puisse donner de ce double point de vue, c'est la construction de l'ensemble des entiers naturels:

• Soit de façon multiplicative, en répétant l'action de rapporter l'élément final {*} de I1 à I01 ;
• Soit de façon additive, uniquement au niveau I01, en incluant l'élément initial { } dans des ensembles de plus en plus "englobants":
  • 0 = { }
  • 1 = 0 ∪ {0} = ∅ ∪ {∅} = {∅} = {0}
  • 2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {∅, {∅}} = {0,1}

- Mais où est la différence ? Dans les deux cas tu construis une série en répétant un mouvement?

- Tu mets le doigt sur le point délicat ! N'oublie pas que nous inscrivons tout le développement Imaginaire entre deux niveaux I1 et I0, avec le niveau I01 pris entre les deux et une impossibilité absolue de définir un morphisme à partir de l'objet initial pour deux raisons :

• l'une mathématique : on ne peut pas définir de morphisme à partir de l'objet initial, pour la simple raison qu'il ne possède aucun élément;
• l'autre due à la posture du locuteur en Im qui, dans un discours rationnel logique ne peut que rapporter l'objet de I1 en I01 pour le juger.

Il faut en conclure que l'opération d'inclusion, qui est comme nous l'avons vu, une réification en Ik+1, de la répétition d'une action entre Ik et Ik+1, peut être vue comme de nature rationnelle géométrique, avec I01 < IR= Im, (voir ici). Ce qui souligne, si besoin était,  le rôle charnière de I01.

C'est dire également que l'axiome de l'infini intéresse à la fois la logique et la géométrie.

- Historiquement, cet axiome a été introduit par Fraenkel et Skolem pour compléter la théorie initiale de Zermelo, afin d'en améliorer la compatibilité avec le travail de Cantor. De façon raccourcie, pour tout prédicat P (c.-à-d. qu'il y a un axiome par prédicat, d'où le terme de schéma) portant sur les éléments x d'une ensemble A,  alors, les images de ces éléments par une relation fonctionnelle forme un ensemble B. Je ne reprends pas ici l'écriture formelle de cet axiome, qui est trop longue, mais n'offre pas de grande difficulté  (voir Wikipedia).

On le présente comme une extension de l'axiome de compréhension, et de fait, le schéma l'étagement Imaginaire est le même:

• A en Ik;
• B en Ik+1;
• P portant x ∈A en Ik à x∈ B en Ik+1.

Au-delà des motivations fort savantes qui en sont à l'origine, cet énoncé force l'attention, parce que nous avons là, dès les premiers niveaux de la logique (I1; I01) un schéma : objet => image (i.e.: obtenu à l'aide de morphismes), que le géomètre va s'appliquer à inverser : image <= objet, à l'aide de comorphismes. 

- C'est un axiome assez discuté, mais qui présente l'avantage d'éviter le paradoxe de Russel. Il énonce que tout ensemble x non vide possède au moins un élément  minimal y n'ayant aucun élément en commun avec x.

Formellement : ∀ x [x  ≠ ∅ ⇒ ∃y (y ∈ x  et y ∩ x = ∅)].

- Mais que voudrait dire qu'un ensemble y puisse appartenir à un autre x, sans qu'ils aient aucun élément en commun ? C'est un peu tordu, non ?

- Une solution évidente, c'est que y soit l'ensemble vide. Il y a plusieurs conséquences assez intéressantes qui  découlent de cet axiome :

Tout d'abord aucun ensemble ne peut être élément de lui-même. On ne peut avoir , sinon le singleton {x}, en donnant {x} ∩ x = {x} contredirait notre axiome ; ce qui recoupe notre approche car l'élément x d'un ensemble (en Ik) et cet ensemble {x} (en Ik+1) sont sur deux niveaux de langage différents.

En généralisant, il apparaît que la relation d'appartenance n'a pas de cycle : on ne peut avoir  et  ... et , sinon {x₀, …, x_n} contredirait l'axiome de fondation. Et là nous voyons que le concept d'ensemble se construit en évitant les cycles, tandis qu'au niveau des structures de groupe, on recherchera, au contraire, les cycles. Il y a bien là une "rupture de symétrie au sens propre qui s'inscrit au niveau I01.

- Je le cite pour mémoire, en vous renvoyant a ce qui a déjà été dit ici.

- Ouf, bel exercice, et qu'en tires-tu concernant le sujet qui te préoccupait ce matin ?

- D'abord le sentiment que cette théorie des Ensemble est beaucoup plus structurée que celle des catégories, et je suis certain que tout ce que nous venons de passer en revue y est repris d'une façon ou d'une autre. Ensuite, que la théorie ZF avec ou sans C est motivée par la construction de l'ensemble N des nombres entiers, avec un ordre entre les éléments de l'ensemble, depuis un élément minimal, le successeur de 0 pour atteindre l'infini par itérations successives.

Si nous revenons à la classification que j'ai établie entre les "structures mères" de Bourbaki (i.e.: structures d'ordre / algébriques / topologiques) alors nous voyons bien que la définition des axiomes ZFC, ainsi que le langage du calcul des prédicats utilisé pour les énoncer peuvent tenir sur nos deux seuls niveaux {I1; I01} utilisés dans la pensée logique (avec Ik < Ik+1 < Im).

