Quaternions, réalité du temps et espace imaginaire

- Lors de l'atelier CLE de mercredi dernier, j'ai assisté à un exposé sur les algèbres de Clifford, et c'est comme si l'on m'avait opéré de la cataracte !

- À ce point ?

- Oui ! Tu sais comme je galère pour caractériser proprement le saut IR/I#, qui devrait marquer le passage d'une pensée cantonnée à la "surface" des choses, à celle "d'objet en soi", grâce aux notions de "longueur", "aire", "volume", "masse" ou tout autre caractérisation "intrinsèque", dans la mesure du possible bien entendu ! Or ces notions, rattachées à celles de "norme" et de "déterminant", se calculent à partir de concepts déjà à disposition en IR.

- Autrement dit, tu veux marquer un gap intellectuel entre IR et I#, que le mathématicien ne voit pas dans son langage.

- Exactement: l'aire "s" d'un losange délimité par deux vecteur (a,b) et (a',b') s'exprime par la formule s=ab'-ba', autrement dit par des opérations simples définies depuis I01, s'appliquant à des objets définis quant à eux en IR (avec l'hypothèse du continu, la séparabilité etc...). Mais ce calcul ne prend véritablement son sens qu'en I#, avec en particulier des considérations sur la conservation de s malgré certaines déformation de la figure délimité par nos deux vecteurs. Et cette idée de "conservation", est essentiellement une préoccupation de physicien.

- Tu en reste à Newton et son utilisation d'un théorème relatif à la conservation de l'aire d'un triangle (voir "de Descartes à Leibniz et Newton").

- Bien sûr, nous revenons toujours aux questions les plus anciennes !

Or, cette notion d'algèbre de Clifford dévoile un chemin conduisant des nombres réels R, aux complexes C, puis aux quaternions H pour aboutir à une généralisation aux espaces de dimension dénombrable Rⁿ avec les algèbres de Clifford, qui m'a rappelé l'utilisation par Galois des extensions éponymes. Et durant cette présentation, j'ai eu l'impression que chaque pas dans cette voie me rapprochait du saut final IR/I#, de la même façon que les extensions Galoisiennes menaient au saut I01/IR.

- Je vois l'idée, mais la progression de Galois en I01, est guidée par l'intuition en IR d'une symétrie entre les éléments d'un groupe. Pour compléter ton analogie, quelle serait, dans cette nouvelle montée, la notion en I# qui marquerait l'aboutissement de cette progression en IR?

- C'est ça qui est remarquable: il s'agit toujours d'élargir les concepts de symétrie et de rotation.

- Autrement dit, le Sujet obéirait toujours à la même pulsion d'une étape à la suivante, le poussant à mettre en ordre son Imaginaire en cherchant les symétries derrières ses représentations ? Mais rien de bien nouveau là-dedans, car cela revient à dire qu'à l'inverse une descente diachronique se caractérise par une brisure de symétrie... Et tu retombes sur Noether as usual !

- Certes, mais j'ai maintenant un fil rouge à suivre pour le vérifier à l'articulation des niveaux IR et I#... Il me semble d'ailleurs significatif à cet égard qu'Hamilton comme Clifford aient été originellement des physiciens car leurs développements mathématiques témoignent d'un souci d'économie, ou d'optimisation, qui remonte à Fermat et Maupertuis.

Nous en étions restés au passage de la notion de symétrie dans un groupe d'éléments discrets en I01, à celle de rotation en C (en IR²), et le pas suivant nous conduit donc au quaternion de Hamilton. 

- D'accord, tu nous as situé le contexte, mais j'espère que ce n'est pas pour nous faire un cours sur ce que tu n'as pas encore compris d'une théorie que tu découvres?

- Non, non, rassure-toi ! Mais en regardant les vidéos associées à cette page de "In Situ" : "Quaternions, rotations, fibrations" et tout particulièrement lorsque Étienne Ghys nous parle des rotations dans la sphère unité S³ de l'espace euclidien de dimension 3, l'idée suivante s'est imposée à moi:

Le temps est réel, et l'espace est imaginaire.

Reporte-toi à sa vidéo "Quaternions et rotation", à 3'19" où il commence par deux choses:

1/ La norme des quaternions est multiplicative: n(q₁,q₂)=n(q₁).n(q₂) 

2/ De ce fait, la sphère S³ est munie d'une structure de groupe.

En conséquence, pour (q₁,q₂) de S³XS³, une application faisant correspondre à tout élément q de H l'élément tel que q⟼q₁.q.q₂^-1 est une rotation. Autrement dit : S³XS³→SO(H)=SO(4).

Théorème: cette application est un homomorphisme surjectif dont le noyau est Z/2Z , c.-à-d. qu'il contient les deux seuls éléments réels (-1) et (+1).

- C'est bien ce que je craignais: tu nous retranscris la vidéo!

- Désolé, mais tu vas voir comment tout ceci m'a amené à cette dualité "temps réel/  espace imaginaire".

Il y a d'abord ce résultat que le groupe fondamental des symétries dans un espace Euclidien à 4 dimensions SO(4)=S³XS³/(Z/2Z), n'est pas simplement connexe, puisque son noyau est constitué de deux éléments distincts: garde-le en mémoire, nous allons y revenir.

Ensuite, Étienne Ghys enchaîne (à 9'40") sur le groupe de rotations SO(3) dans l'espace euclidien à 3 dimensions, autrement dit, notre espace familier.

Considérant l'application q⟼q₁.q.q₁^-1, il fait deux remarques:

• lorsque q₁ est réel, elle préserve l'identité de q (i.e.: puisque R est le "centre" de H).
• Puisque q₁ est de norme 1, elle préserve l'espace V (engendré par i,j,k), qui est perpendiculaire à l'axe réel.

Et cette dernière remarque m'a fait, si je puis dire, "inverser" le rapport qu'inconsciemment j'entretiens entre un temps "imaginaire" et un espace "réel".

- Tu as plutôt démarré en disant que l'espace est un concept "synchronique" et le temps un concept "diachronique" et que tout mouvement, évolution ou transformation se conçoit systématiquement en conjoignant un couple de concepts, l'un diachronique, l'autre synchronique.

- Merci pour la piqure de rappel, mais tu vois bien que derrière ces mots de synchronie et diachronie, subsiste le sentiment que ce qui est stable, c'est le concept synchronique, alors que tu ne peux exprimer un concept diachronique Ik/Ik+1 qu'a posteriori, au niveau synchronique Ik+1. Représente-toi notre Imaginaire comme une corde vibrante, l'idée générale, c'est que les niveaux synchroniques sont des "noeuds" de vibration, et que l'on ne sait pas trop où se trouve la corde lorsque l'on passe d'un noeud à l'autre.

Nous avions bien établit qu'en IR, le temps est une dimension "orthogonale" à celles d'espace (voir "la chiralité du temps"), sans toutefois de discrimination entre une dimension d'espace ou de temps.

Or, ce que nous suggère le concept de quaternion, c'est que si les 4 dimensions d'espace-temps sont bien orthogonales entre elles, les trois générateurs (i,j,k) engendrent un espace V qui diffère radicalement de l'axe réel, puisque la norme d'un quaternion s'exprime par une expression en cosθ² pour la partie réelle et sinθ² pour (i+j+k).

De plus en établissant que SO(3)=S³/(Z/2Z), on voit que le groupe de rotations dans l'espace euclidien à 3 dimensions n'est lui aussi, pas simplement connexe. Vu de (-1) ou de (+1) sur R, les rotations dans l'espace V, qui lui est perpendiculaire, ne sont pas de même sens, ce qui me rappelle fortement cette histoire de miroir, qui m'avait conduit à l'idée de chiralité du temps !

- Autrement dit dans l'analogie que tu tentes d'établir, l'axe R des réels serait comme l'axe diachronique, quand l'espace V engendré par (i,j,k) serait semblable à un niveau synchronique ?

- Oui, j'avoue que notre vocabulaire rend la chose assez perturbante, mais considère ceci: pour construire R, nous partons de Q et très primitivement, en I01 de N. Cependant N est essentiellement le repérage en I01, d'une succession de sauts diachroniques I1/I01; à partir de l'élément final (*) en I1. Nous sommes bien ici au coeur du concept élémentaire de temps comme diachronique, plus primitif, plus proche du Réel, que toute représentation de l'espace, qui doit être "parcouru" pour être compris.

Et toute cette réflexion est initiée à partir du constat que la norme utilisée sur H est multiplicative: n(q₁.q₂)=n(q₁).n(q₂), et donc en rapport avec l'élément final (*).

- En bref, ces quaternions n'ont pas fini de te faire cogiter !

- Oui, mais sans attendre la fin de l'histoire, je voulais marquer ce changement de perspective, qui m'est venu à l'esprit en écoutant Étienne Ghys:

L'évolution de notre représentation du rapport temps/ espace est peut-être toute entière contenue dans ce théorème d'Adams selon lequel si Sⁿ est un groupe, alors n=0 ou 1 ou 3, qui marquerait fondamentalement notre Imaginaire.

Pour n=0, il faudrait alors comprendre le niveau I01 de notre Imaginaire comme le lieu où :

• une pensée immanente (à partir de l'automatisme de répétition) construirait N à l'aide du successeur, 
• une pensée transcendante verrait "l'unité de temps" comme ce qui sépare le "passé" en (-1) du "futur" en (+1).