Mais il n'y a pas de frontière étanche entre ce qui s'y développe et ce qui va donner les structures algébriques. 

- Un exemple ?

- Eh bien par exemple le concept d'addition qui est tantôt l'addition sur N, tantôt le OU logique, mais encore l'inclusion de la théorie des Ensemble, que l'on retrouve ensuite en topologie dans la notion d'ouvert. Nous sommes donc tout à fait fondés à suivre la décomposition de nos concepts les plus élevés afin de mettre à jour leur niveau d'émergence.

C'est ce que nous avions fait pour articuler entre elles multiplication et addition et pointer le niveau de décohérence entre les deux, c'est-à-dire le niveau I01.

- Que dire alors de la théorie des groupes par rapport à celle Ensembles ?

- J'étais perturbé en prenant conscience qu'une structure de groupe puisse s'appliquer indifféremment à des objets de la théorie des ensembles comme à des fonctions, mais rétrospectivement, on peut voir cette évolution de la théorie des groupes à celle des ensembles, comme un effort d'approfondissement, partant des structures les plus fortes, l'algèbre, pour détricoter tout le processus, qui conduit à l'élément vide, pour ensuite repartir de là.

Ce qui est peut-être trompeur, c'est que les mots communs d'ensemble, d'élément, voire d'objet, renvoient inconsciemment à l'idée d'une substance que l'on puisse toucher après en avoir parlé, un référé bien dur, bien solide. Or il n'en est rien: les mathématiques fonctionnent comme un dictionnaire où les mots renvoient à d'autres mots.

- Et c'est tout ?

- Non, mais j'aurai besoin d'un peu de temps pour décanter tout ceci. En attendant, nous avons déjà  ceci: j'étais gêné de coincer toute description d'une structure algébrique sur le seul niveau Imaginaire I01, comme nous l'avons fait pour l'addition, mais l'axiome de la réunion me permet de ramener des fonctions au niveau le plus élémentaire, pour les traiter comme des ensembles, et d'en parler en termes logiques, sans jamais dépasser le niveau I01.

- Nous n'aurions donc rien appris en passant de I1 à I01?

- Mais si, bien sûr : il s'agit de l'introduction de l'élément neutre autour duquel se construisent les éléments symétriques. Et là nous avons un marqueur pour pointer une rupture de symétrie, car il n'apparaît pas dans l'axiomatique des Ensembles.

Pour nous résumer:

• Lorsque Im se déplace dans l'espace Imaginaire R< I1< I01, alors les symétries sont sans élément neutre : c'est blanc ou noir ;
• Lorsque Im atteint IR, alors, nous avons la possibilité de définir un élément neutre en I01, utilisable par les structures algébriques ou topologiques.

- Attends un peu ! Tu ne vas pas limiter la logique au principe de tiers exclu ! Je te rappelle que l'objet final peut être autre chose qu'un point, dans la catégorie des graphes par exemple, et que tu la situes, sans le tiers exclu, toujours dans le même espace Imaginaire {I1; I01} !

- C'est là qu'il ne faut pas se mélanger les pinceaux. Effectivement, en écrivant "c'est blanc ou noir", je vais au plus simple, il y a des logiques où l'on peut exprimer "pas encore" ou "pas tout à fait", mais il n'y a pas de jugement neutre.  Ça équivaudrait à s'abstenir, or lorsque tu rapportes le singleton à l'objet classifiant, tu portes nécessairement un jugement. Dans un morphisme, un élément d'un domaine doit toujours atterrir sur un élément quelconque du codomaine. L'élément neutre de la théorie des Groupes ne ressort pas de la logique ! Autrement dit le plafond I01 de la logique sert de plancher à la topologie, et le marqueur en est bel et bien cet élément neutre.

Ceci étant déblayé, nous allons pouvoir continuer notre revue des structures algébriques.

Bonne rumination.

Hari

Note du 31/ 10/2018

En relisant cet article, je m'aperçois que notre approche met en évidence la difficulté d'introduire le concept de vide pour que notre "ensemble" ressemble à quelque chose !

Cela tient bien entendu à la hiérarchie de nos niveaux Imaginaires I1< I01 < I0.

Nous en avons discuté à plusieurs reprises, mais notre exploration des axiomes ZF nous offre l'occasion de voir, pour la première fois peut-être, l'efficacité de l'approche. Et je crois bien que c'est la première fois que je caractérise ainsi notre approche.

L'axiome 3 de l'élément vide

Il introduit l'élément vide comme la conséquence d'une proposition, donc un discours qui se tient à minima en I01.

Axiome 7 de l'infini 

J'ai insisté dans le corps du texte sur le caractère forcé de l'introduction de l'élément vide. Là encore se pose le problème : comment comprendre qu'il ne soit pas l'objet minimal ? L'axiome 7 constate une impossibilité qui, de notre point de vue est évident : pour être le précurseur ultime, il faudrait que je puisse le porter de I1 à I01, or c'est impossible, puisqu'il vient de I0 ! Il faut donc que ce moi, en Im, qui l'impose en I01.