La conjonction des deux signant notre "prise de conscience", pour finir en citant J.P. Changeux.

Comme tu le vois, il y a encore pas mal de cogitations en perspectives pour rendre tout ceci limpide !

Reprise:

Pris par le temps ce matin, j'ai un peu expédié la fin de l'article, mais je voudrais revenir sur le stade du miroir, afin de compléter notre réflexion (la mienne, ou celle du miroir, au choix) en revenant sur ce que nous en avons dit dans les articles "la chiralité du temps" et "représentation du temps et de la causalité".

Lorsque le Sujet se regarde dans le miroir, nous avons tout d'abord remarqué que le discours global du Sujet en Im s'inverse par rapport à celui de son avatar local en I'm. J'en ai pris conscience il y a déjà quelque temps voir "De la propriété universelle en théorie des catégories".

Nous pouvons maintenant compléter notre méditation sur ce thème de la manière suivante: si le Sujet en Im est cause de son image en I'm, l'axe I'm/Im orthogonal au plan du miroir ou se situe l'image (i.e.: le lieu de rencontre de leurs deux discours), est marqué par une différence temporelle: le Sujet en Im précède son double en I'm. Le Sujet global est dans le passé (en -1) de son avatar local (en +1) et cette différence se marque par la non-connectivité de l'image dans le miroir, selon le point de vue adopté...

- Intéressant, à ceci près que dans ce schéma ton axe diachronique "monte" du futur vers le passé...

- Nécessairement parce que la "prise de conscience" du Sujet ne peut se faire que lorsque le percept à un instant donné (en +1) rencontre un concept déjà formé (en -1). De ce point de vue, la transcendance appartient toujours au passé. Cela se marque dans la pensée mythique par le recours au récit des "grands anciens", et se retrouve dans les religions du Livre pour lesquelles la parole de Dieu est déjà donnée. De même chez Lacan, pour qui le Sujet construit son Moi à partir d'un Symbolique S∪A déjà là.

- Il y a malgré tout un paradoxe à voir une évolution immanente se heurter à un cadre transcendant pré-existant...

- Pour le coup, nous en revenons à la discussion entre Socrate et Menon ( voir  "Le Menon")!

Mais si tu veux vraiment te tordre les méninges, tu peux élargir ton champ de vision pour comprendre que cette droite du temps, représentée par la droite réelle R comme centre de H est en fait un cercle... Bonjour Nietzsche et son éternel retour !

En attendant, je te renvoie à cette vidéo de la fibration de Hopf, dont nous reparlerons certainement, mais après la digestion d'un excellent repas dominical !

Méditation du 21/01/2020

 - J'ai pensé à un truc ce matin:

1/ Lorsqu'au niveau le plus bas de l'Imaginaire, naviguant entre I1 et I01, je suis dans l'automatisme de répétition, on a bien établi que la construction de N se fait par le repérage de cette répétition, avec la notion de "successeur". D'une certaine manière, le temps se développe donc au fil de cette succession de sauts: n+1 arrive après n. Puis, une fois réifié le concept de successeur, en I01, je suis capable de penser "avant" comme l'inverse de "après", et de N on passe à Z.

2/ Mais lorsque l'on passe de I01 à IR, on "clôt" l'Imaginaire en bordant R par le point à l'infini ∞, et nous venons de voir que ceci implique d'inscrire ce saut dans une perspective "antérieure". Ce qui se conçoit assez facilement si l'on part du principe qu'il faut bien atterrir "quelque part", ne serait-ce que dans l'eau de la piscine lorsque l'on saute du grand plongeoir.

De ce point de vue, l'aboutissement, le point asymptotique, de l'avenir s'inscrirait dans un passé.

- C'est implicite dans ce que tu as développé:

• L'automatisme de répétition se constate chez le Sujet qui n'a pas les clefs pour comprendre son état: c'est ce à quoi Freud est parvenu en observant les traumatisés de guerre. Dans notre jargon cela revient à dire que le Sujet est en position ex ante; dans une pensée "rationnelle", c'est notre Sujet en I'm.
• Le sujet sort de l'automatisme de répétition lorsqu'il a "sauté le pas", et "pris conscience" de son état, autrement dit, toujours dans une pensée rationnelle, notre Sujet est en Im.

De ce point de vue, on pourrait voir ce point particulier de "prise de conscience" du Sujet comme le point de bascule entre un état où il se situerait dans un avenir indéterminé, pour se "comprendre" dans une histoire déterminée. Autrement dit la "prise de conscience" équivaudrait à un sentiment d'être dans le présent, ou d'être "au monde" ou "jouissant", au sens que développe Lacan.

- Oui, et ceci nous renvoie à ce que nous avions discuté au sujet du phénomène "d'adhérence" dans une situation théâtrale !

Or, dans cette expérience, il s'agit bien pour le spectateur d'être en quelque sorte "réveillé" par l'acteur qui s'adresse directement à lui en cassant le développement temporel du drame: il s'adresse à lui comme "pré-existant" à l'histoire en cours de développement. Et l'instant d'éveil correspond à cette bascule futur/passé pointée ici.

On pourrait sans doute revoir de ce point de vue l'éveil du père rêvant que son fils brûle (voir "Père ne vois-tu pas que je brûle").

Tout ceci tend à présenter l'instant de "prise de conscience", comme le point de convergence entre un "futur" construit par la répétition des traumas venant du Réel, et une "histoire" au cours de laquelle le Sujet s'est construit.

En ce sens, la dimension temporelle est bien celle qui nous relie le plus intimement au Réel: avant même de me situer dans l'espace, je m'éveille par le sentiment d'être "présent".

- Tu t'arranges surtout pour retomber sur tes pattes en jouant sur le double sens du mot "réel":

• le "Réel" du triptyque Réel/Imaginaire/Symbolique,
• la droite "réelle" qui se construit au niveau IR de l'Imaginaire...

Mais ton développement s'écroule dès que tu passes au niveau supérieur: en IR, la répétition n'est plus liée à la simple succession, mais à l'orthogonalité...

- Justement! N'est-ce pas au coeur de notre discussion à partir de C et H ? N'est-ce pas le signe que l'espace est plus construit que le temps?

Dans C, nous avons vu que la "répétition du même" se traduit par une rotation, et à la différence passé/ futur correspond une différence du sens de rotation.

- Mais dans H une rotation est une opération plus complexe: tu appliques d'abord l'action q₁ à q, et ensuite tu "reviens sur tes pas" avec q₁^-1.... Comment faut-il le comprendre ?

- En disant que dans C on "tourne" dans un sens ou dans l'autre, en fait notre vocabulaire oublie tout simplement de représenter le temps sur un axe perpendiculaire au plan imaginaire C, c'est d'ailleurs toute l'ambiguïté du concept de "rotationnel" en physique: la rotation dans le plan nécessite de s'exprimer dans un espace en 3D.

Maintenant, en partant de la définition d'une rotation en H, pour la restreindre à celle que l'on a vue en C, on peut tenter d'y retrouver ce que nous avions dit en I01 des permutations et transpositions à partir d'un jeu de cartes (voir "La chiralité du temps" et "Évariste Galois #4 Symétrie et rotation") :

Pour mémoire:

• Soit τ une transposition élémentaire entre deux cartes;
• Soit γ une permutation dans un jeu de carte (on remplace une carte par la suivante, et la dernière revient à la première place, ce qui équivaut à remettre sur le dessus du paquet de cartes la dernière de la pile).
• La forme γ^kτγ^-k exprime la possibilité de repérer une transposition entre deux éléments aux places k et k+1 de notre pile de n cartes, en fonction de nos deux générateurs élémentaires, τ(1,2) et γ(1,....,n),

Une transposition τ élémentaire est un acte "local", quand une permutation γ est un acte "global"; or, cette forme γ^kτγ^-k me fait irrésistiblement penser à q₁.q.q₁^-1...

Et j'ai dans l'idée que sur S¹ (les rotations dans C) un vermisseau unidimensionnel ne pourrait différencier le sens de sa marche (sa rotation) que par une différence "devant/ derrière") et qu'il n'aurait de ce fait qu'une vision "locale" de la rotation, quand en H un être en 4D pourrait définir "globalement" une rotation sur S³.

Alors, ce qui est localement "gauche/droite" en S¹, devient en S³ une différence entre le point de vue global du Sujet sur la droite R en -1 (donc le Sujet en Im, ex post) et une vision locale (en I'm, et +1 sur R, ex ante).

- Autrement dit, le Sujet devrait attendre d'être en H, pour développer une "vision topologique" de ce qu'est une "rotation" ?

- C'est une hypothèse, qu'il faudrait vérifier à partir de la théorie des jauges en mécanique quantique, qui s'exprime assez simplement à partir des algèbres de Clifford...

Il faudrait aussi recouper ce point de vue avec ce que nous avions vu des "Groupes d'homologie du Sujet"...

À suivre donc!

Hari 

Note du 28/08/2020 :

En revoyant les vidéos de NJ Wildberger, je tombe aujourd'hui sur ses 3 vidéos présentant la connexion entre quaternions et rotation ! À méditer :

• "The rotation problem and Hamilton's discovery of quaternions - 1"

Note son approche par les rationnels Z, évitant l'emploi de R, et des nombres transcendants... J'ai discuté de son point de vue dernièrement, il faudra y revenir, sans doute.