Axiome 9 de fondation

Ici encore tout tourne autour de l'élément vide ! Mais je pense que cette "régularité" est liée intimement à la différence de niveaux I1 / I01, il faudra que j'y revienne !

Je me demande en particulier si la relation "x ∈ y", n'introduirait pas une différence d'ordre diachronique entre x (en Ik) et y (en Ik+1). Nous avons vu que cela rendrait parfaitement compte du fait que l'on ne peut avoir x∈x. De plus, l'impossibilité d'avoir des "cycles" cadre bien avec l'idée d'une succession indéfinie de sauts Ik => Ik+1, sans retour en arrière. Ce qui cadre aussi avec un temps ne s'écoulant que dans une direction, à ce niveau logique. À creuser...

Et puis il faudra lire ensemble les deux axiomes 7 et 9 qui me semblent présenter une symétrie remarquable dans leur expression.

Note du 01/ 11/ 2018

- Quel vieil imbécile je fais, à l'esprit aussi rouillé que les articulations !

- Calme-toi, de quoi parles-tu ?

- Hier, de retour de Melle, j'ai relu cet article pour y insister sur les difficultés à introduire le concept de vide dans la théorie ZF, et ce faisant, je relis vite fait l'axiome 9, et je ne retrouve plus l'évidence de ce que j'avais écrit. Je dois confesser que faute de le "comprendre" au sens d'une évidence, je repique l'article de Wikipedia pour être sûr de ne pas me tromper, et trouver quelque chose à grignoter autour. C'était du bricolage. Puis mes yeux se brouillent à cette heure tardive, et je ne distingue plus les définitions des axiomes 7 et 9, ce que je note, avant de fermer mon Mac pour aller dormir.

Et ce matin au réveil je me dis : quel con !

- Signe que tu as trouver quelque chose sans doute ?

- Il me suffisait de lire le nom des axiomes pour voir qu'ils font système. L'axiome 7 de l'infini, m'assure que je peux tricoter un ensemble en ajoutant une nouvelle maille aux précédentes, jusqu'à l'infini si le coeur m'en dit, ça s'était assez simple à voir. Mais l'axiome 9 du fondement me dit tout simplement que si je prend un tricot, quelconque, et que je le détricote maille après maille, mon détricotage s'achèvera lorsque j'aurai atteint la première maille !

- Dit comme ça, c'est effectivement plus clair.

- Soit, mais tu vois également que l'on retrouve toujours cette difficulté avec le vide: la première maille n'est pas le vide. En résumé :

• En tricotant, il me faut inclure l'ensemble vide dans mon échafaudage :  "∅∈Y";
• En détricotant, je dois m'arrêter avant d'atteindre le vide : "x  ≠ ∅".

Ce qui renforce si besoin était mes commentaires sur le vide. Par ailleurs, cela m'indique que j'utilise inconsciemment ces axiomes dans ma conception des "sauts diachroniques", car effectivement, le principe de répétition ne connaît pas de limite, cependant, il a bel et bien une origine déterminable, un premier saut.

Ce qui est cohérent avec l'idée que le temps est primitivement (i.e.: entre I1 et I01) le décompte d'une succession de sauts diachroniques, avec toutes les conséquences que nous en avons tiré (voir "le principe d'incertitude sans les maths")

Ceci rend également évident que la physique bute sur un "Big Bang" initial, puisque son existence est déjà inscrite dans les axiomes qui forment le langage qu'elle emploie pour s'exprimer !

Maintenant, et là nous revenons à notre problématique immédiate, nous avons, avec cet axiome de fondation, une rupture de symétrie avec la topologie ! Nous ne flottons pas ici entre les deux infinis Pascaliens !

Et c'est sans doute pour cela qu'il est mis un peu à part, qu'il n'est pas beaucoup utilisé par les mathématiciens, car dès que l'on s'intéresse aux structures des Ensembles, et de façon évidente en topologie :

• Sur un espace il n'y a pas de "commencement", juste une origine arbitraire;
• On peut cerner l'élément vide par une collection d'ouverts s'incluant les uns dans les autres à l'infini;
• On peut construire des boucles, c'est-à-dire des symétries.

Note du 20/02/2020

En y regardant de plus près, c'est-à-dire, après avoir pris en compte le "retournement" que le Sujet opère au stade du miroir (voir "De la propriété universelle en théorie des catégories") entre Im et I'm, je peux préciser que l'axiome de l'infini est lié à la dégénérescence d'une pensée qui cesse d'être topologique pour n'être que logique.

Autrement dit:

• L'axiome de l'infini est évidemment nécessaire en IR (le point à l'infini sur la droite R, que l'on retrouve comme horizon de C, ou dans la géométrie projective).
• Pour le penser en I01, il faut malgré tout avoir encore la possibilité d'une différence entre pensée topologique, à la limite extrême : I'm≤I01≤Im, qui disparaît en régressant avant le stade du miroir avec I01≤Im.